Nghiên cứu tính chất của tập nghiệm cho một số bài toán tựa cân bằng và một số vấn đề liên quan

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOALÊ THANH PHONG NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT CỦA TẬP NGHIỆM CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG... TÊN ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT CỦA TẬP NGHIỆM CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN TỰA CÂN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

LÊ THANH PHONG

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT CỦA TẬP NGHIỆM

CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG

CÔNG TRÌNH NÀY ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA - ĐH QUỐC GIA TP.HCM

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS Lê Xuân Đại

Cán bộ chấm phản biện 1:TS.Nguyễn Bá Thi

Cán bộ chấm phản biện 2:PGS.TS.Nguyễn Bích Huy

Luận văn Thạc sĩ này được bảo vệ tại trường Đại học Bách Khoa, ĐH Quốc Gia Tp.HCM ngày tháng năm

Thành phần đánh giá luận văn thạc sĩ gồm:

1 Chủ tịch: PGS.TS.Nguyễn Đình Huy

2 Thư kí: TS.Nguyễn Tiến Dũng

3 Phản biện 1: TS.Nguyễn Bá Thi

4 Phản biện 2: PGS.TS.Nguyễn Bích Huy

5 Ủy viên: PGS.TS.Nguyễn Huy Tuấn

Xác nhận của chủ tịch hội đồng đánh giá luận văn và trưởng khoa quản lý chuyên ngành sau khi luận văn đã chỉnh sửa (nếu có).

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TRƯỞNG KHOA

PGS.TS.NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS.TS.TRƯƠNG TÍCH THIỆN

Trường Đại Học Bách Khoa Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ

Họ và tên học viên: LÊ THANH PHONG MSHV: 7140852

Ngày, tháng, năm sinh: 28.02.1987 Nơi sinh: Đồng Nai

Chuyên ngành: Toán Ứng dụng Mã số: 60460112

I TÊN ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT CỦA TẬP NGHIỆM CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN TỰA CÂN BẰNG VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

NHIỆM VỤ VÀ NỘI DUNG

- Kiến thức chuẩn bị

- Tính chất của tập nghiệm cho một số bài toán tựa cân bằng

- Ứng dụng trong bài toán mạng giao thông

II NGÀY GIAO NHIỆM VỤ: 26/02/2018

III NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ: 12/12/2018

IV CÁN BỘ HƯỚNG DẪN: TS LÊ XUÂN ĐẠI

Tp Hồ Chí Minh, ngày tháng năm

CÁN BỘ HƯỚNG DẪN CHỦ NHIỆM BỘ MÔN ĐÀO TẠO

TRƯỞNG KHOA

-

-Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

LỜI CẢM ƠN

Lời cảm ơn đầu tiên, tôi xin chân thành gửi tới thầy, TS Lê Xuân Đại,người đã nhiệt tình giảng dạy, hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp đỡ, hỗtrợ tôi trong quá trình học tập ở chương trình Cao học Toán Ứng dụng, cũngnhư trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thành Luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả các Thầy Cô trong Bộ môn Toán ỨngDụng, khoa Khoa học Ứng dụng, Trường Đại học Bách Khoa thành phố HồChí Minh, những người đã hết lòng giảng dạy và truyền thụ kiến thức giúptôi có một nền tảng kiến thức khoa học để thực hiện Luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những người bạn của tôi ở lớp Cao họcToán Ứng Dụng khóa 2014, đã có rất nhiều hỗ trợ, giúp đỡ tôi trong suốtquá trình học cũng như quá trình thực hiện và hoàn thành Luận văn

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả những người thân trong gia đìnhtôi, đã luôn luôn đồng hành, động viên, chia sẻ khó khăn và tạo cho tôi nhữngđiều kiện tốt nhất để học tập, làm việc và có ngày hôm nay

Sau cùng, tôi xin trân trọng tiếp nhận tất cả những đánh giá và góp ý quýbáu của quý Thầy Cô, các bạn bè và đồng nghiệp cũng như tất cả những ai

có quan tâm đến Luận văn này, để tôi có thêm kiến thức nhằm bổ sung vàhoàn thiện tốt hơn cho những hạn chế và thiếu sót khó tránh khỏi trong quátrình thực hiện luận văn

