khao sat ve su bien thien va ve do thi cua mot ham so phan thuc huu ti

Khi đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm A’ có dạng: Û F Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra đợc phơng pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất,

3 Đồ thị của hàm số:

Đ Điểm uốn:

y'' = 12x2 - 2, y'' = 0 Û 12x2 - 2 = 0 Û x = ± .Vì y" đổi dấu khi x qua các điểm ± nên đồ thị hàm số có hai

Đ Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A(-1; 0), B(1; 0)

b Đồ thị y = |f(x)| gồm:

1 Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị y = f(x)

2 Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành qua trục hoành

Đ7 khảo sát sự biến thiên

và vẽ đồ thị của một số hàm phân thức hữu tỉ Dạng toán 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất

b Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

y = nên y = là đờng tiệm cận ngang

Đ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có).

cận làm tâm đối xứng

Do có hai trờng hợp khác nhau về chiều biến thiên nên đồ thị của hàm số

có hai dạng sau đây:

c Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm A của đồ

thị với trục tung.

d Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết rằng tiếp

tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A Giả sử tiếp tuyến này tiếp xúc với (H) tại A’, chứng tỏ rằng A và A’ đối xứng với nhau qua giao điểm I của hai đờng tiệm cận.

? Giải

a Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên

2 Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

nên y = 1 là đờng tiệm cận ngang

b Bạn đọc tự thực hiện bằng phép tịnh tiến toạ độ.

c Phơng trình tiếp tuyến tại A có dạng:

Û .

d Tiếp tuyến song song với (dA) nên có hệ số góc

Hoành độ tiếp điểm A’ của tiếp tuyến với đồ thị (H) là nghiệm của phơngtrình:

Û (x - 2)2 = 4 Û Û

ị ị A và A’ đối xứng với nhau qua I

Khi đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm A’ có dạng:

Û

F

Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra đợc phơng

pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất, cụ thểvì các dạng hàm số này luôn đơn điệu trên miền xác định của

nó và luôn nhận giao điểm của hai đờng tiệm cận làm tâm đốixứng nên để vẽ đúng đồ thị của nó các em học sinh hãy thựchiện nh sau:

a Trong phần 3 (Đồ thị của hàm số) chúng ta lấy hai điểm A,

B thuộc một nhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏhơn giá trị của tiệm cận đứng)

b Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm đốixứng I ở giữa hình

c Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận

d Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I, rồithực hiện vẽ nhánh đồ thị chứa A’, B’

Thí dụ 2 Cho hàm số (Hm): y =

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.

b Chứng minh rằng với mọi m ạ ± , các đờng cong (Hm) đều đi

qua hai điểm cố định A và B.

c Chứng minh rằng tích các hệ số góc của các tiếp tuyến

? Giải

a Với m = 1 hàm số có dạng:

1 Hàm số xác định trên

2 Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

y = 1 nên y = 1 là đờng tiệm cận ngang

b Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các đờng tiệm cận:

Dấu của đạo hàm là dấu của tam thức g(x) = a(dx + e)2 - gd.

Vậy phơng trình y' = 0 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc

có hai nghiệm phân biệt Do đó, hàm số hoặc không có cực trị hoặc

có hai cực trị

Lập bảng biến thiên:

Ơy'

y

Dựa vào bảng biến thiên đa ra kết luận về các khoảng đồng biến vànghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số

d Đồ thị:

Đ Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ (nếu có)

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm I của hai đờng tiệm cận làm

c Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho, biết rằng tiếp

tuyến đó đi qua điểm A(3; 3).

? Giải

a Viết lại hàm số dới dạng

1 Hàm số xác định trên

2 Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực, giới hạn vô cực và các

Đ Lấy đối xứng phần đồ thị (H) với x < 1 qua trục Ox

b Bạn đọc tự thực hiện bằng phép tịnh tiến toạ độ.

c Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng trình tiếp tuyến códạng:

(d): y = y’(x0)(x - x0) + y(x0) Û (d): y = .(x - x0) +

Điểm Aẻ(d) nên:

3 = .(3 - x0) +

Û 3 = 3 - x0 + .[2 + (1 - x0)] + Û =

Û x0 - 1 = 1 Û x0 = 2

Khi đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x0 = 2 có dạng:

(d): y = y'(2).(x - 2) + y(2) Û (dA): y = 3(x - 2)

