TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 45_ĐTK2022 Cho hàm số ( ) ( ) 4 3 2 f x x ax bx cx d a b c d = + + + + 3 , , , có ba điểm cực trị là −2,−1,1 . Gọi y g x = ( ) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y f x = ( ) . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f x = ( ) và y g x = ( ) bằng A. 500 81 . B. 36 5 . C. 2932 405 . D. 2948 405 Lời giải Chọn D Ta có ( ) ( ) 4 3 2 3 2 f x x ax bx cx d f x x ax bx c = + + + + = + + + 3 12 3 2 . Do f x( ) có ba điểm cực trị là −2,−1,1 nên: ( ) ( ) ( ) 1 0 3 2 12 8 1 0 3 2 12 6 2 0 12 4 96 24 f a b c a f a b c b f a b c c − = − + = = − = + + = − = − = + + = − = ( ) 4 3 2 = − − + + f x x x x x d 3 8 6 24 . Khi đó đồ thị hàm số f x( ) có ba điểm cực trị là A d (− − + 1; 19 ) , B d (1;13+ ) và C d (2;8 + ) . Gọi ( ) 2 1 g x mx nx k = + + là parabol đi qua các điểm A 1; 19 (− − ) , B 1;13 ( ) và C 2;8 ( ) , khi đó: ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 19 19 7 1 13 13 16 2 8 4 2 8 4 g m n k m g m n k n g m n k k − = − − + = − = − = + + = = = + + = = . ( ) 2 1 = − + + g x x x 7 16 4 ( ) 2 = − + + + g x x x d 7 16 4 . Ta có phương trình hoành độ giao điểm: 4 3 2 2 4 3 2 1 2 3 8 6 24 7 16 4 3 8 8 4 0 3 1 2 x x x x x x d x x d x x x x x x = − = − − + + = − + + + − + + − = = = . Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi f x( ) và g x( ) là: ( ) ( ) ( ) 2 2 4 3 2 1 1 2948 d 3 8 8 4 d 405 S f x g x x x x x x x dvdt − − = − = − + + − = .
Trang 1TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN Câu 45_ĐTK2022 Cho hàm số
f x = x +ax +bx + +cx d a b c d có ba điểm cực trị là − 2,− 1,1 Gọi y=g x( ) là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f x( ) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y= f x( ) và y=g x( ) bằng
A 500
405
Lời giải Chọn D
f x = x +ax +bx + + cx d f x = x + ax + bx c+
Do f x( ) có ba điểm cực trị là − 2,− 1,1 nên:
( ) ( ) ( )
= + + = − = −
= + + = − =
Khi đó đồ thị hàm số f x( ) có ba điểm cực trị là A(− − +1; 19 d),B(1;13+d) và C(2;8+d) Gọi ( ) 2
1
g x =mx +nx k+ là parabol đi qua các điểm A − −'( 1; 19),B' 1;13( ) và C' 2;8( ), khi đó:
( ) ( ) ( )
1 1 1
Ta có phương trình hoành độ giao điểm:
1 2
1 2
x x
x x
= −
=
=
=
Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi f x( ) và g x( ) là:
2948
405
Câu 1: Cho hai hàm số ( ) 4 3 2
3
f x =ax +bx +cx + x và ( ) 3 2
,
g x =mx +nx −x với a b c m n , , , , Biết hàm số y= f x( ) ( )−g x có ba điểm cực trị là − 1, 2 và 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y= f( )x và y=g x( ) bằng
A 32
9
Lời giải
CHỦ ĐỀ: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN VỀ TỈ SỐ DIỆN TÍCH
Trang 2Chọn B
Ta có : ( ) 3 2
f x = ax + bx + cx+ và ( ) 2
g x = mx + nx−
Suy ra: h x( )= f( )x −g x( )=0 có 3 nghiệm phân biệt là − 1, 2 và 3
Nên f( )x −g x( )=4a x( +1)(x−2)(x−3) ( )
Thay x =0 vào hai vế của ( )* ta được: ( ) ( ) 1
6
f −g = =a
Vậy diện tích hình phẳng giới hạn: 3 ( )( )( )
1
2
9 3
−
Câu 2: Cho hai hàm số ( ) 4 3 2
bx cx x
f x =ax + + + và ( ) 3 2
2x
g x = mx +nx − với a b c m n , , , , Biết hàm số y= f x( ) ( )−g x có ba điểm cực trị là − 1, 2, 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y= f '( )x và y=g x( ) bằng
A 32
6
Lời giải
Vì hàm số y = f x( ) ( )−g x có ba điểm cực trị là − 1, 2, 3 nên hàm số
y f x g x ax b m x c n x có ba nghiệm là − 1, 2,3. Suy ra, tồn tại
số thực k để y =k x( +1)(x−2)(x−3)
Ta có f( )0 =3 nên 1.