Rất trân trọng và xin chân thành cảm ơn

Thành phố Hồ Chí Minh, 12 2018Người thực hiện Luận văn

Lê Thanh Phong

TÓM TẮT LUẬN VĂN

Luận văn này bao gồm những nghiên cứu một cách tổng quát về tính tínhchất nửa liên tục trên và nửa liên tuc dưới của tập nghiệm bài toán tựa cânbằng và bài toán tựa cân bằng ở dạng tổng quát và ứng dụng trong bài toánmạng giao thông

Nội dung luận văn gồm 3 chương Chương 1 trình bày về Kiến thức cơ sở;Chương 2 trình bày về tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của tậpnghiệm của bài toán tựa cân bằng vectơ đa trị phụ thuộc tham số; Chương

3 trình bày về tính nửa liên tục của tập nghiệm của bài toán tựa cân bằngbao hàm phụ thuộc tham số và ứng dụng trong bài toán mạng giao thôngbên cạnh đó luận văn có đề xuất hướng phát triển của luận văn về một số

mô hình ứng dụng của bất đẳng thức biến phân

ABSTRACT

This thesis contains generally studies about the semicontinuity of the lution set of parametric multivalued vector quasiequilibrium problem and thesemicontinuity of solution sets to parametric quasivariational inclusion withapplications to traffic

so-Content includes 3 chapters Chapter 1 provides information about the liminaries; Chapter 2 presents the semicontinuity of the solution set of para-metric multivalued vector quasiequilibrium problem that are the lower semi-continuity and the upper semicontinuity, It is also a focus of this essay; Chap-ter 3 provides some application of the parametric quasivariational inclusionwith applications to traffic The last part of this thesis is the conclusion

Pre-of some Pre-of the issues explored and expanded research, besides Pre-offering sertation thesis direction of development of some models of application ofvariational inequalities

dis-Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

LỜI CAM ĐOAN

Tôi tên là Lê Thanh Phong, mã học viên: 7140852, học viên cao học chuyênngành Toán Ứng Dụng trường Đại học Bách Khoa thành phố Hồ Chí Minhkhóa 2014 - 2018 Tôi xin cam đoan rằng ngoại trừ các kết quả tham khảo

từ các công trình khác như đã ghi rõ trong luận văn, các công việc trình bàytrong luận văn này là do chính tôi thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS LêXuân Đại và tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm tính trung thực về đề tài nghiêncứu này

Thành phố Hồ Chí Minh, 12 2018Người thực hiện Luận văn

Lê Thanh Phong

LỜI CẢM ƠN i

1.1 Ánh xạ đa trị 1

1.2 Bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị 3

1.3 Khoảng cách Hausdorff 4

1.4 Nửa liên tục theo Berge và theo Hausdorff 5

2 Bài toán tựa cân bằng vectơ đa trị phụ thuộc tham số 7 2.1 Giới thiệu về bài toán tựa cân bằng vectơ 7

2.2 Nửa liên tục dưới 8

2.3 Nửa liên tục trên 13

2.4 So sánh giữa hai tập nghiệm 17

2.5 Các trường hợp đặc biệt 19

3 Bài toán tựa cân bằng bao hàm và ứng dụng vào bài toán mạng giao thông 23 3.1 Bài toán bao hàm 23

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

3.2 Tính nửa liên tục của ánh xạ đa trị 253.3 Tính nửa liên tục trên của tập nghiệm 293.4 Bài toán mạng giao thông 31

KẾT LUẬN VÀ HƯỚNG PHÁT TRIỂN LUẬN VĂN 37

DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÝ HIỆU

Ký hiệu Ý nghĩa

VI Variational Inequality: Bất đẳng thức biến phân

B-usc Berge upper semicontinuity: Bán liên tục trên theo Berge

MVI Variational Inequality: Bài toán bất đẳng thức biến phân

MintyB-lsc Berge lower semicontinuity: Bán liên tục dưới theo BergeH-usc Hausdorff upper semicontinuity: Bán liên tục trên theo Haus-