F

Nhận xét: Các em học sinh khi quan sát hình vẽ trên sẽ rút ra đợc phơng

pháp để vẽ đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất, cụ thểvì các dạng hàm số này luôn nhận giao điểm của hai đờng tiệmcận làm tâm đối xứng nên để vẽ đúng đồ thị của nó các emhọc sinh hãy thực hiện nh sau:

Khả năng 1: Nếu hàm số có cực trị thì trong phần 3 (Đồ thị của

hàm số) chúng ta lấy hai điểm A, B đối xứng với nhau qua I, từ

Khả năng 2: Nếu hàm số không có cực trị chúng ta lấy hai điểm

A, B thuộc một nhánh của đồ thị (có hoành độ lớn hơn hoặc nhỏhơn giá trị của tiệm cận đứng):

a Vẽ hệ toạ độ cùng với hai đờng tiệm cận với lu ý để tâm

đối xứng I ở giữa hình

b Vẽ nhánh đồ thị chứa hai điểm A, B tựa theo hai tiệm cận

c Lấy hai điểm A’, B’ theo thứ tự đối xứng với A, B qua I, rồithực hiện vẽ nhánh đồ thị chứa A’, B’

Thí dụ 2 Cho hàm số:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1.

b Tìm m để hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng

cách từ hai điểm đó đến đờng thẳng x + y + 2 = 0 bằng nhau.

2 Sù biÕn thiªn cña hµm sè:

§ Giíi h¹n cña hµm sè t¹i v« cùc, giíi h¹n v« cùc vµ

(1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c -1

Û Û Û m < (*)

Khi đó, phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn:

và toạ độ hai điểm cực trị là A(x1, 2x1 + 2m) và B(x2, 2x2 + 2m)

Gọi d1, d2 theo thứ tự là khoảng cách từ các điểm cực trị A và B đến đờngthẳng x + y + 2 = 0, ta có:

Do đó:

d1 = d2 Û |3x1 + 2m + 2| = |3x2 + 2m + 2|

Û Û 4m - 2 = 0 Û m = , thoả mãn (*)

Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu bài

Đ8 một số bài toán thờng gặp về đồ thị Dạng toán 1: (ứng dụng của đồ thị giải phơng trình): Biện luận theo m số

Bớc 2: Khi đó, số nghiệm phân biệt phơng trình của (1) là số giao

điểm của đồ thị (C) và đờng thẳng (d): y = h(m)

Đ Bằng việc tịnh tiến (d) theo Oy và song song với Ox, ta biện luận

2 Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Đ Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A(-1; 3), B(3; -1).

Nhận xét: Đồ thị nhận điểm uốn U(1; 1) làm tâm đối xứng

b Nhận xét rằng số nghiệm của phơng trình chính bằng số giao điểm của

đồ thị hàm số với đờng thẳng y = m, do đó ta có kết luận:

Đ Với m < -1 hoặc m > 3 phơng trình có nghiệm duy nhất

Đ Với m = -1 hoặc m = 3 phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Đ Với -1 < m < 3 phơng trình có ba nghiệm phân biệt

F

Nhận xét: Qua thí dụ trên:

1 ở câu a), các em học sinh có thể kiểm nghiệm đợc tính

đúng đắn của nội dung chú ý sau dạng toán 1 Từ đó, tiếntrình để vẽ đợc đồ thị trên có thể đợc giải thích nh sau:

Đ Từ bảng biến thiên và phần tìm điểm uốn, chúng ta mới có

đợc ba điểm thuộc đồ thị là điểm cực đại (ĐCĐ), điểm cựctiểu (ĐCT), điểm uốn (ĐU) và ba điểm này luôn thẳng hàng(theo tính chất của hàm đa thức bậc ba), nên chỉ tạo ra đợcnhánh giữa của đồ thị (ứng với bảng biến thiên)

Đ Để vẽ đợc nhành phía trái cần lấy một điểm A có hoành độ x

đối xứng qua đ iểm U

Đ Nối bằng đờng thẳng mờ A đ CT đ U đ C Đ đ B Sau đó lợnmột đờng cong đi qua các điểm đó

2 Để tăng độ khó cho câu hỏi biện luận số nghiệm của phơng

trình, ngời ta có thể thay nó bằng "Tìm điều kiện của m để

phơng trình có nghiệm x > 3", khi đó dựa vào đồ thị câu trả

lời là m < -1

Thí dụ 2 (Đề thi đại học khối A - 2006):

