NGUYN THI HÁA... Trong ch÷ìng n y, tr÷îc h¸t chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m tªp con tam gi¡cv x¥y düng mæun ph¥n sè suy rëng cõa mët mæun theo mët tªp con tamgi¡c... Måi mæun con thüc s
ở d i mổun
Trong mũc n y, chúng tôi trình bày khái niệm ở dạng mô hình và một số kết quả ở dạng mô hình theo [1], [3], [13] Khái niệm R là một vecto không và, Z + là tập các số nguyên dương Định nghĩa 1.1.1 Một R− mô hình M khác không được gọi là mô hình ẩn nếu nó có đúng hai mô hình con là mô hình không và chính nó.
Bờ ã 1.1.2 Cho M là một R−mô đun Khi M là R−mô đun ẩn khi và chỉ khi M ∼ = R/m (những R -mô đun) với m ∈ Max(R) Định nghĩa 1.1.3 Một dãy chuyển tiếp của R−mô đun M là một dãy tổng quát của các mô đun con của M có dạng M_0 ⊊ M_1 ⊊ ⊊ M_n Định nghĩa 1.1.4 Một dãy chuyển tiếp của các mô đun con của mô đun M có dạng.
Tức là dây khổng thừa bờ sung thảm, được gọi là một chuỗi hợp thể nằm ở điểm M Mô hình khổng được coi là có chuỗi hợp thể nằm ở điểm bờ 0 Hình lý 1.1.5 (hình lý Jordan-Holder) cho M là một R− mô hình Giới sỹ rỗng.
M cõ mởt chuội hủp th nh cõ ở d i n Khi õ,
(i) Mồi dƠy chuyãn ch°t cừa M ãu cõ ở d i khổng lợn hỡn n
(ii) Mồi chuội hủp th nh cừa M ãu cõ ở d i úng bơng n
(iii) Mồi dƠy chuyãn ch°t cĂc mổun con cừa M cõ ở d i k < n ãu cõ thº bờ sung n − k th nh phƯn º trð th nh mởt chuội hủp th nh cừa M
Mồi dƠy chuyễn chất của M có ở điểm d i úng bơng n, nếu chuỗi hợp thành có ở điểm n < ∞ Khi R− mổun M có một chuỗi hợp thành có ở điểm d i n < ∞, thì ta nói M có ở điểm bơng n và khẳng định rằng R (M) = n.
Vẵ dử 1.1.7 1 Cho V l khổng gian v²ctỡ trản trữớng K Khi õ, V cõ chiãu hỳu hÔn ⇔ V l K− mổun Noether ⇔ V l K− mổun Artin Hỡn nỳa, V l
R−mổun cõ ở d i hỳu hÔn v l K (V ) = dim K (V )
Ghi chú 1.1.8 1 Mởt R− mổun M ữủc gồi l mổun Noether náu mồi dÂy tông
M 0 ⊆ M 1 ⊆ M n+1 ⊆ cĂc mổun con cừa M ãu dứng, tực l tỗn tÔi k ∈ Z + : M k = M k+i vợi mồi i ∈ Z + Mởt v nh R ữủc gồi l mởt v nh Noether náu R l R− mổun Noether.
2 Mởt R− mổun M ữủc gồi l mổun Artin náu mồi dÂy giÊm
M 0 ⊇ M 1 ⊇ ⊇ M n+1 ⊇ là một chuỗi các mô đun, trong đó mỗi mô đun M k được xác định bởi M k = M k+i với mọi i ∈ Z+ Một mô đun R-địa phương được gọi là Artin nếu nó là một mô đun Noether Đối với một mô đun M là R-địa phương, điều kiện R(M) < ∞ xảy ra khi M là mô đun Noether và cũng là mô đun Artin Cuối cùng, cho dãy ngắn 0 −→ N −→ M −→ P −→ 0, đây là một cấu trúc quan trọng trong lý thuyết mô đun.
(ii) Khi l R (M ) , l R (N ) , l R (P ) ãu hỳu hÔn thẳ l R (M ) = l R (N ) + l R (P )
Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ
Trong mửc n y, chúng tôi trình bày một số kết quả và phân tích nguyên sở theo các tài liệu đã tham khảo Kết hiễu R là một vành giao hoán có ớn Định nghĩa 1.2.1: Một ideal I của vành R được gọi là một ideal nguyên sở nếu I ⊊ R và với mọi a, b ∈ R, ab ∈ I thì a ∈ I hoặc b ∈ I với một k ∈ Z+ Ghi chú 1.2.2: Một ideal nguyên tố P của R là một ideal nguyên sở.
3 Cho I R Khi õ náu √ I l iảan cỹc Ôi thẳ I l nguyản sỡ.
4 GiÊ sỷ m ∈ Max (R) , vẳ √ m k = √ m ∩ ∩ √ m = m nản m k l iảan nguyản sỡ. ành nghắa 1.2.3 Mổun con thỹc sỹ N cừa R− mổun M ữủc gồi l nguyản sỡ náu ∀α ∈ R, ∀x ∈ M, αx ∈ N ⇒ x ∈ N ho°c ∃k ∈ Z + sao cho α k M ⊆ N
Ghi chú 1.2.4 1 Iảan I cừa R l iảan nguyản sỡ khi v ch¿ khi I l mổun con nguyản sỡ cừa R− mổun R
2 N l mổun con nguyản sỡ cừa M khi v ch¿ khi vợi mồi α ∈ R , tỹ ỗng c§u M/N −→ α M/N ho°c l ìn c§u ho°c l lôy linh.
Bờ ã 1.2.5 (i) Cho N l mởt mổun con cừa R− mổun M Khi õ
Rad M (N ) = n α ∈ R | ∃k ∈ Z + sao cho α k M ⊆ N o l mởt iảan cừa R °c biằt, náu a l mởt iảan cừa R thẳ Rad R ( a ) = √ a
(ii) Cho N, P l hai mổun con cừa M Náu N ⊆ P thẳRad M (N ) ⊆ Rad M (P ) Hìn núa
Rad M (N ∩ P) = Rad M (N) ∩ Rad M (P) Mệnh đề 1.2.6 cho biết rằng nếu N là một con số nguyên thuộc R và M, thì Rad M (N) = P là một yếu tố nguyên tố Ta gọi N là một con P - nguyên số của M Mệnh đề 1.2.7 xác định rằng yếu tố nguyên tố P của v là một liên kết với R.
R−mổun M là một tập hợp các phần tử x ∈ M sao cho Ann (x) = P Tập hợp này chứa các yếu tố nguy hiểm liên quan đến M, và có thể hiểu rằng Ass R (M) hoặc Ass (M) sẽ được xác định nếu R được xác nhận.
2 Cho P ∈ Spec (R) Khi õ náu P ∈ Ass (M ) thẳ tỗn tÔi mởt mổun con N cõa M sao cho N ∼ = R/P
(i) GiÊ sỷ M ̸= 0 Kẵ hiằu F = Ann (x) | x ∈ M \ {0} Khi õ mồi phƯn tỷ tối Ôi cừa hồ F l mởt iảan nguyản tố tực l P ∈ Ass (M)
P. Mằnh ã 1.2.9 Cho N l mởt mổun con cừa R− mổun M Khi õ
Tập hợp Ass (N) là tập con của Ass (M), và cả hai tập hợp này đều là tập con của hợp của Ass (N) và Ass M/N Đối với N là một mổun con của R và mổun M, một phân tách nguyản sỡ của N có thể được biểu diễn dưới dạng N với các mổun con nguyản sỡ của M.
N = P 1 ∩ P 2 ∩ ∩ P r , trong õ P 1 , , P r l cĂc mổun con nguyản sỡ cừa M
Ghi chú 1.2.11 1 Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ N = P 1 ∩ P 2 ∩ ∩ P r ữủc gồi l rút gồn náu \ k̸=i
Mồi sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ cừa N ãu cõ thº ữa vã dÔng rút gồn Mồi mổun con thỹc sỹ cừa mởt mổun Noether ãu cõ sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ rút gồn.
Mằnh ã 1.2.13 Cho R l v nh Noether v M l mởt R− mổun hỳu hÔn sinh. GiÊ sỷ 0 = N 1 ∩ N 2 ∩ ∩ N r l phƠn tẵch nguyản sỡ rút gồn cừa mổun con 0 °t P i = Rad M (N i ) , ∀i = 1, r Khi â Ass (M) = {P 1 , , P r }.
Chiãu Krull
Trong bài viết này, chúng tôi trình bày khái niệm chiếu Krull và một số kết quả liên quan Trước hết, chúng tôi sẽ giới thiệu khái niệm và những phần bên cạnh Khái niệm R là một vành giao hoán có đơn vị Định nghĩa 1.3.1 cho biết vành R được gọi là vành phần bên cạnh nếu tồn tại một họ các nhóm con giao hoán (R^n) với n ≥ 0 của R thỏa mãn các điều kiện sau:
Vẵ dử 1.3.2 1 GiÊ sỷ R l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và bĐt ký Cho R 0 = R v R n = 0 vợi mồi n ⩾ 1 Khi õ R l v nh phƠn bêc v gồi l v nh phƠn bêc t¦m th÷íng.