2
k = Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y= f( )x và
( )
=
y g x bằng: 3 ( ) 3 ( )( )( )
Câu 3: [Mức độ 3] Cho hai hàm số f x ax4 bx3 cx2 2x và g x mx3 nx2 2x với
, , , ,
a b c m n Biết hàm số y f x g x có ba điểm cực trị là 1, 2 và 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f' x và y g x' bằng
A 32
9
Lời giải Chọn B
Ta có: y f x g x ax4 b m x3 c n x2 4x
Vì hàm số y f x g x có ba điểm cực trị là 1, 2 và 3 nên
Đồng nhất hệ số, ta suy ra: 4 24 1
6
a a
3
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y f ' x và y g x' là:
Trang 33 3
Câu 4: Cho hai hàm số f x ( ) = ax4+ bx3+ cx2+ 2 xvà g x ( ) = mx3+ nx2− x ; với a b c m n , , , , Biết
hàm số y= f x( ) −g x( ) có 3 điểm cực trị là – 1, 2, 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường y= f ( )x và y=g x ( )bằng
A 71
12
Lời giải Chọn D
Xét hàm số ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) 2
3
h x = f x −g x =ax + −b m x + −c n x + x
h x = ax + b m x− + c n x− +
Vì hàm số h x( )có 3 điểm cực trị là – 1, 2, 3 nên phương trình h x( )=0 có 3 nghiệm phân biệt là – 1, 2, 3
Suy ra h x( ) có dạng h x( )=A x( +1)(x−2)(x−3) ( )2
Từ ( )1 ta có x= 0 h( )0 =3
Thế vào ( )2 h( )0 =A( )( )( )1 −2 − =3 3 1
2
A
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi f x( ) và g x( ) là
1
Câu 5: Cho hàm số ( ) 3 2
f x = +x ax + +bx c với a b c, , là các số thực Biết hàm số
( ) ( ) ( ) ( )
g x = f x + f x + f x có hai giá trị cực trị là − và 5 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = bằng 1
A ln 3 B 3ln 2 C ln10 D ln 7
Lời giải Chọn B
Ta có
g x = f x + f x + f x =x + a+ x + a b+ + x+ a b c+ +
g x = f x + f x + f x 2
3x 2ax b 6x 2a 6
2
3x 2a 6 x 2a b 6
Vì y=g x( ) có hai giá trị cực trị là −5 và 2 nên g x( )=0 có hai nghiệm phân biệt x x với 1, 2 ( )1 5, ( )2 2
g x = − g x =
Phương trình hoành độ giao điểm
( )
6
2
Phương trình này cũng có hai nghệm phân biệt x x 1, 2
Trang 4Như vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = là 1 ( )
2
2 1 1
ln 6 ln 2 6 ln 5 6 3ln 2 6
x
x x x
g x
g x
+
Câu 6: Cho hàm số ( ) 3 2
f x =x +ax +bx c+ với a , b, c là các số thực Biết hàm số
g x = f x + f x + f x có hai giá trị cực trị là − và 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 5 các đường ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = bằng1
A 2ln 3 B ln 2 C ln15 D 3ln 2
Lời giải Chọn A
f x =x +ax +bx c+ ( ) 2
3 2
f x x ax b
= + + , f( )x =6x+2a, f( )x =6
g x = f x + f x + f x g x( )= f( )x + f( )x + f( )x = f( )x + f( )x +6
2
0 x x
g x
x x
=
= =
với g x = −( )1 5, g x( )2 =3
Ta có: ( )
( ) 6 1 ( ) ( ) ( )6 6 0
1 2
x x
x x
=
=
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = là 1
( )
6
= − =
2
1 1
1
6
x
x x x
g x
+
ln g x 6 ln g x 6 ln1 ln 9 2 ln 3
Câu 7: Cho hàm số ( ) 3 2
