09 t9 hsg tỉnh bình dương 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 Tỉnh Bình Dương ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH Năm học 2022 2023 Môn t[.]

Tỉnh Bình Dương

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

Năm học 2022-2023 Môn thi: TOÁN

Ngày thi : 18/3/2023 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian phát đề)

Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức        

2

A

x x x x x x với x0,x1.

1 Chứng minh rằng : A 4

2 Với giá trị nào của x thì biểu thức 6

B

A nhận giá trị nguyên

Câu 2: (4 điểm)

1 Giải phương trình: 2  4 9

28

x

x x với x 0

2 Giải hệ phương trình:







3

3

3

Câu 3: (6 điểm)

1 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p2  1 24

2 Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kỳ của tập hợp X x x N:  ,0x14 Chứng minh rằng tồn tại hai tập con B B1, 2 của tập hợp A (B B1, 2 khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng các phần tử của tập B1 bằng tổng các phần tử của tập B2

3 Xét các số thực x y z, , không âm và khác 1 thỏa mãn xy z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức       

4 5

Câu 4: (6 điểm)

1 Cho hình thang ABCD AB CD AB CD ( // ,  ) Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy

,

AB CD

2 Cho tam giác nhọn ABC D E F , , lần lượt là các điểm trên các cạnh BC CA AB , , Nối AD ,

BE CF AD cắt CF và BE lần lượt tại G và I, CF cắt BE lần lượt tại H Chứng minh rằng nếu diện tích của bốn tam giác AFG IHG BID CEH , , , bằng nhau thì diện tích của ba tứ giác

- HẾT -

Thí sinh không được mang máy tính và tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

Chữ kí GT1: ……… Chữ kí giám thị 2: ………

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (4 điểm)

Cho biểu thức        

A

x x x x x x với x0,x1

1 Chứng minh rằng : A 4

2 Với giá trị nào của x thì biểu thức 6

B

A nhận giá trị nguyên

Hướng dẫn

1 Với x0,x1, ta có:

A

  

  

 

x

  

 

 

 



1

  x x1x x1 x1

 2 1  1 

2

x

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm x, 1

x ta được A  2 2 A4.

Dấu “=” xảy ra khi  1  

1

x (không thỏa mãn điều kiện)

Vậy A 4 với x0, x1 (đpcm)

2 Ta có:

B

Do x0,x1 nên B 0, mà   6 63 3

4

A

Ta có  3

0

2

B và B  nên B 1 suy ra   2 1     

Đặt t x, ta được phương trình ẩn t: t24t 1 0 (2)

Giải phương trình (2) ta được t1 2 3 (nhận) ; t1 2 3 (nhận)

Với t1 2 3, ta có x  2 3 x  7 4 3 (nhận)

Với t2 2 3, ta có x  2 3 x  7 4 3 (nhận)

Thử lại ta thấy x7 4 3; 7 4 3   thỏa mãn điều kiện bài toán

Vậy x7 4 3; 7 4 3   thì biểu thức  6

B

A nhận giá trị nguyên

Câu 2: (4 điểm)

1 Giải phương trình: 2  4 9

28

x

x x với x 0

2 Giải hệ phương trình:







3

3

3

Hướng dẫn

1 Đặt       

x



4 9 2 1

x

t t



 2 7 4 9 2  1

x

Theo đề bài 2  4 9

28

x

2

Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 7x t x t   7x t  t xx t 7x7t80 (3)

Vì   1

0,

2

x t nên 7x7t 8 0 (4)

Từ (3) và (4) suy ra x t  0  xt suy ra 2  1  2 1

  















14

14

x

x

Ta thấy  6 50

14

x không thỏa mãn điều kiện

 

14

x thỏa mãn điều kiện

Thử lại ta thấy   6 50

14

x thỏa mãn phương trình đã cho

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm: 6 50

14

S   

2.

