(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng

(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng(Luận văn thạc sĩ) Một số phương pháp phân tích phân thức hữu tỉ thành phân thức đơn giản và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

PHẠM THỊ NHUNG

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH PHÂN

THỨC HỮU TỈ THÀNH PHÂN THỨC

ĐƠN GIẢN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS TRẦN NGUYÊN AN

THÁI NGUYÊN - 2021

Mục lục

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1

1.1 Đa thức và nghiệm của đa thức 1

1.2 Đa thức bất khả quy và sự phân tích 4

1.3 Trường các thương 6

Chương 2 Phân thức hữu tỉ và ứng dụng 9

2.1 Phân thức hữu tỉ và một số tính chất cơ bản 9

2.2 Phân tích thành phân thức đơn giản 11

2.3 Một số phương pháp phân tích phân thức 16

2.4 Phân tích phân thức với hệ số thực và phức 37

2.5 Phân tích phân thức đặc biệt 41

2.6 Một số ứng dụng 44

KẾT LUẬN 52

Tài liệu tham khảo 52

MỞ ĐẦU

Phân thức hữu tỉ được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khácnhau của Toán học như Giải tích số, Lý thuyết xấp xỉ, Giải tích, Môhình toán học Một kết quả quan trọng của phân thức hữu tỉ là mỗiphân thức hữu tỉ đều phân tích được thành tổng các phân thức "đơngiản" Vấn đề này được nghiên cứu bởi Johann Bernoulli and GottfriedLeibniz từ năm 1972, từ đó được nhiều nhà toán học quan tâm nghiêncứu và có nhiều ứng dụng Phân tích phân thức đơn giản của phân thứchữu tỉ f (x)g(x), trong đó f (x), g(x) là các đa thức có dạng

f (x)g(x) = p(x) +

Luận văn tập trung vào một số nội dung chính sau Trước hếttổng hợp hệ thống kiến thức về phân thức hữu tỉ, sự phân tích phânthức hữu tỉ Bên cạnh việc tìm hiểu phân tích phân thức hữu tỉ thànhphân thức đơn giản bằng đồng nhất, thế giá trị đặc biệt luận văn tìmhiểu phân tích của một số lớp phân thức đặc biệt và một số kỹ thuậtđặc biệt khác: phân thức có cực điểm đơn, cực điểm bội [5], [8]; phântích phân thức trên trường số thực, phức; phân tích phân thức mẫu là

đa thức bất khả quy nói chung, bất khả quy bậc hai [7], phân tích củamột số lớp phân thức đặc biệt [11], [12]; kỹ thuật sử dụng thuật toánchia, chia theo lũy thừa tăng [9], [6], sử dụng công thức nội suy [2], [1].Luận văn trình bày một số ứng dụng của kết quả chính trong việc tìmgiá trị của biểu thức dạng phân thức hữu tỉ, tính nguyên hàm của phânthức hữu tỉ, chứng minh một số đẳng thức liên quan, phân tích phân

thức thành chuỗi lũy thừa Những ứng dụng này chủ yếu được trình bàydưới dạng ví dụ và là sự tổng hợp từ nhiều nguồn tài liệu.

Luận văn được chia làm hai chương Chương 1 trình bày một sốkiến thức cơ sở về đa thức, sự phân tích đa thức trên trường, xây dựngtrường các thương Chương 2 là chương chính, luận văn trình bày xâydựng, tính chất cơ bản của phân thức hữu tỉ một biến; một số phươngpháp phân tích phân thức hữu tỉ và ứng dụng

Trong suốt quá trình làm luận văn, tôi nhận được sự hướng dẫn

và giúp đỡ tận tình của TS Trần Nguyên An Tôi xin được bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớpCao học toán khoá 12 đã truyền thụ đến cho tôi nhiều kiến thức và kinhnghiệm nghiên cứu khoa học

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2020,

PHẠM THỊ NHUNG

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Đa thức và nghiệm của đa thức

Giả sử R là vành giao hoán có đơn vị Đặt

(1, 0, , 0, )

