Đs9 chuyên đề 3 hệ phương trình (68 trang)

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9Trừ theo vế 2 phương trình của hệ ta có: 4x2 4y2 y 3 x 3 + Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp.. BỒI

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |CHUYÊN ĐỀ 3.HỆ PHƯƠNG TRÌNH

a Đồ thị của nó đi qua hai điểm A(1;3), (2; 4)B

b Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độbằng 2

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x1;y0

Ví dụ 3 Giải các hệ phương trình sau:

y x

2

x

x y x

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

điều kiện Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (16;30)x y 

d Điều kiện y0,x1 Ta viết lại hệ phương trình thành:

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

(2)2

u u v v v

x y xy

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

a Giải hệ phương trình với m 2

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y trong đó x, y trái dấu.

c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y thỏa mãn xy

b Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m

c Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y mà x, y đều là số nguyên.

d Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y thì điểm M x y( ; )luôn chạy trên một đường

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Trường hợp 2: m 1 Khi đó phương trình (3) thành: 0.x 0

Vậy hệ có vô số nghiệm dạng ( ; 2x  x x),  

Trường hợp 3: m 1 khi đó phương trình (3) thành: 0.x 4

(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm

c Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1

Vậy điểm M x y( ; ) luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình y x  2

e Khi hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y theo (d) ta có: y x  2 Do đó:

Vậy với m 0 thì x y. đạt giá trị nhỏ nhất

Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ x y 2 theo cách khác: Khi hệ phương trình

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

 Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn

có nghiệm Gọi ( ; )x y0 0 là một cặp nghiệm của phương trình.

Chứng minh: x02y02 5(x0 y0) 10 0 

Lời giải:

Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có y3m 1 mx thay vào phương trình (1) của hệ tacó: (m21)x3m2 3m2 Do m  2 1 0 với mọi m nên phương trình này luôn có nghiệm duynhất x0 Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi m

(3 x )(x  2) ( y  4)(y 1) 0  x y  5(x y ) 10 0  Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau:

( ) :d x my 4m 2 0,( ') : d mx y  3m1 0 Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng (d)luôn đi qua điểm cố định: A(2; 4) và đường thẳng (d’) luôn đi qua điểm cố định: B(3;1) Mặt khác

ta cũng dễ chứng minh đường thẳng (d) và đường thẳng (d’) vuông góc với nhau nên hai đườngthẳng này luôn cắt nhau Gọi M x y( ; )0 0 là giao điểm của hai đường thẳng thì tam giác MAB vuông

tại M Gọi I là trung điểm của AB thì 5 5; , 10

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

+ Nếu m 0 thì( ) :d1 y  1 0 và ( ) :d2 x  5 0 suy ra (d1) luôn vuông góc với (d2).

+ Nếu m 1 thì ( ) :d1 x  1 0 và ( ) :d2 y 11 0 suy ra (d1) luôn vuông góc với (d2)

+ Nếu m 0;1 thì đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có hệ số góc là: 1 , 2 1

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

qua A ( 1;1) cố định, đường thẳng (d2) luôn đi qua B(3; 5) cố định suy ra I thuộc đường tròn

đường kính AB Gọi M(1; 2) là trung điểm AB thì ( 1)2 ( 2)2 13 (*)

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

(Tuyển sinh lớp 10, THPT chuyên, Đại học Vinh, năm học 2015 – 2016)

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Vậy hệ đã cho có nghiệm: ( ; ) 1;3 5 , 3 5;1

( )2

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

34

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

31

a b ab

Tóm lại hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x y 0

d Từ giả thiết ta suy ra x y , 0, mặt khác 4 2

y

     , tương tự ta có x 0

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Trừ theo vế 2 phương trình của hệ ta có: 4x2 4y2 y 3 x 3

+ Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp.

Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

+ y 0 ta đặt x ty thì thu được phương trình: 1 n n k 0

6(x y ) (8 x2 )(y x 3 )y đây là phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ đó ta có lời giải như sau:

Vì x 0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt y tx Khi đó hệ thành:

3

y y

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

x

y xy

5x y 4xy 3y  x y (x y ) Từ đó ta có lời giải như sau:

Ta thấy y 0 không là nghiệm của hệ:

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Ta thấy các phương trình của hệ đều là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x, y 1

Dễ thấy y 1 không phải là nghiệm của hệ phương trình.

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Khi t 1 ta có: y x 22 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta thu được: x 1 y3

Tóm lại hệ phương trình có một cặp nghiệm ( ; ) (1; 3)x y   .

