12 hsg 9 tỉnh cà mau 22 23

3,0 điểm Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban tổ chức đã trao thưởng với tổng số tiền là 3690000 đồng cho 16 giải.. Hỏi Ban tổ

Tỉnh Cà Mau

ĐỀ THI

Câu 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức

A

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 5 2  3 5 2

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3x2 10x5 x23x x 2

b) Giải hệ phương trình:



Câu 3 (3,0 điểm)

Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban

tổ chức đã trao thưởng với tổng số tiền là 3690000 đồng cho 16 giải Biết rằng mỗi giải nhất được thưởng 360000 đồng; mỗi giải nhì được thưởng 270000 đồng; mỗi giải ba được thưởng

180000 đồng, trong đó số giải nhất nhỏ hơn số giải nhì, tổng số giải nhất và giải nhì nhỏ hơn số giải ba Hỏi Ban tổ chức đã trao thưởng bao nhiêu giải nhất, giải nhì, giải ba?

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho Parabol ( ) : P y x  2 và đường thẳng ( ) :d y 4(mx 2) (với m là tham số)

a) Khi

1 2

m 

vẽ ( )P và ( )d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy và tìm tọa độ các giao điểm của chúng

b) Chứng tỏ rằng, với mọi m thì đường thẳng ( )d luôn cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt

A và B Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 5 (3,0 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

2

2

1 1

A x

 



b) Tìm số nguyên b để b 2 2322 là số chính phương

Câu 6 (6,0 điểm) Cho đường tròn ( )O hai đường kính AH và DM không vuông góc với nhau Tiếp

tuyến của đường tròn ( )O tại H cắt tia AD và tia AM lần lượt ở B và C

a) Chứng minh rằng tứ giác BCMD nội tiếp đường tròn.

b) Ðường tròn tâm I có đường kính BC cắt đường tròn tâm O ở E ( E khác A ) Gọi P

là giao điểm của DM và BC.Chứng minh rằng điểm O là trực tâm của tam giác AIP

9

Học sinh giỏi

c) Chứng minh rằng ba điểm A E P, , thẳng hàng.

d) Gọi R S K, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HC HB HO, , .Chứng minh rằng RK

vuông góc với SA

-Hết -HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức

A

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 5 2  3 5 2

Lời giải

a Điều kiện:

x³ x¹ x¹

A

A

-=

-( 3)( 6 2)

A

-=

-=

3 3

x x

+

b x = 3 5+ -2 3 5 2

- x =3 5 + - 2 ( 5 2 - )- 33( 5 + 2)( 5 2 - )

 x3   4 3x

x x

x 1 x2 x 4 0

Thay vào ta có:

2 2

1 3





a) Giải phương trình: 3x2 10x5 x23x x 2

b) Giải hệ phương trình:



Lời giải

a Đặt x2 3x a , ta có phương trình

3x 10x5 x 3x x 2

3(x 3 ) 5x x 3x 2 0

2

a 2 3  a 1 0

Vì a x23x0 3a  1 0

   (điều kiệnx23x0)

x x

b)











 



2

x



 



2 2

1

y y





Câu 3 (3,0 điểm)

Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban

tổ chức đã trao thưởng với tổng số tiền là 3690000 đồng cho 16 giải Biết rằng mỗi giải nhất được thưởng 360000 đồng; mỗi giải nhì được thưởng 270000 đồng; mỗi giải ba được thưởng

180000 đồng, trong đó số giải nhất nhỏ hơn số giải nhì, tổng số giải nhất và giải nhì nhỏ hơn số giải ba Hỏi Ban tổ chức đã trao thưởng bao nhiêu giải nhất, giải nhì, giải ba?

