087 đề hsg toán 7 trường tam hưng 2016 2017

5đ a Cho tam giác ABC đường cao , AH Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các.. Chứng minh CD vuông góc với BK 2 Chứng minh ba đường thẳng AH BE CD đồng quy, ,.

THCS TAM HƯNG ĐỀ THI OLYMPIC

MÔN TOÁN LỚP 7 Năm học 2016-2017

Bài 1 (3đ) Tìm x sao cho:

 2   2   2   2 

a x

Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên m n thỏa mãn:, 

a) 2m 2n 2048

b) 3m4n mn 16

Bài 3 (4d)

a) Cho x y z t, , , là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau:

2 , 2

y xz z yt và y3z3 t3  Chứng minh: 0

3 3 3

y z x x

y z t t



b) Cho x y z a b x y z b c x y z c a    ;     ;    

Chứng minh : x y z  0

Bài 4.(4đ)

a) Cho đa thức

f x x  x  x  x   x

Tính giá trị của đa thức tại x 1999

b) Cho đa thức f x  ax2 bx c

Chứng tỏ rằng: f 2   f 3  nếu 130 a b 2c0

Bài 5 (5đ)

a) Cho tam giác ABC đường cao , AH Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD ACE , , ABD ACE 900

1) Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K Chứng minh CD vuông góc với BK

2) Chứng minh ba đường thẳng AH BE CD đồng quy, ,

b) Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB CD .Lấy điểm

ĐÁP ÁN Bài 1.

a) Chỉ rõ được x  5 0,1,2

5 1

x x

x x x

x

  



      



  



 b) Lý luận để có x2  20x2  15x2  10 x2  5

Xét đủ 2 trường hợp:

- Trường hợp có 1 số âm tính được x 4

- Trường hợp có 3 số âm tính được: x 3

Bài 2.

11 11 11 11 11

11 11 11

11 11

12

11

a

m n

   





 b) Biến đổi được 3 n m   4  4 1.4 4.1 2.2  4 1 1 4 2 2 Giải từng trường hợp, suy ra kết luận

m n ,   8,2 ; 0,4 ; 5; 1 ; 3,7 ; 6,1 ; 2,5            

Bài 3.

a) Từ giả thiết suy ra

y  z t

Lập phương các tỉ số trên và áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để có:

x y z x

y z t y



  , mặt khác ta có:

3

x x x x x y z x

y y y y y z t t

Suy ra được điều phải chứng minh

b) Cộng vế với vế suy ra điều cần chứng minh

Bài 4.

a f x x   x   x   x    x

Thay 1999 ta được:x,

2015 2015 2014 2014 2013 2013 2

Tính được kết quả và kết luận f 1999 1998

b)

Bài 5.

a)

K

D

E

H

A

1) Vẽ hình và chứng minh đến đúng hết

2) Chỉ ra được AH BE CD là ba đường cao của BCK, , 

b)

Xét 2 trường hợp

*Trường hợp điểm M AD thì ta có: MA MD MB MC  

*Trường hợp M AD

N

I

M

Gọi I là trung điểm của BC

Trên tia đối của tia IM lấy điểm N sao cho IM IN IB IC; 

Vì AB CD  AB IB IC CD    AI ND

Chứng minh được IMAIND c g c( ) MA ND

Điểm C nằm trong MDN chứng minh được ND MD NC MC   Chứng minh IBM ICN c g c( ) MA MD MB MC  