Đs chuyên đề 4 căn bậc ba, căn bậc n

Kiến thức cần nhớ 1... Mỗi số thực a 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau.. - Công thức 2 dùng để khai căn một căn thức.. - Công thức 3 dùng để khai căn một tích, nhân các căn thức cùng c

Trang 1

Chuyên đề 4 CĂN BẬC BA, CĂN BẬC n

A Kiến thức cần nhớ

1 Căn bậc ba

a) Định nghĩa: Căn bậc ba của một số a, kí hiệu 3a, là số x sao cho x3 a

 Cho a,3 a  x x3 3a 3 a

 Mỗi số thực a đều có duy nhất một căn bậc ba

 Nếu a 0 thì 3 a 0

 Nếu a 0 thì 3 a 0

 Nếu a 0 thì 3 a 0

b) Tính chất

 a0 3 a 3b

 3 ab3a b.3

3

b

c) Các phép biến đổi căn bậc ba

 A B3 3 A B3

 3 A B3 A B3

0

A

AB B

3 2 3 3 2

3 3

A B









2 Căn bậc n

a) Định nghĩa: Cho a   và n;n2. Căn bậc n của a là một số mà lũy thừa bậc n của nó bằng a.

 Trường hợp n lẻ n2k1; k 

Mỗi số thực a đều có một căn bậc lẻ duy nhất: 2k1a x x2k1 a

Nếu a 0 thì 2k 1a 0



Nếu a 0 thì 2k 1a 0



Nếu a 0 thì 2k 1a 0



 Trường hợp 11 chẵn n2 ; k k 

Trang 2

Mỗi số thực a 0 đều có hai căn bậc chẵn đối nhau Căn bậc chẵn dương kí hiệu là 2k a (gọi là căn

bậc 2k số học của a), căn bậc chẵn âm kí hiệu là 2k a

2k a  x x0 và x 2k a

2k a x x 0

    và x 2k a

Mọi số a 0 đều không có căn bậc chẵn

b) Tính chất của căn bậc n n;n2.

1 0, ,

3 0, 0

4 0, 0

n

n Amn A m 5  A0,m *

Ứng dụng:

- Công thức (1 ) dùng để hạ bậc một căn thức hoặc quy đồng chỉ số các căn thức

- Công thức (2) dùng để khai căn một căn thức

- Công thức (3) dùng để khai căn một tích, nhân các căn thức cùng chỉ số, để đưa một thừa số ra ngoài hoặc vào trong dấu căn

- Công thức (4) dùng để khai căn một thương và chia các căn thức cùng chỉ số, để khử mẫu của biểu thức lấy căn

- Công thức (5) dùng để nâng một căn thức lên một lũy thừa

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính:

a) 354 : 23

b) 38 37 83  37

Giải

Tìm cách giải Để thực hiện phép tính nhân căn bậc 3 ta sử dụng tính chất 3 A B.3 3 A B

Trình bày lời giải

a) 354 : 23 354 : 2 3 27 3

Trang 3

b) 38 37 83  37 38 37 8   37

3 64 37 3 27 3

Ví dụ 2: Rút gọn A 3 26 15 3 3 26 15 3

Giải

Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức có dạng 3

a b c ta viết biểu thức dưới dạng: 3 x y 3, ta chú ý tới hằng đẳng thức:

Do vậy ta xác định x và y thông qua 3xy y 3 a x; 3y2 b, nhưng lưu ý x c chẳng hạn

3 26 15 3 ta chọn x và y theo 3xy y 3 26; x3y2 15 và x 3 suy ra: y 2

Trình bày lời giải:

Ta có: A 38 12 3 18 3 3   38 12 3 18 3 3  

Ví dụ 3: Rút gọn 3 84 3 84

Giải

Tìm cách giải Bài này thú vị và khó hơn ví dụ trước, không thể đưa về dạng 3 x y 3 Do đó,

để tính giá trị biểu thức có dạng B3a b 3a b chúng ta nghĩ tới việc lập phương hai vế và

sử dụng hằng đẳng thứcx y 3x3y33xy x y   sau đó phân tích đa thức thành nhân tử rồi

tìm B.

