Đs chuyên đề 1 căn bậc hai, căn thức bậc hai

Căn thức bậc hai  Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn.. Một số ví dụ Ví dụ 1: So sánh

Chương 1 CĂN BẬC HAI CĂN BẬC BA

Chuyên đề 1 CĂN BẬC HAI, CĂN THỨC BẬC HAI

A Kiến thức cần nhớ

1 Căn bậc hai số học

 Căn bậc hai số học của số thực a không âm là số không âm x mà x2 a

 Với a 0

 2 2

0

x







Phép toán tìm căn bậc hai số học của một số gọi là phép khai phương

Với hai số a, b không âm, thì ta có: a b  a b

2 Căn thức bậc hai

 Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi A là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là

biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn

 A 0 xác định (hay có nghĩa) khi A 0

 Hằng đẳng thức A2 A

3 Chú ý

 Với a 0 thì:

2

x a  x a

2

x  a x a

A B







 A B  0 A B 0

B Một số ví dụ

Ví dụ 1: So sánh các cặp số sau mà không dùng máy tính.

c) 35 15 1 và 123; d) 2 2 và 2

Giải

 So sánh a và b

 So sánh  a 2 và  b 2

 Sử dụng kĩ thuật làm trội

Trình bày lời giải

a) Ta có 10 9  10 9 nên 10 3

b) Xét  2 2 2  2

c) 35 15 1  36 16 1 6 4 1 11     ,

123 121 11 suy ra 35 15 1  123

d) Ta có 2 4 2  2 2 4  2 2  4 2

Ví dụ 2: Tìm điều kiện để các biểu thức sau có nghĩa:

a) 8 2x ;

b) x1 11 x;

9

x

x

Giải Tìm cách giải Để tìm điều kiện biểu thức có ý nghĩa, bạn lưu ý:

 A có nghĩa khi A 0

 A

M có nghĩa khi M 0

Trình bày lời giải

a) 8 2x có nghĩa khi 8 2 x 0 x4

b) x1 11 x có nghĩa khi x  1 0 và 11 x   0 1 x 11

9

x

x

x    có nghĩa khi x  3 0 và 2

x    x  x

Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau:

a) A  6 2 5  6 2 5 ;

b) B a  1 a2 2a1 với a 1

Giải Tìm cách giải Để rút gọn biểu thức chứa dấu căn, bạn nhớ rằng:

 2

a a  a và lưu ý: A B A B

A B





neáu neáu

Trình bày lời giải

a) Ta có A  6 2 5  6 2 5

 5 12  5 12

 5 1  5 1 2

b) B a  1 a2 2a1 với a 1

 2

 

Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:

a) A 3 2x2 8x33;

b) B x2 8x18 1 ;

c) C x2y2 2xy2x 2y10 2 y2 8y2020

Giải

a) Ta có: A 3 2x2 8x33 3  2x 2225 3  25 8

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 8 khi x 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2 1 khi x 4

c) Ta có: C x2y2 2xy2x 2y10 2 y2 8y2020

 12 9 2 22 2012

9 2012 2015

C

Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2015.



Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A x212x36 x216x64;

b) B x 22  x 92  x19452

Giải Tìm cách giải Thoáng nhìn biểu thức ta có thể bỏ căn và đưa về biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt

đối Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng:

 A B B A và A 0

 A B A B Dấu bằng xảy ra khi A B  0

Trình bày lời giải

a) Ta có:

 2  2

A x  x  x  x  x  x

A x  x  x   x  x   x 

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi x 6 8   x0 hay 6 x 8

b) Ta có:

 22  92  19452

B x  x  x

B x  x x

B x   x  x  x   x  

Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 1943 khi x 2 1945   x 0 và x  9 0 tức là x 9.

Ví dụ 6: Cho a b c, , là các số hữu tỉ thỏa mãn ab bc ca  2020 Chứng minh rằng biểu thức

2

2020

A

c



 là một số hữu tỉ

Giải

 Ta có: a22020a2ab bc ca 

     

 Tương tự, ta có: b22020b a b c      2

     

c   c a c b 

Từ (1) ,(2), (3) suy ra        

2

a b a c b c b a

c a c b

Vì a, b là các số hữu tỉ nên a b cũng là số hữu tỉ Vậy A là một số hữu tỉ.

