Tập chebyshev và một số vấn đề liên quan (tt)

ChoK là một tập gần kề trong không gian tuyến tính định chuẩn X, k.k; khi đó K là tập đóng.. Một tập con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn X, k.k là tập lồi nếu và chỉ nếu nó là

Mục lục

Một số kí hiệu ii

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Phép chiếu metric một điểm lên một tập hợp 2

1.1.1 Tập lồi và tập lồi trung điểm 2

1.1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một tập hợp 2

1.1.3 Phép chiếu metric 2

1.1.4 Phiếm hàm nửa liên tục 4

1.1.5 Nguyên lý biến phân Ekland 5

1.2 Hình học không gian Banach 5

1.2.1 Không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn, trơn đều 5

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP CHEBYSEV 8

2.1 Điều kiện cần và điều kiện đủ để một tập là tập gần kề hoặc là tập Chebyshev 8

2.2 Tính lồi của tập Chebyshev 9

Chương 3 CÂU HỎI MỞ VỀ TẬP CHEBYSEV 12

3.1 Một số khái niệm và công cụ 12

3.2 Tập gần kề và tập Chebyshev trong không gian Euclidean 14

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 19

MỘT SỐ KÍ HIỆU

• P(X)là tập các tập con của tập X

• Với Alà tập con bất kì của không gian tôpô (X, τ ), ta định nghĩa

– int(A), gọi là phần trong củaA, là hợp tất cả các tập mở chứa trongA,

– A,gọi là bao đóng của A, là giao của tất cả các tập đóng chứa A,

– ∂A := A \ int(A), gọi là biên của A

• Trong luận văn này mọi không gian tuyến tính định chuẩn sẽ được xét trêntrường số thực R

• Với không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k),ta định nghĩa

trong đó k.k là chuẩn ứng với tích vô hướng

• Cho tập C ⊂ Rn là tập lồi và f : C →R, ta định nghĩa

– domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} gọi là miền hữu dụng củaf,

– epif := {(x, µ) ∈ C ×R : f (x) ≤ µ}gọi là trên đồ thị của f

đã xây dựng được những tập Chebysev không lồi trong không gian tiền Hilbert

vô hạn chiều Tuy nhiên cho đến nay người ta vẫn chưa trả lời được câu hỏi liệumọi tập Chebysev trong không gian Hilbert có lồi hay không

Luận văn này trình bày một số khái niệm và tính chất của tập Chebysev Luậnvăn gồm 3 chương Chương 1 giới thiệu một số kiến thức cần thiết cho luận văn,như phép chiếu metric một điểm lên một tập hợp; các không gian Banach lồi,trơn, lồi đều, trơn đều Chương 2 nghiên cứu một số tính chất của tập Chebysev.Chương 3 giới thiệu câu hỏi mở về tập Chebysev cũng như trình bày vắn tắt 4cách chứng minh tính lồi của tập Chebysev trong không gian Euclid

Mặc dù tác giả đã rất cố gắng song luận văn chắc chắn còn nhiều thiếu sót Rấtmong nhận được sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn

Xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, ngày 30 tháng 12 năm 2014

Học viên

Nguyễn Trung Kiên

Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Phép chiếu metric một điểm lên một tập hợp

1.1.1 Tập lồi và tập lồi trung điểm

Định nghĩa 1 Cho C ⊆ X là một tập hợp khác rỗng của không gian vectơ X Ta nói rằng tậpC là tập lồi nếu với mọi a, b ∈ C và mọiλ ∈ [0, 1] thì

là hàm khoảng cách đối với tập K.

Mệnh đề 1.1.1 Cho (X, k.k) là không gian tuyến tính định chuẩn, K là tập con khác rỗng của X Khi đó hàm khoảng cách đối với K là không giãn (và do đó liên tục).

và xem mỗi phần tử của PK(x) là xấp xỉ tốt nhất (hoặc những điểm gần nhất) đến x trong K.

Ta gọi K là tập gần kề nếu PK(x) khác rỗng với mỗi x và gọi K là tập Chebyshev nếu với mọi xtập PK(x) chỉ gồm đúng một phần tử.

Đối với tập Chebyshev ta định nghĩa ánh xạ pK: X → X là ánh xạ biến x ∈ X

, với chuẩn Euclidean

Dễ dàng kiểm tra được rằng với mọi x ∈ B(0, 1) \ {0}thì

PK(x) =

xkxk



trong khi đó PK(0) = y ∈ R2: kyk = 1 Do đó K là tập gần kề, nhưng không phải là tập Chebyshev.