dorffH-lsc Hausdorff lower semicontinuity: Bán liên tục dưới theo Haus-

dorffh.k.n hầu khắp nơi

B(x0, r) Quả cầu mở / Lân cận mở, tâm x0, bán kính r

B(x0, r) Quả cầu đóng / Lân cận đóng, tâm x0, bán kính r

|x| |x| := (|x1|, |x2|, , |xm|)T, x = (x1, x2, , xm)T ∈ Rm

kxk Chuẩn của véc tơ x

0 Số không/ Vectơ không

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

LỜI MỞ ĐẦU

Tối ưu hóa là một trong lĩnh vực thuộc về toán giải tích và ứng dụng

Lý thuyết Tối ưu ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như trongtoán học ứng dụng, vật lý học, hoá học, sinh học và đặc biệt là trong lĩnhvực kinh tế, và hiện nay đã có hướng ứng dụng vào ngành tâm lý học, và

do đó lý thuyết này đã có những đóng góp quan trọng trong việc thể hiệnvai trò của toán học trong đời sống kinh tế, xã hội và các ngành khoa họckhác Khi nghiên cứu các bài toán trong tối ưu hoá, cũng như các mô hìnhtoán học khác, vấn đề quan trọng hàng đầu là các lý thuyết tồn tại nghiệm.Chủ đề này hiện nay vẫn đang được phát triển rất mạnh, và được xét chonhiều lớp bài toán khác nhau liên quan đến tối ưu, có thể liệt kê một cáchkhông đầy đủ các công trình quan trọng trong lĩnh vực này, như bài toán tối

ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng, bài toán bao hàmbiến phân và bài toán quan hệ biến phân Từ những vấn đề được đề cập ởtrên, tôi thấy rằng tính chất của tập nghiệm như: sự tồn tại nghiệm, tính ổnđịnh nghiệm và tính đặt chỉnh nghiệm, là các chủ đề mang tính thời sựcao và được rất nhiều người quan tâm nghiên cứu Điều này đã giúp chúngtôi quyết đưa ra quyết định chọn đề tài

“Nghiên cứu tính chất của tập nghiệm cho một số bài toán tựa cânbằng và một số vấn đề liên quan”

Bố cục của luận văn này được trình bày theo trình tự sau: Mục lục, Danhmục chữ viết tắt và ký hiệu, Lời mở đầu, Nội dung chính của luận văn (gồm

3 chương), Kết luận, Tài liệu tham khảo

Cấu trúc luận văn bao gồm:

Mục lục

Danh mục chữ viết tắt và ký hiệu

Lời mở đầu

Chương 1: Kiến thức cơ sở

Chương 2: Bài toán tựa cân bằng vectơ đa trị phụ thuộc tham số

Chương 3: Bài toán tựa cân bằng bao hàm và ứng dụng giải bàitoán trong mạng giao thông.

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Phần tiếp theo, xin trình bày nội dung chính của Chương 1

Chương 1

KIẾN THỨC CƠ SỞ

Mục này trình bày một số khái niệm cơ bản của ánh xạ đa trị [15]

Định nghĩa 1.1.1 Cho X,Y là hai tập con bất kì trong không gian Hilbert

H và F : X → 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợp toàn bộ các tập con của Y.Khi đó, ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y, tức là, với mỗi x ∈ X, F (x) làtập con của Y

-Nếu với mọi x ∈ X, tập F (x) chỉ có đúng một phần tử thì F là ánh xạ đơntrị từ X vào Y

Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị và miền hữu hiệu của ánh xạ F : X → Y đượcđịnh nghĩa tương ứng bằng các công thức sau

gphF := {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x)},domF := {c ∈ X|F (x) 6= ∅}

-Ánh xạ ngược F−1 : Y → X của ánh xạ đa trị F : X → Y được địnhnghĩa bởi F−1(y) = {x ∈ X : y ∈ Y ∩ F (x)}

Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ đa trị F : H → 2H, được gọi là:

(i)Nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V chứa F (x), tồn tạilân cận mở U của x sao cho

1

F (x) ⊆ V, ∀x ∈ U

(ii) Nửa liên tục dưới tạix ∈ domF nếu với mọi tập mở V thỏa mãn F (x) ∩

V 6= ∅, tồn tại lân cận mở U của x sao cho

F (x) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ domF

• Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên C nếu

nó nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm thuộc C

• Ta nói F là liên tục tại x ∈ C nếu F đồng thời là nửa liên tục trên vànửa liên tục dưới tai x nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc C, thì F đượcgọi là liên tục trên C