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2x3 - 9x2 +12x - 4

2 Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Đ Bảng biến thiên:

y' = 6x2 - 18x + 12, y' = 0 Û 6x2 - 18x + 12 = 0 Û x = 1 hoặc x = 2

Vì y" đổi dấu khi qua nên đồ thị hàm số có một điểm uốn

là

Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng

Đ Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A(0; -4), B(3; -1)

b Hàm số y = 2|x3| - 9x2 + 12|x| - 4 là hàm số chẵn, nên đồ thị (T) của nógồm hai phần:

Đ Phần của đồ thị hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 với x ≥ 0

Đ Lấy đối xứng phần của đồ thị trên qua Oy

Viết lại phơng trình dới dạng:

2|x3| - 9x2 + 12|x| - 4 = m - 4

Số nghiệm của phơng trình chính bằng số giao điểm của đồ thị (T) với ờng thẳng y = m - 4, do đó để nó có 6 nghiệm phân biệt điều kiện là:

đ-0 < m - 4 < 1 Û 4 < m < 5

Vậy, với 4 < m < 5 thoả mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 2: Giao điểm của hai đồ thị

Phơng pháp

Với yêu cầu thờng gặp là "Viết phơng trình đờng thẳng (d) có hệ số

hàm số (C): y = f(x)", ta thực hiện theo các bớc sau:

Thí dụ 1 (Đề thi đại học khối D - 2006): Cho hàm số:

(C): y = x3 - 3x + 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Gọi (d) là đờng thẳng đi qua điểm A(3; 20) và có hệ số

góc m Tìm m để đờng thẳng (d) cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.

Phơng trình g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 3

Vậy, với thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 2 Cho hàm số:

(C): y = 2x3 + 3x2 + 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Tìm các giao điểm của đờng cong (C) với parabol (P): y = 2x2 +1

c Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại các giao điểm

(dA): y - 1 = y'(0).x Û (dA): y = 1

Tại giao điểm B lần lợt với (C) và (P):

Đ Với (C) ta có y' = 6x2 + 6x do đó phơng trình tiếp tuyến tại B có dạng:

(d1): y - = y'(- ).(x + ) Û (d1): y = - x +

Đ Với (P) ta có y' = 4x do đó phơng trình tiếp tuyến tại B có dạng:

(d2): y - = y'(- ).(x + ) Û (d2): y = -2x +

d Bằng việc xét dấu biểu thức ở VT của (1), ta có kết luận:

Đ (C) nằm dới (P) khi x thuộc (-Ơ; - )

Đ (C) nằm trên (P) khi x thuộc (- ; +Ơ)\{0}

Thí dụ 3 a Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x2 - x + 1 và đồ thị (H) của hàm

b Tìm giao điểm của hai đờng cong (P) và (H) Chứng minh rằng

hai đờng cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng.

c Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía dới

Nhận thấy (d1) º (d2), tức là (P) và (H) có tiếp tuyến chung tại A.

e Bằng việc xét dấu biểu thức ở VT của (1), ta có kết luận:

Đ (H) nằm dới (P) khi x thuộc (-Ơ; -1) và (0; +Ơ)

Đ (H) nằm trên (P) khi x thuộc (-1; 0)

Thí dụ 4 Cho hàm số:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Với các giá trị nào của m đờng thẳng (dm) đi qua điểm A(-2; 2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đã cho:

Đ Tại hai điểm phân biệt ?

Đ Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?

Đ Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt:

Û phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1

Û phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 < -1 < x2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Chứng minh rằng đờng thẳng y = mx + m - 1 luôn đi qua một

điểm cố định của đờng cong (H) khi m biến thiên.

c Tìm các giá trị của m sao cho đờng thẳng đã cho cắt đờng

cong (H) tại hai điểm thuộc cùng một nhánh của (H).

Đờng thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị:

Û (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 về một phía của -

Vậy, với -3 ạ m < 0 thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 6 Cho hàm số (H): y =

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = m - x cắt đồ thị hàm

số đã cho tại hai điểm phân biệt ?

c Gọi A và B là hai giao điểm đó Tìm tập hợp các trung

điểm M của đoạn thẳng AB khi m biến thiên.

