BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI1.. Giải bất phương trình bậc hai : Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.. Để giải bất phương
Trang 1BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 Định nghĩa và cách giải
Bất phương trình bậc hai (ẩn x ) là bất phương trình có một trong các dạng ax2bx c 0 (hoặc
ax bx c ax bx c ax bx c ), trong đó a,b,c là những số thực đã cho, a 0
2 Giải bất phương trình bậc hai :
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm
Để giải bất phương trình bậc hai, ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai
Giải bất phương trình tích, thương chứa các tam thức bậc hai bằng cách lập bảng xét dấu của chúng
Dạng toán 1 Giải các bất phương trình bậc hai 1 ẩn :
Phương pháp: Dùng dấu của tam thức bậc hai f x( )=ax2+bx+c, (a¹ 0)
― Trường hợp 1 D < 0 :
( )
― Trường hợp 2 D = 0 :
x
- ¥ x o +¥
( )
f x Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a
― Trường hợp 3 D > 0 :
x
- ¥ x1 x2 +¥
( )
f x Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
Chú ý: Có thể dùng máy tính bỏ tính nhanh
Lưu ý một số trường hợp sau:
o 2
(x- a) < Û 0 xÎ Æ o 2
(x- a) £ Û 0 x=a.
o (x- a)2> Û 0 x¹ a. o 2
(x- a) ³ 0 Û xÎ ¡
Câu 1 Giải bất phương trình sau : 3x22x 1 0
Lời giải tham khảo Tam thức f x( )3x22x có 1 a và có hai nghiệm3 0
1
1
;
3
x
2 1
x
( f x( ) cùng dấu với hệ số a ).
Lưu ý
Trang 2Suy ra
3
hoặc x 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình :
1
3
S
1.1 Giải bất phương trình sau : x2 x 12 0
Lời giải
Tam thức f x x2 x 12
có a và có hai 1 0
nghiệm x 1 4; x 2 3
( f x( ) trái dấu với hệ số a ).
Suy ra x2 x 12 0 4x3
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 4;3
1.2 Giải bất phương trình sau :
2
5x 6 5x 9 0
Lời giải
Tam thức f x 5x2 6 5x có 9 a và5 0 0
( f x( ) cùng dấu với hệ số a ).
Suy ra
5
x x x Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
3 5
5
1.3 Giải bất phương trình sau : 36x212x1 0
Lời giải
Tam thức f x 36x212x có 1 a 36 0
và 0
( )
f x trái dấu với hệ số a nên f x
âm với
1
6
x
và
1 0 6
f
Suy ra
6
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là
1 S 6
1.4 Giải bất phương trình sau : x2 22x130 0
Lời giải
Tam thức f x x2 22x130 có a và1 0
9
( )
f x cùng dấu với hệ số a nên f x 0, x R
Suy ra x2 22x130 0 x
Dạng toán 2 Giải hệ bất phương trình bậc hai một ẩn :
Dạng :
2
2
2
0 0
0
a x b x c
a x b x c
a x b x c
Cách giải :
Trang 3- Giải từng bất phương trình trong hệ.
- Giao nghiệm các bất phương trình ta được nghiệm của hệ
Câu 1 Giải hệ bất phương trình sau:
2 2
6 0
x x
Lời giải tham khảo
Ta có
2
2
1
2
6 0
x
x x
x x
x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là S 1; 2
Lưu ý
1.1 Giải hệ bất phương trình sau:
2 2
x x
Lời giải
Ta có
2
2
3 2 2
3
1 3
x x
x x
x
x
3 2
x x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là
S
1.2 Giải hệ bất phương trình sau:
2 2
13 0
x x
Lời giải
Ta có 2 2
13 0
x
1 53 1
2
x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là
1 53 1;
2
S
1.3 Giải hệ bất phương trình sau:
2 2
5 0
6 1 0
x x
Lời giải
Nên hệ bpt vô nghiệm
1.4 Giải hệ bất phương trình sau:
2 2 2
x x
Lời giải
Ta có
2 2 2
1 3
5
2
1
2
x x
x
3 1
2
x
Vậy tập nghiệm hệ bất phương trình là
3 1;
2
S
Trang 41.5 Tìm tập giá trị của x thỏa :
2 2
1
x
Lời giải
2
2
3
1
5
Suy ra tập nghiệm 4; 3 1;
5
T
1.6 Tìm tập giá trị của x thỏa :
2 2
1
Lời giải
2
1
1
12 21 33 0
4
Suy ra tập nghiệm ; 1 11;3
4
T
Dạng toán 3 Giải bất phương trình tích và bất phương trình chứa ẩn ở mẫu :
1)Giải bất phương trình dạng tích: f x g x( )×( )>0, ( 0, ³ <0, £0).
