Đs9 chuyên đề 3 hệ phương trình (68 trang)

Ta cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y... Ta thấy các phương trình của hệ đều là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x, y1Dễ thấy y 1 không phải

CHUYÊN ĐỀ 3.HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

a Đồ thị của nó đi qua hai điểm A(1;3), (2; 4)B

b Đồ thị của nó cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -4 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x1;y0

Ví dụ 3 Giải các hệ phương trình sau:

y x

xy xy

điều kiện Vậy hệ có nghiệm ( ; )x y (16;30)

d Điều kiện y0,x 1 Ta viết lại hệ phương trình thành:

1 5 (2)2

u u v v v

x y xy

g Điều kiện: x1;y 1 Ta biến đổi hệ phương trình đã cho thành:

a Giải hệ phương trình với m2

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y trong đó x, y trái dấu

c Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y thỏa mãn x y

b Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m

c Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( ; )x y mà x, y đều là số nguyên

d Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y thì điểm M x y( ; )luôn chạy trên một đường thẳng cố định

e Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho x y đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

a Từ phương trình (2) ta có y3m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta được:

(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm

c Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1

Vậy điểm M x y( ; ) luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình y x 2

e Khi hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y theo (d) ta có: y x 2 Do đó:

Vậy với m0 thì x y đạt giá trị nhỏ nhất

Chú ý: Ta cũng có thể tìm quan hệ x y 2 theo cách khác: Khi hệ phương trình

 Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn

có nghiệm Gọi ( ;x y0 0) là một cặp nghiệm của phương trình

Chứng minh: x02y025(x0y0) 10 0

Lời giải:

Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có y3m 1 mx thay vào phương trình (1) của hệ ta có: (m21)x3m23m2 Do m2 1 0 với mọi m nên phương trình này luôn có nghiệm duy nhất x0 Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi m

Gọi ( ;x y0 0) là một nghiệm của hệ: Từ hệ phương trình ta có: 0 0

( ) :d x my 4m 2 0, ( ') :d mx y 3m 1 0 Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định: A(2; 4) và đường thẳng (d’) luôn đi qua điểm cố định: B(3;1) Mặt khác

ta cũng dễ chứng minh đường thẳng (d) và đường thẳng (d’) vuông góc với nhau nên hai đường thẳng này luôn cắt nhau Gọi M x y( ;0 0) là giao điểm của hai đường thẳng thì tam giác MAB vuông

tại M Gọi I là trung điểm của AB thì 5 5; , 10

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, điều đó xảy ra khi và chỉ khi: 2

Khi đó

2 2

Lời giải:

Xét hai đường thẳng ( ) :d1 mx(m1)y 1 0; (d2) : (m1)x my 8m 3 0

+ Nếu m0 thì( ) :d1 y 1 0 và (d2) :x 5 0 suy ra (d1) luôn vuông góc với (d2)

+ Nếu m 1 thì ( ) :d1 x 1 0 và (d2) :y 11 0 suy ra (d1) luôn vuông góc với (d2)

+ Nếu m 0;1 thì đường thẳng (d1), (d2) lần lượt có hệ số góc là: 1 , 2 1

qua A( 1;1) cố định, đường thẳng (d2) luôn đi qua B(3; 5) cố định suy ra I thuộc đường tròn

đường kính AB Gọi M(1; 2) là trung điểm AB thì ( 1)2 ( 2)2 13 (*)

Từ (1), suy ra: y4.( 1) 5 1.  

 Trường hợp 3 Xét 4

5

x Phương trình (*) 2 2 x 5 5x 4 7

 Trong một số hệ phương trình đôi khi tính đối xứng chỉ thể hiện trong một phương trình Ta

cần dựa vào phương trình đó để tìm quan hệ S, P từ đó suy ra quan hệ x, y

 Một số hệ phương trình ta cần phép đặt ẩn phụ để đưa về dạng hệ phương trình đối xứng

82

S P

nghiệm của phương trình: X2   X 6 0 X13;X2  2

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm ( ; )x y  ( 2;3), (3; 2)

3; ( 3)3

30 52 04( 8 10) 196 28 2

( )2

34

a b ab

Tóm lại hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x y 0

d Từ giả thiết ta suy ra x y, 0, mặt khác y 4 x2 0 y 0

+ Hoặc các phương trình của hệ khi nhân hoặc chia cho nhau thì tạo ra phương trình đẳng cấp