Lưu ý: Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa của các số hữu tỉ có kết quả cũng là

một số hữu tỉ

Ví dụ 7: Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a2b2 2

Chứng minh rằng: a48b2  b48a2 6  1

Giải Tìm cách giải Quan sát phần kết luận cũng như giả thiết Định hướng chung khi nghĩ tới là chúng

ta biến đổi phần trong căn thức ở phần kết luận thành dạng bình phương Với suy nghĩ ấy, cũng như khai thác phần giả thiết Chúng ta có hai hướng suy luận:

Hướng thứ nhất Dùng thừa số 2 trong mỗi căn để cân bằng bậc.

Hướng thứ hai Từ giả thiết suy ra: b2  2 a a2; 2  2 b2, dùng phương pháp thế, để mỗi căn thức chỉ còn một biến

Trình bày lời giải

Vế trái: 4 2 2 2 4 2 2 2

a  b a b  b  a a b

4 4 2 2 4 2 4 4 2 2 4 4

a2 2b22 b2 2a22 a2 2b2 b2 2a2

 2 2

Vế trái bằng vế phải Suy ra điều phải chứng minh

    (do a2 4;b2 4)

     Vế trái bằng vế phải Suy ra điều phải chứng minh

Ví dụ 8: Tính tổng:

(Thi Olympic Toán học, Hy Lạp – năm 2007)

Giải

   

2

2

1

với n 1.

Suy ra

2

n

Thay n lần lượt từ 1 đến 1003 vào đẳng thức (*) ta được:

S              

S     

C Bài tập vận dụng

1.1 Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa:

B



C

x x



D

x



2

x

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Điều kiện để A có nghĩa là x2 5 0  x  5

b) Điều kiện để biểu thức B có nghĩa là

   

x  x   x x   x và x 1 cùng dấu

1

x

6

x

Vậy điều kiện để biểu thức B có nghĩa là x1;x 6

c) Điều kiện để biểu thức C có nghĩa là:

 2 2

1

2

x



 

Vậy điều kiện để biểu thức C có nghĩa là: 1

2

S x x x 

d) Điều kiện để biểu thức D có nghĩa là:

2 2

2 2

x





Vậy với 3

2

x

x







 thì biểu thức D có nghĩa.

e) Điều kiện để biểu thức E có nghĩa là:

2

0

0

x

x









vậy không tồn tại x để biểu thức E có nghĩa.

1.2 a) Cho x y z, , khác 0 thỏa mãn x y z  0.

Chứng minh rằng: 12 12 12 1 1 1

x  y  z x yz .

b) Tính giá trị biểu thức:

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Xét:

2

2

Mà 1 1 1

0

z x y

xy yz zx xyz

 

2

b) Áp dụng câu a, ta có: 1K   1 K0

nên:

1

Suy ra:

 2 2

1 1



Thay k lần lượt 2,3,…, 199, ta được:

1.3 Tìm số nguyên dương k thỏa mãn

 

2 2





(thi học sinh giỏi toán lớp 9, tỉnh Hải Dương, năm học 2007 – 2008)

Hướng dẫn giải – đáp số

Áp dụng công thức

 2 2

1 1



2





 2

1

k k

2008

k

1.4 Tìm các số x y z, , thỏa mãn đẳng thức:

2x y 2y 22 x y z  2 0

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: 2x y 2y 22 x y z  0 * 

Mà 2x y 2 0; y 22 0; x y z  0;

Nên đẳng thức (*) chỉ xảy ra khi

1.5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: P 5x 22  5x 32 5x 2 5x 3

P x   x  x   x

Đẳng thức xảy ra khi: 5 2 0 2 3

x

x x





Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 1 khi 2 3

5 x 5.

1.6 Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện: a b c  2 và a2b2c2 2 Chứng minh rằng:

 

2 *

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ a b c   2 a b c  2  4 a2b2c22ab bc ca  4

Mà a2b2c2  2 2ab bc ca    2 ab bc ca  1

Ta có: a2 1 a2ab bc ca   a2 1 a b a c      1

Tương tự, ta có: b2 1 b a b c      2

     

c   c a c b 

Từ (1), (2) và (3) thay vào vế trái của (*), ta có:

       

   

       

   

       

   

a b c b a c c a b

2 ab bc ca 2

1.7 Cho 6 2 5 6 2 5

2 5

Tính giá trị biểu thức:  

19 5

2020

21 10

1

T  x  x

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: 5 2 5 1 5 2 5 1  5 12  5 12