2

2

Nhân theo vế 3 phương trình trên ta có:

x 1 2 y 1 2 z 1 2 z 2y 2x 2  6y 2z 2x 2

x 2y 2z 2 0 do x 1 2 y 1 2 z 12 6 0

2 0

2 0

2 0

x

y

z

 







  



2 2 2

x y z







  

 



Thử lại ta thấy x y z; ;   2;2;2 thỏa mãn hệ phương trình

Vậy hệ phương trình có nghiệm: x y z; ;   2;2;2

Câu 3: (6 điểm)

1 Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, chứng minh rằng p2  1 24

2 Cho A là tập hợp gồm 6 phần tử bất kỳ của tập hợp X x x N:  ,0x14 Chứng minh rằng tồn tại hai tập con B B1, 2 của tập hợp A (B B1, 2 khác nhau và khác rỗng) sao cho tổng

các phần tử của tập B1 bằng tổng các phần tử của tập B2

3 Xét các số thực x y z, , không âm và khác 1 thỏa mãn xy z 1 Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức       

4 5

Hướng dẫn

1 Ta có p2  1 p1p1

Do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số tự nhiên lẻ do đó p1,p1 là hai số chẵn liên tiếp

nên tồn tại một số chia hết cho 2 và một số chia hết cho 4 Suy ra p1p1 chia hết cho 8 Mặt khác trong ba số nguyên liên tiếp p1, ,p p1có một số chia hết cho 3 mà p 3 suy ra một trong hai số p1,p1 chia hết cho 3 Suy ra p1p1 chia hết cho 3

Ta có

1 1 8

8;3 1















Vậy p2 1 24 (đpcm)

2 Xét các tập hợp con không quá hai phần tử của tập hợp A

Giả sử các tổng của các phần tử của tập hợp con đó khác nhau Do đó các phần tử của tập hợp A đều khác 0 Giả sử sáu phần tử của tập hợp A là a1a2 a3a4  a5 a6

Khi đó

Tương tự, ta có a47;a512;a6 22

Suy ra vô lí vì a i0;1;2; ;14

Vậy trong các tập hợp đang xét có ít nhất hai tập hợp có tổng các phần tử bằng nhau

3 Ta có x     y z 1 x  y   1 z

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và bất đẳng thức AM-GM, ta có:

  

4

( )(4 5 )



4

(1 )(4 5 ) 1

        



2 2

4

4 1 1 1

z

 P 8 z 1 z8

Dấu “=” xảy ra khi  1 

, 0 2

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi  1 

, 0 2

Câu 4: (6 điểm)

1 Cho hình thang ABCD AB CD AB CD ( // ,  ) Gọi E là giao điểm của AD và BC, F là giao điểm của AC và BD Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy

,

AB CD

2 Cho tam giác nhọn ABC D E F , , lần lượt là các điểm trên các cạnh BC CA AB , , Nối AD ,

BE CF AD cắt CF và BE lần lượt tại G và I, CF cắt BE lần lượt tại H Chứng minh rằng nếu diện tích của bốn tam giác AFG IHG BID CEH , , , bằng nhau thì diện tích của ba tứ giác

Hướng dẫn

1

N

M

F E

Gọi Mlà trung điểm của CD và Nlà trung điểm của AB

+ Xét CDF có CD AB //

 CDF∽ABF

2

Lại có  MDF  NBF 

(so le trong, AB CD // )

 DMF∽BNF c g c( )

 

 MFD  NFB (hai góc tương ứng)

MFD DFN NFB DFN DFB180o



MFN 180o

Suy ra ba điểm M F N, , thẳng hàng (1)

+ Xét ABE có CD AB //

 DCE∽ABE

2

Lại có EDMEAN (đồng vị, AB CD// )

 DME∽ANE c g c( )

DEM AEN (hai góc tương ứng)

Suy ra ba điểm E M N, , thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm E F M N, , , thẳng hàng

Suy ra đường thẳng EF đi qua trung điểm của hai đáy AB CD , (đpcm)

2

Ta có SIHG SEHC  SGIC  SEIC

Suy ra hai đường cao kẻ từ G và E đến IC song song và bằng nhau

Theo câu 4 ý 1 suy ra AH đi qua trung điểm K của EG  SAHG  SAEH

Lại có SAGF  SCEH

 SAHF  SAHC

 SBHF SBCH

Mà SIHG SBID

Chứng minh tương tự ta có SCHID  SAGHE (4)

Từ (3) và (4) suy ra SAGHE  SBIGF  SCHID

Vậy nếu diện tích của bốn tam giác AFG IHG BID CEH , , , bằng nhau thì diện tích của ba tứ giác AGHE BIGF CHID , , cũng bằng nhau (đpcm)