Ta thường gặp dạng hệ này ở các hình thức như:

+ y0 ta đặt xty thì thu được phương trình: a t1 na t k n k   a n 0

Giải phương trình tìm t sau đó thế vào hệ ban đầu để tìm x, y

6(x y )(8x2 )(y x 3y ) đây là phương trình đẳng cấp bậc 3: Từ đó ta có lời giải như sau:

Vì x0 không là nghiệm của hệ nên ta đặt ytx Khi đó hệ thành:

x

y xy

x y

5x y4xy 3y  x y (xy) Từ đó ta có lời giải như sau:

Ta thấy y0 không là nghiệm của hệ:

Ta thấy các phương trình của hệ đều là phương trình đẳng cấp bậc 3 đối với x, y1

Dễ thấy y 1 không phải là nghiệm của hệ phương trình

Xét y 1 Đặt xt y1 thay vào hệ ta có:

Khi t1 ta có: yx22 thay vào phương trình thứ nhất của hệ ta thu được: x   1 y 3

Tóm lại hệ phương trình có một cặp nghiệm ( ; )x y (1; 3)

4 Phương pháp biến đổi tương đương

Biến đổi tương đương là phương pháp giải hệ dựa trên những kỹ thuật cơ bản như: Thế, biến đổi các phương trình về dạng tích, cộng trừ các phương trình trong hệ để tạo ra phương trình hệ quả

TH 1: x0 thay vào ta tìm được: y 1

TH 2: 2yx25 thay vào phương trình y22xy8x26x 1 4y24 2x y32x224x4 ta có:

Công việc còn lại là khá đơn giản

Cách 2: Ta cộng phương trình (1) với k lần phương trình (2)

Từ đó ta có cách giải như sau:

Lấy 2 lần phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) của hệ ta có:

Phần việc còn lại là khá đơn giản

b Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta thu được:

c Phương trình (1) của hệ được viết lại thành: 2xy4y3x   6 0 (x 2)(2y 3) 0

Từ đó thay vào phương trình thứ 2 ta tìm được các nghiệm của hệ

d Từ phương trình đầu của hệ ta suy ra x x( 2 1) y(1x2) 0 (x21)(xy)  0 x y thay vào phương trình thứ 2 ta thu được: 2 2

(x1) x 2x 3 x 1 Điều kiện x 1 ta viết lại phương trình thành: (x1) x22x 3 x21 Bình phương hai vế phương trình trở thành: 2 2 4 2

(x 2x1)(x 2x 3) x 2x  1 2x  2 x 1 Vậy hệ có nghiệm x y 1

Cộng hai phương trình của hệ ta có:

e Đối với các hệ đại số bậc 3:

Ta có thể vận dụng các hướng giải:

+ Biến đổi hệ để tạo thành các hằng đẳng thức

+ Nhân các phương trình với một biểu thức đại số sau đó cộng các phương trình để tạo ra quan hệ tuyến tính

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình với nghiệm là số thực:

Từ đó ta có cách giải như sau:

Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) của hệ ta có:

x  xy   x  xyy  y x   x  x  y 

Từ đó ta dễ dàng tìm được các nghiệm của hệ: ( ; )x y  ( 1; 4), ( 1; 4) 

b Làm tương tự như câu a

Lấy phương trình (1) cộng với 3 lần phương trình (2) thì thu được:

(x1) ( x1) 3(y5) 0

Từ đó dễ dàng tìm được các nghiệm của hệ

c Lấy phương trình (1) trừ 3 lần phương trình (2) ta thu được:

(x2) (y3)   x y 5

Thay vào phương trình (2) ta có: 2 2 2 3

Vậy hệ phương trình có các nghiệm là: ( ; )x y (2; 3), (3; 2) 

Lấy 2 lần phương trình (2) trừ đi phương trình (1) ta thu được:

Trừ hai phương trình cho nhau ta có: y 1 thay vào thì hệ vô nghiệm

Kết luận: Nghiệm của hệ là: ( ; ) 1 3 3 5; , 1 3 3 5;