Ví dụ 3 Xét K := B [0, 1] ⊆ R2, với chuẩn Euclidean

Không quá phức tạp để kiểm tra được rằng với mọi x ∈ R2 \ K ta có:

PK(x) =

xkxk



Vì thế K là tập Chebyshev.

Ví dụ 4 Cho n ∈ N Xét tập K := B(0, 1) ⊆ Rn, với chuẩn Euclidean Chọn

x ∈ Rn sao cho kxk = 1 Dễ thấy d(x, K) = 0 nhưng x /∈ K nên PK(x) = ∅, do

đó K không phải là tập gần kề.

Mệnh đề 1.1.2 Cho K là tập con khác rỗng của không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Giả sử x ∈ X và z ∈ PK(x) Với mỗi y ∈ [x, z] ta có z ∈ PK(y).

Mệnh đề 1.1.3 Cho K là tập gần kề trong không gian tuyến tính định chuẩn

(X, k.k) Nếu(xn, yn)∞n=1 là một dãy trongX × X, vớiyn ∈ PK(xn)với mọi n ∈ N

Định nghĩa 4 Cho (X, k.k) và (Y, k.k0) là các không gian tuyến tính định chuẩn

và ánh xạ f : X → P(Y ), với P(Y ) là tập các tập con của Y Ta nói f là ánh

xạ bị chặn địa phương nếu với mọi x0 ∈ X, tồn tại các số r, M > 0 sao cho

∀x ∈ B(x0, r) nếu y ∈ f (x) thì kyk0 6 M, có nghĩa là f (B(x0, r)) là tập con bị chặn của Y.

Bổ đề 1.1.5 Cho K là tập gần kề trong không gian tuyến tính định chuẩn

(X, k.k) Khi đó phép chiếu metric x 7→ PK(x) là bị chặn địa phương.

Định nghĩa 5 Cho (X, k.k) và (Y, k.k0) là các không gian tuyến tính định chuẩn

và f : X →P(Y ) Ta nóif là liên tục tại x0 ∈ X nếu f (x) là tập có một phần tử

và với mọi dãy(xn)∞n=1 và (yn)∞n=1 trongX và Y tương ứng sao cholimn→∞xn = x

và yn ∈ f (xn) với mọi n ∈ N mà limn→∞yn = z thì f (x) = {z}

Định lí 1.1.6 Cho K là tập gần kề trong không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều (X, k.k) Nếu PK(x) là tập chỉ có một phần tử với mỗi x ∈ X thì phép chiếu metric y 7→ PK(y) liên tục tại x.

1.1.4 Phiếm hàm nửa liên tục (trên, dưới); Tính nửa liên tục dưới yếu

là tập đóng Tương tự,f là phiếm hàm nửa liên tục trên nếu với mọiα ∈ R,

{x ∈ X : f (x) ≥ α}

là tập đóng.

Nhận xét 1 Một phiếm hàm là liên tục nếu và chỉ nếu nó vừa là nửa liên tục dưới

vừa là nửa liên tục trên.

Bổ đề 1.1.7 Cho(X, k.k) là một không gian tuyến tính định chuẩn Khi đó chuẩn

là phiếm hàm nửa liên tục dưới tương ứng với tôpô yếu.

1.1.5 Nguyên lý biến phân Ekland

Định lí 1.1.8 (Nguyên lí biến phân Ekeland) Cho (X, d) là không gian metric đầy đủ và f : X −→ R∪ {±∞} là phiếm hàm nửa liên tục dưới và bị chặn dưới.

Khi đó với mọi > 0 và x1 ∈ X luôn tồn tại x0 ∈ X sao cho:

(i) f (x0) + d(x0, x1) ≤ f (x1)

(ii) f (x) > f (x0) − d(x0, x), ∀x ∈ X \ {x0}

1.2 Hình học không gian Banach

1.2.1 Không gian Banach lồi chặt, lồi đều, trơn, trơn đều

Định nghĩa 7 Một không gian tuyến tính định chuẩn(X, k.k) được gọi là lồi chặt nếu với mọi x, y ∈ X mà

r + R



x +

r

r + R

y

Mệnh đề 1.2.2 Một không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k)là lồi chặt nếu và chỉ nếu mọi cặp phần tử x, y ∈ X \ {0}, thỏa mãn đẳng thức tam giác kx + yk =kxk + kyk, đều đồng phương, tức là x = αy, vớiα > 0.

