Tìm giá trị nhỏ nhất đó... Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018 Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình.
Trang 1Câu 1 (Tuyển sinh tỉnh An Giang năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình sau:
1
x y
x y
Lời giải
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x y ; 2;1
Câu 2 (Tuyển sinh tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu 2017-2018)
Giải hệ phương trình
x - y = 3 3x - 2y = 8
Lời giải
2x - y = 3 7x = 14 x = 2 x = 2
3x+ 2y = 8 2x - y = 3 4 - y = 3 y = 1
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x y ; 2;1
Câu 3 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Giang năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình
x y
x y
Lời giải
Hệ phương trình
x y
x y
10 3
2 3(10 3 ) 3
10 3
11 30 3
x
1 3
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x y ; 3;1
Câu 4 (Tuyển sinh tỉnh Thái Bình năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình
Lời giải
x y
x y
x y
x y
10 5
x y x
1
2 1 2
y x
1 2 1
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ; 1; 1
2
x y
Câu 5 (Tuyển sinh tỉnh Thái Nguyên năm 2017-2018)
Cho hệ phương trình: 1
mx y n
nx my
(I) (m n, là tham số)
Trang 2a) Giải hệ phương trình khi
1 2
m
;
1 3
n
b) Xác định m, n biết rằng hệ phương trình có nghiệm là ( 1; 3)
Lời giải
a) Thay
1 2
m
,
1 3
n
vào hệ phương trình (I) ta được:
1 1
1
x y
1
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
10 22 ( ; ) ;
7 21
x y
b) Hệ phương trình (I) có nghiệm ( 1; 3) nên thay x ; 1 y 3 vào hệ phương trình (I) ta được:
3
1 3
1 3
m n
m
Vậy khi ( ; ) ( 3 2; 2 3 2)m n thì hệ phương trình có nghiệm ( ; ) ( 1; 3)x y
Câu 6 (Tuyển sinh tỉnh Bắc Ninh năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình
5
x
x y
ïí
ï + = ïî
Lời giải
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x y ; 2;3
Câu 7 (Tuyển sinh tỉnh Bến Tre năm 2017-2018)
Không sử dụng máy tính cầm tay, Giải hệ phương trình:
x y
ì - = ïï
íï + = ïî
Lời giải
x y
ì - =
ïï
íï + =
ïî
x y
ïï
Û íï +
= ïî
x
x y
ïï
Û íï
- = ïî
1
3 1
x
ïï
Û íï = -ïî
1 2
x y
ì = ïï
Û íï = ïî Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (x y; ) ( )= 1; 2
Câu 8 (Tuyển sinh tỉnh Bình Dương năm 2017-2018)
Trang 31 Giải hệ phương trình
x y
x y
Tính Px y 2017vớix , y vừa tìm được.
Lời giải
1
x y
x y
2 10 6
x y
2 10 6
x y
11 11
x y y
2 5
11 11
y
2 5 1 1
x y
2 1
x y
Vậy hệ phương trình có một nghiệm duy nhất ( x; y ) (2; 1 )
2017 2 1 2017 12017 1
P x y
Câu 9 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018)
Không sử dụng máy tính giải hệ phương trình
x y
x y
Lời giải
x y
x y
3 2 8 2 5
8 2
3 16 4 5
8 2
7 21
8 2
x
3
8 2.3
x
y
3
2
x
y
Trang 4Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ; 3;2
Câu 10 (Tuyển sinh tỉnh Bình Thuận năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình sau:
5 2 11
2
x y
x y
Lời giải
5 2 11
2
5 2( 2 x) 11 2
1 3
x y
x y
x
x y
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (1; 3)
Câu 11 (Tuyển sinh tỉnh Bình Phước năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình:
2 10
x y
x y
Lời giải
Giải hệ phương trình:
2 10
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y ; 4;3
Câu 12 (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018)
Cho hệ phương trình: 2 2 2 6
x y m
( m là tham số) Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm x y;
sao cho biểu thức
2
P xy x y đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải
x y m
y m x
Trang 52 2 2 2
Hệ phương trình đã cho có nghiệm phương trình x2 mx m 2 3 0 có nghiệm
12 3m 0 m 4
2 m 2
Với m thỏa mãn 2 thì phương trình có nghiệm m 2 x y;
Khi đó ta có:
2
Nhận xét: m 12 0 m 2; 2 , dấu bằng xảy ra m thỏa mãn điều kiện.1
4
P
Dấu bằng xảy ra m1.
Vậy minP 4 khi m 1.