Để tạo ra ẩn phụ người giải cần xử lý linh hoạt các phương trình trong hệ thông qua các kỹ thuật: Nhóm phân tử chung, chia các phương trình theo những số hạng có sẵn, nhóm dựa vào các hằng đẳng thức, đổi biến theo đặc thù phương trình,…

21

Từ phương trình (2) suy ra ab22 vào phương trình thứ hai của hệ ta thu được:

2

x y

( )48

a b ab

L ab

3, 32

2

11

11

1 44

x

x y

b

a b

y y

a

y b

g Xét x0 thay vào hệ phương trình ta thấy không thỏa mãn, suy ra x0, chia 2 phương trình

của hệ lần lượt cho x x, 2 ta thu được:

2 2

x x

y y

x y x

x  y Ta thấy khi x0 thì hệ không có nghiệm

Chia phương trình (1) cho 2

3 2 11 0

x y

x 

Kết luận: ( ; )x y (0; 1), ( 1; 2)  

f Điều kiện: y0,x y 0

Nhận thấy y0 thì hệ vô nghiệm Ta xét khi y0

Từ phương trình đầu ta sử dụng phương pháp liên hợp:

7 Khi trong hệ có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x, hoặc y

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc hai theo ẩn x hoặc y ta có thể nghĩ đến các hướng xử lý như sau:

* Nếu  chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp

* Nếu  không chẵn ta thường xử lý theo cách:

+ Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có  chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức

+ Dùng điều kiện  0 để tìm miền giá trị của biến x, y Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị a, y vừa tìm được:

Giải tương tự như trên ta được x0

Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: ( ; )x y (0;1), (1; 2)

8 Phương pháp đánh giá

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhiacopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ x, y

Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp

Ví dụ 1 Giải các hệ phương trình sau:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x y 0

Thay x y vào phương trình còn lại ta có: 2 2

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất ( ; )x y (16;3)

e Từ phương trình 2 của hệ ta suy ra x y, 0 Xét phương trình:

B.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ CHUYÊN

Bài 1 Giải hệ phương trình sau:

Thay vào phương trình (1) ta tính được z1

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z; ;   1;1;1 

b) Từ phương trình (1) ta có: x2y3z5 thay vào phương trình (2), (3) ta được:

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z; ;   5;3; 2 

c) Từ phương trình (1) ta có: x  4 y 2z thay vào phương trình (2), (3) ta được:

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là x y z; ;   9;1; 3  

Bài 2 Giải hệ phương trình:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t; ; ;   10; 4; 2;0   

b) Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z t; ; ;   2;3; 4;1 

Bài 3 Giải hệ phương trình:

3.2 6

x y z

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z; ;   16; 25; 42   

Bài 4 Giải hệ phương trình:

 Nhận xét: x  y z 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho

 Xét xyz0, hệ phương trình viết dưới dạng:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y z; ;  là 0;0;0 ; 1; 2;3  

Bài 5 Giải hệ phương trình:

1251853613

xy

x y yz

y z zx

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là x y z; ;   4;6;9

Bài 6 Tìm x y z; ; thỏa mãn hệ sau:

3 3 3

(Thi học sinh Toán lớp 9, Ninh Bình, năm học 2007 – 2008)

2 3

Với x2 thế vào phương trình, ta được y2,z2

Tương tự với y2 hoặc z2, thay vào phương trình ta đều cóx  y z 2

Kết hợp các phương trình (5), (6), (7) ta được một nghiệm là:

123

x y z

Vậy nghiệm của phương trình là: x y z; ;   3;3;3 

Bài 9 Giải hệ phương trình: 4 5

 Trường hợp 2 Xét 5 4

   Phương trình (*)2 2 x 5 5x4 7 4x 10 5x    4 7 x 1

Từ (1), suy ra: y4.( 1) 5 1.  