2 X²t v nh a thực n bián R = K [x 1 , , x n ] vợi K l mởt trữớng Gồi R d l têp tĐt cÊ a thực thuƯn nhĐt bêc d , tẵnh cÊ a thực khổng Khi õ ta cõ
R d v R d R m ⊆ R d+m vợi mồi m, d ⩾ 0 Vêy R l mởt v nh phƠn bêc. ành nghắa 1.3.3 GiÊ sỷ R = M n ⩾ 0
R n l mởt v nh phƠn bêc, R− mổun M ữủc gồi l R− mổun phƠn bêc náu tỗn tÔi mởt hồ cĂc nhõm con cởng giao hoĂn (M n ) n ⩾ 0 cừa M thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
Vẵ dử 1.3.4 V nh a thực n bián R = K [x 1 , , x n ] vợi sỹ phƠn bêc ữủc ành nghắa ð vẵ dử 1.3.2(2), khi õ R ữủc xem l R− mổun phƠn bêc.
Nhỳng phƯn tỷ cừa R n ho°c M n trong mởt v nh phƠn bêc ho°c mởt mổun phƠn bêc ữủc gồi l th nh phƯn thuƯn nhĐt bêc n.
Cho M l mởt R− mổun phƠn bêc Mởt mổun con N cừa M ữủc gồi l mổun con phƠn bêc náu N = M n ⩾ 0
N n , trong õ N n = N ∩ M n Do õ mổun thữỡng M/N cụng l mổun phƠn bêc. ành nghắa 1.3.5 Mởtv nh lồc R l mởt v nh R cũng vợi mởt hồ (R n ) n ⩾ 0 cĂc nhõm con cừa R thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:
Vẵ dử 1.3.6 1 GiÊ sỷ R l mởt v nh bĐt ký Cho R 0 = R v R n = 0 vợi mồi n ⩾ 1 Khi õ (R n ) n ⩾ 0 l mởt v nh lồc cừa v nh R l gồi l mởt lồc tƯm thữớng.
2 Cho I l mởt iảan cừa R Khi õ (I n ) n ⩾ 0 l mởt lồc cừa R , nõ ữủc gồi l mởt lồc I− adic.
Cho \( R^n \) với \( n \geq 0 \) là một không gian lồi và \( S \) là một không gian con của \( R \) Khi \( R^n \cap S^n \) với \( n \geq 0 \) là một không gian lồi của \( S \), nó được gọi là không gian lồi sinh sản của \( S \) Định nghĩa 1.3.7 cho biết rằng \( R \) là một không gian lồi với không gian lồi \( (R^n)_{n \geq 0} \) Một không gian lồi \( M \) là một không gian lồi \( R \) với không gian lồi \( (M^n)_{n \geq 0} \) các không gian con của \( M \) thỏa mãn các điều kiện nhất định.
Vẵ dử 1.3.8 1 Cho M l mởt R− mổun v R cõ lồc tƯm thữớng Khi õ M cụng cõ mởt lồc tƯm thữớng ữủc ành nghắa bði M 0 = M v M n = 0 vợi mồi n ⩾ 1
2 Cho I l mởt iảan cừa R v x²t lồc I− adic cừa R ành nghắa lồc I− adic cừa M bơng cĂch lĐy M n = I n M Khi õ M l mởt R− mổun lồc.
Cho R là một vành Noether giao hoán và phức tạp Một vành I được gọi là một vành nghĩa của R nếu m k ⊆ I ⊆ m với một k ≥ 1 Điều này dẫn đến ý tưởng về I ⊆ m và R/I là một vành Artin.
Cho I là một ảnh nghĩa của R và M là một R−mô hình hình sinh Khi I là mô hình hình sinh trên R/I, X² là lộc I−adic của R và M Khi đó ta có vân phân bậc liên kết và mô hình phân bậc liên kết.
GiÊ sỷ I = Rx 1 + + Rx r , khi õ v nh phƠn bêc R ∗ l Ênh ỗng cĐu cừa
[x 1 , , x r ] v M ∗ l R ∗ − mổun phƠn bêc hỳu hÔn sinh Khi õ
F M ∗ (n) = l I n M/I n+1 M l mởt a thực theo n vợi deg F M ∗ (n) ⩽ r − 1 , khi n ⩾ 0 Suy ra rơng, h m χ (M, I, n) = l R M/I n M
F M ∗ (i) là một a thực theo n với bậc khổng lồ khi n ≫ 0 A thực χ (M, I, n) khi n ≫ 0 được gọi là a thực Hilbert của M tương ứng với I A thực này không phụ thuộc vào nghĩa I Bậc của a thực này được ký hiệu d (M).
Mằnh ã 1.3.9 Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi iảan cỹc Ôi m v I l mởt iảan ành nghắa cừa R v
0 −→ M ′ −→ M −→ M ′′ −→ 0 l dÂy khợp cĂc R− mổun hỳu hÔn sinh Khi õ d (M ) = max n d M ′ , d M ′′ o Hằ quÊ 1.3.10 Náu M ′ l mổun con cừa R− mổun M thẳ d M ′ ⩽ d (M )
Cho R là một vành giao hoán với 1 ≠ 0 Một dãy hạng yếu gồm n + 1 ideal nguyên tố \( P_0 \supseteq P_1 \supseteq \ldots \supseteq P_n \) được gọi là một dãy chuỗi nguyên tố ở trong R Nếu \( P \in \text{Spec}(R) \), chọn trạng thái nhặt của tất cả các dãy chuỗi nguyên tố với \( P = P_0 \) được gọi là ở cao hơn P và không hiểu là ht(P) Vậy thì ht(P) = 0 tức là P là ideal nguyên tố tối tiểu của R.
Chiều cao của một lý thuyết R được định nghĩa là giá trị lớn nhất của chiều cao của các lý thuyết con chứa I, ký hiệu là \( ht(I) = \inf \{ ht(P) \mid P \supseteq I \} \) Chiều cao của vành R được định nghĩa là giá trị lớn nhất của chiều cao của tất cả các lý thuyết con của R, ký hiệu là \( dim R = \sup \{ ht(P) \mid P \in Spec(R) \} \), và được gọi là chiều cao Krull của R.
Vẵ dử 1.3.12 1 Cho K l 1 trữớng Khi õ dim K = 0
Ghi chú 1.3.13 1 Vợi mội iảan I cừa R , dim R/I + ht (I) ⩽ dim R
2 Náu (R, m ) l mởt v nh Noether àa phữỡng thẳ dim R < ∞ ành nghắa 1.3.14 Cho M l mởt R− mổun Chiãu Krull cừa M l dim (M ) = dim R/ Ann (M ) Náu M = 0 , quy ữợc dim (M ) = −1
Ghi chú 1.3.15 1 Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng. Khi â d (R) ⩾ dim (R)
2 Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng v M ̸= 0 l mởt R− mổun hỳu hÔn sinh v °t dim (M ) = r Khi õ tỗn tÔi r phƯn tỷ x 1 , , x r ∈ m sao cho l M/ (x 1 , , x r ) M
< ∞. ành nghắa 1.3.16 Chiãu Chevalley δ (M ) cừa M l số tỹ nhiản nhọ nhĐt r sao cho tỗn tÔi x 1 , , x r ∈ m º l R M/ (x 1 , , x r ) M
Náu M = 0, quy ữợc δ(M) = −1 Cho (R, m) là một vành Noether giao hoán và phức tạp Nếu M ≠ 0 là một R-môđun hữu hạn sinh, khi đó õ d(M) = dim(M) = δ(M) Trong õ δ(M) là số tỹ nhiản nhọ nhĐt r sao cho tồn tại x₁, , xᵣ ∈ m sao cho R M/(x₁, , xᵣ) M.
< ∞. Ghi chú 1.3.18 1 GiÊ sỷ d = dim (M ) v hằ phƯn tỷ x 1 , , x d ∈ m sao cho l R M/ (x 1 , , x d ) M
< ∞ Khi õ (x 1 , , x d ) ữủc gồi l mởt hằ tham số cõa M
2 Náu x = (x 1 , , x d ) l mởt hằ tham số cừa M thẳ x n 1 1 , , x n d d cụng l mởt hằ tham số cừa M , vợi mồi n 1 , , n d ∈ Z +
Ph¤m trò v h m tû
Ph¤m trò v h m tû
ành nghắa 1.4.1.1 Mởt phÔm trũ K ữủc cho bði:
(K1) Mởt lợp cĂc vêt Ob (K) m mội phƯn tỷ cừa Ob (K) ữủc gồi l mởt vêt cõa ph¤m trò K
Với hai véc tơ A, B ∈ Ob (K), luôn xác định một tập hợp hợp Mor K (A, B) là tập hợp các đường xô tứ A và B sao cho với hai cặp khác nhau của các véc tơ (A, B) ≠ (C, D) thì Mor K (A, B) ∩ Mor K (C, D) = ∅.