4 Phương pháp biến đổi tương đương

Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật cơ bản như: Thế, biến đổi các phương trình về dạng tích, cộng trừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Phương trình (3) tương đương với: (xy 2)2xy x 2 3) 0

+ Nếu: xy 2 thay vào (*) ta có:

2y x 5

TH 1: x 0 thay vào ta tìm được: y 1

TH 2: 2y x 25 thay vào phương trình y2 2xy8x2 6x 1 4y2 4 2x y32x2 24x4 tacó:

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Công việc còn lại là khá đơn giản

Cách 2: Ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2)

Từ đó ta có cách giải như sau:

Lấy 2 lần phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) của hệ ta có:

Phần việc còn lại là khá đơn giản

b Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta thu được:

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

+ Hoặc ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2) sau đó chọn k sao cho có thể biểu diễn được x theo y Để có được quan hệ này ta cần dựa vào tính chất Phương trình ax2bx c biểu diễn được thành dạng: 2

Từ đó thay vào phương trình thứ 2 ta tìm được các nghiệm của hệ

d Từ phương trình đầu của hệ ta suy ra 2 2 2

x x   y x   x  x y   xy thayvào phương trình thứ 2 ta thu được: (x1) x2 2x 3 x21

Điều kiện x 1 ta viết lại phương trình thành: 2 2

(x1) x  2x 3 x 1 Bình phương hai vếphương trình trở thành: (x22x1)(x2 2x3)x42x2 1 2x 2 x1 Vậy hệ cónghiệm x y 1

Cộng hai phương trình của hệ ta có:

Thay vào phương trình đầu ta tìm được nghiệm của hệ

e Đối với các hệ đại số bậc 3:

Ta có thể vận dụng các hướng giải:

+ Biến đổi hệ để tạo thành các hằng đẳng thức.

+ Nhân các phương trình với một biểu thức đại số sau đó cộng các phương trình để tạo ra quan hệ tuyến tính.

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực:

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Nhận thấy x 1 thì hệ trở thành:

2 2

Từ đó ta có cách giải như sau:

Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) của hệ ta có:

Từ đó ta dễ dàng tìm được các nghiệm của hệ: ( ; ) ( 1; 4), ( 1; 4)x y    

b Làm tương tự như câu a

Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) thì thu được:

(x1) ( x1) 3(y 5)  0

Từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm của hệ

c Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta thu được:

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: ( ; ) (2; 3),(3; 2)x y   

Lấy 2 lần phương trình (2) trừ đi phương trình (1) ta thu được:

Trừ hai phương trình cho nhau ta có: y 1 thay vào thì hệ vô nghiệm.

Kết luận: Nghiệm của hệ là: ( ; ) 1 3 3 5; , 1 3 3 5;

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Đặt ẩn phụ là việc chọn các biểu thức f x y g x y( ; ); ( ; ) trong hệ phương trình để đặt thành các ẩn

phụ mới làm đơn giản cấu trúc của phương trình, hệ phương trình Qua đó tạo thành các hệ phương trình mới đơn giản hơn, hay quy về các dạng quen thuộc như đối xứng, đẳng cấp….

Để tạo ra ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt các phương trình trong hệ thông qua các kỹ thuật: Nhóm phân tử chung, chia các phương trình theo những số hạng có sẵn, nhóm dựa vào các hằng đẳng thức, đổi biến theo đặc thù phương trình,…

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

21

2

x y

( )48

a b ab

L ab

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

2

11

11

1 44

g Xét x 0 thay vào hệ phương trình ta thấy không thỏa mãn, suy ra x 0, chia 2 phương trình

của hệ lần lượt cho x x, 2 ta thu được:

2 2

y y

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

x y x

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

x y Ta thấy khi x 0 thì hệ không có nghiệm

Chia phương trình (1) cho 2

0

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

x y

Thay vào phương trình còn lại ta có: x26x13 2 3 x 4 3 5x9 (4)

Điều kiện xác định của phương trình (4) là: 4

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

f Điều kiện: y0,x y 0

Nhận thấy y 0 thì hệ vô nghiệm Ta xét khi y 0

Từ phương trình đầu ta sử dụng phương pháp liên hợp:

Biến đổi phương trình đã cho tương đương:

7 Khi trong hệ có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x, hoặc y

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x hoặc y ta có thể nghĩ đến các hướng xử lý như sau:

* Nếu  chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp.

* Nếu  không chẵn ta thường xử lý theo cách:

+ Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có  chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức.

+ Dùng điều kiện  0 để tìm miền giá trị của biến x, y Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị a, y vừa tìm được:

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Giải tương tự như trên ta được x 0

Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: ( ; ) (0;1),(1; 2)x y 

8 Phương pháp đánh giá

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhiacopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ x, y.

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp.

Ví dụ 1 Giải các hệ phương trình sau:

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

a

2

3 2

2 2

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1 Với xy 0 Khả năng này không thể xảy ra Thật

vậy, không làm mất tính tổng quát giả sử x0,y0 thì rõ ràng đẳng thức (1) không thể xảy ra.Vậy hệ có hai nghiệm ( ; )x y là (0;0),(1;1).