f x =x +ax +bx c+ với a b c là các số thực Biết hàm số , ,
g x = f x + f x + f x có hai giá trị cực trị là là − và 3 6 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = bằng 1
Lời giải Chọn D
Ta có
3 2
f x = x + ax b+ ;
f x = x+ a;
( ) 6
f x = ;
g x = f x + f x + f x g x( )= f( )x + f( )x + 6
Vì g x có hai giá trị cực trị là là ( ) −3 và 6 nên không giảm tổng quát, g x có hai điểm cực trị ( )
là x x và , g x = −( ) 3, g x =( ) 6
Trang 5Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = là 1
( ) ( ) 6 1
f x
+
( ) ( ) 6
f x g x
f x f x f x f x
f x f x
2
0 x x
g x
x x
=
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = là: 1
( )
( )
2 1
x x
Câu 8: Cho hàm số ( ) 3 2
f x =x +ax +bx+c với a b c là các số thực Biết hàm số , , ( ) ( ) ( ) ( )
g x = f x + f x + f x có hai giá trị cực trị là −4 và 2 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = bằng 1
A 2ln 2 B ln 6 C 3ln 2 D ln 2
Lời giải Chọn A
g x = f x + f x + f x =x + a+ x + a+ +b x+ a+ +b c
( ) ( ) ( ) ( )
g x = f x + f x + f x 2
3x 2ax b 6x 2a 6
2
3x 2a 6 x 2a b 6
2
0 x x
g x
x x
=
= =
với g x = −( )1 4, g x( )2 =2 Phương trình hoành độ giao điểm
( )
6
2
Phương trình này cũng có hai nghệm phân biệt x x 1, 2
Như vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi các hàm số ( )
( ) 6
f x y
g x
=
+ và y = là 1 ( )
2
2 1 1
ln 6 ln 2 6 ln 4 6 2 ln 2 6
x
x x x
g x
g x
+
Trang 6Câu 9: (ĐTK2021) Cho hàm số bậc ba y = f x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên Biết hàm số
( )
f x đạt cực trị tại hai điểm x x1, 2 thỏa mãn x2 = + x1 2 và f x ( )1 + f x ( ) 02 = Gọi S1 và S2 là diện tích của hai hình phẳng được gạch trong hình bên Tỉ số 1
2
S
S bằng:
A 3
5
Lời giải Chọn D
Tịnh tiến điểm uốn về gốc tọa độ, ta được hình vẽ bên dưới
Khi đó, do f x( ) là hàm bậc ba, nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng nên x1= − 1; x2= 1
f x = x − f x =x − x
Nên 0( )
2 1
S
S
−
Trang 7Câu 10: (Mã 104 - 2019) Cho đường thẳng 3
2
y = x và parabol y = x2 + a ( a là tham số thực dương) Gọi S S1, 2 lần lượt là diện tích hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên Khi S1 = S2
thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A 2
0;
5
1 9
;
2 16
2 9
;
5 20
9 1
;
20 2
Lời giải Chọn C
Giải toán:
Phương trình hoành độ giao điểm: 2 3 2
2
x + = a x x − x + a =
Để phương trình có 2 nghiệm dương thì
0 0
9 0
16
a a
a
Gọi hai nghiệm đó là 0 x1 x2 thì 2 3 9 16
4
a
Để S1 = S2 khi và chỉ khi
2
2 0
3
0 2
x
Ta có:
0
x
x
3
2
3 9 16
0
a
a
+ −
Giải nhanh bằng máy tính cho kết quả x =0, 421875 thuộc khoảng 2 9
;
5 20
Trang 8Câu 11: (Mã 102 - 2019) Cho đường thẳng 3
4
y= x và parabol 1 2
2
y= x +a, (a là tham số thực dương)
Gọi S , 1 S lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéo trong hình vẽ bên Khi 2 S1=S2
thì a thuộc khoảng nào dưới đây?
