Chương I. §7. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ

b Cực trị: hàm số không có cực trị.... Đồ thị có các dạng sau:.[r]

Hàm số

-x+2 2x+1

y 

ax+b

cx+d

1

\

2





Ví dụ 1 : Khảo sát hàm số:

Giải:i) Tập xác định :

2) sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên: 2

5 '

y

x







•Y’ không xác định tại x=-1/2

•Y’<0 ,x  -1/2 Vậy hàm số nghịch biến trên cácVậy hàm số nghịch biến trên các Khoảng (-;-1/2) và (-1/2;+).Vậy hàm số nghịch biến trên các

b) Cực trị : hàm số không có cực trị.Vậy hàm số nghịch biến trên các

c) Giới hạn:

1 1

2

2

x y

x

x y

x

 



 



Vậy :đường thẳng :x=-1/2 là tiệm cận đứng

x y

x

 



Vậy :đường thẳng :y=-1/2 là tiệm cận ngang d) Bảng biến thiên

X - -1/2 +

Y’ - -

y -1/2

-

+

-1/2

3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại A(0;2), cắt trục hoành Tại B(2;0)

Chú ý: Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận I (-1/2;-1/2)

làm tâm đối xứng.Vậy hàm số nghịch biến trên cácTịnh tiến hệ trục toạ độ theo véctơ

OI thì ta có phương trình: 5

4

Y

X



6

4

2

-2

-4

-6

f x   = ax+b

cx+d

d = 1.00

c = 2.00

b = 2.00

a = -1.00

2 I

O

2

x y

x

 





Ví dụ 2) Khảo sát hàm số: 2 1

1

x y

x







2

3 '

y

x





Giải:

1) Tập xác định: R\{-1}

2) Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

y’>0 trên (-;-1) và (-1; +) b) Cực trị: hàm số không có cực trị.Vậy hàm số nghịch biến trên các

3

1 3

1

y

x

y

x





c) Giới hạn:

•Đồ thị có tiệm cận đứng : x = -1

1 2

1 1

x y

x





•Đồ thị có tiệm cận ngang: y = 2

d) Bảng biến thiên:

x - -1 +  y’ + +

y

2

+ 

-

2

3) Đồ thị: giao điểm của đồ thị với trục tung: (0;-1).Vậy hàm số nghịch biến trên các Giao điểm của đồ thị với trục hoành: (1/2;0).Vậy hàm số nghịch biến trên các

8

6

4

2

-2

-4

-6

-8

f x   = ax+b

cx+d

d = 1.00

c = 1.00

b = -1.00

a = 2.00

-1

2 I

O

Tóm tắt: ax+b

cx+d

y 

2

ad-bc '

(cx+d)

y 

c  0

\ d

c



•Nếu ad –bc= 0 thì y = a /c

•Nếu ad-bc  0 thì đồ thị có tiệm cận đứng: x = -d/c.Vậy hàm số nghịch biến trên các Tiệm cận ngang: y = a/c

•Giao điểm của hai tiệm cận ( -d/c;a/c) là tâm đối xứng TXĐ:

Đồ thị có hai dạng sau:

6 4 2

-2 -4 -6 -8

f x   = ax+b

cx+d

-1 2

I O M

6 4 2

-2 -4 -6 -8

f x   = ax+b cx+d

2

I O

ad-bc>0

ad-bc<0

2

2

ax+b

( ) ( )

( )

a ad bc ad bc y

d

cx d c c cx d c x

c

a ad bc hay y

d

c c x

c





 



/ /

x d c X

y a c Y







Ta có:

Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo OI=(-d/c;a/c)

2

ad bc Y

c X





.Vậy hàm số nghịch biến trên cácTa có hàm số Là hàm số lẻ , đồ thị

Có tâm đối xứng là I(-d/c;a/c)

Hàm số:

2

ax +bx+c a'x+b'

y 

2

x -3x+6 x-1

y 

aa’0

Ví dụ1: Khảo sát hàm số:

1) Tập xác định: R\{1}.Vậy hàm số nghịch biến trên các

2) Sự biến thiên

a) Chiều biến thiên:

2

2

x -2x-3 '

(x-1)

y 

y’ =0 x = -1, x = 3.Vậy hàm số nghịch biến trên cácDấu y’ là dấu của x2-2x-3.Vậy hàm số nghịch biến trên các

Y’> 0 nếu x<-1 hoặc x> 3 và y’<0 nếu -1< x < 3.Vậy hàm số nghịch biến trên các Vậy hàm số tăng trên các khoảng(-;-1) và (3;+) hàm số giảm trên các khoảng(-1;1) và (1;3)

b) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x=-1 và yCĐ=y(-1)=5

c) Giới hạn:

                  

4

1

x



Vậy đường thẳng: x = 1 là tiệm cận đứng.Vậy hàm số nghịch biến trên các

Đường thẳng y = x -2 là tiệm Cận xiên

d)Bảng biến thiên:

x - -1 1 3 + Y’ + 0 - - 0 +

y

- 

-5

- 

+

3

+

3) Đồ thị: Đồ thị cắt trục tung tại (0;-6) , đồ thị không cắt trục hoành

Gọi I(1;-1) là giao điểm hai tiệm cận.Vậy hàm số nghịch biến trên các Tịnh tiến hệ trục toạ độ theo véc tơ OI,ta có:

 







Hàm số lẻ trên R\{0} ,vậy I là tâm đối xứng của đồ thị

6

4

2

-2

-4

-6

-8

-5

-1

3

3

O 1

y= x-2

x=1

x

y

y

hamhuuti.Vậy hàm số nghịch biến trên cácgsp

Ví dụ 2) Khảo sát hàm số:

3

2 1

2

x

  



2

2

y

x





1)Tập xác định: R\{-2}

2) Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên

y’=-2-3/(x+2)2<0 x-2,hàm số nghịch biến trên hai khoảng (-; -2) và (-2; +)

b) Cực trị: hàm số không có cực trị

3

2 3

2

x

x

   

   





•Đường thẳng : x= -2 là tiệm cận đứng

2 3

2 3

2

x

x

x

   

     







•Đường thẳng y=-2x+1 là tiệm cận xiên

d) Bảng biến thiên

x - -2 + y’

-

+

-

6

4

2

-2

-4

-6

Tóm tắt: ax +bx+c 2

Ax+B+

C y

2

' '

A-( ' ')

Ca y

a x b





•Nếu ACa’>0 hàm số có cực trị

•Nếu ACa’<0 hàm số đơn điệu trên hai khoảng xác

định.

•Nếu C = 0 hàm số trở thành y =Ax+B ,x-b’/a’

•Tiệm cận đứng: x= -b’/a’

•Tiệm cận xiên: y =Ax+B

•Giao điểm hai tiệm cận là tâm đối xứng

Đồ thị có các dạng sau:

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

8 6 4 2

-2 -4

3

3

O 1

8 6 4 2

-2 -4 -6 -8

8 6 4 2

-2 -4

Hàm số

Hàm số

Có CĐ

CT

Hàm số

Có CĐ CT

Bài tập:

1) Bài tập SGK

2) Các bài tập ôn tập chương

3) Chứng minh rằng đồ thị hàm số:

ax+b

cx d



2

ax +bx+c

( ' 0)

a x b

 và ax2+bx+c không chia hết cho

a’x+b’

Có một tâm đối xứng và hai trục đối xứng