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 0

Thay xy vào phương trình còn lại ta có: x 2x25x 3 4x2 5x 3

Để ý rằng x 0 không phải là nghiệm Ta xét x 0, chia phương trình cho x2 thì thu được:

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất ( ; ) (16;3)x y 

e Từ phương trình 2 của hệ ta suy ra x y , 0 Xét phương trình:

B.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN

Bài 1 Giải hệ phương trình sau:

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Thay vào phương trình (1) ta tính được z 1

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  1;1;1 

b) Từ phương trình (1) ta có: x2y 3z5 thay vào phương trình (2), (3) ta được:

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  5;3; 2 

c) Từ phương trình (1) ta có: x 4 y 2z thay vào phương trình (2), (3) ta được:

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z ; ;  9;1; 3  

Bài 2 Giải hệ phương trình:

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t ; ; ;  2;3; 4;1 

Bài 3 Giải hệ phương trình:

3.2 6

x y z

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z  ; ;   16; 25; 42   

Bài 4 Giải hệ phương trình:

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y z; ;  là 0;0;0 ; 1;2;3  

Bài 5 Giải hệ phương trình:

1251853613

xy

x y yz

y z zx

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x y z ; ;  4;6;9

Bài 6 Tìm x y z; ; thỏa mãn hệ sau:

3 3 3

2 3

Với x 2 thế vào phương trình, ta được y2,z2

Tương tự với y 2 hoặc z 2, thay vào phương trình ta đều cóx  y z 2

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

x y z

Vậy nghiệm của phương trình là: x y z ; ;  3;3;3 

Bài 9 Giải hệ phương trình: 4 5

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

 Trường hợp 2: Xét y 2, ta được phương trình

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y ;   5; 2 , 3; 2    

Bài 11 Giải hệ phương trình:

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Nên x y z ; ;  10;7; 4 là nghiệm một của phương trình.

 Trường hợp 2 Xét x y y z z x        2618 kết hợp với hệ phương trình ta được:

Nên x y z  ; ;   10; 7; 4   là một nghiệm của phương trình

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z ; ;   10;7; 4 ; 10; 7; 4      

Bài 12 Giải hệ phương trình:

5117

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

Từ phương trình (1); (2); (3) nhân vế với vế ta được:

Suy ra x y z    ; ;   1; 2; 3 là một nghiệm của hệ phương trình.

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: x y z ; ;   3; 4;5 ; 1; 2; 3      

Bài 13 Giải hệ phương trình:

2115112

xyz

x y xyz

y z xyz

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: x y z ; ;   1; 2;3 ; 1; 2; 3      

Bài 14 Giải hệ phương trình:

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

Bài 16 Giải hệ phương trình:

 Nhận xét x  y z 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y z; ;  là  0;0;0 ; 4;5;6    

Bài 17 Cho hệ phương trình  1  1 37

a) Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên x; y nguyên và x y bé nhất

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm học 2011 – 2012)

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

1121

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh ĐakLac, năm học 2011 – 2012)

m  thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x0;y0

Bài 19 Cho hệ phương trình 2 1

b) Xác định giá trị nhỏ nhất của Px2y123x my 1 2

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm 2012 – 2013)

m x

m y

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

b) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất x y;  với x; y là các số nguyên.

Xét m 1 0y 0 phương trình vô số nghiệm  hệ phương trình vô số nghiệm,

nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: x y 2

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

 m 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất là

2

1 21

x m y m

    thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;  thỏa mãn x y Z; 

Bài 21 Cho phương trình  1 2 1

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất x y;  sao cho x0;y0

c) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm x y;  với x; y là số nguyên dương.

d) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho S x2y2 đạt giá trị nhỏ nhất

| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9

e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất x y;  thì điểm M x y ;  luôn nằm trênmột đường thẳng cố định

 Xét m 2, phương trình (*) có dạng: 0y 20 vô nghiệm

 hệ phương trình vô nghiệm

 Với m 2, hệ phương trình vô nghiệm.

 Với m 2; 2  hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

8

2 52

m x

m y m

Vậy 2m8 thì hệ phương trình có hai nghiệm dương

c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì m 2; 2  và nghiệm duy nhất là:

1

52

m x

y m

BỒI DƯỠNG HSG VÀ CHUYÊN TOÁN 9 |

d) Với m 2; 2 ,  hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

8

2 52

m x

m y m

m x

y m

Vậy điểm M x y ;  luôn nằm trên một đường thẳng cố định là x 2y1

Bài 23 Cho hệ phương trình: m 1x y 3

(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm học 2014 – 2015)

m  hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

m m y