Chuyên đề 13 hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn , chuyên đề luyện thi tuyển sinh vào lớp 10 và ôn thi lớp 9 học sinh giỏi toán 9 có lười giải hay

Chuyên đề 13 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình Ôn tập đúng giờ thi để tạo phản xạ làm bài Để tạo thói quen và phản xạ làm bài tốt nhất, trước kỳ thi, các em nên tập làm đề vào đúng thời gian thi thực. Chuẩn bị giấy thi, đề thi và các vật dụng phục vụ làm bài thi; bấm giờ làm bài nghiêm túc, bắt đầu đúng giờ. Áp dụng đúng những điều 2Đ, 3K đã được nhắc ở trên. Lưu ý, khi đi thi, cần chuẩn bị đầy đủ dụng cụ học tập (thước, compa, máy tính, ít nhất 3 chiếc bút cùng màu và chai nước trong suốt có nắp chặt để uống trong phòng thi). Một thân thể khỏe mạnh, tinh thần thoải mái, kiến thức chắc chắn, kỹ năng thành thạo, các em ắt sẽ đăng khoacó dạng Điều kiện không đồng thời bằng 0 Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ch.

Chuyên đề 13 HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN

A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ

 Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng:

a x b y c z d

a x b y c z d

a x b y c z d









Điều kiện a a a b b b c c c1 ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 1 2 3 1 2 3 không đồng thời bằng 0

Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, chúng ta thường dùng phương pháp thế, phương pháp cộng để giảm bớt ẩn Đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 Tương tự như vậy, hệ phương trình bậc nhất n ẩn là hệ phương trình có dạng:

n n

a x b x c x d

a x b x c x d

a x b x c x d













Điều kiện a a1 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 2 a b b n 1 2 b n c c1 2 c n không đồng thời bằng 0

Tương tự như trên, ta cũng làm giảm bớt số ẩn bằng cách dùng phương pháp thế, phương pháp cộng

Tuy nhiên phụ thuộc vào mỗi bài, ta có những cách giải thích hợp và ngắn gọn

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

11 (1)

2 5 (2)

3 2 14 (3)

x y z

x y z

x y z

  





  





Giải Tìm cách giải Phương trình bậc nhất ba ẩn Ta có thể khử bớt một ẩn để đưa về hệ

phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế:

 Cách 1 Dùng phương pháp cộng để khử ẩn z, đưa về hệ phương trình hai ẩn x,

y

 Cách 2 Từ phương trình (1) biểu diễn z theo x và y thế vào phương trình (2) và

(3) ta cũng được hệ phương trình hai ẩn x, y

Trình bày lời giải

Cách 1 Từ phương trình (1) và (2) ta có: x 2y6

Từ phương trình (2) và (3) ta có: x3y9

Từ đó ta có hệ phương trình: x x 23y y96 5x y315y 9 x y03

Thay vào phương trình (1) ta tính được z 8.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  0;3;8 

Cách 2 Từ phương trình (1) ta được : z11 x y .Thay vào phương trình (2) và (3) ta được :

Thay vào phương trình (1) ta tính được z 8

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  0;3;8 

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

3 22 (1)

3 20 (2)

3 18 (3)

x y z

x y z

x y z

  







   



Giải Tìm cách giải Ngoài cách giải như ví dụ 1 Quan sát đặc điểm các hệ số của mỗi

phương trình, ta nhận xét rằng nếu cộng từng vế của ba phương trình, ta được phương trình mới có hệ số của ẩn giống nhau Do vậy ta có lời giải hay và gọn hơn

Trình bày lời giải

Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được

5 x y z   60  x y z   12 (4)

Từ phương trình (4) thay vào các phương trình (1); (2); (3) ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  5; 4;3 

Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình:

1

4 3 12

1

3 10 5

x y z

x y z









Có nghiệm x; y; z Chứng tỏ x y z  không đổi

(Thi HSG Toán lớp 9, TP Đà Nẵng, Năm học 2009 – 2010)

Giải

Cách 1:

1 3 4 12 (1)

4 3 12

10 3 6 30 (2) 1

3 10 5

x y z

x y z











Từ phương trình (2) và (1), lấy vế trừ vế ta được:

7

x y z x y z không đổi

Cách 2: Từ phương trình (1) ta có: z3x 4y12 (3). Thế vào phương trình (2) ta được:

10x 3y 6 3x 4y 12  30

10x 3y 18x 24y 72 30

102 21

28 21 102

28

y

Thay vào (3) ta có: 3 102 21  4 12 49 30

z   y  z 

Xét x y z  102 2128 y y 4928y 30 187 không đổi

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x  2y3zbiết x, y, z không âm và thỏa

mãn hệ phương trình: 32x y x4y3z3z28



(Thi HSG Toán lớp 9, TP Hồ Chí Minh, Năm học 2011 – 2012)