Bước 1 Xét f x( )=0, ( )g x =0 tìm nghiệm x1 , , , x2 x i
Bước 2 Sắp xếp nghiệm theo thứ tự tăng dần và xét dấu f x g x( ), ( ) để suy ra dấu f x g x( )×( )×
Bước 3 Kết luận tập nghiệm S.
2)Giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu :
Bước 1 Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế.
Bước 2 Rút gọn, phân tích các đa thức thành nhân tử bậc nhất, bậc hai
Bước 3 Xét dấu biểu thức đó.
Bước 4 Dựa vào bảng xét dấu, chọn miền nghiệm
Chú ý: Có thể dùng các cách khác nhau để xét dấu tích thương các đa thức bậc nhất, bậc hai.
Câu 1 Giải bất phương trình :1 2 x x 2 x1 0
Lời giải tham khảo Bảng xét dấu
x
2
1
2
2
1 2x | 0 + | +
x x + 0 – | – 0 +
VT 0 + 0 0 + Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
Lưu ý
1.1 Giải bất phương trình :
2
ý
Trang 5Lời giải
Bảng xét dấu :
4 3x | | 0 2
0 0 |
VT 0 0 0
Tập nghiệm :
( ; ] 1;
T
1.2 Giải bất phương trình : x4 5x22x 3 0
Lời giải
bpt x x x x
(x 2) (x 1) 0
(x2 x 3)(x2 x1) 0
Bảng xét dấu :
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
S
Lưu ý
1.3 Giải bất phương trình :
2
1
0
x
Lời giải
Bảng xét dấu
x
3
4 3
1 1 3 2
2 1
x + | + | + 0 0 + | + | +
2 3
x + 0 | | | 0 + | +
2
| 0 + 0 + | + | + 0
VT || + || 0 + 0 || + ||
Dựa vào bảng xét dấu, ta có tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:
4
3
S
x
1 13 2
2
1 13 2
2
x x + 0 – | – 0 + | +
2
1
x x + | + 0 – | – 0 +
VT + 0 – 0 + 0 – 0 +
Trang 61.4 Giải bất phương trình : 3 2
1
x
Lời giải
2
2
0
bpt
Bảng xét dấu
x
3 57 6
3
3 57 6
1 3 2
1
2
2
3x 3x 4 + 0 0 + + + +
2
3
2
2
+ 0 || + 0 || + || 0 +
Tập nghiệm của bất phương trình là 3 57; 3 3 57;1 3;2
S
1.5 Giải bất phương trình :
2
x 1
Lời giải
1.6 Giải bất phương trình :
Lời giải
(2x 1)(x 2)
Bảng xét dấu:
Trang 7x –7 – 2 1/2
Vậy: Nghiệm của BPT là T =
1 ( ; 7] ( 2; )
2
1.7 Giải bất phương trình :
Lời giải
1(x 2)(x 2) 1(x 1)(x 2) 1(x 2)(x 1) 0
(x 2)(x 1)(x 2)
(x 2)(x 1)(x 2)
2
Bảng xét dấu:
1.8 Giải bất phương trình : 2
Lời giải
2
Bảng xét dấu:
Dạng toán 4 Ứng dụng giải bất phương trình bậc 2 để tìm tập xác định của hàm số :
- Bước 1 Tìm điều kiện xác định yf x Thường gặp 3 dạng sau:
+ Hàm số phân thức:
P x
Q x
§KX§
+ Hàm số chứa căn thức bậc chẵn trên tử số: y2n P x §KX§ P x 0.
