Đề số 20 lời giải

Câu 2: Một téc nước hình trụ đang chứa nước được đặt nằm ngang, có chiều dài 3m và đường kính đáy 1 .m Hiện tại mặt nước trong téc cách phía trên đỉnh của téc nước là 0, 25m xem hình vẽ.

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 20

Câu 1: Cho số phức z x yi x y   ,  

thỏa mãn z 2 3 i 5

và

5 4

1

2 3

 



  Gọi M m, lần lượt là

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P x y  x y Giá trị M m bằng:

Lời giải Chọn C

Gỉa sử z  x yi với x y  , có điểm biểu diễn là M x y ; 

trong mặt phẳng phức

Ta có: z 2 3 i  5 x yi  2 3 i  5 x 22y 32 25.(1)

 M thuộc hình tròn ( )C có tâm I2;3

và bán kính R 5.

Ta lại có:

5 4

2 3

 

              

 

x 52 y 42 x 22 3 y2

7x y 14 0

Đồ thị của (1) và (2) là phần gạch chéo ( )D như hình vẽ trên với A2;0 , B1;7 

Ta biến đổi biểu thức P thành : x2y210x 6y P  với điều kiện 0 P  34 thì đây là

phương trình đường tròn ( )C có tâm 1 J  5;3

và bán kính R1  P34 (đường nét đứt màu xanh lá)

Hệ

7 14 0

x y



  





 có nghiệm x y ;  ( )C và 1 ( )D có điểm chung

 Đường tròn ( )C nằm giữa hai đường tròn 1 ( )C và đường tròn 2 ( )C 3

1

2 R P 34 4 2

2, 30.

Vậy M m  2 3032.

Câu 2: Một téc nước hình trụ đang chứa nước được đặt nằm ngang, có chiều dài 3m và đường kính đáy 1 m

Hiện tại mặt nước trong téc cách phía trên đỉnh của téc nước là 0, 25m (xem hình vẽ) Tính thể tích

của nước trong téc (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn)?

A 1,896 m 3 B 1,895m 3 C 1,167 m 3 D 1, 768m 3

Lời giải Chọn A

Ta có: HC 0, 25 IH IC HC 0,5 0, 25 0, 25   m

Xét tam giác IHA vuông tại H , ta có:



IH

AIB IA

         

Diện tích hình quạt IACB là :

2

2

2

R









Diện tích phần tô đậm là :

1

sin120

12 2 2 2 12 16

IAB

Thể tích phần không chứa nước của téc nước hình trụ là :

3

3

12 16

V h S     m

Thể tích của nước trong téc là :

2

Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng

:

  

  : x2y 2z 1 0

Biết mặt phẳng  P

chứa  

và tạo với  

một góc nhỏ nhất có phương trình dạng 7x by cx d   0 Giá trị b c d  là:

Lời giải Chọn A

Gọi M là giao điểm của  và mặt phẳng    M3; 4; 3  

Trên  lấy điểm I bất kì, gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên mặt phẳng   , K là hình chiếu vuông góc của H trên đường thẳng d Khi đó     P ,   IKH

Ta có:

 sinIKH IH IH

nên IKH nhỏ nhất khi K trùng M Khi K trùng M thì IM d Nên: n P u u, d u,u n,  7;10; 13 

Vậy phương trình mặt phẳng:  P : 7x1 10 y13z1 0

 P : 7x10y13z 20 0

Câu 4: Cho hàm số f x x3ax2bx c

có đồ thị  C

Biết rằng tiếp tuyến d của  C

tại điểm A có

hoành độ bằng 1 cắt  C

tại điểm B có hoành độ bằng 2(xem hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi d và  C

(phần gạch chéo) bằng

m

n (với m n, nguyên dương và phân số

m

n tối giản) Giá trị

m n bằng:

A 29 B 15 C 31 D 13.

Lời giải Chọn C

Giả sử phương trình tiếp tuyến d: g x  mx n

Có: g x  f x  x3 ax2m b x n c   

Dựa vào giả thiết nên: g x  f x  x3 ax2m b x n c     x1 2 x 2

Nên diện tích hình phẳng:    

2

2 1

27

4



Vậy m n 31

1 3

3

4 x m log x 2x 3 2x xlog 2 x m 2

có 3

nghiệm thực phân biệt:

Lời giải Chọn B

1 3

3

4 x m log x 2x 3 2x xlog 2 x m 2

2.4 x m log x 2x 3 2x xlog 2 x m 2

2.2x xlog x 2x 3 2 x m log 2 x m 2

2x  x log x 2x 3 2 x m  log 2 x m 2

(*)

Xét hàm số f t  2 log ,t 3t t 0

1

ln 3

t

hàm số yf t  đồng biến trên R Suy ra phương trình (*) f 2 x m 2 f x 2 2x3  2 x m  2 x2 2x3

2

2 x m x 2x 1

2 2

m x

   

 

 