Giải

 Tìm cách giải: Từ giả thiết ta thấy hệ phương trình bậc nhất ba ẩn mà chỉ có

hai phương trình, do đó hệ phương trình có vô số nghiệm Suy luận, ta có thể coi một ẩn nào đó là tham số, biểu diễn hai ẩn còn lại theo tham số đó Chẳng hạn biểu diễn x, y theo z Cũng từ đó biểu thức A viết dưới dạng đa thức chứa z Từ điểu kiện

x, y, z không âm, ta xác định được miền giá trị của z Từ đó ta có lời giải sau:

 Trình bày lời giải

Ta có: 32x y x4y 2 3 (2)8 3 (1)z z

  



Từ (2) ta có: y3z 2 3 x Thay vào phương trình (1) ta được:

2 4 3 2 3 8 3

2

x z  x   z x z

Do đó y3z 2 92z 2 32z.

Kết hợp với

3 0 2 0

z x













Suy ra: A x - 2y3z32z 2 2  32z3z152 z 4.

Kết hợp với (3) ta có: A152 z 4152 .0 4 4

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là  4 khi z0,x0,y2;

C Bài tập vận dụng

13.1 Giải hệ phương trình sau:

a)

2 3 4 (1)

3 2 2 3 (2)

5 4 9 (3)

x y z

x y z

x y









b)

2 3 5 0 (1)

2 5 4 3 0 (2)

3 4 2 7 0 (3)

x y z

x y z

x y z









c)

2 4 (1)

2 3 3 6 (2)

3 4 6 (3)









x y z

x y z

x y z

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ phương trình (1) và (2) ta có 94x x 62y y66z z89 5x 4y1



Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ phương trình:

.

Thay vào phương trình (1) ta tính được z 1.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  1;1;1 

b) Từ phương trình (1) ta có: x2y 3z5 thay vào phương trình (2), (3) ta được:

.





Từ phương trình (1) ta có: x 2.3 3.2 5 5.  

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  5;3; 2 

c) Từ phương trình (1) ta có: x 4 y 2z thay vào phương trình (2), (3) ta được:

.





Từ phương trình (1) ta có: x   4 1 2.( 3) 9. 

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  9;1; 3  

13.2 Giải hệ phương trình sau:

2 12 (2)

2 13 (3)

2 14 (4)

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

   



    





   



    



Hướng dẫn giải – đáp số

Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được:

5 x y z t    50  x y z t    10 (5)

Từ phương trình (5) thay vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta được:

.



Vậy nghiệm của hệ phương trình là x y z t ; ; ;  1;2;3; 4 

13.3 Giải hệ phương trình:

a)

4 (1)

8 (2)

12 (3)

16 (4)

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

   





   





   



    



b)

8 (1)

6 (2)

4 (3)

2 (4)

   





   





   



    



x y z t

y z t x

z t x y

t x y z

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ phương trình (1) và (2) cộng vế với vế: 2.x y  12 x y 6.

Từ phương trình (3) và (4) cộng vế với vế: 2.x y  28 x y 14.

Từ đó ta có hệ phương trình:   146   104

Thay vào phương trình (1) và (3) ta được:

.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  10; 4; 2;0   

b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được:

2 x y z t    20  x y z t    10 (*)

Từ phương trình (*) kết hợp với hệ phương trình ta có:

.



Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  2;3;4;1 

13.4 Giải hệ phương trình sau:

a)

6 (1)

9 (2)

12 (3)

10 (4)

8 (5)

x y z

y z t

z t u

t u x

u x y

  



   



  



   



  



b)

4 (1)

5 (2)

6 (3)

12 (4)

8 (5)

x y z

y z t

z t u

t u x

u x y

  



   



  



   



  



Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ hệ phương trình đã cho, cộng vế với vế ta được:

3 x y z t u     45  x y z t u     15 (6)

Từ (6) và (1) suy ra: 6  t u 15  t u 9

Thay vào (4) ta có: x 1

Thay vào (3) ta có: z 3

Thay vào (1) ta được: y 2

Thay x1;z3 vào (3) ta được: t 4

Thay z3;t4 vào (4) ta được: u 5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t u ; ; ; ;  1;2;3; 4;5 

b) Từ hệ phương trình cộng vế với vế ta được:

35 (6)

x y z t u    

Từ phương trình (1) ta có: x y  4 z

Từ phương trình (4) ta có: t u  12 x

Thay vào phương trình (6) ta có: 4  z z 12 x 35 x19 2 z

Thay vào phương trình (1) ta có: 19 2 z y z   4 y3z15

Thay vào phương trình (2) ta có: 3z15 z t 5 t4z 20

Thay vào phương trình (3) ta có: z 4z 20  u  6 u 5z 26 Thay vào phương trình (4) ta có: 4z 20 5 z 26 19 2  z12 z7

Từ đó ta tính được: x 19 2  z 5

3 15 6

y z  4.7 20 8

5.7 26 9

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t u ; ; ; ;  5;6;7;8;9 

13.5 Giải hệ phương trình sau:

a)

3 5 3 34 (1)

2 13 (2)

2 5 4 36 (3)

3 8 5 51 (4)

x y z t

x y z t

x y z t



    









b)

10 (1)

2 6 (2)

3 6 (3)

2 2 13 (4)

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

   



    





   





Hướng dẫn giải – đáp số

a) Từ phương trình (1) và (2) ta có: 2y3z2t21 (5)

Từ phương trình (1) và (3) ta có: y t 2 (6)

Từ phương trình (1) và (4) ta có: 3z2t17 (7)

Từ phương trình (6)  y t  2 thay vào phương trình (5) ta được:

 

2 t 2  3z 2t 21  3z 4t 25 (8)

Từ phương trình (7) và (8) ta có hệ phương trình :

.