Ký hiệu x = (0, 1, 0, 0, ) ∈ P Dễ dàng kiểm tra được

x2 = (0, 0, 1, 0, 0, ),

x3 = (0, 0, 0, 1, 0, 0, ),

xk = (0, 0, , 0, 1, 0, 0, ),

trong đó xk là dãy có toạ độ thứ k + 1 bằng 1, còn các toạ độ khác đềubằng 0 Xét ánh xạ ϕ : R → P xác định bởi ϕ(a) = (a, 0, 0, ) với mọi

a ∈ R Rõ ràng ϕ là đơn cấu vành Vì thế ta có thể coi R như là vànhcon của P Từ đơn cấu ϕ ở trên, ta có thể đồng nhất

Định nghĩa 1.1.1 Vành P được gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ

tử trong R, hay vắn tắt vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong R, và kýhiệu là R[x] Các phần tử của vành đó gọi là đa thức của ẩn x lấy hệ tửtrong R và thường được ký hiệu bởi f (x), g(x), h(x), Trong một đathức

là monic nếu hệ số cao nhất của nó là 1 Các đa thức bậc 0 được gọi là

đa thức hằng Các đa thức bậc 1 được gọi là đa thức tuyến tính

Bằng quy nạp ta có thể xây dựng vành đa thức n ẩn x1, , xn lấy

deg(f (x)g(x)) ≤ deg(f (x)) + deg(g(x)).

Nếu R là miền nguyên thì

deg(f (x)g(x)) = deg(f (x)) + deg(g(x))

Hệ quả 1.1.3 Nếu R là miền nguyên, thì R[x] cũng là miền nguyên.Định lý 1.1.4 (Chia với dư) Cho f (x), g(x) ∈ R[x], với R là mộttrường và g(x) 6= 0 Khi đó tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x)

thuộc R[x] sao cho: f (x) = g(x)q(x) + r(x) và deg r(x) < deg g(x).Chú ý 1.1.5 Đa thức q(x) gọi là thương và r(x) goi là dư của phépchia f (x) cho g(x)

Định lí trên vẫn đúng khi R là miền nguyên và hệ số cao nhất của

g(x) khả nghịch trong R

Trong thuật toán chia với dư trên đây, nếu các hệ số của f (x) và

g(x) là những số thực (tương ứng hữu tỉ) thì các hệ số của các đa thức

f1(x), , fk(x), và vì vậy cả các hệ số của thương q(x) và dư r(x) đều

là thực (tương ứng hữu tỉ)

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử R là vành con của vành S,và f (x) = anxn+

· · · + a1x + a0 là một đa thức trong R[x] Với mỗi phần tử α ∈ S, ta

kí hiệu f (α) = anαn + · · · + a1α + a0 ∈ S Phần tử α ∈ S được gọi

là nghiệm của f (x) nếu f (α) = 0 Trong trường hợp này ta cũng nói α

là một nghiệm của phương trình f (x) = 0 trên S Tìm các nghiệm của

f (x) trên S được gọi là giải phương trình đa thức f (x) = 0 trên S

Định lý 1.1.7 (Định lý Bézout) Cho R là một miền nguyên, f (x) ∈R[x], α ∈ R Điều kiện cần và đủ để α là một nghiệm của f (x) là f (x)

chia hết cho (x − α)

Định nghĩa 1.1.8 (Nghiệm bội) Cho f (x) ∈ R[x], α ∈ R, k ∈ Z, k ≥

1 Ta gọi α là nghiệm bội k của f (x) nếu f (x) chia hết cho (x − α)k

nhưng không chia hết cho (x − α)k+1 nghĩa là:

(

f (x) = (x − α)kg(x), ∀x ∈ R,g(α) 6= 0

Nếu k = 1, ta gọi α là nghiệm đơn hay còn gọi nghiệm, nếu k = 2, tagọi α là nghiệm kép

Định lý 1.1.9 Cho R là một miền nguyên Cho 0 6= f (x) ∈ R[x] và

a1, a2, , ar ∈ R là các nghiệm phân biệt của f (x) Giả sử ai là nghiệmbội ki của f (x) với i = 1, 2, , r Khi đó ta có

f (x) = (x − a1)k1(x − a2)k2 (x − ar)krg(x),

trong đó g(x) ∈ R[x] và g(ai) 6= 0 với mọi i = 1, , r

Hệ quả 1.1.10 Cho R là một miền nguyên và f (x) ∈ R[x] là một đathức khác 0 Khi đó số nghiệm của f (x), mỗi nghiệm tính với số bội của

nó, không vượt quá bậc của của f (x)