(K3) Vợi ba vêt bĐt ký A, B, C ∈ Ob (K) cõ mởt Ănh xÔ
(f, g) 7−→ gf gồi l ph²p nhƠn sao cho cĂc tiản ã sau Ơy thọa mÂn:
(i) Ph²p nhƠn cõ tẵnh kát hủp, nghắa l vợi ba cĐu xÔ bĐt ký f ∈ Mor K (A, B ) , g ∈Mor K (B, C) v h ∈ Mor K (C, D)
(ii) Vợi mội A ∈ Ob (K) tỗn tÔi mởt cĐu xÔ 1 A ∈ Mor K (A, A) , gồi l cĐu xÔ ỗng nhĐt, sao cho vợi mội B ∈ Ob (K) , vợi mội f ∈ Mor K (A, B) , ta cõ f 1 A v 1 B f = f, vợi 1 B ∈ Mor K (B, B )
Khi phÔm trũ K Â ữủc xĂc ành trữợc º cho tiằn ta viát Mor (A, B) thay cho Mor K (A, B ) v kẵ hiằu
Ngo i ra ta cụng viát A ∈ K thay cho A ∈ Ob (K) , f ∈ K thay cho f ∈ Mor (K) v viát f : A −→ B thay cho f ∈ Mor K (A, B)
Vẵ dử 1.4.1.2 1 PhÔm trũ cĂc nhõm G gỗm cõ
(i) Ob (G) l lợp tĐt cÊ cĂc nhõm.
(ii) Mor (A, B) = Hom (A, B) l têp hủp tĐt cÊ cĂc ỗng cĐu nhõm tứ nhõm A án nhõm B
(iii) Ph²p nhƠn l ph²p hủp th nh hai ỗng cĐu nhõm.
2 PhÔm trũ cĂc R− mổun Mod (R) gỗm cõ
(i) Ob Mod (R) l lợp tĐt cÊ cĂc R− mổun.
(ii) Mor (A, B) = Hom R (A, B ) l têp hủp tĐt cÊ cĂc ỗng cĐu mổun tứ R− mổun
Ph²p nhƠn l ph²p hủp th nh hai ỗng cĐu mổun Cho hai phÔm trũ C và D, mởt h m tỷ hiằp bián F từ C án D, kẵ hiằu l F: C −→ D, l mởt quy tưc °t tữỡng ựng.
(i) Mội vêt A cừa C vợi mởt vêt F (A) cừa D
(ii) Mội cĐu xÔ f : A −→ B vợi mởt cĐu xÔ F (f ) : F (A) −→ F (B) , sao cho cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn
(a) Vợi mồi vêt A cừa C cõ F (1 A ) = 1 F(A)
(b) Vợi mồi cĐu xÔ f : A −→ B v g : B −→ C cõ F (gf) = F (g) F (f ) ành nghắa 1.4.1.4 Cho hai phÔm trũ C v D Mởt h m tỷ phÊn bián F tứ C án D , kẵ hiằu l F : C −→ D , l mởt quy tưc °t tữỡng ựng
(i) Mội vêt A cừa C vợi mởt vêt F (A) cừa D
(ii) Mội cĐu xÔ f : A −→ B vợi mởt cĐu xÔ F (f ) : F (B ) −→ F (A) , sao cho cĂc iãu kiằn sau thọa mÂn
(a) Vợi mồi vêt A cừa C cõ F (1 A ) = 1 F(A)
(b) Vợi mồi cĐu xÔ f : A −→ B v g : B −→ C cõ F (gf) = F (f) F (g)
H m tû a -xon
Cho R l mởt v nh Noether, a ⊆ R l mởt iảan, M l mởt R− mổun N ⊆ M l mởt mổun con Kẵ hiằu
Khi õ (N : M a ) l mởt mổun con cừa M v N ⊆ (N : M a )
Kẵ hiằu Γ a (M ) , ữủc ành nghắa nhữ sau: Γ a (M ) := [ n ⩾ 1
Dạ thĐy Γ a (M ) l mởt mổun con cừa M v nõ ữủc gồi l mởt a − xoưn cừa
Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cĂc R− mổun Khi õ tỗn tÔi mởt ỗng cĐu cĂc R− mổun Γ a (h) : Γ a (M ) −→ Γ a (N ) ữủc xĂc ành bði Γ a (h) (m) = h (m) vợi mồi m ∈ Γ a (M )
Khi õ chúng ta cõ thº kiºm tra ữủc ph²p gĂn trản l mởt h m tỷ hiằp bián trản phÔm trũ Mod (R) v ữủc gồi l h m tỷ a − xoưn, kẵ hiằu Γ a (•)
Ghi chú 1.4.2.1 1 Mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc
R−mổun án chẵnh nõ l mởt ph²p gĂn
F (M ) F −→ (h) F (N ) m mội R− mổun M gĂn vợi mởt R− mổun F (M ) v mội ỗng cĐu h : M −→ N cừa cĂc R− mổun gĂn cho mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun F (h) : F (M ) −→ F (N ) thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau:
(i) F ( id M ) = id F (M ) vợi mội R− mổun M
(ii) F (h ◦ l) = F (h) ◦ F (l) , trong õ l : M −→ N v h : N −→ P l cĂc ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun.
(iii) F (h + l) = F (h) + F (l) , trong õ h, l : M −→ N l cĂc ỗng cĐu cừa cĂc
(iv) F (ah) = aF (h) vợi mồi a ∈ R v mội ỗng cĐu h : M −→ N cừa cĂc
2 GiÊ sỷ F (•) = F l mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc
R−mổun án chẵnh nõ v h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun. Khi â
(i) Náu h l mởt ¯ng cĐu thẳ F (h) l mởt ¯ng cĐu v F h −1 = F (h) −1 (ii) Náu h = 0 thẳ F (h) = 0
3 Cho F l mởt h m tỷ hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R− mổun án chẵnh nõ (i) H m tỷ F ữủc gồi l khợp náu mội dÂy khợp ngưn
0 −→ F (N ) F(h) −→ F (M) −→ F (l) F (P ) −→ 0 l mởt dÂy khợp cĂc R− mổun.
(ii) H m tỷ F ữủc gồi l khợp trĂi náu mội dÂy khợp
0 −→ F (N ) F −→ (h) F (M ) −→ F(l) F (P ) l mởt dÂy khợp cĂc R− mổun.
(iii) H m tỷ F ữủc gồi l khợp phÊi náu mội dÂy khợp
F (N ) F(h) −→ F (M ) −→ F (l) F (P ) −→ 0 l mởt dÂy khợp cĂc R− mổun.
(iv) H m tỷ F l khợp náu F vứa l khợp trĂi, vứa l khợp phÊi.
Mổun ối ỗng iãu v mổun ối ỗng iãu àa phữỡng
Mổun ối ỗng iãu
ành nghắa 1.5.1.1 DÂy cĂc R− mổun ã ã ã −→ M i−1 d i−1
−→ M i+1 −→ ã ã ã sao cho im d i−1 ⊆ ker d i vợi mồi i ∈ Z ữủc gồi l mởt ối phực cừa cĂc
Trong không gian R−mổun, cho hai đối tượng (M • , d • ) và (N • , e • ) là hai ối phức Một chuỗi các hàm h i ∈ Z giữa các ối phức h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) được định nghĩa sao cho với mọi i ∈ Z, điều kiện h i+1 ◦ d i = e i ◦ h i được thỏa mãn Điều này thể hiện mối quan hệ giữa các không gian R−mổun thông qua các hàm liên kết giữa chúng.
Mằnh ã 1.5.1.3 Cho h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) v l • : (N • , e • ) −→ (P • , f • ) l hai ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổun Khi õ hồ l i ◦ h i i∈ Z xĂc ành mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổun l • ◦ h • : M • , d •
−→ P • , f • ỗng cĐu cừa cĂc ối phực l • ◦ h • = l i ◦ h i i∈ Z ữủc gồi l hủp th nh cừa hai ỗng cĐu cừa cĂc ối phực h • vợi l •
Ghi chú 1.5.1.4 1 Hồ ( id M i ) i∈ Z xĂc ành mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổun id (M • ,d • ) : M • , d • −→ M • , d •
3 k • ◦ (l • ◦ h • ) = (k • ◦ l • ) ◦ h • , trong â h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) , l • : (N • , e • ) −→ (P • , f • ) v k • : (P • , f • ) −→ (Q • , g • ) l cĂc ỗng cĐu cừa cĂc ối phùc.
