BIẾN ĐỔI CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈA.. Kiến thức cần nhớ Một biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là biểu thức hữu tỉ..
Trang 1Chuyên đề 13 BIẾN ĐỔI CÁC PHÂN THỨC HỮU TỈ
A Kiến thức cần nhớ
Một biểu thức là một phân thức hoặc biểu thị một dãy phép toán cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là biểu thức hữu tỉ
Nhờ các quy tắc của các phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức ta có thể biến đổi biểu thức hữu tỉ thành một phân thức
Điều kiện của biến để giá trị tương ứng của mẫu thức khác 0 là điều kiện để giá trị của phân thức được xác định
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Rút gọn biểu thức:
3
-Giải
Tìm cách giải Đối với những biểu thức phức tạp, nhiều tầng lớp phân thức, chúng ta nên biến đổi dần dần ở
tử thức của từng phân thức trước Sau đó được biểu thức đơn giản hơn, rồi rút gọn tiếp
Trình bày lời giải
Ta có:
3
-3 6
3 3
x
x
- +
Ví dụ 2 Cho biểu thức
3
4
a) Rútt gọn biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho A có giá trị nguyên.
Giải
Tìm cách giải Những biểu thức có nhiều ngoặc, chúng ta thực hiện trong ngoặc tròn trước, sau đó thực hiện
đến ngoặc vuông Khi thực hiện chúng ta nên rút gọn biểu thức nếu có thể nhằm đưa về những phân thức đơn giản hơn
Trình bày lời giải
a) Ta có
A
Trang 2( ) ( )
2 6
x
x
=
=
b) Tập xác định xÏ {1;2; 3; 6; 26- - - }
Suy ra các trường hợp sau:
3
So sánh với tập xác định và thử lại thì xÎ -{ 2; 4;0; 8;12; 18- - - } thì AÎ Z
Ví dụ 3 Cho biểu thức ( )
2
*
2
a) Rút gọn M
b) Với a>2 Chứng minh rằng: 0<M<1
Giải
a) Ta có: ( )( )
n
M
n
- êë - úû
b) Ta có: M a n 12 a n 1a
= < (vì a<2) 2 1 2 2 1
2
a M
Þ < = < <
a+ > a + > Þ M>
Từ đó ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 4 Rút gọn biểu thức
2
1 1 1
P
ç + + ÷ç - ÷
÷ ç
+ - ç + ÷÷
Trang 3Ta có:
2
P
+ + çç - ÷÷
÷
çè ø
=
+
x y :x y x y xy
-+ -+
=
( )2
x y :
-=
2
x y
-+ -+
=
2
2
1 x y
-+ -+
Ví dụ 5 Giả sử x, y, z là các số thực khác không, thỏa mãn hệ đẳng thức:
2
1
ï ç + +÷ ç + ÷÷+ ç + ÷
ï çè ÷ø çè ÷ø çè ÷ø
íï
ïï + + =
ïî
Hãy tính giá trị của biểu thức: P 1 1 1
= + +
(Tuyển sinh lớp 10, Trường THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQG Hà Nội,
năm học 2001 – 2002)
Giải
Tìm cách giải Bài toán này thuộc dạng tính giá trị biết điều kiện của biến số Quan sát, nhận thấy bài toán
có hai điều kiện nhưng có ba biến số (số biến nhiều hơn số điều kiện) Do điều kiện hai đơn giản, không phân tích tiếp được Với điều kiện thứ nhất, chúng ta biến đổi và nhận thấy phân tích thành nhân tử được, tìm được mối quan hệ giữa hai trong ba biến Từ đó tìm được cách giải sau
Trình bày lời giải.
Từ đẳng thức: x 1 1 y 1 1 z 1 1 2
ç + +÷ ç + ÷+ ç + ÷
2xyz+x z+x y+y z+z y+z x=0
( 2 ) ( 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 )
0
0
0
x y
z x
ì + = ïï
ïï
Û + + + = Û íïï + =+ =
ïïî Không mất tổng quát, giả sử 3 3
x+ = Þy x + =y
Trang 4Từ x + + = thì y z 1 3
z = Þ z=
1
x y P
+
C Bài tập vận dụng
13.1 Rút gọn
3
2
:
a
-ç
= +ççè + ÷÷ø + +
-13.2 Rút gọn biểu thức:
a
A
a
b c
+
÷
-+
2 2 3
+
13.3 Cho
2
:
x A
=ççè + - ÷ç÷çøçè - + + ÷÷ø
a) Rút gọn A
b) Tìm x để A<- 1
13.4 Cho biểu thức 3 2 ( )2 2
2
M
Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của x khi M=3
13.5 Cho biểu thức:
2 2
=ççè - + - + + ÷ç÷çøçè - + + ÷÷ø a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A Biết 1
2
x =
c) Tìm giá trị của x để A<0
d) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
13.6 Cho 212 45 5 2 3
Q
-a) Rút gọn biểu thức Q
b) Tính giá trị Q tại x =3
c) Tìm giá trị nguyên của x để Q nhận giá trị nguyên.