Hệ quả 1.1.11 Cho R là miền nguyên và f (x), g(x) ∈ R[x], trong đó

deg(f (x)) 6 n và deg(g(x))6 n Nếu f (x) và g(x) có giá trị bằng nhautại n + 1 phần tử khác nhau của R thì f (x) = g(x)

Chú ý rằng nếu R không là miền nguyên thì Hệ quả 1.1.11 khôngcòn đúng nữa Thật vậy, chọn R = Z6, vành các lớp thặng dư theomôđun 6 Chọn f (x) = 3x và g(x) = 3x2 Ta có deg(f (x)) = 1 và

deg(g(x)) = 2, tức là deg(f (x)), deg(g(x)) 6 2 Dễ thấy f (x) và g(x)

đều có 3 nghiệm phân biệt 0, 2, 4 trong Z6, tức là chúng nhận giá trịnhư nhau tại 3 điểm phân biệt, nhưng chúng không bằng nhau

1.2 Đa thức bất khả quy và sự phân tích

Giả sử R là một miền nguyên Trước khi trình bày khái niệm đathức bất khả quy, chúng ta nhắc lại khái niệm phần tử bất khả quytrong một miền nguyên Cho a, b ∈ R Ta nói a là ước của b nếu tồn

tại c ∈ R sao cho b = ac Một ước a của b được gọi là ước thực sự nếu

b không là ước của a Phần tử p ∈ R được gọi là phần tử bất khả quynếu nó khác 0, không khả nghịch và không có ước thực sự Từ đây ta

có khái niệm đa thức bất khả quy trong vành đa thức R[x] Chú ý rằng

R[x] là miền nguyên

Định nghĩa 1.2.1 Cho f (x) ∈ R[x] là đa thức khác 0 và không khảnghịch Ta nói f (x) là bất khả quy trên R nếu nó không có ước thực sự

Ta nói f (x) là khả quy nếu f (x) có ước thực sự

Chú ý rằng tính bất khả quy của đa thức phụ thuộc vào vành cơ

sở Chẳng hạn, đa thức 2x + 2 là bất khả quy trên trường Q Tuy nhiên

2x + 2 không bất khả quy trên vành Z bởi vì các đa thức2 và x + 1 đều

là ước thực sự của 2x + 2 Tương tự, đa thức x2+ 1 là bất khả quy trên

R nhưng không bất khả quy trên C

Bổ đề 1.2.2 Đa thức f (x) là bất khả quy nếu và chỉ nếu f (x + a) làbất khả quy với mọi a ∈ R

Từ nay đến hết tiết này chúng ta làm việc với đa thức có các hệ

số trên một trường K Trong trường hợp này, các đa thức hằng khác 0

đều khả nghịch Do đó ta có ngay kết quả sau

Bổ đề 1.2.3 Đa thức f (x) với hệ số trên một trường K là bất khả quynếu và chỉ nếu deg f (x) > 0 và f (x) không phân tích được thành tíchcủa hai đa thức có bậc bé hơn

Sau đây là tính bất khả quy của các đa thức bậc thấp

Bổ đề 1.2.4 Trên một trường K, các phát biểu sau là đúng

(i) Đa thức bậc nhất luôn bất khả quy

(ii) Đa thức bậc 2 và bậc 3 là bất khả quy nếu và chỉ nếu nó không cónghiệm trong K

Chú ý rằng phát biểu (ii) trong bổ đề trên là không đúng chotrường hợp bậc của đa thức lớn hơn 3 Cụ thể, nếu f (x) bậc lớn hơn 3

và có nghiệm trong K thì f (x) khả quy Tuy nhiên, tồn tại những đathức không có nghiệm trong K nhưng vẫn khả quy Chẳng hạn đa thức

(x2 + 1)2 không có nghiệm trong R nhưng nó khả quy trên R

Trong phần cuối của mục này, chúng ta trình bày một số tính chấtcủa đa thức bất khả quy trong vành đa thức K[x] tương tự như tínhchất của số nguyên tố trong vành Z các số nguyên Trước hết, Bổ đềEuclid (hay Định lí thứ nhất của Euclid) phát biểu rằng số tự nhiên

p > 1 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu p là ước của ab kéo theo p là ướccủa a hoặc p là ước của b với mọi a, b ∈ N Mệnh đề sau đây là điều

tương tự cho đa thức bất khả quy Cho thuận tiện, nếu f (x) là ước của

g(x) thì ta viết f (x)|g(x)

