Đs chuyên đề 13 hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, chúng ta thường dùng phương pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn.. Đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn..  Tương tự như vậy, hệ phương trì

Trang 1

Chuyên đề 13 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng:

a x b y c z d







 Điều kiện a a a b b b c c c1; ; ; ; ; ; ; ;2 3 1 2 3 1 2 3 không đồng thời bằng 0.

Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, chúng ta thường dùng phương pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn Đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 Tương tự như vậy, hệ phương trình bậc nhất n ẩn là hệ phương trình có dạng:

n n

a x b x c x d









 Điều kiện a a1; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;2 a b b n 1 2 b n c c1 2 c n không đồng thời bằng 0.

Tương tự như trên, ta cũng làm giảm bớt số ẩn bằng cách dùng phương pháp thế, phương pháp cộng

Tuy nhiên phụ thuộc vào mỗi bài, ta có những cách giải thích hợp và ngắn gọn

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

11 (1)

2 5 (2)

3 2 14 (3)

x y z

  





  





Giải Tìm cách giải Phương trình bậc nhất ba ẩn Ta có thể khử bớt một ẩn để đưa về hệ phương trình

bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế:

 Cách 1 Dùng phương pháp cộng để khử ẩn z, đưa về hệ phương trình hai ẩn x, y.

 Cách 2 Từ phương trình (1) biểu diễn z theo x và y thế vào phương trình (2) và (3) ta cũng

được hệ phương trình hai ẩn x, y

Trình bày lời giải

Cách 1 Từ phương trình (1) và (2) ta có: x 2y6

Từ phương trình (2) và (3) ta có: x3y9

Trang 2

Từ đó ta có hệ phương trình: 2 6 5 15 0

Thay vào phương trình (1) ta tính được z 8

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  0;3;8 

Cách 2 Từ phương trình (1) ta được : z11 x y Thay vào phương trình (2) và (3) ta được :

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  0;3;8 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

3 22 (1)

3 20 (2)

3 18 (3)

x y z

  







   



Giải Tìm cách giải Ngoài cách giải như ví dụ 1 Quan sát đặc điểm các hệ số của mỗi phương trình, ta

nhận xét rằng nếu cộng từng vế của ba phương trình, ta được phương trình mới có hệ số của ẩn giống nhau Do vậy ta có lời giải hay và gọn hơn

Trình bày lời giải

Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được

5 x y z  60 x y z  12 (4)

Từ phương trình (4) thay vào các phương trình (1); (2); (3) ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  5; 4;3 

Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình:

1

4 3 12

1

3 10 5









Có nghiệm x; y; z Chứng tỏ x y z  không đổi

(Thi HSG Toán lớp 9, TP Đà Nẵng, Năm học 2009 – 2010)

Giải

Trang 3

Cách 1:

1 3 4 12 (1)

4 3 12

10 3 6 30 (2) 1

3 10 5











Từ phương trình (2) và (1), lấy vế trừ vế ta được:

7

Cách 2: Từ phương trình (1) ta có: z3x 4y12 (3) Thế vào phương trình (2) ta được:

10x3y6 3x 4y12 30

10x 3y 18x 24y 72 30

102 21

28 21 102

28

y

Thay vào (3) ta có: 3 102 21  49 30

4 12

x y z     y    không đổi

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x  2y3zbiết x, y, z không âm và thỏa mãn hệ

phương trình: 2 4 3 8







(Thi HSG Toán lớp 9, TP Hồ Chí Minh, Năm học 2011 – 2012)

Giải

 Tìm cách giải: Từ giả thiết ta thấy hệ phương trình bậc nhất ba ẩn mà chỉ có hai phương

trình, do đó hệ phương trình có vô số nghiệm Suy luận, ta có thể coi một ẩn nào đó là tham số, biểu diễn hai ẩn còn lại theo tham số đó Chẳng hạn biểu diễn x, y theo z Cũng từ đó biểu thức A viết dưới dạng đa thức chứa z Từ điểu kiện x, y, z không âm, ta xác định được miền giá trị của z

Từ đó ta có lời giải sau:

 Trình bày lời giải

Ta có: 2 4 8 3 (1)

3 2 3 (2)

  





  



Từ (2) ta có: y3z 2 3 x Thay vào phương trình (1) ta được:

2 4 3 2 3 8 3

2

x z  x   z x z

Trang 4

Do đó 9 3

y z  z  z

Kết hợp với

3 0 2 0

z x











A x y z z   z z z

Kết hợp với (3) ta có: 15 15

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4 khi z0,x0,y2;

C Bài tập vận dụng

13.1 Giải hệ phương trình sau:

a)

2 3 4 (1)

3 2 2 3 (2)

5 4 9 (3)









b)

2 3 5 0 (1)

2 5 4 3 0 (2)

3 4 2 7 0 (3)









c)

2 4 (1)

2 3 3 6 (2)

3 4 6 (3)









Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ phương trình (1) và (2) ta có 4 2 6 8





 Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ phương trình:

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  1;1;1 

b) Từ phương trình (1) ta có: x2y 3z5 thay vào phương trình (2), (3) ta được:



Từ phương trình (1) ta có: x 2.3 3.2 5 5.  

