Chuyên đề 2: Chữ số tận cùng của một tích của một luỹ thừa: Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.. Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương.. Hợp số P
Trang 1Chuyên đề 1: So sánh hai luỹ thừa Bài 1: So sánh các số sau:
a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257 c) 536 và 1124 d) 32n và 23n
Bài 2: So sánh các số sau:
a) 523 và 6.522 b) 7.213 và 216 c) 2115 và 275.498
Bài 3: So sánh các số sau.
a) 19920 và 200315 b) 339 và 1121
Bài 4: So sánh hai hiệu, hiệu nào lớn hơn?
a) 7245 – 7243 và 7244 – 7243
Bài 5 Tìm xN, biết:
a) 16x < 1284 b) 5x.5x+1.5x+2≤ 100 0 :218
18 chữ số 0
Bài 6: Cho S = 1 + 2+ 22 + 23 + + 29
So sánh S với 5.28
Bài 7: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 Hy
so sánh m và 10.98
Bài 8: Hy viết số lớn nhất bằng cách dùng 3 chữ số 1,2,3 với điều kiện mỗi chữ số dùng một và chỉ một lần
Chuyên đề 2:
Chữ số tận cùng của một tích của một luỹ thừa:
Bài 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.
7430 ; 4931 ; 8732 ; 5833 ; 2335.
Bài 2: Tìm hai chữ số tận cùng của số 5n.(n>1)
Bài 3: Chứng tỏ các tổng hiệu sau chia hết cho 10.
a) A = 98.96.94.92 – 91.93.95.97 b) B = 405n+ 2405 + m (m , n N ; n ≠ 0)
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
7
5 234
5
6 579
Bài 5: Tìm các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7 Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa số?
Bài 6: Tích 2.22.23 210 52.54.56 514
Tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0?
Bài 7: Cho S = 1 + 31+ 32 + 33 + + 330
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phương
Chuyên đề 3
Số nguyên tố Hợp số Phân tích một số ra thừa số nguyên tố.
Bài 1 Chứng tỏ các số sau là hợp số:
Trang 2A 676767 B 108 + 107 + 7 C 175 + 244 + 1321
Bài 2 Cho số 360
a) Phân tích số 360 ra thừa số nguyên tố
b) Số 360 có bao nhiêu ước
c) Tìm tất cả các ước của 360
Bài 3 Các số sau là số nguyên tố hay hợp số:
a) 1025 b) 113 + 123 + 133 + 143
Bài 4 Chứng minh rằng bình phương của một số nguyên tố khác 2 và 3 khi chia cho 12
đều dư 1
Bài 5 Tìm số n N*, sao cho n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố
Bài 6 Tìm số nguyên tố a để 4a + 11 là số nguyên tố nhỏ hơn 30.
Bài 7 Các số sau là số nguyên tố hay hợp số?
a = 1.3.5.7 13 + 20
b = 147.247.347 – 13
Bài 8 Cho nN* Chứng minh rằng số 111 1 2111 1 là hợp số
n chữ số1 n chữ số1
Bài 9 Tìm số bị chia và thương trong phép chia:
9**:17 = **, biết rằng thươnglà một số nguyên tố
Bài 10 Cho a,nN*, biết an 5 Chứng minh a2+150 25
Bài 11 a) Cho n là số không chi hết cho 3 Chứng minh rằng n2 chia 3 dư 1
b) Cho p là số nguyên tốa lớn hơn 3 Hỏi p2 + 2003 là số nguyên tố hay hợp số
Bài 12: Mỗi số sau có bao nhiêu ước:
Bài 13: Tìm các ước của số:
Bài 14: Tính cạnh của một hình vuông biết diện tích của nó là:
Bài 15: Tính cạnh của hình lập phương biết thể tích của nó là 1728cm3
Bài 16: Tìm n N* biết:
a) 2 + 4 + 6 + + 2n = 210
b) 1 + 3 + 5 + + (2n – 1) = 225
Chuyờn đề 4 Ước chung và ước chung lớn nhất
Bài 1: Cho A là tập hợp các số nguyên tố; B là tập hợp các hợp số
M là tập hợp các ước của 20; N là tập hợp các ước của 50
a) Tìm A B
b) Tìm M N
Bài 2: Cho C là tập hợp các số chia hết cho 3; D là tập hợp các số chia hết cho 9
Tìm C D
Trang 3Bài 3: Tìm ƯCLN và ƯC của ba số 432; 504 và 720.