4 Cho (M • , d • ) v (N • , e • ) l hai ối phực cừa cĂc R− mổun Kẵ hiằu
Hom R M • , d • , N • , e • = n h • h • : M • , d • −→ N • , e • o l têp hủp tĐt cÊ cĂc ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổun tứ ối phực
(M • , d • )án ối phực (N • , e • ) Têp n y l mởt R− mổun vợi ph²p toĂn cởng v ph²p toĂn nhƠn ữủc ành nghắa bði
(ii) ah • = ah i i∈ Z , trong â h • = h i i∈ Z ành nghắa 1.5.1.5 Cố ành n ∈ Z Khi õ mổun ối ỗng iãu thự n cừa ối phực (M • , d • ) cừa cĂc R− mổun ữủc ành nghắa l
Mằnh ã 1.5.1.6 Cho h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) l mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổun Khi õ, ta cõ
(ii) h n im d n−1 ⊆ im e n−1 vợi mồi n ∈ Z.
Tứ ành nghắa 1.5.1.5 v Mằnh ã 1.5.1.6 ta cõ thº ành nghắa mởt R− ỗng cĐu mổun H n (h • ) nhữ sau
H n (h • ) : H n (M • , d • ) = ker (d n ) / im d n−1 −→ ker (e n ) / im e n−1 = H n (N • , e • ) m +im d n−1 7−→ h n (m) + im e n−1 ỗng cĐu n y ữủc gồi l ỗng cĐu ối ỗng iãu thự n cÊm sinh bði ỗng cĐu cõa c¡c èi phùc h •
Ghi chú 1.5.1.7 Vợi cĂc kẵ hiằu nảu trản, cố ành n ∈ Z
2 H n (l • ◦ h • ) = H n (l • ) ◦ H n (h • ) , vợi h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) , l • : (N • , e • ) −→ (P • , f • ) l cĂc ỗng cĐu cừa cĂc ối phực.
−→ H n N • , e • xĂc ành mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc ối phực cừa cĂc
R−mổun án phÔm trũ cĂc R− mổun. ành nghắa 1.5.1.8 H m tỷ
H n N là hai ống cầu của các đối phức của các R− mổun Mỗi ống luôn từ h đến l là một hồ (t i) với i ∈ Z, các ống cầu của các R− mổun t i: M i −→ N i−1 sao cho với mọi i ∈ Z, ta có l i − h i = e i−1 t i + t i+1 d i, thực biểu ống sau giao hoán.
/ / N i kẵ hiằu h • ∼ l • (ồc l h • ỗng luƠn vợi l • ).
Ghi chú 1.5.1.10 1 Quan hằ ỗng luƠn l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản Hom R (M • , d • ) , (N • , e • ) , tùc l
Khi õ náu h • ∼ l • thẳ H n (h • ) = H n (l • ) , ∀n ∈ Z. ành nghắa 1.5.1.11 Mởt ỗng cĐu h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) ữủc gồi l mởt tữỡng ữỡng náu tỗn tÔi mởt ỗng cĐu l • : (N • , e • ) −→ (M • , d • ) sao cho l • h • ∼id (M • ,d • ) v h • l • ∼ id (N • ,e • )
Mằnh ã 1.5.1.12 Náu h • : (M • , d • ) −→ (N • , e • ) l mởt tữỡng ữỡng thẳ H n (h • ) l mởt ¯ng cĐu vợi n ∈ Z
Ghi chú 1.5.1.13 1 Cho (M • , d • ) : ã ã ã −→ M i−1 −→ d i−1 M i −→ d i M i+1 −→ ã ã ã l mởt ối phực cừa cĂc R− mổun, F l mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R− mổun án chẵnh nõ Khi õ chúng ta thu ữủc mởt ối phực cĂc R− mổun.
2 Vợi cĂc khĂi niằm v giÊ thiát cừa phƯn 1 Náu h i i∈ Z
−→ N • , e • l mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổun, thẳ hồ F h i i∈ Z x¡c ành mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực cừa cĂc R− mổun
3 Cho h • , l • ∈ Hom R (M • , d • ) , (N • , e • ) Khi â ta câ
(i) Náu (t i ) i∈ Z l mởt ỗng luƠn tứ h • án l • , thẳ F (t i ) i∈ Z l mởt hồ ỗng luƠn tứ F (h • ) án F (l • ) iãu n y dăn án hai trữớng hủp °c biằt sau: (ii) Náu h • ∼ l • thẳ F (h • ) ∼ F (l • )
(iii) Náu h • ∼ l • thẳ H n F (h • ) = H n F (l • ) , vợi mồi n ∈ Z
Mổun ối ỗng iãu àa phữỡng
ành nghắa 1.5.2.1 Mởt R− mổun I ữủc gồi l nởi xÔ náu mội ỡn cĐu i : N −→ M cừa cĂc R− mổun v vợi mội ỗng cĐu h : N −→ I cừa cĂc
R−mổun, tỗn tÔi mởt ỗng cĐu R− mổun l : M −→ I cừa cĂc R− mổun sao cho h = l ◦ i , tực l biºu ỗ sau giao hoĂn
Ghi chú 1.5.2.2 1 GiÊ sỷ vợi mội iảan a ⊆ R v mội ỗng cĐu cừa
R−mổun h : a −→ I tỗn tÔi mởt e ∈ I sao cho h (a) = ae vợi mồi a ∈ a Khi õ I l nởi xÔ (tiảu chuân Baer).
2 Vợi mội R− mổun M tỗn tÔi mởt R− mổun nởi xÔ I cũng vợi mởt ỡn cĐu M −→ I cừa cĂc R− mổun vẳ thá mội R− mổun M l mởt mổun con cừa mởt R− mổun nởi xÔ I ành nghắa 1.5.2.3 Cho M l mởt R− mổun Mởt ph²p giÊi phÊi (E , e ) ; b cừa R− mổun M bao gỗm mởt ối phực (E • , e • ) v mởt ỗng cĐu b : M −→ E 0 sao cho
Khi õ (E • , e • ) ữủc gồi l giÊi ối phực cừa M ành nghắa 1.5.2.4 Cho M l mởt R− mổun Mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa
M l mởt ph²p giÊi phÊi (I • , d • ) ; a cừa M sao cho tĐt cÊ cĂc R− mổun I i l nởi xÔ, tực l ta cõ mởt dÂy khợp
−→ I 2 → ã ã ã vợi cĂc R− mổun I 0 , I 1 , I 2 , l nởi xÔ.
Theo bờ ã Eckman-Schopf v bơng quy nÔp theo n , chúng ta cõ thº xƠy dỹng cĂc R− mổun nởi xÔ I 0 , I 1 , , I n , v cĂc ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun
−→ I 2 → ã ã ã l khợp Do õ ta cõ mằnh ã sau
Mằnh ã 1.5.2.5 Mội R− mổun M ãu tỗn tÔi mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ
. ành nghắa 1.5.2.6 Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun,
(D • , d • ) là một phép giải phái của M và (E • , e • ) là một phép giải phái của N Khi một phép giải phái của hàm (D • , d • ) và (E • , e • ) là một ống cầu của các đối phức h •: (D • , d • ) ; a −→ (E • , e • ) ; b sao cho h 0 a = bh, tức biểu ống sau giao hoán.
Ghi chú 1.5.2.7 1 Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun,
(E • , e • ) ; b l mởt ph²p giÊi phÊi cừa M v (I • , d • ) ; a l mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa N Khi õ, h cõ mởt ph²p giÊi h • : E • , e •
2 Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun, (E • , e • ) ; b l mởt ph²p giÊi phÊi cừa M v (I • , d • ) ; a l mởt ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa N GiÊ sỷ h • , l • : E • , e •
3 GiÊ sỷ F l mởt h m tỷ hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R− mổun án chẵnh nâ Khi â
Giá trị sỉ h: M → N là một ống cầu của các R-mô đun, (E • , e •); b là một phép giải phóng của M với (I • , d •); a là một phép giải phóng nội xô của N Cho h • , l •: (E • , e •) → (I • , d •) là hai phép giải phóng h Khi đó, với mỗi n ∈ N₀, hai ống cầu.
(ii) °t (I • , d • ) ; a = I; (J • , e • ) ; b = J l hai ph²p giÊi phÊi nởi xÔ cừa
R−mổun v cho i • : (I • , d • ) −→ (J • , e • ) l mởt ph²p giÊi cừa id M : M −→ M Khi õ, vợi mội n ∈ N 0 ta cõ ¯ng cĐu
Cho i • , j • : (I • , d • ) −→ (J • , e • ) l c¡c ph²p gi£i cõa id M Khi â
Tiáp theo, chúng tổi s³ trẳnh b y vã viằc xƠy dỹng h m tỷ dăn xuĐt cừa mởt h m tỷ cho trữợc.