1

2 5

19 5

2020

21 10

1.8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

a) A x 20192  x 20202 ;

b) B x 20182  y 20192  x 20202 ;

c) C x 20172  x 20182  x 20192  x 20202

Hướng dẫn giải – đáp số

a) A x 2019  x 2020

2019 2020 2019 2020 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1 khi x  2019 0 và 2020 x0 hay 2019 x 2020

b) Giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi 2018 x 2020 và y 2019.

c) Giá trị nhỏ nhất của C là 4 khi 2018 x 2019

1.9 Giải phương trình: 1 1

4

x x  x 

Hướng dẫn giải – đáp số

4

x x  x 

4

2

2

vì

9 1

2

4 4

1.10 Giải phương trình:

x  x   x   ;

b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2 x 5 4

Hướng dẫn giải – đáp số

a) x2 6 x2  9 x2  7 0   x  32  x  7 0

x   x    x   x

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   5;5 .

b) 2x 4 6 2x 5 2x 4 2 2 x 5 4

 2x 5 32  2x 5 12 4

Ta có: 2x 5 3  3 2x 5  3 2x 5

Vậy vế trái  3 2x 5 2x  5 1 4

Do vậy vế trái bằng vế phải khi:

5

2

x    x    x

Vậy tập nghiệm của phương trình là: 5

2

S x  x 

1.11 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A a 3 4 a1 a15 8 a1

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có:

A a  a   a  a 

 1 22  1 42

2

A

Đẳng thức xảy ra khi 2 a1 4  4  a 1 16

Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2 khi 5 a 17

1.12 Rút gọn biểu thức:

a) A  7 2 6  7 2 6 ;

b) B x 2y x2 4xy4y2 với x2y;

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Ta có A  7 2 6  7 2 6

 6 12  6 12

 6 1  6 1 2 6

b) B x 2y x2 4xy4y2 với x2y;

 2

B x  y x y

B x  y x y  x y y x  x

1.13 Cho x và y là hai số thực thỏa mãn:

2022

y

Tính giá trị của y.

Hướng dẫn giải – đáp số

Điều kiện để y có nghĩa là 2019 2020 0 1 

x x







 

x x



Từ (1) và (2) suy ra: 2019x 2020 0 hay 2020

2019

x 

Suy ra y 2022.

1.14 Tính x

y biết x1;y0 và

2

3 3

6



Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: Với x 1 4x 4 4x1 3  4x10  3

Do đó 1 4x12  4x1 1

Từ đó      

3 3

6



         

y

Mà x1;y0 nên x 7

y  .

1.15 Cho A  6 6 6   6 , gồm 100 dấu căn

Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có: A  6 2

Mặt khác 6 6  6 3 3; 6   6 6  6 3 3 

 A3

Do đó 2A3 Chứng tỏ rằng A không phải số tự nhiên.

Nhận xét: Nếu A nằm giữa hai số tự nhiên liên tiếp thì A không phải số tự nhiên.

1.16 Cho ba số hữu tỉ a b c, , thỏa mãn 1 1 1

a b c

Chứng minh rằng A a2b2c2 là số hữu tỉ

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ giả thiết ta có bc ac ab   2ab 2bc 2ca0

Suy ra a2b2c2 a2b2c22ab 2bc 2ca

a b c2

1.17 Cho ba số dương a b c, , thỏa mãn điều kiện: a b c 1

abc

Chứng minh rằng:  2 2  2 2

2 2 2 2

a b

c a b c

 



(thi học sinh giỏi toán lớp 9, TP, Hồ Chí Minh, năm học 2014 – 2015)

Hướng dẫn giải – đáp số

Ta có a b c 1 abc a b c  1

abc

Do đó: 1 b c 2 2abc a b c   b c2 2bc a b a c     

Tương tự, ta có: 1 a c 2 2 ac a b b c     

   

2 2

1 a b ab b c a c 

1



       

2 2

bc a b a c ac a b b c

c ab a c b c

1.18 Cho x y, thỏa mãn 0x1, 0 y1 và 1

x y 

Tính giá trị của biểu thức P x y   x2 xy y 2

(Tuyển sinh vào lớp 10, THPT chuyên, Đại học sư phạm Hà Nội, năm học 2015 – 2016)

Hướng dẫn giải – đáp số

Từ giả thiết, suy ra: x1 yy1 x  1 x 1 y

Vậy P x y   x2 xy y 2   x y x y  1

Từ giả thiết, ta lại có: 1

1

x

x

x   



Tương tự ta có: 1

2

y  Suy ra 0 x y1, ta có P x y   1 x y 1