? Giải

a Bạn đọc tự giải.

b Phơng trình hoành độ giao điểm của đờng thẳng với đồ thị hàm số là:

= m - x Û f(x) = 3x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 với x ạ 1 (1)

Đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B

Û phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1

Û Û Û (2)

Vậy, với m > 4 + hoặc m < 4 - thỏa mãn điều kiện đầu bài

c Với kết quả trong b), phơng trình (1) có hai nghiệm xA, xB thoả mãn:

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 2.

b Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số đã cho cắt trục

hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau.

? Giải

a Bạn đọc tự giải.

b Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạnthẳng có độ dài bằng nhau tức là đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểmphân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của

Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng:

Û Û = 3 Û t2 = 9t1 (3)

Theo định lí Vi - ét ta có:

(I)Thay (3) vào (I) đợc:

Khi đó, nghiệm của hệ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm

Thí dụ 1 Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số:

Suy ra, đồ thị hai hàm số y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau tại gốc O

Đ Phơng trình tiếp tuyến chung có dạng:

Thí dụ 3 Tìm các hệ số a và b sao cho parabol y = 2x2 + ax + b tiếp xúc với

? Giải

Để (P) tiếp xúc với (H) điều kiện là hệ sau có nghiệm x = :

Vậy, với a = -6 và b = thỏa mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

2 Với yêu cầu "Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số đi qua

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Giả sử hoành độ tiếp điểm là x = x0, khi đó phơng

trình tiếp tuyến có dạng:

(d): y - y(x0) = f'(x0)(x - x0)

Bớc 2: Điểm A(xA; yA) ẻ (d), ta có:

yA - y(x0) = f'(x0)(xA - x0) ị Tiếp điểm x0

ị Phơng trình tiếp tuyến

Cách 2: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Phơng trình (d) đi qua A(xA; yA) có dạng:

(d): y = k(x - xA) + yA.

Bớc 2: (d) tiếp xúc với đồ thị hàm số khi hệ sau có nghiệm:

ị Hệ số góc k

ị Phơng trình tiếp tuyến

3 Với yêu cầu "Lập phơng trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số biết hệ số

góc của tiếp tuyến bằng k", ta có thể lựa chọn một trong hai cách:

Cách 1: Thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Xét hàm số, ta tính đạo hàm y' = f'(x).

Bớc 2: Hoành độ tiếp điểm là nghiệm phơng trình:

f'(x) = k ị Hoành độ tiếp điểm x0

Bớc 3: Khi đó, phơng trình tiếp tuyến có dạng:

Chú ý: Khi sử dụng cách 1 ngoài việc có đợc phơng trình tiếp tuyến chúng ta

còn nhận đợc toạ độ tiếp điểm

Thí dụ 1 (Đề thi đại học khối B - 2004): Cho hàm số (C): y = x3 - 2x2 + 3x

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b Viết phơng trình tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm uốn và chứng

minh rằng (d) là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

tức là kmin = - 1 đạt đợc khi x0 = 2 = xU, đpcm

Thí dụ 2 (Đề thi đại học khối D - 2005): Cho hàm số:

(Cm): y = x3 - x2 + , với m là tham số.

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b Gọi M là điểm thuộc (Cm) có hoành độ bằng - 1 Tìm m để tiếp

a Tìm a và b biết rằng đồ thị (C) của hàm số đã cho đi qua

bằng -3.

b Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a và b đã

tìm đợc ở trong câu a).

a Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao

điểm A của đồ thị với trục tung.

b Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp

tuyến đi qua điểm B(3; 4).

c Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết rằng tiếp

tuyến đó song song với tiếp tuyến tại điểm A.

? Giải

a Tọa độ giao điểm A là nghiệm của hệ phơng trình:

Khi đó, phơng trình tiếp tuyến tại A có dạng:

(dA): y = y'(0).x - Û (dA):

b Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Khi đó, phơng trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = -3x + 13

c Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số là nghiệm của

ph-ơng trình:

Û (x - 2)2 = 4 Û Û .Khi đó, phơng trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 4 có dạng:

(d): y = y'(4).(x - 4) + y(4) Û (d):

Cách 2: Đờng thẳng (d) song song với (dA) nên có phơng trình

Để (d) tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

Khi đó, phơng trình tiếp tuyến (d) có dạng:

Thí dụ 3 (Đề thi đại học khối B - 2006): Cho hàm số:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó

vuông góc với tiệm cận xiên của (C).