Bài 4: Một căn phòng hình chữ nhật kích thước 630 x 480 (cm) được lát loại gạch hình
vuông Muốn cho hai hàng gạch cuối cùng sát hai bức tường liên tiếp không bị cắt xén thì kích thước lớn nhất của viên gạch là bao nhiêu? Để lát căn phòng đó cần bao nhiêu viên gạch?
Bài 5: Chứng minh các số sau đây nguyên tố cùng nhau:
a) Hai số lẻ liên tiếp
Bài 6: Cho (a, b) = 1, chứng minh rằng:
a) (a, a – b) = 1
b) (ab, a + b) = 1
Bài 7: Cho a, b là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau,
Tìm (a, b)
Bài 8: ƯCLN của hai số là 45 Số lớn là 270, tìm số nhỏ.
Bài 9: Tìm hai số biết tổng của chúng là 162 và ƯCLN của chúng là 18.
Bài 10: Tìm hai số tự nhiên nhỏ hơn 200 biết hiệu của chúng là 90 và ƯCLN của
chúng là 15
Bài 11: Tìm hai số biết tích của chúng là 8748 và ƯCLN của chúng là 27.
Bài 12: Cho a + 5b 7 (a, b N) Chứng minh rằng 10a + b 7 Mệnh đề đảo lại
có đúng không?
Bài 13: Một số tự nhiên a và 5 lần số đó có tổng các chữ số như nhau Chứng minh
rằng a : 9
Bài 14: Có 64 người đi tham quan bằng hai loại xe: Loại 12 chỗ ngồi và loại 7 chỗ ngồi Biết số người đi vừa đủ số ghế ngồi, hỏi mỗi loại có mấy xe?
Bài 15: Tìm số tự nhiên a, b để A = 4a1b chia hết cho 12
Bài 16: Tìm hai số tự nhiên a,b biết tổng của chúng là 128 và ƯCLN của a,b là 16.
Bài 17: Tìm hai số tự nhiên a,b biết tích của chúng là 216 và ƯCLN của a,b là 6.
Bài 18: Cho hai số nguyên tố cùng nhau a và b.
Chứng minh rằng hai số 11a + 2b và 18a + 5b thì hoặc nguyên tố cùng nhau hoặc
có một ước chung là 19
Bài 19: Cho hai số nguyen tố cùng nhau Chứng inh rằng tích ab và tổng a + b của
chúng cũng là hai số nguyên tố cùng nhau
Chuyờn đề 5 Bội chung và bội chung nhỏ nhất
Bài 1: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có 3 chữ số chia cho 18 ; 30; 45; có số dư lần lượt là: 8 ; 20; 35
Bài 2: Một xe lăn dành cho người tàn tật có chu vi bánh trước là 63cm, chu vi bánh sau là 186cm Người ta đánh dấu hai điểm tiếp đất cảu han bánh xe này Hỏi bánh trước
Trang 4và bánh sâuphỉ lăn ít nhất bao nhiêu vòng thì hai điểm được đánh dấu lại cùng tiếp
đất một lúc
Bài 3: Ba học sinh, mỗi người mua một loại bút Giá ba loại lần lượt là 1200 đồng,
1500 đồng, 2 000 đồng Biết số tiền phải trả là như nhau, hỏi mỗi học sinh mua ít nhất bao nhiêu bút?
Bài 4 Tìm các bội chung lớn hơn 5000 nhưng nhỏ hơn 10000 của các số 126 ; 140
; 180
Bài 5 Một số tự nhiên chia cho 12, 18, 21 đều dư 5 Tìm số đó biết rằng nó xấp xỉ 1000
Bài 6 Khối 6 của một trường có chưa tới 400 học sinh, khi xếp hàng 10; 12; 15 đều dư 3
nhưng nếu xếp hàng 11 thì không dư Tính số học sinh khối 6
Bài 7 Tìm hai số tự nhiên a và b biết:
BCNN (a, b) = 300 ; ƯCLN (a, b) = 15
Bài 8 Tìm hai số tự nhiên a và b biết tích của chúng là 2940 và BCNN của chúng là 210
Bài 9 Tìm hai số a và b biết tổng của BCNN với ƯCLN của chúng là 15.
Bài 10 Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất có 3 chữ số sao cho chia cho 11 thì dư 5, chia cho
13 thì dư 8
Bài 11 Chứng minh rằng nếu a là một số lẻ không chia hết cho 3 thì
a2 – 1 : 6
Bài 12 Chứng minh rằng tích của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 120.
Bài 13: Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1.