VĐn ã 1.5.2.8 1 Cho F l mởt h m tỷ hiằp bián tứ phÔm trũ cừa cĂc
R−mổun án chẵnh nõ Vợi mội R− mổun M ta cõ thº chồn mởt ph²p giÊi nởi x¤ I M = I M • , d • M
, tực l mội R− mổun M ta cõ dÂy khợp sau:
−→ M I M 2 → ã ã ã vợi mồi mổun I M n l nởi xÔ Ta cõ thº viát I ∗ l ph²p gĂn
; a M v gồi I ∗ l sỹ chồn cừa cĂc ph²p giÊi nởi xÔ (trản cĂc R− mổun).
Vợi mội R− mổun M tũy ỵ, ta ành nghắa
Thêt vêy, chúng ta x²t ối phực cĂc R− mổun ã ã ã → 0 F ( d −1 M )
2 BƠy giớ cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun Khi õ h cõ mởt ph²p giÊi h • : I M • , d • M
−→ I N • , d • N sao cho biºu ỗ sau giao hoĂn, vợi cĂc dỏng l khợp
Theo Ghi chú 1.5.2.7(3)(i) ta cõ ỗng cĐu
Mð rởng ành nghắa (∆) cừa phƯn (1), ta cõ thº ành nghắa vợi bĐt kẳ n ∈ N 0
Khi õ ta cõ thº viát
−→ R n I ∗ F (N ) xĂc ành mởt h m tỷ tuyán tẵnh hiằp bián tứ phÔm trũ cĂc R− mổun án chẵnh nõ H m tỷ R n I ∗ F (•) = R n I
∗ F ữủc gồi l h m tỷ dăn xuĐt phÊi thự n cừa
3 Chúng ta cõ thº kiºm tra ph²p gĂn R n I ∗ F (•) khổng phử thuởc v o I ∗ Do õ chúng ta ành nghắa R n F = R n I ∗ F v gồi h m tỷ R n F l h m tỷ dăn xuĐt thự n cõa h m tû F ành nghắa 1.5.2.9 Cho a l mởt iảan cừa v nh Noether R v n ∈ N 0 Ta ành nghắa h m tỷ ối ỗng iãu àa phữỡng thự n H a n (•) = H a n l h m tỷ dăn xuĐt phÊi thự n R n Γ (•) = R n Γ a cừa h m tỷ a − xoưn Γ a (•) Nhữ vêy
H a n (•) = R n Γ a (•) , ∀ n ∈ N 0 ành nghắa 1.5.2.10 Cho R l v nh Noether v giÊ sỷ n ∈ N 0 Mổun ối ỗng iãu thự n cừa R− mổun M tữỡng ựng vợi iảan a ữủc ành nghắa l
Ghi chú 1.5.2.11 1 Vợi mội R− mổun M tỗn tÔi ph²p giÊi nởi xÔ (I • , d • ) ; a cừa M , vẳ vêy ta cõ dÂy khợp
−→ I 2 → I 3 → ã ã ã vợi cĂc R− mổun nởi xÔ I i Tiáp theo, tĂc ởng h m tỷ Γ a cho giÊi ối phực t÷ìng ùng l ã ã ã → 0 d
Sau õ Ăp dửng ối ỗng iãu thự n cho ối phực n y ta ữủc
2 Cho h : M −→ N l mởt ỗng cĐu cĂc R− mổun ỗng cĐu ối ỗng iãu àa phữỡng thự n ựng vợi iảan a cÊm sinh bði h ữủc ành nghắa nhữ ỗng cĐu cừa cĂc R− mổun
H a n (h) : H a n (M ) −→ H a n (N ) ành lỵ 1.5.2.12 GiÊ sỷ (R, m ) l mởt v nh Noether àa phữỡng vợi iảan cỹc Ôi m v cho M l mởt R− mổun khĂc khổng hỳu hÔn sinh, vợi dim M = d ⩾ 1 Khi â
(iii) H m n (M ) l R− mổun Artin vợi mồi n ∈ N 0 ành nghắa 1.5.2.13 Cho a ⊆ R l mởt iảan Mởt R− mổun M ữủc gồi l a −xoưn náu M = Γ a (M )
Ghi chú 1.5.2.14 1 Cho R l mởt v nh Noether v a ⊆ R l mởt iảan cừa
R Khi õ náu M l mởt R− mổun bĐt kẳ thẳ Γ a (M ) l a − xoưn.
2 Cho x ∈ a v M l a − xo n Khi â ph²p nh¥n
M −→ x M m 7−→ xm l ìn c§u khi v ch¿ khi M = 0
4 Cố ành mởt iảan a Cho
0 → N −→ h M −→ l P → 0 l mởt dÂy khợp ngưn cừa cĂc R− mổun Khi õ ta cõ dÂy khợp
Mằnh ã 1.5.2.15.Cho a l mởt iảan cừa v nh Noether R , M l mởt R− mổun. Khi â
(i) Mổun ối ỗng iãu àa phữỡng H a n (M ) l a − xoưn, vợi mồi n > 0
(ii) Náu M l mởt R− mổun a − xoưn thẳ H a n (M ) = 0 vợi mồi n > 0
Mổun phƠn số suy rởng 26
Mổun phƠn số suy rởng
Cho \( (R, +, \cdot) \) là một vành giao hoán có 1 khác 0 và \( n \) là một số nguyên dương Kí hiệu \( D_n(R) \) là tập các ma trận trên tam giác dưới với các phần tử thuộc \( R \) Với \( H \in D_n(R) \), chúng ta có thể hiểu \( |H| \) là định thức thực của \( H \) và \( T \) là định thức ma trận chuyển vị Kí hiệu \( N_0 \) là tập các số nguyên không âm.
Z + l têp cĂc số nguyản dữỡng. ành nghắa 2.1.1 ( [18, 2.1] ) Cho n l mởt số nguyản dữỡng Têp con U cừa
R n = R ì ì R ữủc gồi l têp con tam giĂc náu cĂc iãu kiằn sau Ơy thọa m¢n
∈ U vợi mồi số nguyản dữỡng α 1 , , α n.
(iii) Vợi mồi (u 1 , , u n ) ∈ U v (v 1 , , v n ) ∈ U luổn tỗn tÔi (w 1 , , w n ) ∈ U sao cho w i ∈ (Ru 1 + + Ru i ) ∩ (Rv 1 + + Rv i ) , vợi mồi i = 1, n, tữỡng ữỡng tỗn tÔi nhỳng ma trên tam giĂc dữợi H, K ∈ D n (R) sao cho
Vẵ dử 2.1.2 1 Cho S l têp nhƠn õng cừa v nh R Khi õ S l mởt têp con tam giĂc Thêt vêy,
(iii) ∀a, b ∈ S, ta cõ c = ab ∈ S thọa mÂn c ∈ Ra ∩ Rb.
2 Cho R l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và °t U = (1, 1) ⊆ R 2 Khi õ U l mởt têp con tam giĂc, thêt vêy
Trong suốt phƯn n y, chúng ta giÊ sỷ rơng U l mởt têp con tam giĂc cừa R n vợi n ∈ Z +
Chúng ta cõ adj (H) H = |H|I n vợi adj (H) = H ∗ l ma trên phử hủp cừa ma trên H ∈ D n (R)
Bờ ã 2.1.3 ([18, 2.2]) Cho (u 1 , , u n ) , (v 1 , , v n ) ∈ U v giÊ sỷ tỗn tÔi
Chựng minh °t H = h ij Theo giÊ thiát ta cõ adj (H)
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Bờ ã 2.1.4 ([18, 2.3]) Cho (u 1 , , u n ) , (v 1 , , v n ) ∈ U v giÊ sỷ tỗn tÔi
|DH| − |DK| ∈ Rv 2 1 + + Rv 2 n−1 , trong õ D l ma trên ữớng ch²o diag (v 1 , , v n ).