Mệnh đề 1.2.5 Cho p(x) ∈ K[x] là đa thức có bậc dương Khi đó

p(x) bất khả quy nếu và chỉ nếu p(x)|a(x)b(x) kéo theo p(x)|a(x) hoặc

p(x)|b(x) với mọi a(x), b(x) ∈ K[x] Đặc biệt, nếu đa thức bất khả quy

p(x) là ước của một tích hữu hạn đa thức thì p(x) phải là ước của ítnhất một trong các đa thức đó

Định lí cơ bản của số học nói rằng mỗi số tự nhiên lớn hơn 1 đềuphân tích được thành tích các thừa số nguyên tố và sự phân tích này làduy nhất nếu không kể đến thứ tự các thừa số Kết quả sau đây là một

sự tương tự đối với đa thức

Định lý 1.2.6 Cho f (x) ∈ K[x] là đa thức với hệ số cao nhất là an

Khi đó tồn tại phân tích f (x) = anf1(x) fk(x) với f1(x), , fk(x)

là các nhân tử bất khả quy dạng chuẩn, và sự phân tích này là duy nhấtnếu không kể đến thứ tự các nhân tử

thương qua định lý sau Việc xây dựng trường các phân thức ở chươngsau từ vành đa thức trên một miền nguyên được thực hiện hoàn toàntương tự và sẽ không trình bày chi tiết ở mục sau.

Định lý 1.3.1 Cho R là một miền nguyên Khi đó tồn tại một cặp

(T, f ) trong đó T là trường, f : R −→ T là đơn cấu vành sao cho mỗiphần tử của T đều viết được dưới dạng f (a)(f (b))−1 với a, b ∈ R, b 6= 0

Hơn nữa, nếu F là một trường và g : R −→ F là một đơn cấu vànhsao cho mỗi phần tử của F đều viết được dưới dạng g(a) g(b)
−1 với

0/1; phần tử đơn vị là 1/1; đối xứng của a/b là −a/b và nghịch đảo của

a/b là b/a với mọi a/b 6= 0/1 Xét ánh xạ f : R −→ T xác định bởi

f (a) = a/1 Dễ kiểm tra được f là đồng cấu vành Giả sử a ∈ A thoảmãn tính chất f (a) = 0/1 Khi đó a/1 = 0/1 Suy ra a = 0 Vậy f làđơn cấu vành Cho a/b ∈ T Ta có

a/b = (a/1)(1/b) = (a/1)(b/1)−1 = f (a) f (b)
−1

Vậy cặp(T, f ) thoả mãn các yêu cầu của định lí Cuối cùng, giả sử F làmột trường vàg : R −→ F là một đơn cấu vành sao cho mỗi phần tử của

F đều viết được dưới dạng g(a) g(b)
−1 với a, b ∈ R, b 6= 0 Xét tươngứng ϕ : T −→ F cho bởi ϕ(a/b) = g(a) g(b)
−1 Cho a/b = a0/b0 ∈ T

Khi đó ab0 = a0b Suy ra g(a)g(b0) = g(a0)g(b) Do b, b0 6= 0 và g là đơncấu nên g(b), g(b0) 6= 0 Vì thế g(b), g(b0) khả nghịch trong F Suy ra

g(a) g(b)
−1 = g(a0) g(b0)
−1 Vì thế ϕ là ánh xạ Dễ thấy ϕ là đồngcấu vành Vì mỗi phần tử của F đều viết được dưới dạng g(a) g(b)
−1

với a, b ∈ A, b 6= 0 nên ϕ là toàn cấu Giả sử ϕ(a/b) = 0 Khi đó

g(a) g(b)
−1 = 0 Do b 6= 0 nên g(b) 6= 0 và do đó g(b) khả nghịchtrongF Vì thếg(a) = 0 Do g là đơn cấu nên a = 0 Suy ra a/b = 0/1

Do đó ϕ là đơn cấu Vậy ϕ là đẳng cấu

Định nghĩa 1.3.2 Trường T xây dựng như trong Định lí 1.3.1 đượcgọi là trường các thương của miền nguyên A

Nhận xét 1.3.3 Theo Định lí 1.3.1, trường các thương T của R làtrường tối thiểu chứa R như một vành con

