Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải A TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ Phương pháp giải chung Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân cơ bản 1 Một số công thứ[.]
Trang 1Tích phân hàm phân thức hữu tỉ và lượng giác và cách giải
A TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ
Phương pháp giải chung: Phân tích hàm phân thức hữu tỉ để đưa về các tích phân
cơ bản
1 Một số công thức cần thiết
+) 2du 2 1 ln u a C
−
+) 2du 2 1 ln a u C
+
Kỹ năng biến đổi tam thức bậc hai
+)
2
2
ax +bx+ = c mx+n p
2 Các dạng toán thường gặp, công thức giải nhanh và ví dụ minh hoạ
2.1 Dạng 1: Tích phân dạng I1 2 dx
=
Phương pháp giải:
Biến đổi
Ví dụ 1 Cho
1 2 0
a b 3 ln
13 dx
I
+ c, lúc này S có giá trị bằng
A S=20 37 3+ B S 37= +24 3 C S 57= D S=61
Lời giải
Áp dụng bài toán tổng quát trên ta có:
Trang 2( )
1
2 2
+ +
ln
13
Chọn D
2.2 Dạng 2: Tính tích phân I2 2mx n dx
+
=
Phương pháp giải
Cách 1:
2ax b dx
n
1 2
2
1
Cách 2: Phương pháp hệ số bất định (Sử dụng khi mẫu có nghiệm)
* Nếu mẫu số có nghiệm kép x = tức là x0 2 ( )2
0
ax +bx+ =c a x −x ta giả sử
2
Quy đồng vế phải và đồng nhất hệ số hai vế để tìm A; B
Trang 3Sau khi tìm được A; B thì ta có 2 0
0
B
I A.ln x x
x x
−
* Nếu mẫu số có 2 nghiệm phân biệt x ; x : 1 2 2 ( )( )
ax +bx+ =c a x−x x−x thì ta giả sử:
2
Quy đồng và đồng nhất hệ số để tìm A; B
Sau khi tìm được A; B ta có I2 A ln x x1 Bln x x2
Ví dụ 2 Cho
0 2 2
2x 9
−
−
Chọn D
Lời giải
Cách 1: Ta có:
2x 9
− −
−
dx
−
2
6
x
0
2
2
x
x
0
2
x 2
ln x 1 x 2 6ln
x 1 −
−
Trang 4( )
0 2 0
2
(ln x 1 ln x 2 ) 6(ln x 2 ln x 1)
7 ln x 1 5ln x 2
−
−
(7 ln1 5ln 2) 7 ln 3 5ln 4
7ln3 10ln 2 5ln 2 7ln3 5ln 2
Do đó: a = - 7; b = 5
a 2b 3
Cách 2: Ta thấy x2 3x 2 0 x 1
=
Đồng nhất hệ số ta có A B 2 A 7
2
−
Cách 3: Sử dụng máy tính cầm tay
Trong bài toán này ta có thể sử dụng chức năng TABLE để giải quyết, tuy nhiên cách làm này chỉ mang tính chất “mò” (tức dự đoán khoảng của a; b)
Ta thấy I a.ln 3 b.ln 2 a I b.ln 2
ln 3
−
1 Lúc này ta nhập biểu thức tích phân vào máy tính và gán giá trị này cho biến A
2 Tiếp tục sử dụng MODE 7 TABLE để chạy biến giá trị của b từ đó tìm ra bảng giá trị tương ứng của a
Trang 5Ta thấy chỉ có trường hợp X =5;F X( )= −7 là thỏa mãn 2 số nguyên, do đó ta kết luận a= −7;b= +5 a 2b=3
3 Bài tập tự luyện
Câu 1 Tích phân
1 0 2
x
1
x − −2d
= có giá trị bằng
A 2 ln 2
2ln 2 3
Câu 2 Với 0 < a < 1, giá trị của tích phân sau
a 2 0
dx
dx
x −3x+2
A.ln a 2
2a 1
−
ln
a 1
−
− C.ln 2 a 1(a 2)
−
ln 2a 1
− +
Câu 3 Giá trị của tích phân
2 1
−
=
+ −
gần nhất với gái trị nào sau đây?