Bài 14: Tìm các số tự nhiên a, b biết
ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105
Bài 15: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư
13 và cxhia hết co 23
Bài 16: Tìm hai số có 3 chữ số biết tổng của chúng là bội của 504 và thương của số lớn
chia cho số nhỏ là bội của 6
Bài 17: Cho BCN(a,b) = 60 và a = 12 Tìm b?
Bài 18: Cho một số A chia hết cho 7 và khi chia A ho 4 hoặc hoặc 6 đều dư 1 Tìm A biết
A < 400
Bài 19: Tổng số học sinh khối 6 cua một trường có khoảng từ 235 đến 250 em, khi chia
cho 3 dư 2, chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 dư 4, chia cho 6 dư 5, chia 10 dư 9 tìm số học sinh của khối 6
CH ƯƠNG II- SỐ NGUYấN Chuyờn đề 6-Tập hợp số nguyờn
Bài 1 Cho A = {x Z | x > -9}; B = {x Z | x < - 4}; C = {x Z | x ≥ - 2}
Tìm A B ; B C ; C A
Bài 2 Viết tập hợp ba số nguyên liên tiếp trong đó có số 0.
Trang 5Bài 3 Số nguyên âm lớn nhất có 3 chữ số và số nguyên âm nhỏ nhát có 2 chữ số có phải là 2
số nguyên liên tiếp nhau không?
Bài 4 Tìm các giá trị thích hợp của a và b:
a) a00> -111
b) a99 > - 600
c) cb3 < cba
d) -cba<c85
Bài 5 Cho ba số nguyên a;b;0 biết a là một số âm và a<b Hy sắp xếp 3 số đó theo thứ tự
tăng dần
Bài 6 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai?
a) Nếu a = b thì | a | = | b |
b) Nếu | a | = | b | thì a = b
c) Nếu | a | < | b | thì a < b
Bài 7 Tìm x biết:
a) | x | + | - 5 | = | 37 |
b) | -6 |.|x| = 54
Bài 8 Tìm x, y, z Z biết : | x | + | y | + | z | = 0
Bài 9 Tìm x Z, biết:
a) | x |< 10 c) | x | > -3
b) | x | > 21 d) | x | < -1
Chuyờn đề 7- Phép cộng hai số nguyên.
Tính chất phép cộng hai số nguyên
1 Cho x {-3; -2; -1; 0; 1; 2; ; 10}
y { -1 ; 1; 0; 1; ; 5}
Biết : x + y = 3
2. Tính nhanh :
a) -37 + 54 + (-70) + (-163) + 256
b) – 359 + 181 + (-123) + 350 + (-172)
c) – 69 + 53 + 46 + (-94) + (-14) +78
3. Tính tổng các số nguyên x biết:
a) – 17 x 18
b) |x| < 25
4. Cho S1 = 1 + (-3) +5 +(-7) + +17
S2 = -2 +4 +(-6) + +(-18) Tính tổng S1 + S2
5. Cho x và y là những số nguyên tố có 3 chữ số Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tổng x + y
6. Chứng minh rằng số đối của tổng hai số bằng tổng hai số đối của chúng
Trang 67.Cho |x| = 5 ; |y| = 11 Tính x + y
8. Cho x, y là hai số nguyên cùng dấu Tĩnh + y biết |x| + |y| = 10
9*. Tính tổng :
a) S1 = a + |a| với a Z
b) S2 = a + |a| + a + |a| + + a với a Z- và có 101 số hạng
10*. Cho 18 số nguyên sao cho tổng của 6 số bất kì trong các số đó đều là một số âm Giải thích vì sao tổng của 18 số đó cũng là một số âm? Bài toán còn đúng không nếu thay 18 số bằng 19 số
Chuyờn đề 8 Phép trừ hai số nguyên
1 Cho a và b các giá trị trong bảng sau Tìm hiệu a – b Không cần thực hiện phép tính cho
biết b – a
2 Tìm x biết (x + 153) – (48 – 193) = 1 – 2 – 3 – 4.
3 Cho |x| = 7 ; |y| = 20 với x, y Z Tính x – y
4. Cho |x| 3; |y| 5 với x,y Z Biết x – y = 2
Tìm x và y ?