Chương 2

Phân thức hữu tỉ và ứng dụng

2.1 Phân thức hữu tỉ và một số tính chất cơ bản

Trong suốt mục này ta luôn giả thiết F là một trường

Định nghĩa 2.1.1 Cho F [x1, x2, , xn] là vành đa thức n biến trêntrườngF Trường các thương củaF [x1, , xn], ký hiệu bởiF (x1, , xn),

và được gọi là trường các phân thức hữu tỉ ( n biến) trên F

Nhận xét 2.1.2 Các phần tử của F (x1, , xn) có dạng f (x1 , ,xn)

g(x 1 , ,x n ),trong đóf (x1, , xn), g(x1, , xn) ∈ F [x1, , xn]vớig(x1, , xn) 6=

0 Ta gọi f (x1, , xn) là đa thức tử thức, g(x1, , xn) là đa thức mẫuthức

Từ đây ta tập trung trường hợp một biếnn = 1, tức là trường cácphân thức F (x) một biến trên trường F Các phần tử của F (x) thườngđược ký hiệu bởi f (x)g(x), a(x)s(x), b(x)t(x), hoặc ký hiệu tắt là P = fg, Q = as,

R = bt,

Nhận xét 2.1.3 Cho a(x)s(x),b(x)t(x) ∈ F (x) Khi đó

(i)a(x)s(x) =

b(x)t(x)

nếu và chỉ nếu a(x)t(x) = b(x)s(x)

(ii)a(x)s(x) +

b(x)t(x) =

a(x)t(x) + b(x)s(x)

s(x)t(x) .

(iii)a(x)s(x).

b(x)t(x) =

a(x)b(x)s(x)t(x).

s(x) =

λa(x)s(x) .(v)ϕ : F [x] → F (x),

trong đó ϕ(f (x)) = f (x)1 , là đơn cấu vành

Nhận xét 2.1.4 Cho P = a(x)s(x) ∈ F (x) Đặt D = {u ∈ F | s(u) = 0}

và P |x=α = a(x)s(x)|x=α := a(α)s(α) với α ∈ F Khi đó ta có ánh xạ, xác địnhhàm F → F, α 7→ a(α)s(α)

Cho a(x)s(x),b(x)t(x) ∈ F (x) Giả sử a(x)s(x) = b(x)t(x) Khi đó a(x)t(x) =b(x)s(x).Điều này kéo theodeg(a(x))+deg(t(x)) = deg(b(x))+deg(s(x)),

và deg(a(x)) − deg(s(x)) = deg(b(x)) − deg(t(x)) Từ đó ta có địnhnghĩa bậc của phân thức hữu tỉ

Định nghĩa 2.1.5 Cho a(x)s(x) ∈ F (x) Bậc của phân thức được địnhnghĩa bởi

deg(a(x)

s(x)) = deg(a(x)) − deg(s(x)) ∈ Z∪ {−∞}

Nhận xét 2.1.6 (i) Với mọi f (x) ∈ F [x], ta có

deg(f (x)

1 ) = deg(f (x)) − deg(1) = deg(f (x)).

(ii) Với mọi P, Q ∈ F (x) và với 0 6= k ∈ F, ta có

deg(P + Q) ≤ max{deg(P ), deg(Q)}, deg(kP ) = deg(P ),

and deg(P Q) = deg(P ) + deg(Q)

Định nghĩa 2.1.7 Cho a(x)s(x) ∈ F (x) Các hệ số của a(x) và s(x) đượcgọi là các hệ số của phân thức hữu tỉ Phân thức hữu tỉ a(x)s(x) được gọi là

có dạng rút gọn ( rational function in lowest terms, rational function insimplest form) nếu a(x) và s(x) là các đa thức nguyên tố cùng nhau

Chú ý rằng mọi phân thức đều đưa được về dạng rút gọn

Ví dụ 2.1.8 Rút gọn phân thức sau

2x − x33x3 + 4x2 − 3x − 4.

Giải Ta có

2x − x33x3 + 4x2 − 3x − 4 =

−2x(x + 1)(x − 1)(x + 1)(x − 1)(3x + 4)

= −2x3x + 4.