A 7 1;
32 4
1 9
;
4 32
3 7
;
16 32
3 0;
16
Lời giải Chọn C
Ta có phương trình hoành độ giao điểm 1 2 3
0
2x −4x+ =a 2
2x 3x 4a 0
Theo đề bài phương trình có hai nghiệm 0 x1 x2 thỏa mãn ( )
( )
1 2
1 2
3
* 2
+ =
1 2 0
1
0
x
0
d 0
x
2
0
0
x
0
6x 8x ax
6 8
a
= − + (***)
Từ ( ) 1 2
3
*
2
= − , thay vào ( ) 22 2
2 2
3 3
**
x x
− = − +
2
0
8
x
=
(***) 27
128
a
⎯⎯⎯→ = Vậy 3 ; 7
16 32
a Câu 12: Cho parabol ( ) 2
P y= − +x x+ cắt trục hoành tại hai điểm A B và đường thẳng , d y: = a
(0 a 4) Xét parabol ( )P2 đi qua A B và có đỉnh thuộc đường thẳng y a, = Gọi S là diện 1
tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P1 và d.Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 ( )P2 và trục hoành Biết S1= , tính S2 T=a3−8a2+48a
A T =99 B T =64 C T =32 D T =72
Lời giải
Để việc tính toán trở nên đơn giản, ta tịnh tiến hai parabol sang trái một đơn vị
Khi đó, phương trình các parabol mới là ( ) 2
P y= − +x ,( ) 2
2 :
4
a
Gọi ,A B là các giao điểm của ( )P và trục 1 OxA(−2; 0 ,) ( )B 2; 0 AB= 4
Gọi ,A B là giao điểm của ( )P1 và đường thẳng d M(− 4−a a; ) (,N 4−a a; )
Trang 9Ta có 4 ( )3 ( )
2 1
S = −y dy= − −y = −a −a
2
2 2
0
8
a
= − + = − + =
1 2
a
Vậy T =64
Câu 13: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2( )
my=x mx= y m Tìm giá trị của
m để S =3
Lời giải Chọn C
Tọa độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là nghiệm của hệ phương trình: ( )
( )
2 2
1 2
my x
mx y
=
=
Thế (1) vào (2) ta được:
2 2
0
0
x x
m
=
= − = =
Vì
2 0
x y m
= nên 2 y 0
mx= y ⎯⎯ → =y mx
Khi đó diện tích hình phẳng cần tìm là:
2
0
m
m
3
m
S = m = m = ⎯⎯ → =m
Câu 14: Cho hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường ex
y = , y = , 0 x =0, x =ln 4 Đường thẳng
x=k (0 k ln 4) chia ( )H thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên Tìm k
để S1 =2S2
A 4ln 2
3
3
Trang 10Lời giải
Diện tích hình thang cong ( )H giới hạn bởi các đường y =ex, y = , 0 x =0, x =ln 4 là
ln 4
ln 4 0 0
e dx ex
S = x= =eln 4− = − = (đvdt) e0 4 1 3
Ta có 1 2 1 1 1 3 1
S =S +S =S + S = S Suy ra 1 2 2.3 2
3 3
S
S = = = (đvdt)
Vì S1 là phần diện tích được giới hạn bởi các đường y =ex, y = , 0 x =0, x=k nên
0
k
k
ek− = − e ek 1
Do đó ek = =3 k ln 3
Câu 15: Hình phẳng ( )H được giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số đa thức bậc bốn y= f x( ) và y=g x( )
Biết rằng đồ thị cảu hai hàm số này cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là
3; 1; 2.
− − Diện tích của hình phẳng ( )H ( phần gạch sọc trên hình vẽ bên ) gần nhất với kết quả
nào dưới đây?