Áp dụng hằng đẳng thức a b 3 a3b33ab a b   ta có:

3

84

81

           

B B   B B B  mà B2B 2 0

Suy ra B 1

Trang 4

Ví dụ 4: Hãy tính giá trị biểu thức: Q3x3 x21 2020, biết:

3

26 15 3 2 3

Giải

Tìm cách giải Bản chất của bài toán là rút gọn x Quan sát biếu thức x, chúng ta nhận thấy trước

hết cần rút gọn căn bậc ba ở tử thức và mẫu thức trước Bằng kỹ thuật của hai ví dụ trên, chúng ta biến đổi 326 15 3 bằng cách đưa về hàng đẳng thức lũy thừa bậc ba; đồng thời đặt

a     và xác định a Sau đó xác định x.

Xét a 39 80 39 80

9 80 9 80 3 9 80 9 80

18 3 81 80

Ta có

2

a  a a   

  nên a 3 0  a3

Do đó 3 3 3 18 12 3 8 2 3 3 3 2 3 2 3

 3 2 2  3 4 3 1

2020

27 9

Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức: 101  5

19 6 10 3 2 2 5 2

Giải

Tìm cách giải Nhận thấy rằng đây là nhân hai căn thức không cùng bậc Do vậy chúng ta cần

phải đưa về cùng bậc Dễ thấy 10 5.2, do vậy chúng ta có thể đưa căn bặc 10 về căn bậc 5 dựa

theo công thức: 10 A2 5 A Với cách suy luận đó, chúng ta biến đổi 119 6 10

2  về dạng bình

phương của một biểu thức

Trang 5

Ta có 101  5

38 12 10 3 2 2 5 4

2 5 10

5

5 5

1

3 2 2 5 3 2 2 5

4

3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5

1

2

Q

Ví dụ 6: Tính giá trị biếu thức:

2

4 4

1

T

Giải

Tìm cách giải Bài toán này có nhiều yếu tố giống nhau, do vậy chúng ta có thể đặt biến mới nhằm

đưa về bài toán đơn giản hơn Với cách suy luận ấy chúng ta đặt 4 2 a (căn nhỏ nhất) thì

4 2; 44 2 2

a  a  Từ đó chúng ta có lời giải sau:

Đặt 4 2 a thì a4 2; 44 a2  2

Khi đó

2

1 1

T

2

2 2

0 1



Vậy T 0

C Bài tập vận dụng

: 10

P

x



a) Rút gọn biếu thức P.

b) Tính giá trị của P khi 4 3 2 2 4 3 2 2

3 2 2 3 2 2

(Thi học sinh giỏi lớp 9, tỉnh Thanh Hóa, năm học 2011-2012)

Hướng dẫn giải – đáp số

Đặt x1a biểu thức P có dạng:

Trang 6

 

2

2 2

:

3( 3) ( 3)

(3 )(3 ) 2( 2)

3

P

a

P

a









Vậy

x P

x



b) Ta có:  

Vậy

P    

4.2 Tính giá trị của biểu thức

a) Bx312x 92020, biết x 3 4 5 1   3 4 5 1 

b) Cx3ax b , biết

3

a) Xét x34 5 1   4 5 1  3 43  5 1 4   5 1   x

3 8 12 3 12 9 1

x   x x  x 

Vậy B 120201

b) Xét

3

Trang 7

2 3

4 4

0 27

 







Vậy C 0

4.3 Hãy tính giá trị của biểu thức: P x 33x2 với 3 3 1

2 1



2 1



Xét x3  2 1   2 1  3.3 2 1   2 1   x

x   x x  x 

Vậy P 0

4.4 Hãy tính giá trị của biểu thức: T 3x38x 22020, biết

317 5 38

5 2

5 14 6 5

Ta có 35 5 30 12 5 8 5 2 

5 9 6 5 5

3 3

2

5 3 5

5 4 1

x

 



2020

4.5 Cho x, y thỏa mãn x3 y y2 1 3 y y21 Tính giá trị của biểu thức:

4 3 3 2 2 2 1

Xét x3  y y2  1 y y2 1 3.3y y21 y y21  x

 

3

2 2 3

3



Trang 8

Ta có

2

1



Kết hợp với (*) suy ra A 1

4.6 Tính giá tri biểu thức Px24x 22013, với  3 1 10 6 3 3

21 4 5 3

(Tuyển sinh lớp 10, chuyên Bắc Ninh, năm học 2013-2014)