? Giải

a Bạn đọc tự thực hiện.

b Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên (dA): y = x - 1

Tiếp tuyến vuông góc với (dA) nên có hệ số góc k = -1

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến của đồ thị hàm số là nghiệm của

ph-ơng trình:

Û (x + 2)2 = 2 Û Khi đó:

Đ Với , ta đợc tiếp tuyến:

Đ Với , ta đợc tiếp tuyến:

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài

y0 = f(x0, m), "m.

Nhóm theo bậc của m rồi cho các hệ số bằng 0 ta nhận đợc cặpgiá trị (x0; y0)

Bớc 3: Kết luận.

2 Với yêu cầu "Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) thỏa mãn

điều kiện K", ta thực hiện theo các bớc:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b Tìm m để điểm uốn của (Cm) thuộc đờng thẳng y = x + 1.

tức là với mọi m hàm số luôn có điểm uốn U(m, -2m3 + 9m + 1)

Để U thuộc đờng thẳng y = x + 1, điều kiện là:

- 2m3 + 9m + 1 = m + 1 Û m3 - 8m = 0 Û m = 0 hoặc m = ±2

Vậy, với m = 0 hoặc m = ±2 thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 2 Cho hàm số (Cm): y =

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.

b Chứng minh rằng họ (Cm) luôn đi qua một điểm cố định Tìm

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Tìm trên đồ thị hàm số tất cả những điểm có các toạ độ là

nguyên.

c Tìm hai điểm A, B thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để

khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.

? Giải

a Bạn đọc tự giải.

b Viết lại hàm số dới dang

Điểm A(x0; y0) (x0 ạ - 2) thuộc đồ thị hàm số có hoành độ nguyên khi:

Điểm A1( -5; 2) A2(-3; 4) A3(-1; -2) A4(1; 0)

Vậy, các điểm A1( -5; 2), A2(-3; 4), A3(-1; -2), A4(1; 0) thuộc đồ thị hàm số cótoạ độ nguyên

Thí dụ 4 Cho hàm số:

(C): y = - x3 + 3x2 - 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) mà qua đó kẻ đợc một và chỉ

một tiếp tuyến với đồ thị (C).

? Giải

a Bạn đọc tự giải.

b Xét điểm A(a; -a3 + 3a2 - 2) thuộc đồ thị hàm số

Tiếp tuyến qua A tiếp xúc với đồ thị hàm số tại M(x0, y(x0)) có dạng

(d): y = (-3 + 6 x0)(x - x0) - + 3 - 2

Điểm Aẻ(d) khi:

- a3 + 3a2 - 2 = ( - 3 + 6 x0)(a - x0) - + 3 - 2

Û ( - 3 + 6 x0)(a - x0) + a3 - 3a2 - + 3 = 0

Û ( - 3 + 6x0 + a2 + ax0 + - 3a - 3x0)(a - x0) = 0

Û ( - 2 + 3x0 + a2 + ax0 - 3a)(a - x0) = 0

Û (a + 2x0 - 3)(a - x0)(a - x0) = 0 Û x0 = a hoặc

Để qua A kẻ đợc một tiếp tuyến với (C) ta phải có:

a = Û a = 1

Vậy, điểm A(1; 0) thoả mãn điều kiện đầu bài

Thí dụ 5 Cho hàm số:

(C): y = x + 1 +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Tìm những điểm trên đồ thị (C) có hoành độ lớn hơn 1 sao

cho tiếp tuyến tại điểm đó tạo với hai đờng tiệm cận một tam giác

Một số tính chất của hàm đa thức bậc ba:

Tích chất 1: Hàm số đồng biến trên khi:

Để tìm giá trị cực trị của hàm số tại điểm x0 trong trờng hợp x0 là số

lẻ, thực hiện phép chia đa thức y cho y' ta đợc y = y'.g(x) + h(x).Suy ra:

y0 = y(x0) = y'(x0).g(x0) + h(x0) = h(x0)

Khi đó "Phơng trình đờng thẳng đi qua cực đại và cực tiểu của

đồ thị hàm số có dạng y = h(x) ".

Tích chất 4: Đồ thị nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng.