Câu 13 (Tuyển sinh tỉnh Cần Thơ năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:
3 10
x y
x y
Lời giải
3 2 3 9
x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 1; 3
Câu 14 (Tuyển sinh tỉnh Cao Bằng năm 2017-2018)
Cho hệ phương trình: 2 2 2 6
x y m
( m là tham số) Hãy tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm x y; sao cho biểu thức P xy 2x y
đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Lời giải
x y m
Trang 6 2
y m x
Hệ phương trình đã cho có nghiệm phương trình x2 mx m 2 3 0 có nghiệm
12 3m 0 m 4
2 m 2
Với m thỏa mãn 2 thì phương trình có nghiệm m 2 x y;
Khi đó ta có:
2
Nhận xét: m 12 0 m 2; 2 , dấu bằng xảy ra m thỏa mãn điều kiện.1
4
P
Dấu bằng xảy ra m1.
Vậy minP 4 khi m 1.
Câu 15 (Tuyển sinh tỉnh Đắc Lắc năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình:
2
x y
Lời giải
2
2 3 1
x y
Từ phương trình 2
suy ra
2 2 3
y
x
, thay vào phương trình 1
ta được:
2
2
y
Vậy hệ có nghiệm x y ; 1;1 , 1; 1
Trang 7Câu 16 (Tuyển sinh tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2017-2018)
Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình
2 4
x y
x y
Lời giải
Vậy hệ có một nghiệm x y ; 2;1
Câu 17 (Tuyển sinh tỉnh Tiền Giang năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình:
2x y 5
x y 4
Lời giải
Giải hệ phương trình:
2x y 5
x y 4
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y; 3;1
Câu 18 (Tuyển sinh tỉnh Đồng Nai năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình: 2 5
5 2 8
x y
Lời giải
4x y 5 12x 3 y 15 19x 19 7.1 3 y 4 y 1
Câu 19 (Tuyển sinh tỉnh Gia Lai năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình
2 3
x y
x y
Lời giải
3 2
y y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là 1; 2
Trang 8Câu 20 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nam năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình
3 1
x y
x y
Lời giải
3 1
x y
x y
7
2
x
x y
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y ; 7; 2
Câu 21 (Tuyển sinh tỉnh Hải Dương năm 2017-2018)
Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình sau:
3
x y
x y
Lời giải
Câu 22 (Tuyển sinh tỉnh Hà Nội năm 2017-2018)
Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình
Lời giải
ĐKXĐ: x và 0 y 1
Ta có hệ:
Giải được:
1 1
x x
Vậy hệ phương trình có nghiệm là:
1 5
x y
Câu 23 (Tuyển sinh tỉnh Trà Vinh năm 2017-2018)
Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình:
y y
Lời giải
Trang 9Câu 24 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Long năm 2017-2018)
Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình:
3 2 10
3 7
x y
x y
Lời giải
Câu 25 (Tuyển sinh tỉnh Hải Phòng năm 2017-2018)
Không sử dụng máy tính cầm tay giải hệ phương trình sau
3 2 2 1 0
3 2 2 7
Lời giải
3 2 2 7
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:
2 2
x y
Câu 26 (Tuyển sinh tỉnh Vĩnh Phúc năm 2017-2018)
Cho hệ phương trình
2 3
( )
I
, m là tham số.
a) Giải hệ với m 2
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hệ ( )I có nghiệm duy nhất
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2y2, trong đó ( ; )x y là nghiệm duy nhất của hệ ( )I
Lời giải
a) Với m , hệ 2 ( )I trở thành:
Vậy với m thì nghiệm của hệ 2 ( )I là (5;2).