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số 2   2  

yx  x C yx  C trên cùng một hệ trục tọa độ

Vậy phương trình có ba nghiệm phân biệt

3

2

m m

m

m



















Suy ra có 3 giá trị của m

Câu 6: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn 2 z i  z z2i

và 2 z i z    

là số thực:

Lời giải Chọn D

Giả sử số phức z x yi x y; ,   Khi đó

2 z i  z z2i  2 x  y1  2y2  4x 16y0 1

và 2 z i z    2 x yi x   1 y i 2x y x  2 y22 x 2y i

là số thực nên ta có: 2 x 2y 0 x 2 2 2y  

Từ phương trình    1 ; 2

ta có

2 2

3 5

2

 



Vậy tồn tại hai số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 7: Biết tích phân

2 6

0

ln 3 3 16

sin 3 cos

x x







, với a b c, , là các số nguyên Giá trị

a b c  bằng

Lời giải Chọn C

Đặt

2 6

0

sin d sin 3 cos

x x A







và

2 6

0

cos d sin 3 cos

x x B







Ta có:





6 0

ln tan ln 3 ln 3

x





Mặt khác ta lại có

6 0

sin 3cos

sin 3 cos







Ta có hệ phương trình

4

A

       

A

Vậy a3;b4;c4 a b c  3

Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x 2y z 5 0

Viết phương trình mặt phẳng  Q song song với mặt phẳng  P , cách  P một khoảng bằng 3 và cắt trục

Oxtại điểm có hoành độ dương.

A  Q : 2x 2y z  4 0

B  Q : 2x 2y z 14 0

C  Q : 2x 2y z 19 0 D  Q : 2x 2y z 8 0

Lời giải Chọn B

Ta có,

 Q

song song  P

nên phương trình mặt phẳng  Q : 2x 2y z C  0

; C 5

Chọn M0;0;5   P

Ta có

   

 2

5

C

4 14

C C







 

C   Q x y z   khi đó  Q cắt Oxtại điểm M 1 2;0;0có hoành độ âm nên

trường hợp này  Q không thỏa đề bài.

 

14 : 2 2 14 0

C   Q x y z   khi đó  Q

cắt Oxtại điểm M27;0;0

có hoành độ dương

do đó  Q : 2x 2y z 14 0 thỏa đề bài

Vậy phương trình mặt phẳng  Q : 2x 2y z 14 0

Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M3;0;4

và mặt cầu  S

:

x12y22z 42 9

Qua điểm M vẽ ba tia Mu; Mv; Mw đôi một vuông góc với

nhau và cắt mặt cầu  S

lần lượt tại các điểm A; B; C Gọi E là đỉnh đối diện với đỉnh M của hình

hộp chữ nhật có ba cạnh là MA; MB; MC Biết điểm E luôn thuộc một mặt cầu cố định khi ba tia

Mu; Mv; Mw thay đổi thỏa mãn đề bài Tính bán kính mặt cầu đó:

A 2 3 B 4 2 C 13 D 11

Lời giải Chọn D

Mặt cầu  S

có tâm I1; 2;4 , bán kính R 3 Gọi G x y z ; ; 

là trọng tâm tam giác ABC

 MA MB MC     3MG ME

; IA IB IC    3IG

 9MG2 9MG 2 MA MB MC   2 MA2MB2              MC2              2MA MB MB MC MC MA    

Lại có: 9IG2 9IG 2 IA IB IC   2 IA2IB2IC       2       2              IA IB IB IC IC IA                 

            

 9IG2 9R218MG2  IG22MG2 9

 x12y22z 422x 32y2z 42 9

2

4

 Điểm G thuộc mặt cầu tâm 1

I   

 , bán kính 1

11 3

R 

Mà 1

MI    

; ME  3MG

 MI  3MI1

 I; E lần lượt là ảnh của I ; 1 G qua phép vị tự tâm M , tỷ số k 3

Vậy điểm E luôn thuộc mặt cầu tâm I , bán kính R 2 11.

Câu 10: Cho hàm số f x 

có đạo hàm trên và f  1 1

Đồ thị hàm số yf x 

như hình bên Có bao

nhiêu số nguyên dương a để hàm số y4f sinxcos 2x a

nghịch biến trên

0;

2



 

 

 ?

Lời giải Chọn B

Đặt g x 4f sinxcos 2x a  g x   4f sinxcos 2x a  2

4cos sin 2sin 2 4 sin cos 2

4 sin cos 2

g x



Ta có 4 cos x fsinx 2sin 2x4 cosx f sinx sinx

Với

0;

2

x   

  thì cosx0,sinx0;1 fsinx sinx 0

Hàm số g x  nghịch biến trên 0;2



 

 

  khi 4f sinx cos 2x a 0, x 0;2



 

      

 

4 sin 1 2sin , 0;

2

 

Đặt tsinx được 4f t  1 2t2   a t, 0;1

(*)

Xét h t  4f t  1 2t2 h t  4f t  4t 4 f t 1

Với t 0;1

thì h t  0 h t 

nghịch biến trên 0;1

Do đó (*) a h  1 4 1 1 2.1f    2  Vậy có 3 giá trị nguyên dương của a thỏa mãn.3