A ln 2
2
3
−
Câu 4 Tích phân
2 2 1
+
A a 1
5
5
5
5
=
0
1
Trang 6A 1
1
1
1 3
Câu 6 Tính:
1 2 0
dx I
=
A I ln3
2
=
C I 1ln3
=
Câu 7 Tính:
1 2 0
dx I
=
A I = 1 B I ln3
4
Câu 8 Tính
0
I
=
A I 1 ln12
6
= +
C I 1 ln 3 2ln 2
6
6
Câu 9 Tính:
2 2 0
(x 1)
−
=
Câu 10 Biết
2 0
dx a b ln 2 cln 3
với a, b, c là các số hữu tỉ, tính
2 2
S=2a+b +c
A S=515 B S 164= C S=436 D S= − 9
Câu 11 Biết
4
2x 1dx
2x + 3 2x 1 3
5
+ +
Tính T = a + b + c
Trang 7A T = 4 B T = 2 C T = 1 D T = 3 Câu 12 Tính tích phân
1 2 0
(x 4)dx I
+
=
A 5ln 2 3ln 2− B 5ln 2+2ln3 C 5ln 2 2ln3− D 2ln5 2ln3−
Đáp án
B TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
1 Một số công thức và kĩ năng biến đổi
a
a
2
+
2
+
2 Các dạng toán hay gặp và cách giải
2.1 Dạng 1: Tính tích phân: 1( ) 2( )
I = sin x dx;I = cos x dx
1 Nếu n chẵn thì ta sử dụng công thức hạ bậc
2 Nếu n = 3 thì ta sử dụng công thức hạ bậc hoặc biến đổi theo trường hợp 3
3 Nếu n và n lẻ 3 (n =2p 1+ ) thì ta thực hiện biến đổi
1
I = sin x dx= sin x + dx
Trang 8( ) ( ) ( )
p
sin x sin xdx 1 cos x d cos x
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển ( 2 )p
1 cos x−
Từ đây ta giải quyết được bài toán
2
I = cos x dx= cos x + dx
p
cos x cos x.dx 1 sin x d sin x
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển ( 2 )p
1 sin x−
Từ đây ta giải quyết dc bài toán
2.2 Dạng 2: Tính tích phân
b
a
I=sin x.cos xdx
Trường hợp 1: m; n là các số nguyên
- Nếu m chẵn, n chẵn thì sử dụng công thức hạ bậc, biến đổi tích thành tổng
- Nếu m chẵn, n lẻ (n =2p 1+ ) thì biến đổi
b
a
I= sin x cos x +dx
b
a
sin x cos x cos xdx
=
b
2
a
sin x 1 sin x d sin x
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán
- Nếu m lẻ (m=2p 1+ ), n chẵn thì ta biến đổi
b
a
I= sin x + cos x dx
Trang 9( ) ( )
b
a
sin x cos x sin xdx
=
b
2 a
1 cos x cos x d cos x
Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton để khai triển và giải quyết bài toán
- Nếu m lẻ, n lẻ thì sử dụng biến đổi 2 hoặc 3 cho số mũ lẻ bé hơn
Trường hợp 2: m; n là các số hữu tỉ:
b
a
I=sin x.cos xdx
2 a
sin x cos x cos xdx
−
=
sin a
−
2.3 Dạng 3: Tính tích phân 1( ) 2( ) ( )
I = tan x dx;I = cot x dx n
Sử dụng các công thức sau:
2
dx
cos x
2
dx
sin x
d cos x sin x
d sin x cos x
3 Đổi biến số với hàm lượng giác
Khi nguyên hàm, tích phân của các hàm số mà biểu thức của nó có chứa các dạng
x +a , x −a , a −x , thì ta có cách biến đổi lượng giác như sau:
Trang 10Biểu thức có chứa Đổi biến
2 2
Hoặc x= a cot, t( )0;
2 2
Hoặc x= a cos t, t 0;
x=a cos 2t
x a b a sin t, t 0;
2
4 Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1 Cho
10 4 0
I cos 3xdx
= Đẳng thức nào sau đây đúng?