Lời giải

Gọi số giải nhất, nhì, ba ban tổ chức trao lần lượt là: x y z x y x  , ,  , , *

Theo bài ra, ta có: x y z  16 (1)

360 000x 270 000y 180 000z 3690 000 (2)

;

x y x y z   (3)

Từ (2)  4x3y2z41 mà x y z  16 2xy 9

Mà xy 92xy3x x3

Mà x* x1;2

- Với x 1 y 7 z8 (không thoả mãn (3))

Với x 2 y 5 z9 (không thoả mãn (3))

Vậy số giải nhất, nhì, ba lần lượt là: 2;5;9

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho Parabol

2

( ) : P y x  và đường thẳng ( ) :d y4(mx2) (với m là tham số).

a) Khi

1 2

m 

vẽ ( )P và ( )d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy và tìm tọa độ các giao điểm của chúng

b) Chứng tỏ rằng, với mọi m thì đường thẳng ( )d luôn cắt parabol ( )P tại hai điểm phân biệt

A và B Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Lời giải

a Khi

1 2

m 

ta có ( ) :d y 4(mx2)

1



Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: x2  2x 8

x  x   x2  4x 2x 8 0   x x 4 2x4 0 x 2 x4 0

2 4

x x





  



b Phương trình hoành độ giao điểm của  P

và  d

là:

x  mx  x  mx 

Ta có: ac  8 0 Phương trình  1

luôn có nghiệm Phân biệt   d

luôn cắt  P

tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et ta có:

8 4

A B

x x









Ta có: AB2 x A x B2y A y B2  2  2 22

 xA xB2 1   xA xB2

 4 m 2 2.8 1 4  m 2

16m2 16 16  m2 1 16.1 16

4

AB

Dấu " " xảy ra  m0

Vậy giá trị nhỏ nhất của AB 4 khi m 0

Câu 5 (3,0 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

2

2

1 1

A x

 



b) Tìm số nguyên b để b 2 2322 là số chính phương

Lời giải

a

2

2

1

1 1

x

 



+ Nếu A 1 x0.

+ Nếu A 1, ta có:

 2

1 4 A 1

    0  12 1

4

A

1



 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là:

1

2 khi x  1

 Giá trị lớn nhất của biểu thức A là:

5

4 khi x   2 3.

b Nếu b 2  b2 4 mà 2322 chia cho 4 dư 2  b2 2322 chia cho 4 dư 2

mà b 2 2322 là số chính phương  b2 (loại)

Nếu b 2  b2 chia 4 dư 1

Mà 2322 chia cho 4 dư 2

2 2322

b

  chia cho 4 dư 3

Mà b 2 2322 là số chính phương  b2 (loại)

Vậy không có số nguyên b thoả mãn.

Câu 6 (6,0 điểm) Cho đường tròn ( )O hai đường kính AH và DM không vuông góc với nhau Tiếp

tuyến của đường tròn ( )O tại H cắt tia AD và tia AM lần lượt ở B và C

a) Chứng minh rằng tứ giác BCMD nội tiếp đường tròn.

b) Ðường tròn tâm I có đường kính BC cắt đường tròn tâm O ở E ( E khác A ) Gọi P

là giao điểm của DM và BC.Chứng minh rằng điểm O là trực tâm của tam giác AIP

c) Chứng minh rằng ba điểm A E P, , thẳng hàng

d) Gọi R S K, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng HC HB HO, , .Chứng minh rằng RK

vuông góc với SA

Lời giải

a Ta có: ABC HAC ; AMD HAC OA OM    

Suy ra: ABC AMD nên tứ giác BCMD nội tiếp

b Ta có: OAM ACH  900

Mà IAC ACH IA IC OAM OMA    ; 

nên: OMA IAC  900nên suy ra: POAI

Mà: AOPI nên O là trực tâm IAP (1)

c Ta có: IA IE OA OE ;  nên IO là đường trung trực của AE, suy ra IOAE

Mà: IOAP từ (1) Suy ra A,E,P thẳng hàng

d Do S,O lần lượt là trung điểm của HB và HA nên SO//AB mà ABAC nên SOAC Suy ra O là trực tâm tam giác SAC

Suy ra SA OC (2) mà K,R lần lượt là trung điểm HC,HO nên KR//OC (3)

Từ (2) và (3) suy ra SOAC