Chùng minh Gi£ sû H = h ij v K = k ij °t
Theo giÊ thiát, ta cõ
X j=1 k ij u j + (h ii − k ii ) (h ii + k ii ) u i
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Mằnh ã 2.1.5 ([18, 2.4]) Cho M l mởt R− mổun X²t quan hằ ∼ trản M ì U ữủc ành nghắa nhữ sau: Vợi b, c ∈ M v (u 1 , , u n ) , (v 1 , , v n ) ∈ U, b, (u 1 , , u n )
⇔ tỗn tÔi (w 1 , , w n ) ∈ U v hai ma trên tam giĂc dữợi H, K ∈ D n (R) thọa mÂn
M Khi õ quan hằ ∼ l mởt quan hằ tữỡng ữỡng trản M ì U
Chựng minh Quan hằ ∼ cõ tẵnh phÊn xÔ v tẵnh ối xựng Thêt vêy, vợi mồi b, (u 1 , , u n )
Khi õ tỗn tÔi (w 1 , , w n ) ∈ U v hai ma trên H, K ∈ D n (R) thọa mÂn
Hs = s ′ = Kt, Pt = t ′ = Qu vợi s = [s 1 s n ] T , s ′ = s ′ 1 s ′ n T
Vẳ U l têp con tam giĂc cừa R n nản tỗn tÔi (v 1 , , v n ) ∈ U v X, Y ∈ D n (R) sao cho
Xs ′ = v = Yt ′ vợi v = [v 1 v n ] T Suy ra
M. °t D l ma trên ữớng ch²o diag (v 1 , , v n ), theo Bờ ã 2.1.4, ta cõ
(XK) t = Xs ′ = v = Yt ′ = (YP) t nản
Vẳ U l têp con tam giĂc cừa R n nản v 1 2 , , v n 2
∈ U v D n (R) õng kẵn vợi ph²p nhƠn nản DXH, DYQ ∈ D n (R)
Trong bài viết này, chúng ta sẽ xem xét một quan hệ tương ứng giữa các yếu tố trong không gian Đặc biệt, chúng ta sẽ chứng minh một kết quả quan trọng liên quan đến các khái niệm đã được đề cập trong phần 2.1.5 Với b thuộc M và (u₁, , uₙ) thuộc U, chúng ta sẽ phân tích mối quan hệ tương ứng với b và (u₁, , uₙ) để làm rõ hơn về các khái niệm này.
Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng tữỡng ựng vợi quan hằ ∼ ữủc kẵ hiằu
Tiáp theo, chúng tổi s³ xƠy dỹng ph²p toĂn cởng v ph²p nhƠn vổ hữợng trản têp U −n M v kiºm tra U −n M l mởt R− mổun Trữợc hát chúng tổi trẳnh b y hai bờ ã sau Ơy.
Hs = u = Kt v Ps = v = Qt, trong â s = [s 1 s n ] T , t = [t 1 t n ] T , u = [u 1 u n ] T , v = [v 1 v n ] T Khi â, trong U −n M ,
Chựng minh Tỗn tÔi (w 1 , , w n ) ∈ U v X, Y ∈ D n (R) sao cho
Xu = w = Yv vợi w = [w 1 w n ] T Kẵ hiằu D = diag (w 1 , , w n ) Khi õ, ta cõ
= DYv v DX, DY ∈ D n (R) Suy ra
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Chựng minh Theo giÊ thiát, tỗn tÔi (v 1 , , v n ) , (w 1 , , w n ) ∈ U v P, P ′ , Q, Q ′ ∈ D n (R) sao cho
Hỡn nỳa, tỗn tÔi (r 1 , , r n ) v X, Y ∈ D n (R) sao cho Xv = r = Yw , vợi r = [r 1 r n ] T
Hỡn nỳa XPs = r = YQt v Hs = u = Kt Theo Bờ ã 2.1.7, ta cõ
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc. ành lỵ 2.1.9 ([18, 2.8]) Têp U −n M l mởt R− mổun vợi ph²p toĂn cởng v ph²p toĂn nhƠn vổ hữợng ữủc ành nghắa nhữ sau:
(u 1 , , u n ) , vợi sỹ lỹa chồn bĐt ký (u 1 , , u n ) ∈ U v H, K ∈ D n (R) sao cho Hs = u = Kt , vợi s = [s 1 s n ] T , u = [u 1 u n ] T , t = [t 1 t n ] T ; v vợi mồi r ∈ R , r a (s 1 , , s n )
Mổun U −n M ữủc gồi l mổun phƠn số suy rởng cừa R− mổun M tữỡng ựng têp con tam giĂc U cừa R n
Chựng minh Theo Bờ ã 2.1.8, ph²p toĂn cởng ữủc xĂc ành Thêt vêy, X²t t÷ìng ùng f : U −n M × U −n M −→ U −n M a (s 1 , , s n ) , b
nản ta cõ kát quÊ trản.
(t 1 , , t n ) vợi mồi (s 1 , , s n ) , (t 1 , , t n ) ∈ U. Hỡn nỳa U −n M, + l mởt nhõm Abel.
Dạ d ng kiºm tra ph²p nhƠn vổ hữợng xĂc ành Thêt vêy,
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Mổun phƠn số suy rởng v ối ỗng iãu àa phữỡng,
Mổun phƠn số suy rởng v ối ỗng iãu àa phữỡng
Trong bờ ã sau, kẵ hiằu R l mởt v nh giao hoĂn cõ ỡn và v M l mởt
Bờ ã 3.1.1 ([19, 2.1]) Cho U l mởt têp con tam giĂc cừa R n , v giÊ sỷ m ∈ M v (u 1 , , u n ) ∈ U sao cho (u u n m
1 , , u n ) = 0 Khi â ∃ (w 1 , , w n ) ∈ U v H = [h ij ] ∈ D n (R) sao cho Hu = w = I n w trong õ u = [u 1 u n ] T , w = [w 1 w n ] T vợi 0 = (w 0
M. Theo Ghi chó 2.2.4(3), ta câ h 11 h n−1n−1 w n m w 1 , w n−1 , w 2 n = 0
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Trong bờ ã tiáp theo, giÊ sỷ R l v nh Noether, chúng ta dũng H a i (•) vợi i ⩾ 0 l h m tỷ ối ỗng iãu àa phữỡng thự i tữỡng ựng vợi iảan a cừa v nh
Bờ ã 3.1.2 ([19, 2.2]) GiÊ sỷ R l v nh Noether, cho a l mởt iảan cừa R , cho U l mởt têp con tam giĂc cừa R n sao cho u n ∈ a vợi mồi (u 1 , , u n ) ∈ U. Khi õ H a j U −n M = 0 vợi mồi j ⩾ 0
Chùng minh Cho f = (f 1 , , f n ) ∈ U °t U f = n f 1 α 1 , , f n α n α i ∈ Z + , ∀i = 1, n o, khi õ theo Vẵ dử 2.2.5, U f l têp con tam giĂc cừa R n , R− mổun U f −n M ữủc kẵ hiằu l M f X²t Ănh xÔ Φ f n : M f −→ M f m f 1 α 1 , , f n α n 7−→ f n m f 1 α 1 , , f n α n = Φ f n m f 1 α 1 , , f n α n
Ta cõ Φ f n l mởt ỗng cĐu X²t ker Φ f n =
Theo Bờ ã 3.1.1, ta cõ ker Φ f n = {0}
Vợi mồi a f 1 α 1 , , f n α n ∈ M f, ta câ a f 1 α 1 , , f n α n = f n a f 1 α 1 , , f n α n+1 Thêt vêy
= f n a f 1 α 1 , , f n α n+1 = a f 1 α 1 , , f n α n Vêy Φ f n l mởt ¯ng cĐu Vẳ Φ f n : M f −→ f n M f l ỡn cĐu nản Γ a Φ f n : Γ a M f −→ f n Γ a M f l ỡn cĐu.
Hỡn nỳa, vẳ f n ∈ a v Γ a M f l a − xoưn, Γ a M f −→ Γ a M f l ỡn cĐu nản Γ a M f
= 0 Suy ra, theo Ghi chó 1.5.2.14(3)
Vẳ Φ f n l ỡn cĐu nản f n ∈ NZD R M f Ta cõ dÂy khợp ngưn
Khi õ, ta cõ dÂy khợp
Suy ra ph²p nhƠn f n l ỡn cĐu Hỡn nỳa, theo Ghi chú 1.5.2.14(2) vẳ f n ∈ a v H a j M f l a − xoưn nản H a j M f = 0, ∀j ⩾ 1
M f v suy ra tứ [17, 3.2] rơng H a j U −n M = 0, ∀j ⩾ 0 Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm liên quan đến không gian R và định lý Noether, đặc biệt là trong bối cảnh của các phương trình vi phân Đặt R = n (với n ≥ 1) và M là một R-mô hình, chúng ta sẽ sử dụng thuật ngữ "s.o.p" để chỉ "hằng tham số" và "s.s.o.p" để chỉ "một phần hằng tham số".
Theo Vẵ dử 2.2.9 v Ghi chú 2.2.4(1), dạ thĐy rơng U i l mởt têp con tam giĂc cừa
R i vợi mội i ⩾ 1 Cho mởt s.o.p x 1 , , x n cừa R do õ x = (x 1 , , x n ) ∈ U n
, chúng ta °t U (x) i l mð rởng [xem 2.2.4(1)] cừa têp con tam giĂc x α 1 1 , , x α i i α j ∈ Z + vợi mồi j = 1, i cừa R i , trong õ x r = 1 khi r > n Chú ỵ rơng U (x) i ⊂ U i vợi mồi i ∈ Z +
2 Cho (V i ) i∈ Z + l mởt hồ nhỳng têp thọa mÂn
(i) V i ⊆ U i v V i l têp con tam giĂc cừa R i vợi mội i ∈ Z +
(iv) Tỗn tÔi mởt s.o.p y 1 , , y n cừa R sao cho (y 1 , , y n ) ∈ V n
Nhên x²t rơng hồ têp U (x) i i∈ Z + thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt (i) án (v) trong (2).
