Chuyên đề 31 ứng dụng tích phân vd vdc hướng dẫn giải

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng Lời giải Ta có: Vì do liên tục trên nên.. Khi đó diện tích hìnhphẳng giới hạn bởi , trục tung, tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

Câu 44_TK2023 Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

và bằng

Lời giải

Ta có:

Vì do liên tục trên nên Do đó

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và , ta có:

Vậy diện tích phẳng giới hạn bởi các đường

và là:

và Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ

CHUYÊN ĐỀ 31: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN – VẬN DỤNG – VẬN DỤNG CAO

Trang 2

,

Câu 2: Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn và thỏa

; ; Biết diện tích hìnhphẳng giới hạn bởi đồ thị , trục tung và trục hoành có dạng

với là các số nguyên dương Tính

Lời giải

Ta có

.Mặt khác, ta có

Trang 3

Câu 3: Cho hàm số có đồ thị Khi đó diện tích hình

phẳng giới hạn bởi , trục tung, tiếp tuyến của tại điểm có hoành độ là

Câu 4: Cho là hàm số nhận giá trị không âm trên đoạn

có đồ thị như hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

Trang 4

Câu 5: Cho hàm số với , là các số thực Biết hàm số

có hai giá trị cực trị là và Diện tích

hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng

Trang 5

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm và :

Với là hàm bậc ba với hoành độ cực trị là

.Giả sử hàm có giá trị cực trị tương ứng

Khi đó diện tích hình phẳng bởi đường và là:

Trang 6

Câu 7: Cho hàm số với là các số thực Biết hàm số

có hai giá trị cực trị là và Diện tích hình

phẳng giới hạn bởi các đường và bằng

Câu 8: Cho hàm số với , là các số thự C Biết hàm số

có hai giá trị cực trị là và Diện tích hình phẳng giới

Trang 7

Theo giả thiết ta có phương trình có hai nghiệm và

với là các số nguyên dương Tính

Lời giải

Ta có

Trang 8

.Mặt khác, ta có

Đồ thị hai hàm số và được cho ởhình bên dưới Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và

biết rằng

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số và đồ thị hàm số cắt nhau tại đúng

ba điểm phân biệt với các hoành độ nên phương trình

Trang 9

.Theo đề

.Suy ra

ssDiện tích hình phẳng đã cho là

điểm cực đại Hàm số có đồ thị đi qua các điểm cựctrị của đồ thị Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số

và gần bằng giá trị nào nhất trong các giá trị sau

Lời giải

Ta có

Trang 10

Theo bài ra hàm số có hai điểm cực tiểu vàđiểm cực đại suy ra

Theo bài ra đồ thị hàm số đi qua điểm cực trị

và suy ra

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số và là

Diện tích hình phẳng cần tìm là

Câu 12: Cho hàm số với , là các số thực Biết hàm

số có hai giá trị cực trị là và Diện

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và bằng

Trang 11

Từ đây suy ra và .

.Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường và

bằng

Câu 13: Cho hàm số có đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm

phân biệt Biết hàm số có 3 điểm cực trị

và , , Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Trang 12

Câu này khác đề gốc tý với xem như vô nghiệm trên

Câu 14: Cho hàm số với là các số thực Biết hàm sồ

có hai giá trị cực trị là và 4 Diện tích hình phẳng

giới hạn bởi các đường và bằng

Gọi là 2 nghiệm của

Khi và chỉ khi là 2 nghiệm của

Trang 13

, , Gọi là hàm số bậc hai có đồ thị đi qua ba điểm cực trị của

đồ thị hàm số Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

và bằng

Lời giải Chọn D

Do có ba điểm cực trị là , , nên:

.Khi đó đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là , và

.Gọi là parabol đi qua các điểm , và

, khi đó:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

.Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi và là:

Trang 14

Biết hàm số có ba điểm cực trị là và Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và bằng

Lời giải Chọn B

Suy ra: có nghiệm phân biệt là và

Nên

Thay vào hai vế của ta được:

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn:

Biết hàm số có ba điểm cực trị là Diệntích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và bằng

Câu 18: [Mức độ 3] Cho hai hàm số và

với Biết hàm số có ba điểm

Trang 15

cực trị là và Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

Lời giải Chọn B

Biết hàm số có 3 điểm cực trị là – 1, 2, 3 Diệntích hình phẳng giới hạn bởi hai đường và bằng

Trang 16

Câu 20: Cho đường thẳng và parabol , ( là tham số thực

dương) Gọi , lần lượt là diện tích của hai hình phẳng được gạch chéotrong hình vẽ bên Khi thì thuộc khoảng nào dưới đây?