Trang 8+ Hàm số chứa căn thức dưới mẫu số:
n
P x
Q x
§KX§
- Bước 2 Thực hiện phép toán trên tập hợp (thường là phép giao) để suy ra tập xác định D
Chú ý:
0
0
A
A B
B
Bài toán căn trong căn đưa về hằng đẳng thức.
khi 0
khi 0
A
0 1
0
P x y
P x a
P x a
§KX§
A a
0 :
A a luôn đúng vì A 0.
A B
A B
2
x x
Các trường hợp xét mệnh đề phủ định:
Câu 1 Tìm tập xác định D của hàm số y 2x2 5x2.
Lời giải tham khảo
Hàm số y xác định khi 2x2 5x 2 0
1
2 2
Tập xác định
1 ( , ] [2, )
2
D
Lưu ý
1.1 Tìm tập xác định D của hàm số
2
3
4 3
x
y
x x
Lời giải
Hàm số y xác định khi 4 3 x x 2 0 4 x 1
Tập xác định D ( 4,1).
1.2 Tìm tập xác đinh D của hàm số
4
x
Lời giải
Hàm số y xác định khi
4 0
x
4
x
Tập xác định D ( 4, 3] [2, )
1.3 Tìm tập xác đinh D của hàm số 1.4 Tìm tập xác đinh D của hàm số
Trang 9 21 1.
2
Lời giải
Hàm số f x xác định khi
1 0
x
2
1
x x
Tập xác định D 2,
2
1
2 4
3
x
x x
Lời giải
Hàm số f x xác định khi
2 2
x x x
0 x 3
Tập xác định D 0,3
1.5 Tìm tập xác đinh D của hàm số
x
y
Lời giải
Hàm số yxác định khi 2x x 2 x210
2
Tập xác định D , 2 0; .\
1.6 Tìm tập xác đinh D của hàm số
2 1
y x x
Lời giải
Hàm số y xác định khi
1 0
x
1
x
1
1 1 0 :
x x
Tập xác định D 1;
Dạng toán 5 Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc hai ax2bx c vô nghiệm, có 0
nghiệm, có 2 nghiệm phân biệt.
1) Để PT có 2 nghiệm trái dấu ac < 0
2) Để PT có 2 nghiệm phân biệt
a 0 0
3) Để PT vô nghiệm
a 0 0
0
P 0
Trang 105) Để PT có 2 n0 dương phân biệt
0
P 0
S 0
0
P 0
S 0
1 2
b
S x x
a c
P x x
a
Câu 1 Tìm m để phương trình x2 m1x 1 0 vô nghiệm
Lời giải tham khảo Phương trình x2 m1x 1 0
vô nghiệm 0
Lưu ý
có hai nghiệm trái dấu
Lời giải
Để PT có 2 nghiệm trái dấu
5
1 m
2
1.2 Tìm m để phương trình x2 mx m 3 0có nghiệm
Lời giải
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 0
6 2
m m
Vậy m ( ; 2] [6; )
1.3 Tìm m để phương trình(1m x) 2 2mx2m0
có nghiệm
Lời giải
Với m phương trình trở thành1
2x 2 0 x suy ra 1 m thỏa mãn yêu cầu 1
bài toán
Với m phương trình có nghiệm khi và chỉ khi1
0
Vậy với 2 thì phương trình có nghiệmm 0
biệt
Lời giải
Để PT có 2 nghiệm âm phân biệt
0
P 0
S 0
Trang 11
24m 36 0
m 0 m 2(m 3) 0
3 m 2
m 0
1.5 Tìm m để phương trình x2 2mx m 3 0 vô
nghiệm
Lời giải
Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ' 0
3 0
1.6 Tìm m để phương trình
2 (m1)x 2m 2 x2m0
vô nghiệm
Lời giải
Với m thỏa mãn yêu cầu bài toán1
Với m phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi1
' 0
12 2 1 0 1 1 0 1
1
m m
Vậy với
1 1
m m
thì phương trình có nghiệm