A
10
0
B
10
0
C
10
0
Trang 11D
10
0
Lời giải
Ta có
2
2
+
10
0
+
10
0
Từ đây ta giải quyết được bài toán
Chọn A
Ví dụ 2 Cho:
Đặt S = a + b + c Giá trị của S bằng
A S 3= B S 74
105
4
= − D S 1
9
=
Lời giải
1
5
3
0
1
1 4cos 5x 6cos 5x 4cos 5x cos 5x d cos5x
5
Trang 120
cos5x cos 5x cos 5x cos 5x cos 5x
Chọn B
Ví dụ 3 Cho 3( ) (7 )100
0
I sin 2x cos 2x dx
A ( )101 ( )103 ( )105 ( )107 3
0
I
B ( )101 ( )103 ( )105 ( )107 3
0
C ( )101 ( )103 ( )105 ( )107 3
0
1
I
D ( )101 ( )103 ( )105 ( )107 3
0
1
I
Lời giải
3
0
I cos 2x sin 2x sin 2xdx
3
3
0
1
cos 2x 1 cos 2x d cos 2x
2
3
0
1
cos 2x 1 3cos 2x 3cos 2x cos 2x d cos 2x
2
Trang 13( ) ( )
3
0
1
cos 2x 3cos 2x 3cos 2x cos 2x d cos 2x
2
0
1
Chọn C
5 Bài tập tự luyện
Câu 1 Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; ] đạt giá trị bằng 0?
C f (x) cos x
x
f (x) sin
Câu 2 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn
2 0
f (x)dx=6
Giá trị của tích phân
2
0
f (2sin x) cos xdx
Câu 3 Tích phân
2
3
n
dx I
si x
= có giá trị bằng
A 1ln1
1
ln 3
1 2ln
3
Câu 4 Xét tích phân
3 0
sin 2x
1 cos x
= +
Thực hiện phép đổi biến t = cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây
A
4
0
2t
1 t
= −
+
4 0
2t
1 t
= +
Trang 14C
1
1
2
2t
1 t
= −
+
1
1 2
2t
1 t
= +
Câu 5 Giá trị của tích phân
2 3
3
2
3
−
A 3
3
3
3
3
Câu 6 Giá trị của tích phân
2 2 0
I cos x cos 2xdx
A
6
8
4
2
Câu 7 Giá trị tích phân 2( )
4 0
J sin x 1 cos xdx
A 2
3
4
6
5
Câu 8 Giá trị tích phân
2
0
sin x
1 3cos x
= +
A 2ln 2
2
ln 4
1
ln 4
1
ln 2
Câu 9 Tích phân
3 2 0
I sin x tan xdx
= có giá trị bằng:
A ln 3 3
5
4
− D ln 2 3
8
−
Câu 10 Cho tích phân
2
0
I 1 3cos x.sin xdx
= + Đặt u = 3cos x 1+ Khi đó I bằng:
Trang 15A
3
2
1
2
u du
2 2 0
2
u du
2 3 1
2 u
3 2 1
u du
Câu 11 Giá trị của tích phân
1 2
2 0
1
1 x
=
−
A
6
4
3
2
Câu 12 Giá trị của tích phân
1 2 0
dx I
1 x
= +
A I
2
4
4
4
=
Câu 13 Giá trị của tích phân
2
0
I (sin x cos x)(sin x cos x)dx
A I 32
128
128
128
128
Câu 14 Giá trị của tích phân
0
xdx I
sin x 1
=
+
A I
4
2
3
= D I =
Câu 15 Giá trị của tích phân
2 11 0
cos xdx
A 250
254
252
256
693
Câu 16 Giá trị của tích phân
2 10 0
sin xdx
A 67
512
512
C 63
512
512
Trang 16
Câu 17 Với n ,n 1 , tích phân 2( )n
0
I 1 cos x sin xdx
= − có giá trị bằng?
A 1
1
n 1− C
1
n 1+ D
1
n
Câu 18 Giá trị của tích phân
2 2 6
1
sin x
3
3
3
3
Câu 19 Giá trị của tích phân
3
0
cos x
2 cos 2x
=
+
A.
4 2
2 2
2
2
−
Câu 20 Cho 1 ( )
0
f x dx =2018
0
f sin 2x cos 2xdx
Đáp án
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A D C D A B D C D C
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A C B D D C C D A D