Định nghĩa 2.1.9 Cho P = a(x)s(x) ∈ F (x) là phân thức ở dạng rút gọn.Nghiệm của a(x) được gọi là nghiệm hay không điểm của P Nghiệmcủa s(x) được gọi là cực điểm của P

Ví dụ 2.1.10 Phân thức 3x3 +4x2x+32 −3x−4 có một không điểm đơn −3/2,

và 3 cực điểm đơn −4/3, −1, 1 Phân thức x2+ 1 như phần tử của R(x)

không có không điểm cũng như cực điểm

2.2 Phân tích thành phân thức đơn giản

Hơn nữa nếu gcd(a(x), s(x)) = 1 thì gcd(r(x), s(x)) = 1

Chứng minh Sự tồn tại: Theo Định lý 1.1.4, tồn tại e(x), r(x) ∈ F [x]

thỏa mãn a(x) = s(x)e(x) + r(x) và deg(r(x)) < deg(s(x)) Khi đó

P = a(x)

s(x) = e(x) +

r(x)s(x), deg(r(x)) < deg(s(x)).

Dễ thấy gcd(a(x), s(x)) = gcd(r(x), s(x)) = 1

Sự duy nhất: Giả sử tồn tại e1(x), r1(x), e2(x), r2(x) ∈ F [x] thỏamãn

a(x)s(x) = e1(x) +

r1(x)s(x) = e2(x) +

r2(x)s(x) .

Khi đó e1(x) − e2(x) = r2 (x)−r1(x)

s(x) Điều này kéo theo

deg(e1(x) − e2(x)) = deg(r2(x) − r1(x)) − deg(s(x)) < 0

Như vậy e1(x) = e2(x) và r1(x) − r2(x)

Định nghĩa 2.2.2 Cho P = a(x)s(x) ∈ F (x) Phân thức P được gọi làthực sự nếudeg(a(x)) < deg(s(x)), và nó được gọi là không thực sự nếutrái lại Một phân thức không thực sự luôn viết được dưới dạng

P = e(x) + r(x)

s(x),

trong đó e(x) là đa thức được gọi là phần đa thức hay phần nguyên(polynomial part or integral part) của phân thức P, và r(x)s(x) là phânthức thực sự

Ví dụ 2.2.3 ChoP = x4+xx33−3x−2x22+1+x−1 Theo thuật toán chia với dư, chia

Giả sử phát biểu đúng vớin > 1vàs1(x), , sn+1(x) ∈ F [x]\{0}

nguyên tố với nhau từng đôi một Ta có gcd(s1(x) · · · sn(x), sn+1(x)) =

1 Áp dụng trường hợp n = 2, tồn tại c1(x), an+1(x) ∈ F [x] thỏa mãn

Theo giả thiết quy nạp tồn tại a1(x), , an(x) ∈ F [x] thỏa mãn

Đặt e(x) = e1(x) + · · · + en(x) ta có điều phải chứng minh

Tính duy nhất: Ta chứng minh quy nạp theo n

Trường hợp n = 1 là hiển nhiên

Với n = 2, giả sử tồn tại e(x), r1(x), r2(x), d(x), p1(x), p2(x) ∈

F [x] thỏa mãn giả thiết và

trong đó deg(ri(x)) < deg(si(x)), deg(pi(x)) < deg(si(x)) for i = 1, 2.

Ta có

s1(x)(r2(x) = p2(x)) = s1(x)s2(x)(d(x) − e(x)) + s2(x)(p1(x) − r1(x))

Điều này kéo theo s1(x)|s2(x)(p1(x) − r1(x)) Vì gcd(s1(x), s2(x)) = 1

nên s1(x)|p1(x) − r1(x) Mặt khác deg(p1(x) − r1(x)) < deg(s1(x)) Do

đó p1(x) − r1(x) = 0, i.e p1(x) = r1(x) Tương tự ta có p2(x) = r2(x).Kéo theo e(x) = d(x)

