Bài giảng bài ứng dụng tích phân trong hình học giải tích 12 (5)

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG HÌNH HỌC – TOÁN LỚP 12... ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ... TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ... Ví dụ 1: Cho khối chóp có chiều cao h, diện tích đáy là S... T

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG

HÌNH HỌC – TOÁN LỚP 12

KIỂM TRA BÀI CŨ

 Tính diện tích hình

phẳng B giới hạn bởi

đồ thị hàm số

trục hoành, các

đường thẳng x = 1 và

x = 4

2

1 6

x

y  

 Đáp số:

13 2

-10 -5 5 10

6 4 2

-2 -4 -6 -8

B

A D

a b

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

  

S(x)

x

O

y

z

S(x)

 

b

a

1 TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ

Ví dụ 1:

Cho khối chóp có chiều

cao h, diện tích đáy là S

Chứng minh rằng thể tích

V của nó là:

1 3

V  Sh

( )

a

V   S x dx

A1

A2

A3

A4

B4

B3

B2

B1

x h

y

z

O

S(x)

S

x

 Gọi S(x) là diện tích

thiết diện vuông góc với

trục Ox tại x  0   x h 

2

2

( )

( )

3 2

h

h

3

h

1 3

V  Sh

Vậy (1)

2 Thể tích khối tròn xoay

 Cho hàm số y = f(x) liên

tục và không âm trên a b; 

thị hàm số y = f(x), trục Ox,

hai đường thẳng x = a, x = b

quay quanh trục hoành tạo

nên một khối tròn xoay

b

a

 Thể tích V của nó:

S(x)

x

 Thiết diện của khối tròn xoay

cắt bởi mp vuông góc với trục

Ox tại điểm x là hình

tròn bán kính f(x)

(a  x b)

( )

b a

V   S x dx

Ví dụ 2:

Xét hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số

trục hoành và các đường thẳng x = 1, x = 2 Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng đó quanh trục hoành

2

1 6

x

y  

2

1

1 6

x



Giải :

1

1

dx



1

1 6

0 ( ) :

1 2

x y

y B

x x







 







39 20





Cho một khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h Chứng minh rằng thể tích V của khối chỏm cầu là

2

3

h

V   h   R   

 Trong mp Oxy, xét hình phẳng

B giới hạn bởi cung tròn tâm O

bán kính R có pt

trục hoành và đt

y  R  x

x   R h   h R

 Quay hình phẳng B quanh trục

hoành ta thu được khối chỏm cầu

bán kính R chiều cao h

Ví dụ 3 :

y

R

R-h

2 2

y  R  x

 Thể tích khối chỏm cầu là

R

R h



3

R h

R

2

3

h

h R

3 2

3

R

x

R x

R h

 Thể tích khối bán cầu bán kính R là 2 3

3

R

V  

 Thể tích khối cầu bán kính R là 4 3

3

R

V  

y

R

R-h

2 2

y  R x

3

h

V   h   R   

O x

y

x=g(y)

c

d

b Hình phẳng quay quanh trục tung

 Cho hàm số x = g(y)

liên tục và không âm

trên đoạn   c d ;

 Hình phẳng giới hạn

bởi đồ thị hsố x = g(y),

trục tung, hai đường

thẳng y = c, y = d, quay

quanh trục tung tạo nên

một khối tròn xoay

 Thể tích V của nó là: 2

( )

d

c

Ví dụ 4:

Cho hình phẳng B giới

hạn bởi các đường

trục Oy, y = 1 và y = 8

Tính thể tích của khối tròn

xoay tạo thành khi quay

hình B quanh trục tung

2

 

8

2

1

2

Giải :

1

8

1 2

y ydy

(8 1 ) 1

y

63

Vậy

CỦNG CỐ BÀI HỌC

1 Cho hình phẳng (B) giới hạn bởi các đường y

= (1 – x)2, y = 0, x = 0 và x = 2 Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng (B) quay quanh trục

Ox là:

3

  2

5

  5

2

  D 2 

B

Đáp án

CỦNG CỐ BÀI HỌC

2 Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

x = 0, y = -1 và y = 1 Thể tích của khối tròn xoay khi cho hình phẳng quay quanh trục Oy là:

2

5

  A 

  B 2 

  C 2 

  D 5 

C

Đáp án

Xét hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x2

(x>0), các đường thẳng y = 1, x = 2 và B nằm ngoài parabole y = x2 Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng B quanh trục hoành

Gọi B1 là hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hs y = x2, trục

Ox, các đường thẳng x = 1

và x = 2

B2 là hình phẳng giới hạn bởi các đường

thẳng y = 1, x = 1, x = 2 và trục Ox

Giải :

Pt hoành độ giao điểm

của parabole y = x2(x>0)

và đường thẳng y = 1

1

1

x x

x





4 3 2 1

-1 -2 -3 -4

-4 -2 2 4 6

L

1 2

y=1

x

y y=x 2

BÀI TẬP VỀ NHÀ

Gọi V1, V2 lần lượt là thể

tích các khối tròn xoay khi

các hình phẳng B1, B2

quay xung quanh trục Ox

Ta có V = V1 – V2

 

2

2 2 1

1

1

x dx



2 2 2

1

2

1

1



26 5

Vậy

1 2

y=1 y=x 2

2

2

y x x

x

 



 