Định nghĩa 8 Cho (X, k.k) và (Y, k.k0) là các không gian tuyến tính định chuẩn

và U là một tập con mở của X Ta nói ánh xạ f : U → Y là khả vi Gâteaux tại

x ∈ U nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn Tx: X → Y sao cho

Mệnh đề 1.2.3 Cho(X, k.k)là không gian tuyến tính định chuẩn Nếu(X∗, k.k0)

(trong đó k.k0 là chuẩn đối ngẫu) là lồi chặt thì (X, k.k) là trơn Nếu(X∗, k.k0) là trơn thì (X, k.k) là lồi chặt.

Ta định nghĩa X := Sb X∗∗ := {x ∈ X∗∗ : kxk = 1}trong đó X∗∗ là không gianđối ngẫu thứ hai của X

Hệ quả 1.2.4 Cho (X, k.k) là không gian tuyến tính định chuẩn phản xạ Khi đó

(X, k.k) là lồi chặt (trơn) nếu và chỉ nếu (X∗, k.k0) là trơn (lồi chặt).

Định nghĩa 10 Không gian tuyến tính định chuẩn X, k.k được gọi là lồi đều nếu

∀ > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x, y ∈ BX thỏa mãn kx − yk < thì

x + y

2 > 1 − δ

Mệnh đề 1.2.5 Mọi không gian có tích vô hướng là lồi đều.

Mệnh đề 1.2.6 Một không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) là lồi đều nếu và

chỉ nếu với mọi cặp dãy số(xn)∞n=1, (yn)∞n=1trongBX, có tính chấtlimn→∞ xn +y n

Mệnh đề 1.2.8 Mọi không gian lồi đều là lồi chặt Mọi không gian hữu hạn chiều

lồi chặt là lồi đều.

Định lí 1.2.9 (Milman-Pettis) Mọi không gian lồi đều - là không gian phản xạ.

Bổ đề 1.2.10 Cho C là một tập con lồi, đóng của không gian tuyến tính định

chuẩn(X, k.k) Khi đó C là tập đóng yếu.

Định lí 1.2.11 Hình cầu đơn vị đóng BX trong không gian Banach phản xạ

(X, k.k) là compact với tôpô yếu tương ứng trongX Do đó, mọi dãy bị chặn trong

X chứa dãy con hội tụ yếu.

Bổ đề 1.2.12 (Bất đẳng thức Clarkson) Cho1 < p < ∞ Với mọi hàmf, g ∈ (Lp(µ), k.k), trong đó µlà độ đo σ-hữu hạn, ta có:

kf + gkpp+ kf − gkpp ≤ 2p−1kf kpp+ kgkpp

,nếu2 ≤ p < ∞

hoặc

kf + gkqp+ kf − gkqp ≤ 2 kf kpp+ kgkpp
q−1,nếu 1 < p ≤ 2

với q := p−1p

Chú ý: Với p = 2 thì bất đẳng thức trên chính là quy tắc hình bình hành.

Mệnh đề 1.2.13 (Clackson) Không gian (Lp(µ), k.kp) với 1 < p < ∞ là lồi đều.

Định lí 1.2.14 Với mỗi 1 < p < ∞, đối ngẫu của Lp(µ) là Lq(µ), trong đó

q := p−1p

Hệ quả 1.2.15 Với mỗi 1 < p < ∞, Lp(µ), với chuẩn plà trơn.

Chương 2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TẬP CHEBYSEV

2.1 Điều kiện cần và điều kiện đủ để một tập là tập gần kề hoặc là tập Chebyshev

Mệnh đề 2.1.1 ChoK là một tập gần kề trong không gian tuyến tính định chuẩn

(X, k.k); khi đó K là tập đóng.

Mệnh đề 2.1.2 Một tập con đóng của không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k)

là tập lồi nếu và chỉ nếu nó là tập lồi trung điểm.

Hệ quả 2.1.3 Phép chiếu metric đối với tập Chebyshev có đồ thị đóng.

Hệ quả 2.1.4 Trong không gian tuyến tính định chuẩn hữu hạn chiều phép chiếu

metric đối với tập Chebyshev là liên tục.

Mệnh đề 2.1.5 Cho K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach phản xạ (X, k.k) Khi đóK là tập gần kề.

Định lí 2.1.6 Mọi tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach phản xạ,

lồi chặt (X, k.k) đều là tập Chebyshev.

Hệ quả 2.1.7 Mọi tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Banach lồi đều là

tập Chebyshev.

Ví dụ 6 Xét

M := {f ∈ C[−1, 1] :

Z 1 0

với mọi f ∈ C[−1, 1], nhưng M không phải là tập gần kề.

Hệ quả 2.1.8 Mọi tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert hoặc không

gian Lp(µ) với chuẩn k.kp, trong đó 1 < p < ∞ đều là tập Chebyshev.