13.7 Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn điêu kiện: x>0,y< và 0 x+ = y 1
Trang 5a) Rút gọn biểu thức:
2 :
A
b) Chứng minh rằng: A=- 4
13.8 Cho x, y, z thỏa mãn x y z 1 1 1 0
+ + = + + = và xyz=1 Tính giá trị
M
+ +
= + +
13.9 Cho aÏ {0;1; 1- } và 1 2
Tìm a nếu x2020=3
13.10 Cho
6 6 6 3
3 3
2
M
ç + ÷- ç + ÷
=
æ ö÷
ç + ÷+ +
a) Rút gọn M
b) Cho x>0, tìm giá trị nhỏ nhất của M
2
1
x
éæç - öæ÷ç + ö÷ù
=êçç + ÷÷çç - ÷÷ú
Chứng tỏ rằng biểu thức A dương với mọi x¹ ±1
13.12 Cho
2
2
P
=ê + çç + ÷÷÷ú
xy Q
Với giá trị nào của x; y thì P – Q đạt giá trị nhỏ nhất
13.13 Rút gọn A 2 y x y x 2 y x 2
= + - + + trong đó x>5 và
;
5
-Hướng dẫn giải – đáp số
13.1 Ta có: 2 : 3 8 2 2( 2;0)
a
-ç
= +ççè + ø÷÷ + + - ¹ ±
2
:
A
Trang 6( ) ( )
2
:
a
-13.2.
2 2
A
-=
2
b)
2
2 3
x y
xyz
+
2
3 2
2
1
+ +
+ +
2
.2
+ +
2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx x y z 2xy 2yz 2zx
3x 3y 3z
13.3.
x
=ççè + - ÷ç÷çøçè - + + ÷÷ø ¹ ±
:
:
-<- Û + < Û + < Û < Û >
vậy x>0;x¹ 3 thì A<- 1
13.4.
2 2
M
+ - + êë - úû TXĐ x¹ {0;1; 1- }
Trang 7( )( )( )
2 2
1(lo¹i) 2
(tháa m·n) 3
x x
é = ê
-ê = ê
13.5.
=ççè - + - + + ÷ç÷çøçè - + + ÷÷ø ¹ ±
:
x
A
=êê - + - - + + + - ú çúççè + + + ÷÷ø
:
A
é + - - - ù æç - + - ö÷
=êê - + ú çúççè + ÷÷ø
:
A
-b)
1 (tháa m·n)
(tháa m·n) 2
x x
x
é
ê =
ê
= Û ê
ê
=-ê
ê
với 1
2
x= thì 1 2
1,5 3
2
x=- thì 1 2
2,5 5
c) A< Û -0 2 x< Û0 x>2
Vậy với x>2 thì A<0
d) AÎ ZÛ 1 2M( - x) { }Î ± Û1 xÎ { }3;1
Vậy với xÎ { }3;1 thì AÎ Z
13.6
a) TXĐ: x¹ 3;x¹ 4
Q
-=
=
Trang 8-( )( )
3
x
x
x
é =
ê
= Þ
ê
=-ë
3
x= (loại)
Với x=- 3 thì 15
7
-=
3
x
Q
-6
4 4
x
Mà Ư(6)={1;2;3;6; 1; 2; 3; 6- - - - }
4
Kết hợp với tập xác định, ta có:
{ 2;1;2;5;6;7;10}
xÎ - thì Q nhận giá trị nguyên.
13.7.
a) Do x+ = suy ra y 1 ( 2 2)2 ( )2
x - y = -x y và 2 2 ( )
y - x =- x- y
suy ra:
2 :
A
2
A
= = - = - <- vì theo giả thiết x>0,y<0
x+ + = Ûy z x + + =y z xyz=
xy+ + = Ûyz zx x y +y z +z x = xy yz zx=
x + + =y z x + +y z - x y - y z - z x = - =
Vậy M=1
Trang 913.9 Ta có: 1
1
;
;
a
Vậy x k=x k+4=x k+8=
3
a
Vậy a=4
13.10.
a) Ta có:
3
3
M
æ ö æ÷ ÷ö êç + ÷- ç + ÷úêç + ÷- ç + ÷ú
ç + ÷- ç + ÷ êç ÷÷ ç ÷÷úêç ÷÷ ç ÷÷ú
3
= +çç ÷÷- çç + ÷÷= + - çç + ÷÷+ çç + ÷÷= +
b) M 3x 3 2 3 x 3 6
dấu bằng xảy ra Û x=1 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 6 khi x=1
13.11 Ta có
2
:
éæç - + + öæ÷ç + - + ö÷ù
2 2
2
1
1
x
x
-+
2
-Vì 2
0
x ³ do đó 2
A= +x > với mọi x¹ ±1
13.12.
P
x y
2 2
P
P
Trang 10
Suy ra 2 ( )2
3
Vậy giá trị nhỏ nhất của P Q- là -3 khi x=1; y tùy ý khác {1;0; 1- }
13.13 Ta có
2
y
x
5
z
x
-Từ đó suy ra: 2( )
5 5
x x xy
x
-= +
2
2
5
x x
2
2
5
x x
-Do vậy
2
A
10
2