Lời giải Chọn C

Ta có phương trình hoành độ giao điểm

Theo đề bài phương trình có hai nghiệm thỏa mãn

Từ , thay vào

Câu 21: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường , , ,

Đường thẳng chia thành hai phần có diện tích

là và như hình vẽ bên Tìm để

Trang 17

Câu 22: Cho parabol và một đường thẳng thay đổi cắt tại hai

điểm , sao cho Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi

và đường thẳng Tìm giá trị lớn nhất của

Lời giải

Phương trình đường thẳng là: Khi đó

Vậy khi

Trang 18

Câu 23: Trong hệ trục tọa độ , cho parabol và hai đường thẳng

, Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

và đường thẳng ; là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

và đường thẳng Với điều kiện nào sau đây của và thì ?

là

.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và đường thẳng là

Câu 24: Một khuôn viên dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng

hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và cótrục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của

Trang 19

4m 4m

4m

cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng bằng Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết các kích thướccho như hình vẽ, chi phí để trồng hoa và cỏ Nhật Bản tương ứng là

đồng/m2 và đồng/m2 Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng hoa và trồng

cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó?

Lời giải

Chọn hệ trục như hình vẽ, ta có bán kính của đường tròn là

.Phương trình của nửa đường tròn là:

Parabol có đỉnh và đi qua điểm nên có phương trình:

Số tiền để trồng hoa và trồng cỏ Nhật Bản trong khuôn viên đó là:

Câu 25: Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn

phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục củaelip như hình vẽ bên Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là

và , là hai tiêu điểm của elip Phần , dùng để trồng hoa, phần, dùng để trồng cỏ Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt

là đ và đ Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên

Trang 21

Câu 26: Chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc có dạng đường

Parapol khi và có dạng đường thẳng khi Cho đỉnhParapol là Hỏi quãng đường đi được chất điểm trong thời gian

là bao nhiêu mét?

Gọi Parapol khi

Khi đó quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ là

Trang 22

Ta có

Gọi khi do đi qua điểm và nên:

Khi đó quãng đường vật di chuyển trong khoảng thời gian từ là

Quãng đường đi được chất điểm trong thời gian là

Câu 27: Một chất điểm bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc , sau 6

giây chuyển động thì gặp chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận

tốc chuyển động cho đến khi dừng hẳn Biết rằng

kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì chất điểm đi được quãng đường là80m Tìm

Lời giải

- Tại thời điểm vật đang chuyển động với vận tốc nên có

- Gọi là thời điểm vật dừng hẳn, vậy ta có

- Tổng quãng đường vật đi được là

Câu 28: Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc phụ thuộc vào thời

gian có đồ thị như hình bên dưới Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi

Trang 23

bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh và cótrục đối xứng song song với trục tung Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận

tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng Tính quảng đường mà vật dichuyển được trong 6 giờ?

Lời giải Chọn A

+ Vì Parabol đi qua O và có tọa độ đỉnh nên thiết lập được phương

trình Parabol là

+ Sau 2 giờ đầu thì hàm vận tốc có dạng là hàm bậc nhất , dựa

trên đồ thị ta thấy đi qua điểm có tọa độ nên thế vào hàm số và tìm

được

Nên hàm vận tốc từ giờ thứ 2 đến giờ thứ 6 là

+ Quảng đường vật đi được bằng tổng đoạn đường 2 giờ đầu và đoạn đường

4 giờ sau

Câu 29: Một cái cổng hình Parabol như hình vẽ sau Chiều cao , chiều

rộng , Chủ nhà làm hai cánh cổng khi đóng lại làhình chữ nhật tô đậm có giá là đồng , còn các phần đểtrắng làm xiên hoa có giá là đồng Hỏi tổng số tiền để làm haiphần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

Trang 24

A đồng B đồng C đồng D đồng.