b) Ta thấy:
1 2
2 1
Hệ ( )I luôn có nghiệm duy nhất với mọi m
c)
Trang 10Do đó:
2
2
Dấu “=” xảy ra khi
3 2
m
Vậy
min
Câu 1: (Tuyển sinh tỉnh Hưng Yên năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình
3 9 1
x y
x y
Lời giải
3 9
1
x y
x y
4 8
1
y
x y
2 1
y
x y
2 3
y x
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ; 3;2
Câu 27 Tuyển sinh tỉnh Kon Tum năm 2017-2018)
Tìm a và b để hệ pt
5 1
ax y
bx ay
có nghiệm x y ; 1; 1
Lời giải
Để hệ phương trình có nghiệm là x y ; 1; 1
thì .1 ( 1) 5
.1 ( 1) 1
a
b a
4 3
a b
Vậy với x y ; 1; 1
thì hệ pt
5 1
ax y
bx ay
có nghiệm x y ; 1; 1
Câu 28 (Tuyển sinh tỉnh Lai Châu năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình:
2 1
x y
x y
Lời giải
2 1
x y
x y
2 1
4 2 14
x y
x y
2 1
5 15
x y x
3 1
x y
Câu 29 (Tuyển sinh tỉnh Lao Cai năm 2017-2018)
Cho hệ phương trình 2
2
3
x
mx y m
với m là tham số Tìm m để x y nhỏ nhất
Lời giải
Trang 111) Theo định lý Vi-et ta có:
1 2
1 2
5 (2) 5
b
a
x x a
Từ (1) và (2) thay vào b c ta được: 45 a 5a 5 a 5
Suy ra b20;c25
Vậy phương trình đã cho có dạng: 5x2 20x25 0
Câu 30 (Tuyển sinh tỉnh Lạng Sơn năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình:
2 4
x y
x y
Lời giải
Hệ phương trình đã cho tương đương
x y
x y
7 7
y
x y
1
2 3 1 1
y x
1
2 3 1
y x
2 1
x y
Vậy, hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ; 2; 1
Câu 31 (Tuyển sinh tỉnh Yên Bái năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình
3 2 1 1
2 5 2
x y
x y
Lời giải
Lấy (1) +(2) ta được: 4x 4 x1, thayx 1vào (2) ta đượcy 2 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: S 1;2
Câu 32 (Tuyển sinh tỉnh Nam Định năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình
1 1
x y xy
x y
Điều kiện: x0;y1
1
x y xy
x y
Trang 12Câu 33 (Tuyển sinh tỉnh Nghệ An năm 2017-2018)
Giải hệ phương trình :
x y
x y
Lời giải
1 2 3
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm ; 1; 3
2
x y
Câu 34 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Bình 2017 – 2018 )
Giải hệ phương trình:
2 4
x y
x y
Lời giải
2
2 4
x
x y
2 1
x y
Vậy hệ phương trình đã cho có 1 nghiệm x y ; 2;1
Câu 35 (Tuyển sinh tỉnh Ninh Thuận năm 2018-2018)
Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình
3 5
x y
x y
Lời giải
3 5
x y
x y
12x 3 21
3 5
y
x y
13x 26 4x 7
y
2 4.2 7
x y
2 1
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x y ; 2;1
Câu 36 (Tuyển sinh tỉnh Phú Thọ năm 2017-2018)
b) Giải hệ phương trình 2
5
x y
x y
Lời giải
a) Ta có 2
5
x y
x y
2
2 3 5
y x
x y
2
2 3
2 3 5 0
y x
Trang 132 3
2 8 0
y x
2 3 2 4
y x x x
2 2.2 3 1 4
2 4 3 11
x y x y
Vậy hệ có hai nghiệm x y; Î 2;1 , 4; 11
Câu 37 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2017-2018)
1 Giải hệ phương trình
1 3
x y
x y
2 Tính giá trị của biểu thức M a2 b2 biết a b, thỏa mãn 2
2
1
1
a
b
Lời giải
1
2 Điều kiện: a0,b0
Từ giả thiết, ta có:
1
2
b
a
3
.
Câu 38 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ngãi năm 2017-2018)
1) Giải phương trình và hệ phương trình sau:
b)
2 7
x y
x y
Trang 14b)
2 7
x y
x y
Vậy hệ đã cho có một nghiệm 1; 3
Câu 39 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Ninh năm 2017-2018)
2 Giải hệ phương trình
1 3
x y
x y
2
Tính giá trị của biểu thức M a2 b2 biết a b, thỏa mãn
2
2
1
1
a
b
Lời giải
Điều kiện: a0,b0
Từ giả thiết, ta có:
1
2
b
a
3
Câu 40 (Tuyển sinh tỉnh Quảng Nam năm 2017-2018)
a) Không sử dụng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình:
2 3 1 (1)
3 (2)
x y
x y
Lời giải
* Cách 1:
Từ (2) suy ra: x 3 y (3)
* Cách 2:
Biến đổi hệ số của một phương trình Thay (3) vào (1) ta được:
2(3 y) 3 y 1 y 1
Cộng (trừ), tìm đúng giá trị một ẩn
y x Tìm đúng giá trị ẩn còn lại Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm Kết luận đúng( ; ) (2; 1)x y
Trang 15là: ( ; ) (2; 1)x y
Câu 41 (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2011 – 2012)
Giải hệ phương trình sau :
x y
x y
Lời giải
x y
x y
11 11
y
x y
1
y x
4 5 1
x y
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất ; 4;1
5
x y
Câu 42 (Tuyển sinh TP Hồ Chí Minh năm 2013 – 2014)
Giải hệ phương trình sau :
x y
x y
Lời giải
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ; 1; 1
Câu 43 (Tuyển sinh tỉnh Tây Ninh năm 2017 – 2018)
Tìm a và b biết hệ phương trình
1 5
ax y
ax by
có một nghiệm là 2; 3
Lời giải
Hệ phương trình
1 5
ax y
ax by
có một nghiệm là 2; 3
2 3 1
a
a b
2 4
a b
2
a b
2 3
a b
Vậy với a 2 và b 3 thì hệ phương trình đã cho có một nghiệm là 2; 3