12 hsg 9 tỉnh cà mau 22 23

Tổng Hợp Bùi Hoàng Nam CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268 TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH – NĂM 2022 2023 CLB Toán THCS Zalo 0989 15 2268  Trang 1  Tỉnh Cà Mau ĐỀ THI Câu 1 (3,0 điểm) Cho biểu thức[.]

Tỉnh Cà Mau

ĐỀ THI

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x  3 523 52

Câu 2 (3,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3 x2 10 x  5 x2 3 x   x 2

b) Giải hệ phương trình:





Câu 3 (3,0 điểm)

Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban

tổ chức đã trao thưởng với tổng số tiền là 3690000 đồng cho 16 giải Biết rằng mỗi giải nhất được thưởng 360000 đồng; mỗi giải nhì được thưởng 270000 đồng; mỗi giải ba được thưởng

180000 đồng, trong đó số giải nhất nhỏ hơn số giải nhì, tổng số giải nhất và giải nhì nhỏ hơn số giải ba Hỏi Ban tổ chức đã trao thưởng bao nhiêu giải nhất, giải nhì, giải ba?

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho Parabol ( ): P y x  2 và đường thẳng ( ) :d y 4(m x2) (với m là tham số)

a) Khi 1

2

m   vẽ (P) và ( )d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy và tìm tọa độ các giao điểm của chúng

b) Chứng tỏ rằng, với mọi m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

A và B Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Câu 5 (3,0 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

x x A

x

 



b) Tìm số nguyên b để 2

2322

b  là số chính phương

Câu 6 (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) hai đường kính AH và DM không vuông góc với nhau Tiếp

tuyến của đường tròn (O) tại H cắt tia AD và tia AM lần lượt ở B và C

a) Chứng minh rằng tứ giác BCMD nội tiếp đường tròn

b) Ðường tròn tâm I có đường kính BC cắt đường tròn tâm O ở E ( E khác A ) Gọi P

là giao điểm của DM và BC Chứng minh rằng điểm O là trực tâm của tam giác AIP

c) Chứng minh rằng ba điểm A E P, , thẳng hàng

9

Học sinh giỏi

d) Gọi R S K, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng H C H B H O, , Chứng minh rằng RK

vuông góc với SA

-Hết -

HƯỚNG DẪN GIẢI

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x  3 523 52

Lời giải

a Điều kiện: x  0;x  4;x  9.

A

A



 3 6 2

x x A

x x



3 3

x x



b x  3 5  2 3 52

 x 3 5 2  5233 52 52

3

    

Thay vào ta có: 1 3 4 2

2

1 3





Câu 2 (3,0 điểm)

a) Giải phương trình: 3 x2 10 x  5 x2 3 x   x 2

b) Giải hệ phương trình:





Lời giải

a Đặt x2 3 x  a, ta có phương trình

2 2

2

3a 5a 2 0

 a 2 3  a 1  0

Vì a  x2 3 x  03a 1 0

2

   (điều kiện 2

x  x ) 2

2

       

b)













   



 



 

   

2

x



 



 

 

2

2

1

y y

 





Câu 3 (3,0 điểm)

Tại lễ tuyên dương học sinh đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh vừa qua, Ban

tổ chức đã trao thưởng với tổng số tiền là 3690000 đồng cho 16 giải Biết rằng mỗi giải nhất được thưởng 360000 đồng; mỗi giải nhì được thưởng 270000 đồng; mỗi giải ba được thưởng

180000 đồng, trong đó số giải nhất nhỏ hơn số giải nhì, tổng số giải nhất và giải nhì nhỏ hơn số giải ba Hỏi Ban tổ chức đã trao thưởng bao nhiêu giải nhất, giải nhì, giải ba?

