55 mot so pt, bpt qui ve bac 2 đáp án chi tiết

Chú ý: Trong một số trường họp ta có thể giải phương trình chứa GTTĐ bằng cách sử dụng tính chất của GTTĐ Ta sử dụng các tính chất sau: B-íc 1: Đặt điều kiện có nghĩa nếu cần cho c

Trang 1

Bài 5.3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI

Dạng toán 1: Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương: ax4bx2  c 0, (a0) ( )

— Đặt tx2  thì 0 ( )  at2bt c 0( )

— Để xác định số nghiệm của ( ), ta dựa vào số nghiệm của ( ) và dấu của chúng, cụ thể:

 Để ( ) vô nghiệm

(**) V« nghiÖm (**) cã nghiÖm kÐp ©m.



 



 Để ( ) có 3 nghiệm  ( ) có 1 nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại dương

 Để ( ) có 4 nghiệm  ( ) có 2 nghiệm dương phân biệt

Bài 1: Cho phương trình:

x4  m2x2m0

(1)Tìm m để phương trình:

a Có nghiệm duy nhất

b Có hai nghiệm phân biệt

c Có ba nghiệm phân biệt

d Có bốn nghiệm phân biệt

 Giải

Đặt tx2 với điều kiện t  0

Khi đó, phương trình được biến đổi về dạng:

S P

m m

 



Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài

b Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

 (2) có nghiệm tt1 0 a c2  m0 0

Vậy, với m  thoả mãn điều kiện đầu bài.0

c Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt

Trang 2

 (2) có nghiệm 0 tt 1 2

000

P S

Vậy, với m  thoả mãn điều kiện đầu bài.0

d Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt

 (2) có nghiệm 0 tt 1 2

000

P S

Vậy, với m  thoả mãn điều kiện đầu bài.0

Bài 1.1: Cho phương trình m1x4 4x2 1 0

(*) Tìm m để

a) Phương trình (*) có nghiệm

b) Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt

Lời giải

Đặt tx t2,  , phương trình trở thành0

m1tt2 4  1 0

(*)a) Với m  phương trình (*) trở thành 1

Với m  phương trình (**) là phương trình bậc hai.1

Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm không âm

 TH1: Phương trình (**) có hai nghiệm không âm

 TH3: Phương trình (**) có một nghiệm bằng không và một nghiệm âm(không xảy

ra vì x  không là nghiệm của phương trình (**) với mọi m )0

Vậy phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi m  3

b) Với m  phương trình (*) trở thành 1

Với m  phương trình (**) là phương trình bậc hai.1

Phương trình (*) bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (**) có hai nghiệm

dương phân biệt

Trang 3

Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 1 m 3

Dạng toán 2: Phương trình chứa GTTĐ

Để giải phương trình chứa dấu trị tuyệt đối, ta tìm cách khử dấu trị tuyệt đối bằng cách: dùng

định nghĩa

khi 0

, khi 0

Loại 3: a A. b B. C dùng phương pháp chia khoảng để giải

Bài 2.: Giải các phương trình sau

x 

thấy chỉ có x  và 6 x  22 thỏa mãnVậy phương trình có nghiệm là x  và 6 x  22.

Trang 4

Bài 2.1: Giải các phương trình sau:

và

29 12

.b) Điều kiện:

x x

Trang 5

Vậy phương trình có nghiệm là: x2 3;x 6;x 1 19.

c) Viết lại phương trình dưới dạng:

x3 3x2 x2 x3 3x 2x0

(1)Đặt

3

, điều kiện t  0Khi đó, phương trình (1) được biến đổi về dạng:

03

x x

Vây, phương trình có 6 nghiệm phân biệt x0;x1;x 2;x2

Chú ý: Trong một số trường họp ta có thể giải phương trình chứa GTTĐ bằng cách sử dụng tính chất của GTTĐ

Ta sử dụng các tính chất sau:

B-íc 1: Đặt điều kiện có nghĩa (nếu cần) cho các biểu thức trong phương trình

B-íc 2: Biến đổi phương trình về một trong 4 tính chất đã biết

B-íc 3: Giải ( hoặc biện luận) phương trình đại số nhận được

Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng:

Trang 6

Cách 2: Viết lại phương trình dưới dạng:

x x x

Trang 7

2 2

2 0

1

33

03

x x x x x x

3

x

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

103

15

Trang 8

Khi đó bất phương trình có dạng:

302

tt t

2 2

( ) 0( ) ( )

Trang 9

b  

2 2

14

x

x x

bs

2(x 3)(8 x) 26  x 11x

Trang 10

Dạng 5: Phương trình , bất phương trình vô tỷ

Phương pháp 1: Nâng luỹ thừa



20

 

 



Vậy, phương trình có nghiệm x 15.

b Biến đổi phương trình tương đương với:

Trang 11

7 / 2

x

x x

Trang 12

Viết lại phương trình dưới dạng:

t t

t 

.Khi đó phương trình có dạng:

t  tt3    3 tt 3 2t  39

 tt t 3  32

( 3) (3 )

t ttt

Trang 13

Vậy, nghiệm của phương trình là x  2

Nhận xét: Như vậy, trong thí dụ trên:

 Ở câu a), ẩn phụ được sử dụng với mục đích hạ bậc cho phương trình

 Ở câu b), ẩn phụ được sử dụng với mục đích chuyển phương trình ban đầu vềphương trình bậc hai

x x

Trang 14

Vậy nghiệm bất phương trình là 1  x  5.