2.2 Tính lồi của tập Chebyshev

Bổ đề 2.2.1 Cho K là tập gần kề trong không gian tuyến tính định chuẩn

(X, k.k).Lấyx ∈ X\K vàz ∈ PK(x).Lấyλ > 0và định nghĩaxλ := x + λ(x − z)

Hệ quả 2.2.2 Cho K là một tập gần kề trong không gian tuyến tính định chuẩn

(X, k.k) Nếu phép chiếu metric liên tục tại x ∈ X \ K thì:

trong đó,z = PK(x) và xλ := x + λ(x − z), zλ ∈ PK(xλ) với mỗi λ > 0

Bổ đề 2.2.3 Cho K là một tập Chebyshev trong không gian Banach (X, k.k) với phép chiếu metric liên tục Khi đó với mọi x ∈ X \ K, r > 0, σ > 0 luôn tồn tại một phần tử x0 ∈ X sao cho:

(i) d(x, K) + σ1kx − x0k ≤ d(x0, K)

(ii) d(y, K) < d(x0, K) + 1σky − x0k, ∀y ∈ B[x, r] \ {x0}

(iii) kx − x0k = r

Định nghĩa 11 Ta nói tập con A đóng của không gian tuyến tính định chuẩn

(X, k.k) là gần lồi nếu với mọi hình cầu đóng B[x, r] ⊆ X \ A và N > 0 đều tồn tại x0 ∈ X và r0 > N sao cho

B[x, r] ⊆ B[x0, r0] ⊆ X \ A

Nhận xét 2 Mọi tập lồi là tập gần lồi.

Định lí 2.2.4 Cho K là một tập Chebyshev trong không gian Banach (X, k.k) Nếu phép chiếu metric đối với K là liên tục thìK là tập gần lồi.

Bổ đề 2.2.5 Cho(X, k.k) là không gian tuyến tính định chuẩn có không gian đối ngẫu lồi chặt và f ∈ SX∗ Nếu (B[zn, rn])∞n=1 là một dãy các hình cầu đóng trong

X sao cho:

(i) B[zn, rn] ⊆ B[zn+1, rn+1], ∀n ∈ N,

(ii) B[zn, rn] ⊆ {x ∈ X : f (x) ≤ 1}, ∀n ∈ N,

n∈NB[zn, rn] là nửa không gian đóng.

Bổ đề 2.2.6 ChoC là một tập con lồi, đóng của không gian tuyến tính định chuẩn

(X, k · k) Khi đóC là chứa trong nửa không gian hoặc là cả không gian.

Chứng minh Giả sử C 6= X Lấy x ∈ X \ C Theo định lí Hahn-Banach tồn tạimột siêu phẳng tách x và C Vì vậy C là chứa trong một nửa không gian xácđịnh bởi siêu phẳng đó

Bổ đề 2.2.7 ChoJ là nửa không gian đóng của không gian tuyến tính định chuẩn

(X, k · k) Nếu vớix, y ∈ X, z := x+y2 ∈ int(J) thì x hoặc y thuộcint(J )

Bổ đề 2.2.8 Cho(Cn)∞n=1 là một dãy mở rộng các tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn (X, k.k) Giả sửint(Ck) 6= ∅ với mỗik ∈ N Khi đó

Hệ quả 2.2.11 Trong không gian Hilbert mọi tập Chebyshev với phép chiếu metric

liên tục là tập lồi.

Chứng minh Theo kết quả định lí trên, ta cần kiểm tra là không gian Hilbert có

đối ngẫu lồi chặt Do đối ngẫu của một không gian Hilbert là một không gianHilbert và theo các Mệnh đề 1.2.8 và 1.2.5 thì nó lồi chặt

Hệ quả 2.2.12 Mọi tập Chebyshev có phép chiếu metric liên tục trong không gian

Lp(µ) với 1 < p < ∞ là tập lồi.

Chứng minh Ta chỉ cần chứng tỏ đối ngẫu của Lp với 1 < p < ∞ là lồi chặt.Theo Định lí 1.2.14, đối ngẫu của Lp là Lq với q := p−1p , không gian này là lồiđều (và do đó lồi chặt) theo Mệnh đề 1.2.13