Lời giải

Gọi số giải nhất, nhì, ba ban tổ chức trao lần lượt là:  *

, , , ,

x y z x y x  

Theo bài ra, ta có: x yz 16 (1)

360 000x270 000y180 000z3 690 000 (2)

;

xy x y z (3)

Từ (2)  4x 3y 2z 41 mà xyz 16  2x y 9

Mà x y92x y3x x3

Mà x  *  x   1;2

- Với x 1 y7 z8 (không thoả mãn (3))

Với x2 y5 z9 (không thoả mãn (3))

Vậy số giải nhất, nhì, ba lần lượt là: 2; 5; 9

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho Parabol ( ): P y x  2 và đường thẳng ( ) :d y 4(m x2) (với m là tham số)

a) Khi 1

2

m   vẽ (P) và ( )d trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy và tìm tọa độ các giao điểm của chúng

b) Chứng tỏ rằng, với mọi m thì đường thẳng ( )d luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

A và B Với giá trị nào của m thì độ dài đoạn thẳng AB nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Lời giải

a Khi 1

2

m   ta có ( ) :d y 4(m x2) 1



Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: 2

x   x

2

x  x   2

x  x x   x x   4   2  x  4    0  x  2  x  4   0

2 4

x x





   



b Phương trình hoành độ giao điểm của   P và   d là:

x  mx   x  mx  

Ta có: ac   8 0 Phương trình   1 luôn có nghiệm

Phân biệt    d luôn cắt   P tại hai điểm phân biệt

Theo Vi-et ta có: 8

4

x x

 





 



Ta có: 2  2  2

A B A B

     xA xB2 1   xA xB2

 xA xB2 2 x xA B 1  xA xB2

 4 m 2 2.8 1  4 m 2

16m 16 16m 1 16.1 16

4

AB

Dấu " "  xảy ra m0

Vậy giá trị nhỏ nhất của AB  4 khi m 0

Câu 5 (3,0 điểm)

a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

1 1

x x A

x

 



b) Tìm số nguyên b để 2

2322

b  là số chính phương

Lời giải

a

2

2

1

1 1

x x

x

 



 A 1  x2 x A 1 0

+ Nếu A 1 x0

+ Nếu A  1, ta có:

1 4 A 1

    0  12 1

4

A



 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là: 1

2 khi x  1

 Giá trị lớn nhất của biểu thức A là: 5

4 khi x   2 3

b Nếu 2

b b  mà 2322 chia cho 4 dư 2 2

2322

b

  chia cho 4 dư 2

mà 2

2322

b  là số chính phương   (loại) b 2

Nếu b 2  b2 chia 4 dư 1

Mà 2322 chia cho 4 dư 2

2

2322

b

  chia cho 4 dư 3

Mà 2

2322

b  là số chính phương b 2 (loại)

Vậy không có số nguyên b thoả mãn

Câu 6 (6,0 điểm) Cho đường tròn (O) hai đường kính AH và DM không vuông góc với nhau Tiếp

tuyến của đường tròn (O) tại H cắt tia AD và tia AM lần lượt ở B và C

a) Chứng minh rằng tứ giác BCMD nội tiếp đường tròn

b) Ðường tròn tâm I có đường kính BC cắt đường tròn tâm O ở E ( E khác A ) Gọi P

là giao điểm của DM và BC Chứng minh rằng điểm O là trực tâm của tam giác AIP

c) Chứng minh rằng ba điểm A E P, , thẳng hàng

d) Gọi R S K, , lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng H C H B H O, , Chứng minh rằng RK

vuông góc với SA

Lời giải

a Ta có: ABCHAC ; AMDHAC OA OM

Suy ra:  ABCAMD nên tứ giác BCMD nội tiếp

b Ta có:   0

90

OAMACH

Mà IACACH IA IC OAM;OMA

nên: OMA IAC  900nên suy ra:POAI

Mà: AOPI nên O là trực tâm IAP (1)

c Ta có: IAIE OA; OEnên IO là đường trung trực của AE, suy ra IOAE

Mà: IO AP từ (1) Suy ra A,E,P thẳng hàng

d Do S,O lần lượt là trung điểm của HB và HA nên SO//AB mà AB ACnên SO AC

Suy ra O là trực tâm tam giác SAC

Suy ra SAOC (2) mà K,R lần lượt là trung điểm HC,HO nên KR//OC (3)

Từ (2) và (3) suy ra SOAC