Giả sử phát biểu đúng vớin > 1và tồn tạie(x), r1(x), , rn+1(x),d(x), p1(x), , pn+1(x) ∈ F [x] thỏa mãn

rn+1(x)

sn+1(x) = d(x) +

c(x)t(x) +

Bổ đề 2.2.6 Cho a(x), s(x) ∈ F [x], deg(s(x)) ≥ 1 và m ∈ N∗ Khi đó

tồn tại duy nhất e(x), c1(x), , cm(x) ∈ F [x] thỏa mãn

a(x)s(x)m = e(x) + cm(x)

s(x)m + cm−1(x)

s(x)m−1 + · · · + c1(x)

s(x) ,deg(ci(x)) < deg(s(x)) với i = 1, , m Hơn nữa e(x) là phần đa thức

của s(x)a(x)m

Chứng minh Sự tồn tại: Ta sẽ chứng minh quy nạp theo m Với m = 1

Phát biểu là đúng theo Bổ đề 2.2.1 Giả sử phát biểu là đúng vớim > 0

Khi đó tồn tại e(x), c1(x), , cm(x) ∈ F [x] thỏa mãn

a(x)s(x)m = e(x) + cm(x)

s(x) ,deg(ci(x)) < deg(s(x)), and deg(di(x)) < deg(s(x)) Nhân hai vế với

Theo Bổ đề 2.2.1, ta có dm+1(x) = cm+1(x) Áp dụng giả thiết quy nạpsuy ra e1(x) = e2(x), c1(x) = d1(x), , cm(x) = dm(x).

đề 2.2.1 ta có e(x) là phần đa thức của a(x)s(x)m

Bổ đề trên dẫn đến kết quả chính sau của mục Chú ý theo Định

lý 1.2.6 mọi đa thức g(x) trong F [x] viết được thành lũy thừa của các

đa thức bất khả quy g(x) = s1(x)m1· · · sn(x)mn

Định lý 2.2.7 (Phân tích phân thức đơn giản) Cho F = f (x)g(x) ∈ F (x).Viết g(x) thành lũy thừa của các đa thức bất khả quy phân biệt g(x) =

s1(x)m1· · · sn(x)mn Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức e(x) và aij(x)

với deg(aij(x)) < deg(si(x)) thỏa mãn

f (x)g(x) = e(x) +

Nếu deg(g(x)) < deg(f (x)) thì e(x) = 0

2.3 Một số phương pháp phân tích phân thức

2.3.1 Đồng nhất hệ số

Ví dụ 2.3.1 Tìm phân tích đơn giản của f (x)g(x) = x2 +2x−31 ∈ Q(x)

Giải Phân tích mẫu thức q(x) = x2 + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1) Do đótheo Định lý 2.2.7 ta có phân tích phân thức đơn giản

f (x)g(x) =

1

x2 + 2x − 3 =

14

Ví dụ 2.3.2 Tìm phân tích phân thức đơn giản của

Theo Định lý 2.2.7, phân tích phân thức đơn giản có dạng

2x6 − 4x5 + 5x4 − 3x3 + x2 + 3x

(x − 1)3(x2 + 1)2 = A

x − 1 +

B(x − 1)2 + C

(x − 1)3

+ Dx + E

x2 + 1 +

F x + G(x2 + 1)2

Nhân hai vế với mẫu thức ta có đồng nhất thức

2x6 − 4x5 + 5x4 − 3x3 + x2 + 3x =

= A(x − 1)2(x2 + 1)2 + B(x − 1)(x2 + 1)2 + C(x2 + 1)2+ (Dx + E)(x − 1)3(x2 + 1) + (F x + G)(x − 1)3

Do đó

2x6 − 4x5 + 5x4 − 3x3 + x2 + 3x =

= A(x − 1)2(x2 + 1)2 + B(x − 1)(x2 + 1)2 + (x2 + 1)2+ (Dx + (A − B))(x − 1)3(x2 + 1) + (x − 1)3

= (A + D)x6 + (−A − 3D)x5 + (2B + 4D + 1)x4+ (−2B − 4D + 1)x3

x2 + 1 +

1(x2 + 1)2

2.3.2 Phân thức có cực điểm đơn

Mệnh đề 2.3.3 Cho P = f (x)g(x) ∈ F (x) thỏa mãn g(x) có nghiệm đơn(nghĩa là P có cực điểm đơn) α Khi đó hệ số λ của x−αλ trong phântích phân thức đơn giản của P = f (x)g(x) ∈ F (x) là

(x − α)f (x)

g(x)

x=α

Chứng minh Vìαlà nghiệm đơn củag(x)nêng(x) = (x−α)g1(x), g1(α) 6=

0 Theo Bổ đề 2.2.4, tồn tại f1(x) ∈ F [x] thỏa mãn

P = f (x)g(x) =

λ

x − α +

f1(x)

g1(x).