Hệ quả 2.2.13 Cho (X, k.k) là không gian trơn, tuyến tính hữu hạn chiều Nếu

Mệnh đề 2.2.14 Cho K là một tập con lồi của không gian có tích vô hướng

(X, h·, ·i) và x ∈ X, y ∈ K Khi đó y ∈ PK(x) nếu và chỉ nếu

hx − y, z − yi ≤ 0,

với mọi z ∈ K

Định lí 2.2.15 (Phelps) Cho K là một tập Chebyshev trong không gian có tích

vô hướng (X, h·, ·i).Khi đóK là tập lồi nếu và chỉ nếu phép chiếu metric là không giãn, nghĩa là

kpK(x) − pK(y)k ≤ kx − yk,

với mọi x, y ∈ K

Chương 3 CÂU HỎI MỞ VỀ TẬP CHEBYSEV

Trong Chương này chúng tôi xin trình bày một số vấn đề liên quan đến câu hỏi

mở "phải chăng mọi tập Chebysev trong không gian Hilbert là lồi?" Chương này

sẽ trình bày vắn tắt bốn phương pháp biến phân để chứng minh tính lồi của tậpChebysev hữu hạn chiều Mặc dầu gần đây Balaganskii và Vlasov (Russian Math.Surveys, 51(9) (1996) 1127-1190) đã xây dựng được tập Chebysev không lồitrong không gian có tích vô hướng, song câu hỏi về tính lồi của tập Chebysevtrong không gian Hilbert cho tới nay vẫn chưa có lời giải

3.1 Một số khái niệm và công cụ

Tính chất 1 (Về phép chiếu, [6]) Cho K là một tập con đóng của không gian Hilbert Giả sử rằnga ∈ PK(x) Khi đó PK(tx + (1 − t)a) = {a}với 0 < t < 1

Tính chất 2 (Chebyshev, [4],[6],[9]) Mọi tập Chebyshev là đóng và mọi tập lồi

đóng trong không gian Banach lồi phản xạ là tập Chebyshev Nói riêng, mọi tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert là tập Chebyshev.

Mệnh đề 3.1.1 (Tính phản xạ, [6],[9]) Không gianX là phản xạ nếu và chỉ nếu mọi tập lồi đóng C là tập gần kề và nếu và chỉ nếu mọi tập lồi đóng có điểm gần nhất.

Như vậy tồn tại những không gian không phản xạ mà trong đó mỗi một tậpđóng bị chặn đều chứa những điểm gần kề

Tính không giãn của phép chiếu metric đối với tập lồi đóng trong không gianHilbert dễ dàng suy ra từ điều kiện cần và đủ của phép chiếuPC(x)

hx − PC(x), c − xi ≤ 0

với mọi x ∈ C

Ta gọi S ⊂ E là mặt trời nếu với mỗi phần tử x ∈ E, thì mọi phần tử thuộctia PS(x) + R+(x − PS(x)) đều có điểm gần nhất PS(x)

Mệnh đề 3.1.2 (Mặt trời, [2],[6],[9]) Trong không gian Hilbert một tập đóngC(i) là lồi nếu và chỉ nếu (ii) C là mặt trời nếu và chỉ nếu (iii) phép chiếu metric là không giãn.

Mệnh đề 3.1.3 (Đặc trưng của tập Chebyshev, [2],[6],[9]) NếuElà không gian Euclidean thì các mệnh đề sau là tương đương.

1. S là tập Chebyshev.

2. PS là ánh xạ đơn trị và liên tục.

3. d2S là khả vi Fréchet với ∇Fd2S/2 = I − PS

4 Tập các dưới vi phân Fréchet ∂F(−d2S)(x)là luôn khác rỗng.

Mọi kết luận còn đúng chỉ cần giả thiết không gian hữu hạn chiều với mộtchuẩn trơn và lồi Thật vậy những kết luận vẫn đúng trong không gian Banach

ít nhất là cho một số tập "đủ tốt" Chỉ thực sự khó giải quyết với bước (1)⇒(2)

Ta gọi C ⊂ X là xấp xỉ lồi nếu với mỗi hình cầu đóng D ⊂ X không cắt C,luôn tồn tại một hình cầu đóngD0 ⊃ D không cắt C với bán kính lớn tùy ý Trựctiếp từ định nghĩa, với minh họa trong Hình 3.1 ta có

Mệnh đề 3.1.4 Mọi mặt trời là xấp xỉ lồi.

Mệnh đề 3.1.5 (Tính xấp xỉ lồi, [2],[9]) Mọi tập lồi trong không gian Banach

là xấp xỉ lồi Khi không gian là hữu hạn chiều và chuẩn đối ngẫu là lồi thì mọi tập xấp xỉ lồi là lồi.

Ta sẽ khai thác mối quan hệ giữa tính lồi và tính trơn của dA và rA, với

rA(x) := supy∈Akx − yk gọi là hàm bán kính

Tính chất 3 (Liên hợp Fenchel, [2],[9]) Liên hợp lồi của hàm thực mở rộng f

trong không gian Banach X được định nghĩa bởi