Thật vậy, dời trục bằng tịnh tiến về gốc U(x0, y0), trong đó:

theo công thức dời trục là:

Thay x, y vào phơng trình hàm số ta đợc:

Y + y0 = a(X + x0)3 + b(X + x0)2 + c(X + x0) + d

Û Y = aX3 + g(x0)X

Hàm số này là hàm lẻ nên đồ thị nhận U làm tâm đối xứng

Tích chất 5: Tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số có hệ số góc nhỏ

nhất nếu a > 0 và hệ số góc lớn nhất nếu a < 0 trong các tiếptuyến của đồ thị

Thật vậy, ta có:

y' = 3ax2 + 2bx + c,suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại x = x0 là:

k = y'(x0) = 3a + 2bx0 + c = 3a +

Đ Với a > 0, thì kMin = đạt đợc khi x0 = -

Đ Với a < 0, thì kMax = đạt đợc khi x0 = -

Mà y'' = 6ax + 2b nên x0 = - chính là hoành độ điểm uốn, từ

đó suy ra điều phải chứng minh

Tích chất 6: Nếu đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm cách đều nhau thì

điểm uốn nằm trên trục hoành

Thật vậy, hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với Ox là nghiệmcủa phơng trình:

f(x) = ax3 + bx2 + cx + d = 0 (1)

Đ Đồ thị hàm số cắt Ox tại ba điểm A, B, C cách đều nhau khi:

(1) có ba nghiệm phân biệt x1 < x2 < x3 thoả mãn = x2

y'' = 6ax + 2b, y'' = 0 Û x = - ,

đó là hoành độ điểm uốn U của đồ thị hàm số, mà f(- ) = 0,

suy ra U(- ; 0)ẻOx

F

Chú ý: Kết quả trên cho ta điều kiện cần để đồ thị hàm bậc ba cắt trục

hoành tại ba điểm cách đều nhau (hoặc "đồ thị hàm số cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng ").

Khi áp dụng điều kiện cần đã nêu trên, ta cần thử lại để có điềukiện cần và đủ

Tích chất 7: Với phơng trình bậc ba:

Đ (1) có nghiệm duy nhất (khi đó, đồ thị hàm số cắt Ox tại một

điểm) khi:

Đ (1) có đúng hai nghiệm phân biệt (khi đó, đồ thị hàm sốtiếp xúc với Ox) khi:

Û .

Đ (1) có ba nghiệm phân biệt (khi đó, đồ thị hàm số cắt Ox tại

ba điểm phân biệt) khi:

(2) có hai nghiệm phân biệt khác x0 Û

Phơng pháp 2: Hàm số dạng I

Biến đổi (1) về dạng g(x) = h(m)

Lập bảng biến thiên của hàm số y = g(x)

Dựa vào bảng biến thiên biện luận vị trí tơng đối của đờngthẳng y = h(m) với đồ thị hàm số y = g(x)

Phơng pháp 3: Hàm số dạng II

Xét hàm số (C): y = ax3 + bx2 + cx + d

Đ (1) có nghiệm duy nhất khi (C) cắt Ox tại một điểm

Đ (1) có đúng hai nghiệm phân biệt khi:

(C) cắt Ox tại hai điểm ((C) tiếp xúc với Ox)

Û Hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT = 0

Đ (1) có ba nghiệm phân biệt khi:

(C) cắt Ox tại ba điểm phân biệt

Û Hàm số có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT < 0

Ví dụ 1: (Đề thi đại học khối B - 2003): Cho hàm số:

(Cm): y = x3 - 3x2 + m, với m là tham số.

a Tìm m để đồ thị hàm số (Cm) có hai điểm phân biệt đối

xứng với nhau qua gốc toạ độ.

b Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 2.

b Có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Viết lại phơng trình dới dạng:

- x3 + 3x2 = - k3 + 3k2 (1)Vậy số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của đồ thị (C) và đờngthẳng y = - k3 + 3k2, do đó phơng trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉkhi:

0 < -k3 + 3k2 < 4 Û Û Û kẻ(-1, 3)\{0, 2}

Cách 2: Biến đổi phơng trình về dạng:

x3 - k3 - 3x2 + 3k2 = 0 Û (x - k)[x2 + (k - 3)x + k2 - 3k] = 0

Û

Vậy, phơng trình có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác k

c Có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta có:

y' = -3x2 + 6mx + 3(1 - m2), y' = 0 Û - 3x2 + 6mx + 3(1 - m2) = 0 (2)

Nhận xét rằng D(2) = 1 > 0, "m Û hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

Khi đó thực hiện phép chia y cho y', ta đợc:

y = y'.( x - ) + 2x - m2 + m

Gọi (x0; y0) là toạ độ điểm cực đại hoặc cực tiểu của đồ thị thì y'(x0) = 0.