5. Tìm x Z biết :
6. Tìm x Z , biết:
1 < | x – 2| < 4
7. Tìm x, y Z, biết | x + 35 – 40 | + | y + 10 – 11| 0
8*. Cho x < y < 0 và |x| - |y| = 100 Tính x – y
9. Cho x {-2 ; -1; 0 ; 1; ; 11}
y { -89; -88; - 87; ; -1; 0 ; 11}
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của x – y
10. Cho x, y Z
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A = 1000 - |x + 5| có GTLN, tìm GTLN đó b) Với giá trị nào của y thì biểu thức B = |y - 3| + 50 có GTNN, tìm GTNN đó
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức
C = | x – 100 | + | x + 200 | - 1 có GTNN, tìm GTNN đó
Chuyờn đề 9 Quy tắc chuyển vế Quy tắc dấu ngoặc
1 Tính hợp lý:
a) -2003 + (-21+75 + 2003) b) 1125 – ( 374 + 1125) + (-65 +374)
Trang 72 Đặt dấu ngoặc một cách hợp lý để tính các tổng đại số sau:
a) 942 – 2567 + 2563 – 1942
b) 12 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 + 5 - 4 + 3 + 2 -1
3 Tìm x biết:
a) 416 + ( x – 45) = 387
b) 11 – (x + 84) = 97
c) - (x + 84) + 213 = - 16
4 Chứng minh đẳng thức:
a) - (- a + b + c) + ( b + c – 1) = (b –c + 6) – ( 7 – a + b) + c
5 Cho A = a + b – 5; B = - b – c + 1
C = b – c – 4; D = b – a Chứng minh A + B = C – D
6 Cho a > b ; Tính |S| biết:
S = - ( a – b – c ) + ( - c + b + a) – ( a + b)
7 Cho M = a + b – 1 và N = b + c – 1 Biết M > N hỏi hiệu a – c dương hay âm ?
8 Viết 5 số nguyên vào 5 đỉnh của một ngôi sao năm cánh sao cho tổng của hai số tại hai đỉnh
liền nhau luôn bằng – 6 Tìm 5 số nguyên đó?
Chuyờn đề 10 Phép nhân hai số nguyên
Ví dụ 1: Tìm a, b Z biết a.b = 24 và a + b = - 10
Giải
Ta thấy ab > 0 nên a, b cùng dấu
a + b = -10 nên a, b cùng dấu âm
Do đó a b = 24 = (-1).(-24) = (-2).(-12)= (-3).(-8) = (-4).(-6)
Trong các trườnghợp trên thì chỉ có (-4) + (-6) = -10
Vậy a = - 4; b = -6 hoặc a = - 6; b = - 4
Ví dụ 2: Tìm tất cả các cặp số nguyên sao cho tổng bằng tích
Giải Gọi hai số cần tìm là x và y
Ta có xy = x + y
xy – x – y = 0
xy – x – y + 1 = 1
x(y – 1) – (y – 1) = 1
(y – 1)(x – 1) = 1 1 1 1
2; 2 0; 0
x y
x y
1 Tìm x Z biết:
a) x(x+3) = 0
b) (x – 2)(5 – x) = 0
c) (x-1)(x2 + 1) = 0
Trang 82 Thu gọn các biểu thức sau:
3 Cho A = (5m2 – 8m2 – 9m2)(-n3 + 4n3)
Với giá trị nào của m và n thì A 0
4 Tìm x biết:
a) – 12(x – 5) + 7(3 – x) = 5 b) 30(x + 2) – 6(x – 5) – 24x =100
5 Tìm x Z biết:
a) | 2x – 5 | = 13 b) 7x + 3| = 66 c) | 5x – 2| 0
6 Tìm x Z biết:
a) (x – 3) (2y + 1) = 7 b) (2x + 1) (3y – 2) = - 55
7 Tính giá trị của biểu thức sau một cách hợp lý:
a) 125.(-61).(-2)3.(-1)2n (n N*) b) 136.(-47) + 36.(-304) c) (-48).72 + 36.(-304)
8 Tìm x Z biết:
a) (x +1) + ( x+3) + (x + 5) + + (x + 99) = 0
b) (x -3) + ( x - 2) + (x - 1) + + 10 + 11 = 0
9 Cho m và n các số nguyên dương:
A = 2+4+6+ +2m B =
m
2+4+6+ +2n n
Biết A < B hy so sánh m và n
10* Cho 16 số nguyên Tích của 3 số bất kì luôn là một số âm Chứng minh rằng tích của 16
số đó là một số dương
11 Bỏ dấu ngoặc và thu gọn biểu thức:
a) (a + b)(a + b) b) (a – b)(a – b) c) (a + b)(a – b)
