09 t9 hsg tỉnh bình dương 22 23

Cho tam giác nhọn ABC... ---Thí sinh không được mang máy tính và tài liệu.. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.Họ và tên thí sinh: ………... Cho tam giác nhọn ABC.

Tỉnh Bình Dương

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

Năm học 2022-2023 Môn thi: TOÁN

Ngày thi : 18/3/2023 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian phát đề)

Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức

A

x x x x x x với x0,x1.

1 Chứng minh rằng : A 4

2 Với giá trị nào của x thì biểu thức 

6

B

A nhận giá trị nguyên.

Câu 2: (4 điểm)

1 Giải phương trình:



 

7 7

28

x

với x 0.

2 Giải hệ phương trình:

   



  



   



3 3 3

3 4

3 6 2

3 8 3

Câu 3: (6 điểm)

1 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p2   1 24.

2 Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kỳ của tập hợp X   x x N :  ,0   x 14 

Chứng minh rằng tồn tại hai tập con B B1, 2 của tập hợp A (B B1, 2 khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng các phần tử của tập B1 bằng tổng các phần tử của tập B2.

3 Xét các số thực x y z, , không âm và khác 1 thỏa mãn x y z    1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức         

Câu 4: (6 điểm)

1 Cho hình thang ABCD AB CD AB CD ( // ,  ) Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao

điểm của AC và BD Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy

,

2 Cho tam giác nhọn ABC D E F , , lần lượt là các điểm trên các cạnh BC CA AB , , Nối AD , ,

BE CF AD cắt CF và BE lần lượt tại G và I, CF cắt BE lần lượt tại H Chứng minh rằng

nếu diện tích của bốn tam giác AFG IHG BID CEH , , , bằng nhau thì diện tích của ba tứ giác

- HẾT

-Thí sinh không được mang máy tính và tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

Chữ kí GT1: ……… Chữ kí giám thị 2: ………

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức

A

x x x x x x với x0,x1

1 Chứng minh rằng : A 4

2 Với giá trị nào của x thì biểu thức 

6

B

A nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn

1 Với x0, x1, ta có:

A

x



1

     

 x x 1x x 1x 1

 

x 2 x 1 x 1 2

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm

1 ,

x

x ta được A  2 2 A4

Dấu “=” xảy ra khi

 1  1

x (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy A 4 với x0, x1 (đpcm)

2 Ta có:       2

B

Do x0,x1 nên B0, mà A 4 6 6 3A4 2  B32

Ta có  

3 0

2

B

và B  nên B1 suy ra

 

 6 x 2 x 1 6  4  1 0

Đặt t x, ta được phương trình ẩn t: t2 4 1 0t  (2)

Giải phương trình (2) ta được t1  2 3 (nhận) ; t1 2 3 (nhận)

Với t1  2 3, ta có x  2 3 x 7 4 3 (nhận)

Với t2  2 3, ta có x  2 3 x 7 4 3 (nhận)

Thử lại ta thấy x7 4 3;7 4 3  

thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy x7 4 3;7 4 3  

thì biểu thức 

6

B

A nhận giá trị nguyên.

Câu 2: (4 điểm)

1 Giải phương trình:



 

7 7

28

x

với x 0

2 Giải hệ phương trình:

   



  



   



3 3 3

3 4

3 6 2

3 8 3

Hướng dẫn

1 Đặt

 



    

 



 4 9  2 1



 7 27 7 4 9  7 27  1 (1)

x

Theo đề bài



 

7 7

28

x

suy ra   

2

Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 7x t x t    7x t   t x x t  7x7 8t  0 (3)

Vì  

1 0,

2

nên 7x7 8 0 (4)t 

Từ (3) và (4) suy ra x t   0 x t suy ra       

  









  







6 50

14

6 50

14

x

x

Ta thấy

 

 6 50

14

x

không thỏa mãn điều kiện

 

 6 50

14

x

thỏa mãn điều kiện

Thử lại ta thấy

 

 6 50 14

x

thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm:

6 50 14

S   

 

2.