Ta có

3

2

3 1 3 1

3 1 3 3 9 3 3 1

1

2 5 1 3 2 5 4 5 2

x

Vậy P  1 22013 1

4.7 Cho a0;a1 Rút gọn biểu thức:

a



(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên ĐHSP Hà Nội, năm học 2015-2016)

Ta có

1

2

1 2

2 2

1

4 2 2 4

a

a S

 



   

4.8 Tính giá trị biểu thức:

3

3 2

P

 



   biết:

(Thi học sinh giỏi Toán lớp 9, tỉnh Phú Thọ, năm học 2013-2014)

Xét a3 55 3024 55  3024 3 55 3  3024 55   3024  a

Trang 9

3 110 3 3025 3024.3 3 3 110 0

3

2

125 3 15 0

Nhận xét:

2

a  a a   

  nên a 5 0  a5

Từ đó suy ra

3

5 3.5 2 112 7

5 4.5 5.5 2 48 3

4.9 Rút gọn biểu thức: T 4 7 48 4 28 16 3 7  4  48  5 2 6

Ta có T 4 4 4 3 3   44 4 4 3 3 4 4 3 3    4    3 2 6 2 

2

T

4.10 Tính giá trị của biểu thức: 3 310 3 1 2 3 1

3 3

3 1



3 3

3

2 1

2 3 2

3 1

M



4.11 Trục căn thức ở mẫu:

a) 3 31 3

2 4 8 16

Trang 10

a)

3 3

4 3



4 4

15 8 1 2 15

2(1 2 4 8 ) 2 8 1 2 1 2 4 8







4.12 Làm phép tính:

a) 31 2 3 2 26  b) 69 4 5 2 3  5

c) 3 2 3 4 2 44 16 6 6 

a) 31 2 3 2 26  31 2.6 2 1 2 31 2.3 2 1 3 2 1 1 

b) 69 4 5 2 3  5 6 5 2 2 2 3  5 3 5 2 2 3  5 34 5 1

c) 3 2 3 4 2 44 16 6 6  32 3 4 2 2 3 4 2 6  2

2 3 4 2 2 3 4 2

4.3 16.2 20 20

4.13 Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến

a



Ta có:

3

20 14 2 6 4 2 2 2 12 12 2 8 4 4 2 2

Ta có: 3a3 a 3a13a a 3a3 a13  a 13  a1

Ta có:

a



Suy ra 1 1 1 : 1

a

Trang 11

1 1

4.14 Chứng minh rằng nếu ax3 by3 cz3 và 1 1 1

1

x yz  thì:

3ax by cz  a b c

Đặt ax3 by2 cz3 k, suy ra a k3;b k3;c k3,



 

3 3

1

k k k







 

2



Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh

4.15 Chứng minh rằng nếu: x2 3 x y4 2  y2 3 x y2 4 a thì:

3 x2 3 y2 3a2

Từ x23 x y4 2  y23 x y2 4 a, bình phương 2 vế, ta có:

2 3 4 2 2 3 2 4 2 3 4 2 2 3 2 4 2

2 3 4 2 2 3 2 4 2 2 3 4 8 3 8 4 2 2 2

2 2

2 3 4 2 2 3 2 4 3 8 4 2 2 3 4 8 2

2

2 3 4 2 2 3 2 4 3 4 2 3 2 4 2

2 3 4 2 3 2 4 2 2

3

3 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2

2 2

Điều phải chứng minh

Trang 12

4.16 Tính giá trị của biểu thức:

2 2

1

2020 2020 1 2020 2020 2020

A

2 2

1 1

A



2 4

4

2 4

4

2 4

1 1

2020

2020 1 2020

2020 1 : 2020

2020 1 2020

0

2020 2020 2020 2020

A



    



4.17 Cho x  1 3339 Tính giá trị biểu thức:

 3 3 62 31945 2020

Ta có x33 1   33 1  3933 1   3 1 2

x   x x x  x  x  x  x  x

Suy ra P 119152020 2021

4.18 Rút gọn biểu thức:

Ta có: 3 2  31 21 3  3 3 2  3 3 2 2  3

5 2 7  5 2 7  2 1  2 1

Trang 13

2 1 2 1 2

2

A

Tiêu đề	Đs chuyên đề 4 Căn Bậc Ba, Căn Bậc N
Trường học	Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	13
Dung lượng	637,5 KB