 Từ đó ta tính được: y t  2 4 2 2.  

 Thay vào phương trình (1) ta có: x 3.2 5.3 3.4 34     x 1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  1;2;3; 4 

b) Từ phương trình (1) và (2) ta có: y 2z4 (5)

Từ phương trình (1) và (3) ta có: 2y 2t 4 y t 2 (6)

Từ phương trình (1) và (4) ta có: 2y z t  3 (7)

Từ phương trình (5)  y2z 4 thay vào phương trình (6):

2z 4  t   2 t  2z 2 thay vào phương trình (7) ta có:

2 2z 4  z 2z 2   3 z 3

Từ đó ta tính được: y2.3 4 2;   t2.3 2 4. 

Thay vào phương trình (1) ta có: x    2 3 4 10  x 1.

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  1;2;3; 4 

13.6 Giải hệ phương trình:

a) 5 7 3

x y z

x y z









b)

x y z







   



Hướng dẫn giải – đáp số

a) Đặt 5x7y  3z k suy ra x5 ; k y7 ; k z3k

Mà 2x y 4z30 nên 10k 7k12 30 15k30 k2

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

5.2 10 7.2 14.

3.2 6

x y z









b) Đặt x3 2y41 7z k suy ra x3k2; y4k1; z7 k

Mà 4x y z  3 nên 4 3 k2  4k1 7k  3 k6.

Suy ra

3.( 6) 2 16

y 4.( 6) 1 25

z 7.( 6) 42

x    





   



   



Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z  ; ;   16; 25; 42   

Bài tập 1/68 SGK:

Cho hệ phương trình 147x x 510yy910 (2)(1)



Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vô nghiệm?

Bài tập 2a,c/68 SGK

a) 2x x23y y31 x y11/ 75 / 7

c)



Bài tập 3/68 SGK

Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây Bạn Vân mua 10 quả quýt và 7 quả cam hết

17800 đồng Bạn Lan mua 12 quả quýt và 6 quả cam hết 18000 đồng Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu?

10 7 17800 800

12 6 18000 1400



Bài tập 5a/68 SGK

Yêu cầu hs nhắc lại cách giải hệ trên

Kết quả: x=1, y=1, z=2.

Bài toán 1: Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng

cây Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng Mỗi em lớp 10B trồng được

2 cây bạch đàn và 5 cây bàng Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ?

A Lớp 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em.

B Lớp 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em.

C Lớp 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em.

D Lớp 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em.

HD: Đáp án A Giải hệ phương trình:

Bài toán 2: Một nhóm học sinh gốm 3 bạn A, B, C bán hàng online các mặt hàng áo phông,

quần sooc, mũ lưỡi trai Trong một ngày, bạn A bán được 3 áo, 2 quần và 1 mũ, tổng doanh thu trong ngày là 310000 đồng Bạn B bán được 2 áo, 3 quần và 2 mũ, tổng doanh thu trong ngày là 330000 đồng Bạn C bán được 4 áo, 1 quần và 2 mũ, tổng doanh thu trong ngày là

350000 đồng Hỏi giá bán của mỗi áo, quần và mũ là bao nhiêu?

HD:

Bài toán 1 : Trong kho tàng văn hóa dân gian Việt Nam có bài toán “Trăm trâu trăm cỏ” sau

đây:

Trâu đứng ăn năm Trâu nằm ăn ba

Lụ khụ trâu già

Ba con một bó”

Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già?

HD: Gọi số trâu đứng là x, số trâu nằm là y, số trâu già là z (với x, y, z là những số nguyên

dương nhỏ hơn 100) Ta có hệ phương trình:

100

100 1

7 4 100

3

x y z

x y z

x y

x y z

  



  







 



ĐS: Kết hợp điều kiện ta có ba nghiệm:

4 18 78

x y z











 



;

8 11 81

x y z











 



;

12 4 84

x y z











 



Bài toán 2: Cho một mạch điện kín như hình vẽ Biết R 1 0, 25  ; R 2 0,36 ; R 3 0, 45  và

0,6 V

hai mạch rẽ Tính I 1 , I 2 , I 3

HD:

0 0,36 0, 45 0

0, 25 0,36 0,6

R 1

R 2 R 3

I 1 I I 2 3

U

ĐS:

1

2

3

36 35 20 21 8 105

I

I

I