Do đó:

y0 = y(x0) = y'(x0).( x0 - ) + 2x - m2 + m

Các điểm cực đại và cực tiểu cùng thoả phơng trình:

y = 2x - m2 + m (*)Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua điểm cực đại và cực tiểu của đồthị hàm số có dạng y = 2x - m2 + m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Biện luận theo m số nghiệm của phơng trình |x3 - 3x + 1| - m =0

(2) Sự biến thiên của hàm số:

Đ Giới hạn của hàm số tại vô cực:

Đ Bảng biến thiên:

y' = 3x2 - 3, y' = 0 Û 3x2 - 3 = 0 Û x = ±1

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn U làm tâm đối xứng.

b Viết lại phơng trình dới dạng:

|x3 - 3x + 1| = m

Do vậy số nghiệm của phơng trình là số giao điểm của đồ thị y = |x3 - 3x+ 1| với đờng thẳng y = m + 1

Đồ thị của hàm số y = |x3 - 3x + 1| gồm:

- Phần từ trục hoành trở lên của đồ thị (C)

- Đối xứng phần đồ thị phía dới trục hoành của (C) qua trục hoành.Suy ra:

Đ Với m < 0, phơng trình vô nghiệm

Đ Với m = 0, phơng trình có 3 nghiệm phân biệt

Đ Với 0 < m < 1, phơng trình có 6 nghiệm phân biệt

Đ Với m = 1, phơng trình có 5 nghiệm

Đ Với 1 < m < 3, phơng trình có 4 nghiệm phân biệt

Đ Với m = 3, phơng trình có 3 nghiệm

Đ Với m > 3, phơng trình có 2 nghiệm phân biệt

c Ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Đ Với x0 = 1, ta đợc tiếp tuyến (d1): y = -1

Đ Với x0 = 2, ta đợc tiếp tuyến (d2): y = 9x - 15

Đ Với x0 = - , ta đợc tiếp tuyến (d3): y = - x +

Vậy, qua A kẻ đợc ba tiếp tuyến (d1), (d2) và (d3) tới (C)

Để (d) tiếp xúc với (C), thì hệ phơng trình sau phải có nghiệm:

Thay (2) vào (1), ta đợc:

3x3 - 7x2 + 4 = 0 Û (x - 1)(3x2 - 4x - 4) = 0 Û x = 1 hoặc x = 2 hoặc x

= -

Khi đó:

Đ Với x = 1 k = 0, ta đợc tiếp tuyến (d1): y = -1

Đ Với x0 = 2 k = 9, ta đợc tiếp tuyến (d2): y = 9x - 15

Đ Với x0 = - k = - , ta đợc tiếp tuyến (d3): y = - x +

Vậy, qua A kẻ đợc ba tiếp tuyến (d1), (d2) và (d3) tới (C)

e Tìm m để (Cm) nhận điểm làm điểm uốn.

f Xác định m khác 0 để (Cm) cắt Ox tại ba điểm phân biệt với

y' Ê 0 với mọi xẻ Û f(x) Ê 0 với mọi xẻ

Xét hai trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu m = 0 thì:

y' = -1 < 0 với mọi xẻ Û Hàm số luôn nghịch biến

Trờng hợp 2: Nếu m ạ 0 thì điều kiện là:

Û Û Û 0 < m Ê 1.

Vậy, hàm số luôn nghịch biến khi 0 ≤ m Ê 1

c Hàm số có cực đại và cực tiểu khi:

(1) có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua hai nghiệm

Vậy, hàm số có cực đại và cực tiểu khi m ẻ (-Ơ; 0)ẩ(1; +Ơ)

d Phơng trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox có dạng:

- mx3 + mx2 - x = 0 Û x(mx2 - 3mx + 3) = 0 Û

Hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục Ox khi:

Hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt Û (*) có hai nghiệm phânbiệt khác 0

Vậy, với m = 1 đồ thị hàm số nhận điểm U làm điểm uốn

f Ta lựa chọn một trong ba cách sau:

cộng thì điểm uốn U của đồ thị hàm số thuộc Ox, tức là yU =