Định nghĩa 1.1.4 Một ánh xạ F : H → 2H được gọi là đóng tại x, nếu vớimọi dãy xk → x, mọi dãy yk → y, thì y ∈ F (x)

• Ánh xạ F được gọi là đóng trên C nếu nó đóng tại mọi điểm thuộc C

• Ánh xạ F được gọi là ánh giạ giá trị lồi nếu F(x) là tập lồi với moi

(i)Nếu F là nửa liên tục trên U, có giá trị đóng thì nó đóng trên U;

(ii)Nếu F đóng và với mỗi tập compact X ⊆ U, tập F (X) là compact thì F

là nửa liên tục trên U

Định nghĩa 1.1.5 (Ánh xạ đa trị liên tục Lipschitz) Cho C ⊆ H Ánh xạ

đa trị F : C → 2H được gọi là liên tục Lipschitz với hằng số L > 0 (viết tắt

là L-Lipschitz) trên C, nếu

ρ(F (x), F (y)) ≤ Lkx − yk, ∀x, y, ∈ C

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

• Nếu L < 1 thì ta nói F là ánh xạ co trên C

• Nếu L = 1 thì ta nói F là ánh xạ không giãn trên C

Định nghĩa 1.1.6 Với C ⊆ H, ánh xạ đa trị F : C → 2H, được gọi là:

1 đơn điệu mạnh trên C với hằng số β > 0, nếu

Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong H và F : C → 2H là một ánh

xạ đa trị Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị được phát biểunhư sau [15]:

• F được gọi là ánh xạ giá của bài toán bất đẳng thức biến phân (MVI)

• Khi F là ánh xạ đơn trị thì bài toán bất đẳng thức biến phân (viết tắt(VI)) có dạng:

Tìm x∗ ∈ C sao cho hF (x∗), x − x∗i ≥ 0, ∀x ∈ C

• Bài toán bất đẳng thức biến phân có liên hệ mật thiết với nhiều bàitoán khác như: Bài toán bù phi tuyến, bài toán điểm bất động, bài toánquy hoạch lồi,

Haus-h(A, B) = max (e (A, B) , e (B, A))

Tính chất 1.3.1 (i) e(A, φ) = ∞ nếu A 6= φ

e(φ, B) = 0

(ii)

e(A, B) = 0 ⇔ A ⊂ Bh(A, B) = 0 ⇔ A = B

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

Định lý 1.3.1 Nếu An → A trong không gian metric Pj(X), khi đó

Với: B(Am, ε) = {x ∈ X |d(x, Am) ≤ ε} là quả cầu mở tâm Am bán kính ε

, cW là tập tất cả các lân cận có cấu trúc đều của X và

W (Am) = {y ∈ X |∀x ∈ Am : (x, y) ∈ W }

Với mỗi ε > 0 nhỏ tùy ý, một lân cận mở bán kính εcủa một tập con A ⊆ Y

được định nghĩa như sau:

U (A, ε) := {x ∈ Y : ka − xk < ε, ∀a ∈ A}

Đặt F : X ⇒ Y là một ánh xạ đa trị với domX = Y, trong đó X là mộttập con đóng, khác rỗng của Rn và Y = Rm Đầu tiên là nghiên cứu về cáckhái niệm bán liên tục trên, bán liên tục dưới theo các định nghĩa của Berge

và Hausdorff sau đây

Định nghĩa 1.4.1 Một ánh xạ đa trị F được gọi là

(i) Bán liên tục trên theo định nghĩa của Berge (viết tắt là B-usc) tại

x0 ∈ X nếu và chỉ nếu với một tập mở bất kỳ N thỏa F (x0) ⊂ N, tồntại δ > 0, sao cho với x ∈ B(x0, δ), F (x) ⊂ N

(ii) Bán liên tục dưới theo định nghĩa của Berge (viết tắt là B-lsc) tạix0 ∈ X

nếu và chỉ nếu với một tập mở bất kỳ N thỏa F (x0) ∩ N 6= ∅, tồn tại

δ > 0, sao cho với mọi x ∈ B(x0, δ), F (x) ∩ N 6= ∅

(iii) Bán liên tục trên theo định nghĩa của Hausdorff (viết tắt là H-usc) tại

x0 ∈ X nếu và chỉ nếu với bất kỳ ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho với mọi

x ∈ B(x0, δ), F (x) ⊂ U (F (x0), ε)