Tứ cĂc dỳ liằu trản, chúng ta xƠy dỹng mởt ối phực ữủc mổ tÊ trong bờ ã sau.
Bờ ã 3.1.4 ([19, 3.2]) Tỗn tÔi nhỳng R− ỗng cĐu e 0 : M −→ V 1 −1 M v e i : V i −i M −→ V i+1 −i−1 M vợi mội i > 0 sao cho e 0 (m) = (1) m vợi mồi m ∈ M v vợi mồi i > 0 e i m (u 1 , , u i )
−→ V i+1 −i−1 M −→ l mởt ối phực cừa nhỳng R− ỗng cĐu v R− mổun v kẵ hiằu C ( V , M) , V l hồ (V i ) i ⩾ 1
Chú ỵ rơng theo Ghi chú 2.2.4(2), V i −i M = 0 vợi mồi i > n + 1
Bờ ã 3.1.5 ([19, 3.3]) Cho i l mởt số nguyản sao cho 0 ⩽ i ⩽ n Khi õ dim ker e i / im e i−1 < n − i
Chựng minh Trữớng hủp i = 0 , ta cõ ker e 0 / im e −1 ∼ = ker e 0 = m m
GiÊ sỷ i > 0 Chúng ta cƯn chựng tọ rơng, náu p ∈ Ass ker e i / im e i−1 thẳ dim R/ p < n − i
Khi â p =Ann (a) vợi a ∈ ker e i / im e i−1 v a = (u m
Suy ra, tỗn tÔi H = [h rs ] ∈ D i+1 (R) v (t 1 , , t i+1 ) ∈ V i+1 sao cho
Theo Bờ ã 2.1.3, ta cõ h 11 h ii t i+1 m ∈
(t 1 , , t i ) ∈im e i−1 Vẳ vêy, vợi mồi j = 1, , i, ta cõ t j m (u 1 , , u i ) = h 11 h ii t j m
(t 1 , , t i ) ∈im e i−1 Suy ra Rt 1 + Rt i+1 ⊆ p
Do õ t 1 , , t i , t i+1 l mởt hằ tham số cừa R Khi i = n ta cõ mƠu thuăn Vẳ Ass ker e n / im e n−1 = ∅ v dim ker e n / im e n−1 = −1 khi 0 < i < n, kát quÊ suy ra tứ [15, chữỡng IV , ành lẵ 2 ]
Chựng minh (i) Vẳ dim ker e i / im e i−1 < n − i , vợi mồi i = 0, , n nản theo Ghi chó 1.5.2.12(i), ta câ
(ii) Cho i l mởt số tỹ nhiản vợi 1 ⩽ i ⩽ n , v °t
(u 1 , , u i ) ∈ V i | u 1 , , u i l mởt phƯn hằ tham số cừa R o
Tứ Ghi chú 3.1.3(i) án (v), W i l mởt têp con tam giĂc cừa R i v tỗn tÔi mởt
R−ỗng cĐu ϕ i : W i −i M −→ V i −i M xĂc ành bði ϕ i m (w 1 , , w i )
(w 1 , , w i ) vợi mồi m ∈ M v (w 1 , , w i ) ∈ W i Chúng ta chựng tọ rơng ϕ i l to n cĐu.
1 , , u i ) ∈ V i −i M, theo Ghi chú 3.1.3(2)(iv),(ii) tỗn tÔi (y 1 , , y i ) ∈ W i vẳ vêy tỗn tÔi (v 1 , , v i ) ∈ V i v H, K = [k rs ] ∈ D i (R) sao cho
H [u 1 u i ] T = [v 1 v i ] T = K [y 1 y n ] T vẳ v r = X r s=1 k rs y s vợi mội r = 1, , i, nản (v 1 , , v i ) ∈ W i
W i −i M ∼ = V i −i M v tứ Bờ ã 3.1.2 ta cõ kát quÊ cƯn chựng minh. ành lỵ 3.1.7 ([19, 3.5]) Ta cõ V n+1 −n−1 M ∼ = H m n (M ) Hỡn nỳa, R− ỗng cĐu tỹ nhiản θ n+1 : V n+1 −n−1 M −→ U n+1 −n−1 M x¡c ành bði θ n+1 m (v 1 , , v n+1 )
(v 1 , , v n+1 ) , vợi mồi m ∈ M v (v 1 , , v n+1 ) ∈ V n+1 l mởt ¯ng cĐu Do õ
Chựng minh Kẵ hiằu U l hồ (U i ) i ⩾ 1 v °t C ( U , M ) l
−→ U i+1 −i−1 M → ã ã ã vợi mội i ⩾ 1 , tỗn tÔi mởt R− ỗng cĐu θ i : V i −i M −→ U i −i M xĂc ành bði θ i m (v 1 , , v i )
(v 1 , , v i ) vợi mồi m ∈ M v (v 1 , , v i ) ∈ V i Náu °t θ 0 : M → M l Ănh xÔ ỗng nhĐt, thẳ Θ = θ i i ⩾ 0
: C ( V , M ) −→ C ( U , M ) l mởt ỗng cĐu cừa cĂc ối phực. º tiằn lủi, kẵ hiằu C ( V , M ) bði C ( V ) v C ( U , M ) bði C ( U ) ; V 0 −0 M, U 0 −0 M l M Vợi mội i = 0, , n, °t
K i = V i −i M/ker e i , L i = U i −i M/ker d i , θ i ′ :coker e i−1 −→ coker d i−1 , θ i ∗ : H i C ( V ) −→ H i C ( U ) v θ i+ : K i −→ L i l nhỳng ỗng cĐu dăn xuĐt bði Θ Thêt vêy, tỗn tÔi nhỳng biºu ỗ giao hoĂn (vợi cĂc h ng l khợp).
Tứ sỡ ỗ (1) v Hằ quÊ 3.1.6(ii) dăn án mởt hẳnh vuổng giao hoĂn
(3) trong õ hai h ng l nhỳng ¯ng cĐu, vợi mội i = 1, , n.
Tữỡng tỹ tứ sỡ ỗ (2) v Hằ quÊ 3.1.6(i), chúng ta nhên ữủc hẳnh vuổng giao ho¡n
H m n−i coker d i−1 ∼ = / / H m n−i L i (4) trong õ hai h ng l nhỳng ¯ng cĐu, vợi mồi i = 0, , n − 1.
Tứ cĂc hẳnh vuổng (4) v (3), nhên ữủc hẳnh vuổng giao hoĂn
H m n coker d −1 ∼ = / / H m 0 coker d n−1 (5) trong õ cĂc h ng l nhỳng ¯ng cĐu Tuy nhiản, tứ Ghi chú 3.1.3, Bờ ã 3.1.4, 3.1.5 suy ra biºu ỗ giao hoĂn
Theo công thức (6), ta có thể xác định mối quan hệ giữa các biến số U và M Hơn nữa, theo điều 18, 3.3 (ii), mỗi phần tỷ của V n+1 − n−1 M đều có ảnh hưởng đến sự biến đổi của m, và không thể bỏ qua tác động của U n+1 − n−1 M Từ đó, công thức (6) cung cấp một hình vuông giao hoán quan trọng trong phân tích.
H m 0 coker d n−1 ∼ = / / U n+1 −n−1 M (7) trong õ hai h ng l nhỳng ¯ng cĐu Vẳ θ 0 = id M , nản chúng ta nhên ữủc hẳnh vuổng giao hoĂn tứ (5) v (7)
H m 0 (M ) ∼ = / / U n+1 −n−1 M (8) trong õ cĂc h ng l nhỳng ¯ng cĐu Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Cho (R, m ) l mởt v nh Noether giao hoĂn àa phữỡng vợi iảan cỹc Ôi m v dim R = n ⩾ 1 GiÊ sỷ x = (x 1 , , x n ) l mởt hằ tham số bĐt kẳ cừa R Chồn
V = U(x), với các khái niệm trong 3.1.3, U(x) = U(x) với i ∈ Z+ Khi xét một mô hình thống kê n, H_m(n)(M) có thể được xem như một mô hình phân số suy giảm thông qua hàm tham số x của R, và điều này được thể hiện trong kết quả sau Hằng số 3.1.8 ([19, 3.6]) Cho x = (x_1, , x_n) là một hàm tham số của R.
x α 1 1 , , x α n n , 1 tỗn tÔi j ∈ N 0 vợi 0 ⩽ j ⩽ n sao cho α 1 , , α j ∈ Z + v α j+1 = = α n = 0
Hỡn nỳa, R− ỗng cĐu tỹ nhiản U (x) −n−1 n+1 −→ U n+1 −n−1 M l mởt ¯ng cĐu.
