CHUYÊN đề TÍNH NHANH TỔNG các PHÂN số THEO QUY LUẬT ôn THI CHUYÊN

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ TÍNH NHANH TỔNG DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT DẠNG I: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần...

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ

TÍNH NHANH TỔNG DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT

DẠNG I: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số

liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần (n> 1)

A BÀI TẬP MẪU

BÀI TẬP 1.(AMS, 2003) Tính tổng: A +

Cách giải:

Bước 1: Tính A x n (n = 2)

Bước 2: Tính A x n - A = A x (n - 1)

A = 2 - =

BÀI TẬP 2 Tính tổng B =

486

5 162

5 54

5 18

5 6

5 2

5











Giải: Bước 1: Tính B x n (n x 3)





















486

5 162

5 54

5 18

5 6

5 2 5

=

162

5 54

5 18

5 6

5 2

5 2

15











Bước 2: Tính B x n - B





















162

5 54

5 18

5 6

5 2

5 2

15





















486

5 162

5 54

5 18

5 6

5 2 5

B x (3 - 1) =

162

5 54

5 18

5 6

5 2

5 2

15









486

5 162

5 54

5 18

5 6

5 2

5











B x 2 =

486

2 

B x 2 =

486

5

3645  B

243

910



Bài 32.(Marie Curie) Tìm y biết:

Đặt A =

2 × A = 1 + -

2 × A = 1 - =

A =

Vậy 4 + = =

B.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 (AMS, 2004) Thực hiện phép tính: A 1 + +

+ + + =1

Bài 3: Tính nhanh

a)

192

2 96

2 48

2 24

2 12

2 6

2 3

2













729

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

1











c)

512

3 128

3 32

3 8

3 2

3









d) 3 +

625

3 125

3 25

3 5

3







DẠNG II : Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2

thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa

số thứ nhất của mẫu phân số liền sau:

BÀI TẬP 1.(Giảng Võ) Tính gia trị biểu thức:

A = + + +…+

Giải: A = + + +…+

2×A = + + +…+

2×A = + + + … +

2×A = 1 - + - + - + …+ - = 1 - =

A =

BÀI TẬP 2 A = 21x 3  31x4  41x5 51x6

A = 23x23  34x43  45x54 56x65

= 23x 3  22x3  34x4  33x4 45x5  44x556x6  55x6

=

6

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1















=

3

1 6

2 6

1 6

3 6

1 2

1











BÀI TÂP 3: (AMS, 2005) Tìm x biết:

: x = + + + +…+

Giải:

Ta có

A =

B = ( Cách tính đã trình bày ở dạng 1)

Vậy : x = x =

B BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1 Tính A = 23x5 53x8  8x311 113x14

Bài 2.(Lê Qúy Đôn) Tính A= + + + + …+

Bài 3.(AMS, 2004) Thực hiện phép tính: B 2

Bài 4 (AMS, 2008) Tìm x biết: x = 1

Bài 5 (AMS, 2011) Tìm x sao cho: +

…+ = 11 x

Bài 6 (AMS, 2012) Tìm A biết

Bài 7 (AMS, 2013) Trong cuộc thi có 60 câu hỏi Mỗi câu trả lời đúng được 1/6

điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ A =

điểm Một bạn học sinh được tổng điểm là 8 Hỏi học sinh đó trả lời đúng được mấy câu?

Bài 8 (AMS, 2013) Tính tổng:

Bài 9: Tính nhanh:

a 34x7  7x411 114x15 154x19  194x23 234x27

2 9 8

2

4 3

2 3 2

2 2 1

2 15 13

2 13 11

2 11 9

2 9 7

2 7 5

2 5

3

2

x x x

x x x

x x

x x

c 34x6  64x99x412124x15

d

110

1

42

1 30

1 20

1 12

1 6

1 2

1













Bài 10: Cho tổng:

1995

664

15 11

4 11 7

4 7 3

4

















S

a) Tìm số hạng cuối cùng của dãy S b) Tổng S có bao nhiêu số hạng?

Bài 11: Tính nhanh:

A =

90

89 72

71 56

55 42

41 30

29 20

19 12

11 6

5















Bài 12: Tính nhanh:

4 3 2 1

1 3

2 1

1 2 1

1































Bài 13: So sánh S với 2, biết rằng:

45

1

10

1 6

1 3

1

1     



S

Bài 14: Chứng minh rằng:

1 91

1 73

1 57

1 43

1 31

1 21

1 13

1 7

1

3

1



















DẠNG 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n, có mẫu số là tích của 3 thừa

số trong đó thừa số thứ 3 hơn thừa số thứ nhất n đơn vị và hai thừa số cuối của mẫu phân số liền trước là 2 thừa số đầu của mẫu phân số liền sau

BÀI TẬP 1 Tính:

A = 1x34x5  3x54x75x74x97x94x119x114x13

=1x531x5  37x53x759x75x9711x9x711913x11x913

=1x531x5  37x53x759x75x9711x9x711913x11x913

13 11 9

9 13

11 9

13 11

9 7

7 11

9 7 11

9 7 5

5 9 7 5

9 7

5 3

3 7 5 3

7 5

3 1

1 5 3

1

5

x x x

x x

x x

x

x x x x x x x x x

x x x





















=11x3 31x531x5 51x751x7 71x9 71x9 9x1119x111111x13

=11x3 111x13

=113 1113133143429 3140429

x

x

x

BÀI TẬP

Bài 1: Tính nhanh:

19 15 13

6 15

13 9

6 13

9 7

6 9

7 3

6 7

3 1

6 )





























a

19 15 13

1 15

13 9

1 13

9 7

1 9

7 3

1 7

3 1

1 )





























b

100 98 96

1

14 12 10

1 12

10 8

1 10

8 6

1 8

6 4

1 6

4 2

1 )





































c

40 36 33

15 12 8 12 8 5

8

5

1

)

























d