(iv) Bán liên tục dưới theo định nghĩa của Hausdorff (viết tắt là H-lsc) tại

x0 ∈ X nếu và chỉ nếu với bất kỳ ε > 0, tồn tại δ > 0, sao cho với mọi

x ∈ B(x0, δ), F (x0) ⊂ U (F (x), ε)

F được gọi là H-lsc (H-usc, B-lsc, B-usc) trên X khi và chỉ khi nó là H-lsc(H-usc, B-lsc, B-usc) tại mọi x0 ∈ X.

F được gọi là B-liên tục (H-liên tục) trên X khi và chỉ khi nó vừa là B-lscvừa là B-usc (vừa là H-lsc vừa là H-usc) trên X

Nhận xét 1.4.1 Một công thức tương đương với Định nghĩa 1.4.1 (ii) đượccho như sau:

F được gọi là B-lsc tại x0 ∈ X khi và chỉ khi với mỗi dãy {xn} trong X hội

tụ về x0 và với bất kỳ y0 ∈ F (x0), tồn tại một dãy {yn} trong F (xn) hội tụ

về y0

Định nghĩa 1.4.2 F được gọi là đóng tại x0 ∈ X, nếu và chỉ nếu vớimỗi chuỗi {xn} trong X hội tụ về x0 và {yn} trong Y hội tụ về y0, để có

yn ∈ F (xn), thì y0 ∈ F (x0)

F được gọi là đóng trên X khi và chỉ khi F đóng tại mọi x0 ∈ X

Nhận xét 1.4.2 Cần lưu ý ở đây là, nếu F là B-usc tại x0 ∈ X và F (x0)

Định nghĩa 1.4.3 Ánh xạ đa trị F được gọi là

(i) Giả đơn điệu (Pseudomonotone) trên X khi và chỉ khi với x, x0 ∈ X

Chương 2

Bài toán tựa cân bằng vectơ đa trị phụ thuộc tham số

Bài toán tựa cân bằng đã và đang được nghiên cứu mạnh mẽ, bắt đầu từ[4] trong đó tác giả nêu dạng tổng quát của tối ưu hóa và bài toán bất đẳngthức biến phân Các bài toán này bao gồm các bài toán khác như bài toánđiểm bất động và bài toán điểm ngẫu nhiên, bài toán bổ trợ, bài toán cânbằng Nash Bởi vì tính tổng quát của dạng bài toán này, thực tế đã đượcnghiên cứu từ sớm dưới các khái niệm khác Cho tới bây giờ, tính tổng quátcủa các bài toán này đã đươc mở rộng đến một mức độ rất cao Các nỗ lựcchủ yếu được thực hiện trên các kết quả về sự tồn tại của bài toán cân bằng

Do sự quan trọng của mình tính ổn định được nghiên cứu nhiều, trong đó cótính ổn định cho bài toán bất đẳng thức biến phân, các bài toán này rất gầnvới bài toán cân bằng Tuy nhiên, hầu hết các nghiên cứu về tính ổn định

là về sự liên tục, liên tục Lipschitz và (tổng quát hóa)sự khả vi của nghiệmtương ứng với tham số Trong nhiều ứng dụng thực tế, các giả thiết cho việcđảm bảo tính liên tục của nghiệm là không được thỏa mãn May mắn thay,tính chất về nửa liên tục có thể thay thế được Chẳng hạn, ta có thể thấy bàitoán cân bằng trong mô hình của của Walras - Ward và mô hình của Arrow

- Deuhreu - Mckenzie về cạnh tranh tồn tại trong kinh tế Các kết quả này là

7

nền tảng của nghiên cứu tính nửa liên tục của bài toán tựa cân bằng trongtrường hợp tổng quát Bởi vì đối với các bài toán tựa cân bằng khác nhauthì kết quả về sự tồn tại nghiệm cũng khác nhau nên ta phải luôn giả sử sựtồn tại của nghiệm trong một lân cận của điểm được quan sát.