(x − α) − (x − β)(β − α)(x − α)(x − β)

(β − α)(x − β) − 1

(β − α)(x − α).

Mệnh đề 2.3.6 Cho P = f (x)g(x) ∈ F (x) thỏa mãn g(x) có cực điểm đơn

α Khi đó hệ sốλ của x−αλ trong phân tích đơn giản của P = f (x)g(x) ∈ F (x)

là

f (x)

g0(x)

2.3.3 Phân thức có cực điểm bội tại 0

Trước hết ta giới thiệu phép chia đa thức theo lũy thừa tăngĐịnh lý 2.3.9 (Chia đa thức theo lũy thừa tăng) Cho n ∈ N và

f (x), g(x) ∈ F [x] thỏa mãn g(0) 6= 0 Khi đó tồn tại duy nhất cặp

g(x) và như vậy xn+1 không chia hết g(x) Do đó xn+1 phải chia hết

q(x) − q0(x) Vì deg(q(x) − q0(x)) ≤ n nên q(x) − q0(x) = 0 Cuối cùng

Phép chia theo lũy thừa tăng giúp ta tìm phân tích đơn giản củaphân thức hữu tỉ có cực điểm 0

Ví dụ 2.3.11 Tìm phân tích đơn giản của x4 (1+x1+x2 ) ∈ Q(x)

Giải Chia 1 + x cho 1 + x2 như sau

trong đó e(x) là phần đa thức của P và A1, A2, A2, B ∈ R Chia x5+ 1

cho x3(x − 2) ta được e(x) = x + 2

x − 2.

Nhận xét 2.3.13 Chia 1 + x5 cho −2 + x2 đến cấp 2, trong phép chia

ta không sử dụng đến các hạng tử có bậc lớn hơn hoặc bằng 3 Vì vậy

ta có thể bỏ các hạng tử này ra khỏi sơ đồ chia Ta có sơ đồ chia rútgọn như sau

2.3.4 Phân thức có cực điểm bội khác 0

Giả sử phân thức có cực điểma bội khác không Ta đặt y = x − a

và áp dụng trường hợp cực điểm tại 0

Ví dụ 2.3.14 Tìm phân tích phân thức đơn giản củaP = (x−1)41(x+2) 3 ∈

R(x)

Giải Phần đa thức của P là 0 và P có phân thức đơn giản dạng

P = A4(x − 1)4 + A3

(x − 1)3 + A2

(x − 1)2 + A1

(x − 1)+ B3

Chia1cho(−3+z)4 theo lũy thừa tăng đến cấp2(chú ý2 = 3−1).

(x − 1)4 + −271

(x − 1)3 +

2 81

(x − 1)2 + −72910

(x − 1)

+

1 81

(x + 2)3 +

4 243

(x + 2)2 +

10 729

(x + 2),

Ta có thể kết hợp với việc thayx bởi các giá trị đặc biệt hoặc cho

x dần ra vô cùng (điều này tương đương với việc đặt y = 1x và thay y

x − 1 +

C

x − 2.

Nhân hai vế với x − 2 rồi thay x bằng 2, ta có C = 2

Nhân hai vế với (x − 2)2 và thay x bằng 1, ta có A = −1

Nhân hai vế bởi x và cho x dần ra vô cùng ta được B + C = 0 Điềunày kéo theo B = −2 Do đó

P = −1(x − 1)2 + −2

x − 1 +

2

x − 2.

2.3.5 Sử dụng công thức nội suy

Công thức nội suy Lagrange giúp ta phân tích các phân thức

mà mẫu thức là đa thức tách được và các cực điểm đơn Trước hết ta

giới thiệu công thức nội suy Lagrange Cho F là một trường (thôngthường ta xét F là trường số hữu tỉ, trường số thực hay trường sốphức) Cho tương quan y = f (x), trong đó f (x) là ánh xạ từ F vào

Phép chia theo lũy thừa tăng giúp ta tìm phân tích đơn giản củaphân thức hữu tỉ có cực điểm

Ví dụ 2.3.11 Tìm phân tích đơn giản x4 (1+x1+x2... 2.

2.3.5 Sử dụng công thức nội suy

Công thức nội suy Lagrange giúp ta phân tích phân thức

mà mẫu thức đa thức tách cực điểm đơn Trước hết ta