Chuyờn đề 11 Bội và ước của một số nguyên
1 Các số sau có bao nhiêu ước? a) 54 ; b) – 196
2 Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + + 398 – 399
a) Chứg minh rằng S là bội của – 20
b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1
3 Tìm số nguyên dương n sao cho n + 2 là ước của 111 còn n – 2 là bội của 11.
4 Tìm n Z để;
a) 4n – 5 chia hết n b) -11 là bội của n – 1 c) 2n – 1 là ước của 3n + 2
5 Tìm n Z sao cho : n – 1 là bội của n + 5 và n + 5 là bội của n – 1
Tổng hợp
1 Tính giá trị của biểu thức A với x = - 43; y = 17
A = - 125(x + x + + x – y – y – – y)
(x có 8 số hạng, y có 8 số hạng)
2 Tìm x Z biết 2 |x| 5
3 Tìm x Z
a) – 3x + 5 = 41 b) 52 - | x | = 80 c) |7x + 1| = 20
4 Cho A = {6 ;7; 8; 9 } ; B = { - 1; - 2; - 3; 4; 8}
Trang 9a) Có bao nhiêu hiệu dạng a – b với a A; b B
b) Có bao nhiêu hiệu chi hết cho 5
c) Có bao nhiêu hiệu là số nguyên âm ?
5 Tìm x Z biết (x + 5)(3x – 12) > 0
Chương III Phân số
1 Trong các số sau, số nào là phân số:
-5 7
43 1
5
9
a 5
(a Z)
7: 2a
10
2 Trong các phân số sau, những phân số nào bằng nhau?
15 -17 6 28 3 ; ; ; ;
60 5 15 -20 12
3 Tìm x Z , biết :
< x <
-84 108 < 3x <
4 Cho A = 3n - 5 Tìm x Z để A có giá trị nguyên
n + 4
5 Tìm n Z để các phân số sau có giá trị nguyên:
12 ; n ;
6 Tìm x Z, biết :
- 4
- x =
18
x =
7 Tìm x, y Z biết:
y
- 2 =
8 Chứng minh
100
1
52
1 51
1 2
1
6
5 40
1
22
1 21
1 12
7
9 a) Chứng minh:
n) a(a
n n
a
1 a
1
100 99
1
3 2
1 2 1
1
2005 2001
4
9 5
4 5 1
4
S3 =
1000 999
2
14 12
2 12 10
10 Tìm xN sao cho
Trang 102005 )
6 5 )(
1 5 (
5
11 6
5 6
.
1
x x
11 Cho P =
) 3 2 )(
1 2 (
2
5 3
2 3 1
2
n n
Chøng minh P < 1, n N*
12 a) Chøng minh n N, n > 1 ta cã
n
1 1 -n
1 n
1 n
1 1 -n
1
b) ¸p dông c©u (a) hy chøng minh
202
99 100
1
3
1 2
1 100
99
2 2
13 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc : S =
2005 2002
1
7 4
1 4 1
1
¸p dông tÝnh:
101 96
3
11 6
3 6
1
3
100 99 98
1
4 3 2
1 3 2 1
1
14 TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc sau:
2
1
2
1 2
1 2
1
3
1 3
1
3
1 3
1 3
1
C =
1 999
1 3 997
1
997 3
1 999 1
1
999
1
5
1 3
1 1
15 Chøng minh r»ng:
4
1 2007
1
6
1 5
1
2 3
5
1 2007
1
6
1 5
1
2 3
Trang 11Phòng GD
Quận Cầu giấy Đề KTCL Học sinh giỏi vòng II năm 2005 - 2006
Môn Toán 6 - thời gian 120 phút
Bài 1( 4đ):
Tính nhanh:
A = 1 + 3 - 5 -7 + 9 + 11 - 397 - 399
B = 2100 - 299 - 298 - - 22 - 21 - 1
Bài 2 (4đ):
Số 36 chia cho số nguyên a rồi trừ đi a Lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a Lại lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a Cuối cùng được số -a Tìm số a?
Bài 3(3đ):
Cho biết a + 4b chia hết cho 13, (a,bN) Chứng minh 10a + b chia hết cho 13
Bài 4 ( 3đ):
85357 57643
mẫu số trừ đi số đó ta được phân số bằng
6 7
Bài 5 ( 6đ):
Cho góc BOC bằng 750 A là một điểm nằm trong góc BOC Biết góc BOA bằng
400
a) Tính góc AOC
b) Vẽ OD là tia đối của OA So sánh hai góc BOD và COD
4 2
2 2
n n
a) Với giá trị nào của A thì A là phân số