Lời giải Chọn A

Gắn hệ trục tọa độ Oxy sao cho trùng , trùng khi đó parabol cóđỉnh và đi qua gốc tọa độ

Giả sử phương trình của parabol có dạng

Vì parabol có đỉnh là và đi qua điểm nên ta có

Trang 25

Câu 30: Một biển quảng cáo với đỉnh như hình vẽ Biết chi phí để sơn

Câu 31: Nhà trường dự định làm một vườn hoa dạng elip được chia ra làm bốn

phần bởi hai đường parabol có chung đỉnh, đối xứng với nhau qua trục củaelip như hình vẽ bên Biết độ dài trục lớn, trục nhỏ của elip lần lượt là

và , là hai tiêu điểm của elip Phần , dùng để trồng hoa, phần, dùng để trồng cỏ Kinh phí để trồng mỗi mét vuông hoa và cỏ lần lượt

là đ và đ Tính tổng tiền để hoàn thành vườn hoa trên

Lời giải

Trang 27

Suy ra:

Khi đó tổng số tiền để hoàn thành vườn hoa trên là:

đ

Câu 32: Một cốc rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết

diện dọc của cốc là một đường Parabol Tính thể tích tối đa mà cốc có thểchứa được

Câu 33: Sân vận động Sport Hub là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới Đây là

nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại

Trang 28

Singapore năm Nền sân là một elip có trục lớn dài , trục bédài Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớncủa và cắt elip ở thì ta được thiết diện luôn là một phần của hìnhtròn có tâm với là một dây cung và góc Để lắp máy điềuhòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới máiche và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vậtliệu là mái không đáng kể Hỏi thể tích xấp xỉ bao nhiêu?

M M

N

I N

Hình 3

Lời giải

Trang 29

Câu 34: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang là một đường elip có trục

lớn bằng , trục bé bằng , chiều dài bằng Đươc đặt sao cho trục

bé nằm theo phương thẳng đứng Biết chiều cao của dầu hiện có trongthùng là Tính thể tích của dầu có trong thùng

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Trang 30

x y

B'

A A'

B

Theo đề bài ta có phương trình của Elip là

Gọi , lần lượt là giao điểm của dầu với elip

Gọi là diện tích của Elip ta có

Gọi là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi Elip và đường thẳng

Theo đề bài chiều cao của dầu hiện có trong thùng là nên ta cóphương trình của đường thẳng là

Trang 31

Vậy

Thể tích của dầu trong thùng là

Câu 35: Cho hai đường tròn và cắt nhau tại hai điểm , sao cho

là một đường kính của đường tròn Gọi là hình phẳng đượcgiới hạn bởi hai đường tròn Quay quanh trục ta được một khối trònxoay Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành

Khi đó thể tích cần tính chính bằng thể tích của khối tròn xoay thu

được khi quay hình xung quanh trục trừ đi thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình xung quanh trục

Trang 32

bởi các đường và quanh trục Đường thẳng

cắt đồ thị hàm số tại Gọi là thể tích khối trònxoay tạo thành khi quay tam giác quanh trục Tìm sao cho

Khi quay tam giác quanh trục tạo thành hình nón có chung đáy:

Hình nón có đỉnh , chiều cao , bán kính đáy

.Theo đề bài

Câu 37: Cho hàm số có đạo hàm khác và liên tục đến cấp hai trên đoạn

tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các

Lời giải

Trang 33

quay quanh trục , ta nhận được vật thể tròn xoay có thể tích

, trong đó là các số nguyên dương Giá trị biểu thức bằng

x

y

21

cũng có dạng là

Ta có

Trang 34

Với , từ và ta suy ra:

Vì hai đường và nằm khác phía trục

nên ta lấy đối xứng đồ thị hàm số qua trục ta được đồ

Lời giải

Vậy :

Trang 35

Vì và cắt nhau tại ba điểm nên

Mà

Nên

Vậy thể tích khối tròn xoay là

Câu 40: Cho hàm số là hàm đa thức bậc bốn và có đồ thị như hình vẽ

bên Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số , có diệntích bằng

Lời giải

Ta thấy đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm có hoành

độ bằng và nên hàm số có dạng

Xét phương trình hoành độ giao điểm của và :

Trang 36

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số , có diện tích

Câu 41: Cho hình thang cong giới hạn bởi các đường

Đường thẳng chia hình thành hai phần có diện tích là

và như hình vẽ Để thì giá trị thuộc khoảng nào sau đây?

Lời giải

Câu 42: Cho hàm số Biết đồ thị hàm số

và giao nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ lầnlượt là Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và

bằng là một phân số tối giản với Tổng bằng

Trang 37

.Khi đó, diện tích hình phẳng cần tìm là:

.Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Câu 44: Cho hàm số với , , là các số thự C Biết hàm

số có hai giá trị cực trị là và Tính diện tíchhình phẳng giới hạn bởi các đường và

Tiêu đề	Ứng dụng tích phân – Vận dụng – Vận dụng cao
Tác giả	Sưu Tầm Và Biên Soạn
Chuyên ngành	Toán Học
Thể loại	Tài Liệu Ôn Thi

Định dạng
Số trang	52
Dung lượng	3,53 MB