CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN I... nhận giá trị nguyên.[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ 1 CĂN BẬC HAI VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
I Kiến thức
1) Định nghĩa, tính chất của căn bậc hai
a) Căn bậc hai của số thực a không âm là số x sao cho x2 a.
b) Với số dương a, số a được gọi là căn bậc hai số học của a.
c) Với a0 ta có 2
0
x
d) Với hai số a và b không âm, ta có a b a b
2) ĐKXĐ của căn thức bậc hai:
A có nghĩa (hay xác định hay tồn tại) A 0
3) Các công thức biến đổi căn thức
1 A2 A
2 A B. A B. với A B, 0
3
B B
với A0 và B0
4 A B2. A B với B0.
5 A B A B2 với A B, 0
2
A B A B với A0;B0
6
1
A
AB
B B
với AB0,B0.
7
1
A
AB
B B
với AB0,B0.
II Một số ví dụ
Ví dụ 1 Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a) 2x3 b) 2 1
3
2
x d) x2 10x25.
Hướng dẫn:
a) ĐKXĐ của biểu thức là
3
2
x x
Trang 2b) ĐKXĐ của biểu thức là
1
2
c) ĐKXĐ của biểu thức là
1
1 0
x x
Ví dụ 2 Rút gọn biểu thức sau:
) 9 4 5 6 2 5 ;
a A
b B
c C
d D a a a a với 2 a 2.
Hướng dẫn:
a A
b B
c) Cách 1:
6
C
C
C
Cách 2:
2
6
6
C
C
C
C
Vì C 0 C 6.
d D a a a a a a a a a a
Trang 3(vì 2 a 2).
Do đó D4.
Ví dụ 3 Rút gọn biểu thức:
)
a A
b B
c C
Hướng dẫn:
a)
3 1 3 1 2
b)
B
2 3 3 6
c)
4
Ví dụ 4 Cho x 3 2. Tính giá trị của biểu thức B x 53x43x36x220x2024.
Hướng dẫn:
Ta có x 3 2 x 2 3x24x 1 0.
Từ đó tính được B2019.
Ví dụ 5 Cho biểu thức
: 4
A
x
a) Rút gọn biểu thức A.
Trang 4b) Tính giá trị của biểu thức với
Hướng dẫn:
a) Với x0,x1 ta có
4
2
x
x
x
Thay vào biểu thức
5 2
x A x
ta được
2 5 8 3 2
2
2 2
A
Ví dụ 6 Cho biểu thức
:
B
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để
1 2
B
Hướng dẫn:
a) Với x0,x1 ta có:
:
:
B
x
b) Theo câu a) ta có 1
x B x
với x0,x1.
x
x
Từ đó tìm được
1 4
x (thỏa mãn điều kiện)
Trang 5Ví dụ 7 Cho biểu thức
B
với x0,x16
a) Rút gọn B.
b) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
c) Tìm x để giá trị của B là môt số nguyên.
Hướng dẫn:
a) Rút gọn biểu thức B ta được
3 1
x B
x
b) Ta có
3
x B
với x0,x16
Trường hợp 1: x không là số chính phương x1 là số vô tỉ B không nhận giá trị nguyên
Trường hợp 2: x là số chính phương x1 là số nguyên
B nhận giá trị nguyên khi
3 1
x nhận giá trị nguyên x1 là ước dương của 3
(thỏa mãn điều kiện)
(thỏa mãn điều kiện)
Kết luận: x0;x4.
c) Ta có
3
x B
với x0,x16.Suy ra B3.
Dễ chứng minh được B0. Từ đó suy ra 0 B 3.
Mà B nhận giá rị nguyên B 0;1;2
Từ đó tìm được
1 0; ;4 4
x
III Bài tập
1 Rút gọn các biểu thức sau
A = 15 216 3312 6
B = 3 5 3 5
C = 21 6 6 21 6 6
D = 4 102 5 4 102 5
Trang 62 So sánh
a) A 2020 2019 và B 2018 2017;
b) C 2020 2018 và D2 2019.
3 Cho hai biểu thức A x2 và
x B
với x0;x4 a) Tính giá trị của biểu thức A với x 6 2 5.
b) Rút gọn biểu thức B.
c) Tìm tất cả giá trị nguyên của x để P A B. nhận giá trị nguyên.
3 Tính giá trị của biểu thức:
2
a A x x y y với x 5 2; y 6 2 5
)
b B x y với x y, thỏa mãn x x22019 y y22019 2019
3
c C x x với x 3 2 5 3 2 5.
) 1 ( 2 2
1
2
x
x x
x x x
x
x x
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
c) Tìm x để biểu thức P
x
Q 2
nhận giá trị là số nguyên
5 Cho các biểu thức
9
A
x
1 3
x B x
với x0,x9
a) Tính giá trị của biểu thức B tại x 11 6 2.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Đặt .
A C B
Tìm giá trị của x để
2 3
C
d) Đặt
3
x
D x C
x
Tìm giá trị nhỏ nhất của D.
6
Cho abc2020 Rút gọn biểu thức
.
P
Trang 77 Cho
2
x
Tính giá trị của biểu thức
Q x x x x x
8 Cho a b c; ; 0 đôi môt khác nhau và
1 1 1
0
a b c
Tính
M
a bc b ca c ab
9 Cho
a Chứng minh 4a2a 2 2;
b Tính giá trị của biểu thức Q a 2 a4 a 1.
10 Tính giá trị của 2 2
S
Biết x = 12 5 và y = 12 5.
11.Rút gọn biểu thức
2 7 2 10 7 89 28 10
+ - - -
12.Xét ba số thực dương , ,x y z thoả mãn
2 2
1 1
Chứng minh rằng
1
: 1
x A
(với x0).
1) Rút gọn biểu thức A
2) Tìm các giá trị nguyên của x để
1
A là môt số nguyên.