     

     

     

2

2

    

        



            

Nhân theo vế 3 phương trình trên ta có:

x1 2 y1 2 z1 2 z 2 y 2 x 2 6y 2 z 2 x 2

            

x 2 y 2 z 2 0 do x 1 2 y 1 2 z 12 6 0

2 0

2 0

2 0

x

y

z

 





  



  



2 2 2

x y z







  

 



Thử lại ta thấy x y z; ;   2;2;2

thỏa mãn hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm: x y z; ;   2;2;2

Câu 3: (6 điểm)

1 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p2   1 24.

2 Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kỳ của tập hợp X   x x N :  ,0   x 14 

Chứng minh rằng tồn tại hai tập con B B1, 2 của tập hợp A (B B1, 2 khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng các phần tử của tập B1 bằng tổng các phần tử của tập B2.

3 Xét các số thực x y z, , không âm và khác 1 thỏa mãn x y z    1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức         

Hướng dẫn

1 Ta có p2  1   p  1   p  1 

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số tự nhiên lẻ do đó p  1, p  1 là hai số chẵn liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 Suy ra  p  1   p  1 

chia hết cho 8 Mặt khác trong ba số nguyên liên tiếp p  1, , p p  1có một số chia hết cho 3 mà p 3  suy ra một trong hai số p  1, p  1 chia hết cho 3 Suy ra  p  1   p  1 

chia hết cho 3

Ta có

   

   

 

   

8;3 1















Vậy p2   1 24 (đpcm)

2 Xét các tập hợp con không quá hai phần tử của tập hợp A

Giả sử các tổng của các phần tử của tập hợp con đó khác nhau Do đó các phần tử của tập hợp A

đều khác 0 Giả sử sáu phần tử của tập hợp A là a1  a2  a3  a4  a a5  6 .

Khi đó

a a a a a a a a

Tương tự, ta có a4  7; a5  12; a6  22

Suy ra vô lí vì ai  0;1;2; ;14 

Vậy trong các tập hợp đang xét có ít nhất hai tập hợp có tổng các phần tử bằng nhau

3 Ta có x y z     1 x y    1 z

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức AM-GM, ta có:

x yz y zx

4

(1 )(4 5 ) 1

x y z



2 2

1

z

 P   8 z 1   z   8

Dấu “=” xảy ra khi   1 , 0 

2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi   1 , 0 

2

Câu 4: (6 điểm)

1 Cho hình thang ABCD AB CD AB CD ( // ,  ) Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao

điểm của AC và BD Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy

,

2 Cho tam giác nhọn ABC D E F , , lần lượt là các điểm trên các cạnh BC CA AB , , Nối AD , ,

BE CF AD cắt CF và BE lần lượt tại G và I, CF cắt BE lần lượt tại H Chứng minh rằng

nếu diện tích của bốn tam giác AFG IHG BID CEH , , , bằng nhau thì diện tích của ba tứ giác

Hướng dẫn

N

M

F E

Gọi Mlà trung điểm của CD và Nlà trung điểm của AB

+ Xét  CDF có CD AB //

  CDF ∽  ABF

2

Lại có MDF NBF    (so le trong, AB CD // )

  DMF ∽  BNF c g c ( )

 MFD NFB  (hai góc tương ứng)

 MFD DFN NFB DFN DFB      180o



 MFN  180o

Suy ra ba điểm M F N , , thẳng hàng (1)

+ Xét ABE có CD AB //

  DCE ∽  ABE

2

Lại có EDM EAN    (đồng vị, AB CD // )

  DME ∽  ANE c g c ( )

  

DEM AEN (hai góc tương ứng)

Suy ra ba điểm E M N , , thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm E F M N , , , thẳng hàng

Suy ra đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy AB CD , (đpcm)

2.

Ta có SIHG  SEHC  SGIC  SEIC

Suy ra hai đường cao kẻ từ G và E đến IC song song và bằng nhau

 ICEG là hình thang

Theo câu 4 ý 1 suy ra AH đi qua trung điểm K của EG  SAHG  SAEH

Lại có SAGF  SCEH

Mà SIHG  SBID

Chứng minh tương tự ta có SCHID  SAGHE (4)

Từ (3) và (4) suy ra SAGHE  SBIGF  SCHID

Vậy nếu diện tích của bốn tam giác AFG IHG BID CEH , , , bằng nhau thì diện tích của ba tứ

giác AGHE BIGF CHID , , cũng bằng nhau (đpcm)