Chú ý: Ta không thể bình phương hai vế của bất phương ban đầu vì chưa biết dấu của hai vế Ta có thể sử dụng

phép biến đổi tương đương để gải bpt như sau:

Vậy nghiệm của bất phương trình là 1  x  5

* Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Bài 5.4: Giải phương trình

3 16

09

x

 

25

b) ĐKXĐ: 60 24 x 5x2 0

Đặt t 60 24 x 5x2 (t0)pt trở thành

Nhận xét:Trong lời giải trên ta thấy khó nhất là

biến đổi phương trình ban đầu thành

27 x 3 3 x 3 3x 31x 80 0

để sau khi đặt ẩn phụ t x3 thì phương trình ẩn t

có   18x 932

( là bình phương của một nhị thức)Nếu ta tách không hợp lý thì không là bình phương của một nhị thức hoặc là một hằng số ,trong trường hợp đó việc giải phương trình theohướng trên là không thể thực hiện được

Vậy làm thế nào để tách được phương trình mà thỏamãn các điều kiện trên và việc tách ra như thế có là duy nhất?.Để trả lời được câu hỏi này ta thực hiện theo các bước như sau:

Trang 15

Đến đây việc giải pt như đã trình bày ở trên

Bài 5.5: Giải các bất phương trình sau:

Trang 16

x x

 = t2 + 1 = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2

khi đó f(x) = 0 có nghiệm

11

x x x

Vậy bất phương trình có nghiệm là x  0

Phương pháp 3: Phân tích thành tích bằng cách nhân liên hợp.

Để trục căn thức ta nhân với các đại lượng liên hợp;

Với A, B không đồng thời bằng không

Bài 5.6: Giải các phương trình sau

a)

2 2



 

b) 3x 23x 2 c) (x3) 2x2  1 x2  d) x 3 3 2 2

3 x x 8  x 15 2

Lời giải

Trang 17

     (thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình có ngjiệm x  9

b) ĐKXĐ:

23

Phương trình (*) x (thỏa mãn điều kiện)1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1

c) Phương trình được viết lại như sau: 33x 2 x215 x28

Vì x215 x28 nên phương trình có nghiệm thì phải thỏa mãn 0 33 x  2 hay

827

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  1

d) Ta thấy x  không là nghiệm của phương trình3

Trang 18

 

2

2 2

02

Phương pháp 4: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình

Phương pháp giải: Trong một phương trình mà có hai đại lượng có mối liên hệ với nhau thì ta đặt mỗi đại

lượng ấy là một ẩn mới từ đó ta đưa về được hệ phương trình (dễ dàng giải được) có được từ mối liên hệ hai đại lượng đó và phương trình ban đầu Giải hệ phương trình từ đó tìm được nghiệm của phương trình ban đầu

Bài 5.7: Giải các phương trình sau

Khi đó phương trình trở thành u v  6

Ta có hệ phương trình:

u u u

Nhận xét : Khi gặp phương

trình có chứa các đại lượng

Trang 19

Khi đó phương trình trở thành u v  2

Ta có hệ phương trình: 4 3 4  3

22

c) ĐKXĐ:

18

Phương trình trở thành x2 x  1 1 2y x22yx

Vậy ta có hệ phương trình

2 2

22

Trang 20

Dạng toán 6: Phương trình , bất phương trình dạng khác quy về bậc hai

Một số dạng phương trình bậc bốn quy về bậc hai

Loại 1 ax4 bx3cx2dx e  với 0

20

Trang 21

a) Nhận xét rằng x  không phải là nghiệm của phương trình 0

Chia cả hai vế của phương trình cho x2  0, ta được:

Vậy phương trình có nghiệm x  1

b)Viết lại phương trình dưới dạng:

.Đặt tx2 2x , điều kiện 1 t  , suy ra 0 x22x t  và1 x22x 8 t 9

Khi đó phương trình trên có dạng:

t t

Tiêu đề	55 Một Số Phương Trình, Bất Phương Trình Quy Về Bậc 2 Đáp Án Chi Tiết
Trường học	Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài tập, hướng dẫn
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	0,92 MB