A 3,11 B 2, 45 C 3, 21 D 2,95
Lời giải Chọn A
( ) ( ) ( 3)( 1)( 2)
f x −g x =a x+ x+ x− ( ) ( 2 )
ax a x x
ax ax ax ax ax a
3 2
ax ax ax a
( )0 ( )0 6
f −g = − a, quan sát hình vẽ ta có ( ) ( ) 3 3 9
5 2 10
f −g = − + =
−
Câu 16: Cho hàm số y= −x4 6x2+m có đồ thị ( )C m Giả sử ( )C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt
sao cho hình phẳng giới hạn bởi ( )C m và trục hoành có phần phía trên trục hoành và phần phía dưới trục hoành có diện tích bằng nhau Khi đó m a
b
= (với a, b là các số nguyên, b , 0 a
b là
phân số tối giản) Giá trị của biểu thức S= + là: a b
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: 4 2
x − x + =m ( )1 Đặt 2
t=x (t 0) ( )1 trở thành t2− + = 6t m 0 ( )2
Trang 11( )C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì phương trình ( )1 có 4 nghiệm phân biệt hay phương trình ( )2 có hai nghiệm dương phân biệt
0
6 0
m
S
= − −
( )*
Gọi t , 1 t2 (0 t1 t2) là hai nghiệm của phương trình ( )2 Lúc đó phương trình ( )1 có bốn nghiệm phân biệt theo thứ tự tăng dần là: x1= − t2; x2= − t1; x3= t1; x4 = t2
Do tính đối xứng của đồ thị ( )C m nên có 3( )
0
x
3
x
x
= − + −
5 3 4
5
x
x mx
4
Từ đó có x là nghiệm của hệ phương trình: 4 ( )
( )
4
Lấy ( ) ( )3 − 4 2
4
= , thay 2
4
x = vào m ( )3 có: m2−5m=0 = =m 0 m 5 Đối chiếu điều kiện ( )* ta có m =5 =a 5và b =1 Vậy S =6
Câu 17: Cho các số p q thỏa mãn các điều kiện:, p , 1 q , 1 1 1 1
p+ =q và các số dương a b Xét hàm ,
số: y=x p−1(x 0)có đồ thị là ( )C Gọi ( )S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , trục hoành, đường thẳng x=a, Gọi ( )S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , trục tung, đường thẳng y= , Gọi b ( )S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục hoành, trục tung và hai đường thẳng x=a, y= Khi so sánh b S1+ và S2 S ta nhận được bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức dưới đây?
A
ab
ab
− − C
ab
+ + D
ab
p + q
Lời giải
Ta có: S + S1 S2
Trang 12( )1 1
d
a
1 1
1 2
0
dy
1 1 1
b
p
+
−
−
−
1 1
p
q
ab
p + q
Câu 18: Cho parabol ( ) 2
:
P y=x và một đường thẳng d thay đổi cắt ( )P tại hai điểm A , B sao cho
2018
AB = Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )P và đường thẳng d Tìm giá trị lớn nhất S max của S
A
3
2018 1 6
max
B
3 2018 3
max
3
2018 1 6
max
D
3 2018 3
max
Lời giải
Giả sử A a a ( ; 2); B b b ( ; )(2 b a ) sao cho AB =2018
Phương trình đường thẳng d là: y= (a b x+ ) −ab Khi đó
( )
6
S = a b x+ −ab−x x= a b x+ −ab−x x= b a−
AB= −b a + b −a = −b a + +b a = ( )2 2
2018
b a
3 2018 2018
6
6
S = khi a = −1009 và 1009
Câu 19: Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho parabol ( ) 2
:
P y=x và hai đường thẳng y a = , y=b (0 a b)
(hình vẽ) Gọi S1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P và đường thẳng y a = (phần
tô đen); ( )S2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( )P và đường thẳng y=b (phần gạch chéo) Với điều kiện nào sau đây của a và b thì S1 = S2?
A 3
4
b= a B 3
2
b= a C b = 33 a D b =36 a
Lời giải
Trang 13Phương trình hoành độ giao điểm của parabol ( ) 2
:
P y=x với đường thẳng y=b là
2
x = = b x b
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol ( ) 2
:
P y=x với đường thẳng y a = là
2
x = = a x a
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2
:
P y=x và đường thẳng y=b là
( 2) 0
b
0
2
3
b
x bx
= −
b b
b b
= −
4 3
b b
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol ( ) 2
:
P y=x và đường thẳng y a = (phần tô màu đen)
1 0
a
0
2
3
a
x ax
= −
a a
a a
= −
4 3
a a
Do đó S = 2 S1 4 4
2
2
2
4
b a
Câu 20: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một
cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu) và cách nhau một khoảng bằng 4 m( ) Phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là 150.000 đồng/m2 và 100.000 đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị)
A 3.738.574 (đồng) B 1.948.000 (đồng) C 3.926.990 (đồng) D 4.115.408 (đồng)
Lời giải
Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ, ta có bán kính của đường tròn là R = 42+22 =2 5
Phương trình của nửa đường tròn ( )C là: x2+y2 =20 ,y =0 y 20−x2
Parabol ( )P có đỉnh O(0; 0) và đi qua điểm ( )2; 4 nên có phương trình: y = x2
4m