 Trường hợp 3 Xét 4

5

x Phương trình (*) 2 2 x 5 5x 4 7

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là     x y;  5; 2 , 3; 2  

Bài 11 Giải hệ phương trình:

Từ phương trình (8) và (5) ta có: y1421 y 7

Từ phương trình (8) và (6) ta có: z1721 z 4

Từ phương trình (8) và (7) ta có: x 11 21 x 10

Nên x y z; ;   10;7; 4 là nghiệm một của phương trình

 Trường hợp 2 Xét xyyzzx 2618 kết hợp với hệ phương trình ta được:

Nên x y z; ;   10; 7; 4   là một nghiệm của phương trình

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: x y z; ;  10;7; 4 ; 10; 7; 4    

Bài 12 Giải hệ phương trình:

5117

Suy ra x y z; ;   3; 4;5 là một nghiệm của hệ phương trình

xyz

x y xyz

y z xyz

 xyz0 không phải là nghiệm của phương trình

 Xét xyz0 hệ phương trình viết dưới dạng:

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình: x y z; ;  1; 2;3 ;   1; 2; 3  

Bài 14 Giải hệ phương trình:

 Xét xyz0 hệ phương trình viết dưới dạng:

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm x y z; ;  là  0;0;0 ; 4;5;6    

Bài 17 Cho hệ phương trình  1  1 37

a) Với m nào thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất

b) Tìm m nguyên để hệ phương trình có nghiệm nguyên x; y nguyên và xy bé nhất

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh An Giang, năm học 2011 – 2012)

1121

(Thi HSG Toán lớp 9, tỉnh ĐakLac, năm học 2011 – 2012)

m thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x0;y0

Bài 19 Cho hệ phương trình 2 1

m x

m y

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

b) Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất  x y; với x; y là các số nguyên

Xét m 1 0y 0 phương trình vô số nghiệm  hệ phương trình vô số nghiệm,

nghiệm tổng quát của hệ phương trình là: x y 2

 m 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất là

21.21

x m y m

    thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất  x y; thỏa mãn x y; Z

Bài 21 Cho phương trình  1 2 1

a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m

b) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất  x y; sao cho x0;y0 c) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm  x y; với x; y là số nguyên dương d) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho 2 2

Sx y đạt giá trị nhỏ nhất

e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất  x y; thì điểm M x y ; luôn nằm trên một đường thẳng cố định

 Xét m 2, phương trình (*) có dạng: 0y 20 vô nghiệm

 hệ phương trình vô nghiệm

 Với m 2, hệ phương trình vô nghiệm

 Với m2; 2  hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

82.52

m x

m y m

Vậy   2 m 8 thì hệ phương trình có hai nghiệm dương

c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì m2; 2  và nghiệm duy nhất là:

1

52

m x

y m

m+2 1 5

d) Với m2; 2 ,  hệ phương trình có nghiệm duy nhất:

82.52

m x

m y m

1

52

m x

y m

Vậy điểm M x y ; luôn nằm trên một đường thẳng cố định là x2y 1

Bài 23 Cho hệ phương trình: m 1x y 3

(Thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Đồng Tháp, năm học 2014 – 2015)

m m y

m  thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện: x y 0.

Bài 24 Giải hệ phương trình :

Bài 25 Giải hệ phương trình :  

 

3 3

Vậy nghiệm của hệ phương trình là      x; y  3;1 ; 1; 2 

Bài 27 Giải hệ phương trình

y 1 y 2y y 1  3 5y  4 0 phương trình vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ phương trình là     x; y 1; 2 ;  2; 1 

Bài 28 Giải hệ phương trình :

Từ phương trình (2) thay vào phương trình (1) ta được

    phương trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ phương trình là     2 1

Suy ra x; y là nghiệm của phương trình 2  

x 2x 1 0x

2 2

1

x 3x 1 0

x 3x 1 0x

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là :      x; y 1;1 ; 1; 2 

Bài 31 Giải hệ phương trình :

Bài 33 Giải hệ phương trình :  

 

2 2 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là     x; y 1;1 ;  1; 1 

Bài 34 Giải hệ phương trình :   3 2 3 2

 Với

3 3

Vậy hệ phương trình đã có cho nghiệm  x; y là 8;64 ; 64;8  

Bài 35 Giải hệ phương trình :

 Với x y 0 là nghiệm của hệ phương trình

 Nhận thấy nếu x0 thì y0 và ngược lại

Xét x0; y0hệ phương trình tương đương với

Bài 38 Giải hệ phương trình :

Với x  1 thì y 2

Vậy phương trình có hai nghiệm : x 1; x 1