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  5;3; 2 

c) Từ phương trình (1) ta có: x 4 y 2z thay vào phương trình (2), (3) ta được:





Trang 5

Từ phương trình (1) ta có: x   4 1 2.( 3) 9. 

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  9;1; 3  

2 12 (2)

2 13 (3)

2 14 (4)

x y z t

   



    





   



    



Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được:

5 x y z t   50 x y z t   10 (5)

Từ phương trình (5) thay vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta được:



Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y z t ; ; ;  1;2;3; 4 

13.3 Giải hệ phương trình:

a)

4 (1)

8 (2)

12 (3)

16 (4)

x y z t

   





   





   



    



b)

8 (1)

6 (2)

4 (3)

2 (4)

   





   





   



    



x y z t

y z t x

z t x y

t x y z

a) Từ phương trình (1) và (2) cộng vế với vế: 2.x y  12 x y 6

Từ phương trình (3) và (4) cộng vế với vế: 2.x y 28 x y 14

Từ đó ta có hệ phương trình: 6 10



Thay vào phương trình (1) và (3) ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  10; 4; 2;0   

b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được:

2 x y z t   20 x y z t   10 (*)

Từ phương trình (*) kết hợp với hệ phương trình ta có:

Trang 6

10 2 8 1



Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  2;3;4;1 

a)

6 (1)

9 (2)

12 (3)

10 (4)

8 (5)

x y z

y z t

z t u

t u x

u x y

  





  



  



   



  



b)

4 (1)

5 (2)

6 (3)

12 (4)

8 (5)

x y z

y z t

z t u

t u x

u x y

  





  



  



   



  



a) Từ hệ phương trình đã cho, cộng vế với vế ta được:

3 x y z t u    45 x y z t u    15 (6)

Từ (6) và (1) suy ra: 6  t u 15  t u 9

Thay vào (4) ta có: x 1

Thay vào (3) ta có: z 3

Thay vào (1) ta được: y 2

Thay x1;z3 vào (3) ta được: t 4

Thay z3;t4 vào (4) ta được: u 5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t u ; ; ; ;  1;2;3;4;5 

b) Từ hệ phương trình cộng vế với vế ta được:

35 (6)

x y z t u    

Từ phương trình (1) ta có: x y  4 z

Từ phương trình (4) ta có: t u 12x

Thay vào phương trình (6) ta có: 4  z z 12 x 35 x19 2 z

Thay vào phương trình (1) ta có: 19 2 z y z   4 y3z15 Thay vào phương trình (2) ta có: 3z15 z t 5 t4z 20

Thay vào phương trình (3) ta có: z4z 20 u 6 u5z 26 Thay vào phương trình (4) ta có: 4z 20 5 z 26 19 2  z12 z7

Từ đó ta tính được: x19 2 z5

3 15 6

y z 

Trang 7

4.7 20 8

5.7 26 9

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t u ; ; ; ;  5;6;7;8;9 

a)

3 5 3 34 (1)

2 13 (2)

2 5 4 36 (3)

3 8 5 51 (4)



    









b)

10 (1)

2 6 (2)

3 6 (3)

2 2 13 (4)

x y z t

   



    





   





a) Từ phương trình (1) và (2) ta có: 2y3z2t21 (5)

Từ phương trình (1) và (3) ta có: y t 2 (6)

Từ phương trình (1) và (4) ta có: 3z2t17 (7)

Từ phương trình (6)  y t  2 thay vào phương trình (5) ta được:

2 t 2 3z2t21 3z4t25 (8)

Từ phương trình (7) và (8) ta có hệ phương trình :



 Từ đó ta tính được: y t  2 4 2 2.  

 Thay vào phương trình (1) ta có: x3.2 5.3 3.4 34    x1 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  1;2;3; 4 

b) Từ phương trình (1) và (2) ta có: y 2z4 (5)

Từ phương trình (1) và (3) ta có: 2y 2t  4 y t 2 (6)

Từ phương trình (1) và (4) ta có: 2y z t  3 (7)

Từ phương trình (5)  y2z 4 thay vào phương trình (6):

2z 4 t  2 t 2z 2 thay vào phương trình (7) ta có:

2 2z 4  z 2z 2  3 z3

Từ đó ta tính được: y2.3 4 2;   t2.3 2 4. 

Thay vào phương trình (1) ta có: x   2 3 4 10 x1

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  1;2;3; 4 

13.6 Giải hệ phương trình:

Trang 8

a) 5 7 3



 







b)

x y z







   



a) Đặt

5 7 3

k

   suy ra x5 ; k y7 ; k z3k

Mà 2x y 4z30 nên 10k 7k12 30 15k30 k 2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

5.2 10 7.2 14

3.2 6

x y z









b) Đặt 2 1

k

   suy ra x3k2; y4k1; z7 k

Mà 4x y z  3 nên 4 3 k2  4k1 7k 3 k 6

Suy ra

3.( 6) 2 16

y 4.( 6) 1 25

z 7.( 6) 42

x    





   



   



Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z  ; ;   16; 25; 42   

Tiêu đề	Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn
Trường học	Đại học Đà Nẵng
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	Năm học 2009 – 2012
Thành phố	Đà Nẵng

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	377 KB