Ùng dửng ối vợi giÊ thuyát ỡn thực
Mửc ẵch chẵnh cừa mửc n y chựng tọ rơng giÊ thuyát ỡn thực cõ thº ữủc tẵnh toĂn thổng qua nhỳng mổun phƠn số suy rởng.
Cho một vành Noether giao hoán \( R \) với chiều \( m \) và \( \dim R = n \geq 1 \) Năm 1973, Hochster đã đưa ra giả thuyết: Cho \( x_1, \ldots, x_n \) là một họ tham số bất kỳ của \( R \), thì \( x_{t_1}, \ldots, x_{t_n} \notin R x_{t+1,1} + \ldots + R x_{t+1,n} \) với mọi \( t \geq 0 \) Điều này liên quan đến phân số suy giảm của \( x_1, \ldots, x_n \) trong bối cảnh của lý thuyết vành.
1 , , x n , 1) trong U n+1 −n−1 R l khĂc khổng khi v ch¿ khi vợi mồi t ⩾ 0 , x t 1 x t n ∈ / Rx t+1 1 + + Rx t+1 n , nghắa l hằ tham số x 1 , , x n thọa mÂn giÊ thuyát ỡn thực.
Chựng minh (⇒) Náu tỗn tÔi mởt t sao cho x t 1 x t 2 x t n ∈ n
Rx t+1 i , theo Ghi chó 2.2.4(3)(ii), chóng ta câ x t 1 x t n x t+1 1 , , x t+1 n , 1 = 0, trong U n+1 −n−1 R Tuy nhiản, ma trên ữớng ch²o D = diag x t 1 , , x t n , 1 thọa mÂn
1 , x n , 1) = 0 trong U n+1 −n−1 R Khi õ theo Hằ quÊ 3.1.8, ta cõ
1 (x 1 , x n , 1) = 0, trong U (x) −n−1 n+1 R, ð Ơy chúng ta dũng kẵ hiằu trong Ghi chú 3.1.3(1) Vêy tỗn t¤i α 1 , , α n ∈ Z + v H ′ ∈ D n+1 (R) sao cho
Rx α i i °t c = max α i | i = 1, , n X²t ma trên ữớng ch²o diag x c−α 1 1 , , x c−α n n , 1 v ta cõ ma trên H ∈ D n+1 (R) vợi H = H ′ diag x c−α 1 1 , , x c−α n n , 1 sao cho
Tuy nhiản, náu D = diag x c−α 1 1 , , x c−α n n , 1 thẳ
Suy ra tứ Bờ ã 2.1.4, náu kẵ hiằu E l ma trên ữớng ch²o diag x c 1 , , x c n , 1 thẳ
|ED| − |EH| ∈ Rx 2c 1 + + Rx 2c n , vẳ
Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Tứ ành lỵ 3.2.1, GiÊ thuyát ỡn thực tữỡng ữỡng vợi iãu sau Ơy
Vợi mồi hằ tham số x 1 , , x n cừa R phƯn tỷ (x 1
Hằ quÊ 3.2.2 ([19, 4.3]) Cho y 1 , , y n l mởt hằ tham số cừa R Khi õ tỗn tÔi mởt số tỹ nhiản t ∈ N sao cho, khi h ⩾ t , hằ tham số x 1 = y 1 h , , x n = y h n thọa mÂn giÊ thuyát ỡn thực.
Chựng minh Theo Hằ quÊ 3.1.8, ta cõ U (y) −n−1 n+1 ∼ = H m n (R) ̸= 0, vẳ vêy tỗn tÔi β 1 , , β n ∈ Z + sao cho
1 y 1 β 1 , , y n β n , 1 ̸= 0 trong U (y) −n−1 n+1 R Do õ, theo Hằ quÊ 3.1.8,
1 y 1 β 1 , , y n β n , 1 ̸= 0 trong U n+1 −n−1 R °t t = max {β 1 , , β n } Kát quÊ ữủc suy ra tứ ành lỵ 3.2.1. Ph²p chựng minh ữủc kát thúc.
Ghi chú 3.2.3 1 Cho (R, m) là một vành Noether giao hoán với chiều không gian R = d ⩾ 1 Xét mô hình phân số suy giảm U_{d+1} - d - 1 R của R tương ứng với U(R)_{d+1} Cho x_1, , x_d là một họ tham số của R và n_1, , n_d ∈ Z^+ Khi xét mô hình con cyclic của U(R)^{-d-1}_{d+1} R sinh ra phân số suy giảm 1/x^{n_1}_1, , x^{n_d}_d, 1 ∈ U(R).
Sharp v Hamieh ữa ra cƠu họi trong [20]: Cho x 1 , , x d l mởt hằ tham số cừa R , cõ tỗn tÔi mởt a thực h ∈ Q [x 1 , , x d ] sao cho l
= h (n 1 , , n d ) khi n 1 , , n d ≫ 0, ( n 1 , , n d ừ lợn) Hiằn nay cƠu họi n y chữa cõ cƠu trÊ lới xĂc ành cho trữớng hủp d ⩾ 3 Trữớng hủp d = 1, d = 2 Â cõ cƠu trÊ lới (xem [20]).
2 Trong [22], Sharp v Zakeri  ữa ra nhỳng °c trững cừa mổun Cohen-Macaulay suy rởng, Buchsbacm thổng qua mổun phƠn số suy rởng.
Trong luên vôn chúng tổi trẳnh b y v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ trong [18], [19] cử thº l :
1 Chữỡng 1, chúng tổi trẳnh b y mởt số kián thực cỡ bÊn nhữ: ở d i mổun,
Sỹ phƠn tẵch nguyản sỡ, Chiãu Krull, PhÔm trũ v h m tỷ, Mổun ối ỗng iãu v mổun ối ỗng iãu àa phữỡng, Giợi hÔn thuên.
2 Chữỡng 2, chúng tổi trẳnh b y v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ vã mổun phƠn số suy rởng trong [18] Trẳnh b y khĂi niằm têp con tam giĂc v vẵ dử (ành nghắa 2.1.1, Vẵ dử 2.1.2); xƠy dỹng quan hằ tữỡng ữỡng trản têp M ì U vợi M l mởt R− mổun v U l mởt têp con tam giĂc cừa
R n (Mằnh ã 2.1.5) đề cập đến việc xây dựng mô hình phân số suy giảm (Mằnh ã 2.1.9) Bài viết cũng trình bày một số tính chất của mô hình phân số suy giảm và một số ví dụ (Mằnh ã 2.2.1, Mằnh ã 2.2.2, Mằnh ã 2.2.7, Vẵ dử 2.2.3, Vẵ dử 2.2.5, Vẵ dử 2.2.8, Vẵ dử 2.2.9).
3 Chữỡng 3, chúng tổi trẳnh b y v chựng minh chi tiát mởt số kát quÊ trong
[19] vã mổun phƠn số suy rởng v ối ỗng iãu àa phữỡng (Bờ ã 3.1.1,
Bờ ã 3.1.2, Bờ ã 3.1.4, Bờ ã 3.1.5, Hằ quÊ 3.1.6, ành lỵ 3.1.7, Hằ quÊ3.1.8); °c trững giÊ thuyát ỡn thực qua phƠn số suy rởng (ành lỵ 3.2.1,Hằ quÊ 3.2.2).
[1] Atiyah.M.F and Macdonald.I.G Introduction to commutative Algebra. Reading Mass, 1969.
[2] Brodmann.M and Sharp.R.Y Local Cohomology: An Algebraic Introduc- tion with Geometric applications, Cambridge University Press Cambridge, 1998.
[4] Grothendieck.A Local cohomology Lecture Notes in Mathematics 41, Springer, Berlin, 1967.
[5] Hochster.M Contracted ideals from integral extensions of regular rings. Nagoya Math J 51 (1973), 25-43.
[6] Hochster.M "Topics in the Homological Theory of Modules over Commu- tative Rings" Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics 24, Amer Math Soc., Providence, R.I., 1975.
[7] Hochster.M Associated Graded Rings Derived from Integrally Closed Ide- als and the Local Homological Conjectures Preprint, University of Michi- gan, 1981.
[8] Hochster.M Canonical elements in local cohomology modules and the di- rect summand conjecture J Algebra 84 (1983), 503-553.
[9] Kaplansky.I Commutative Rings Allyn and Bacon Boston, 1970.
[10] Kirby.D Coprimary decomposition of Artinian modules J London Math. Soc (2) 6 (1973), 571-576.
[11] Macdonald.I.G Secondary representation of modules over a commutative ring Sympos Math 11 (1973), 23-43.
[12] Macdonald.I.G and Sharp.R.Y An elementary proof of the non-vanishing of certain local cohomology modules Quart J Math Oxford (2), 23