Các kết quả sau của chương này được thực hiện dựa trên tài liệu tham khảo

số [13] trong danh mục tham khảo

Ta xét bài toán sau Cho X,M, và Λ là các không gian topo Hausdorff và Y

là môt không gian topo vector

Đặt K:X×Λ → 2X và F: X × X × M → 2Y là các hàm đa trị Đặt C ⊆ Y làtập đóng và intC6= ∅ Ta xét các bài toán tựa cân bằng vector tham số sau,với mỗi λ ∈ Λ và µ ∈ M:

Phần tiếp theo trình bày các nội dung sau Trong phần 2 đưa ra điều kiện

đủ cho tập nghiệm của cả hai bài toán (QEP) và (SQEP) là lsc tại điểm quansát Phần 3 được dành để nói về ba loại nửa liên tục trên của tập nghiệmcủa hai bài toán Phần cuối cùng bao gồm các trường hợp đặc biệt của bàitoán tổng quát

Với λ ∈ Λ và µ ∈ M ta kí hiệu tập nghiệm của bài toán (QEP) là S1(λ, µ)

và của bài toán (SQEP) là S2(λ, µ) Đặt E(λ):= {x ∈ X|x ∈ clK(x, λ)}.Xuyên suốt phần này này ta giả định rằng S1(λ, µ) 6= ∅ và S2(λ, µ) 6= ∅ với

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

mọi λ trong một lân cận của λ0 ∈ M

Định lý 2.2.1 Cho bài toán (QEP) với

(i) K(.,.) là usc và là compact trong X × { λ0 } và E(.) là lsc tại λ0;

Vì K(.,.) là usc tại (x0, y0) và K(x0, y0)là compact nên tồn tai y0 ∈ K(x0, y0)

sao choyβ → y0 (chọn lưới con nếu cần thiết) Do (iii),∃f0 ∈ F (x0, y0, z0), f0 ∈/

−C Do tính nửa liên tục dưới của hàm F(.,.,.), tồn tạifβ ∈ F (xβ, yβ, µβ), fβ →

f0, mâu thuẫn với 2.1

Ví dụ sau đây cho thấy tính "mạnh" và tính "lẻ" trong giả thiết (iii1) làkhông thể bỏ qua)

Ví dụ 2.2.1 Cho X = Y = R,Λ ≡ M = [0,1], C = R+, K(x,λ) = [ λ, 1 − λ],F(x,y,λ) = {λ(x − y)} và λ0 = 0 Thì (i) và (ii1) được thỏa mãn Ta có

S1(0) = [0, 1] và S1(λ) = {1 − λ} với mỗi λ 6= 0 và vì vậy S1(.) là không lsctại 0 Điều này có nghĩa là (iii1) bị vi phạm

Từ chứng minh của định lý 2.2.1 , ta thấy rằng tính nửa liên tục dướicủa hàm F(.,.,.) cùng với (iii1) có thể được thay thế bởi một tính chất củaF(.,.,.) và tập C như sau, mặc dù (iii1) không thể tồn tại độc lập

Định nghĩa 2.2.1 Cho X là một không gian topo Hausdorff, Y là mộtkhông gian vector topo và C ⊆ Y sao cho int C 6= ∅.

(a) Một hàm đa trị H: X → 2Y được gọi là có tính bao hàm C tại x0 nếu vớimới bất kỳ xα → x0, H(x0) ∩ (Y \ −intC) 6= ∅

(b)H được gọi là có tính có tính bao hàm C ngặt tạix0 nếuxα → x0, H(x0) ⊆

Y \ −intC ⇒ ∃α, H(xα) ⊆ Y \ −intC

Định lý 2.2.2 Xét bài toán (QEP) có

(i) K(.,.) là nửa liên tục trên và compact trong X × {λ0} và E(.) là nửa liêntục dưới tại λ0;

(iv1) F(.,.,.) có tính tính chất bao hàm C trong X × X × {µ0}

Khi đó S1(., ) là nửa liên tục dưới tại (λ0, µ0)

Chứng minh: Ta nhắc lại phần chứng minh đầu ở định 2.2.1, phần (i) Vì

điều này mâu thuẫn với (1) 

Ưu điểm của giả thiết (iv1) là nó không cần thêm bất kỳ thông tin nào từtập nghiệm S1(λ0, µ0) Hơn nữa (iv1) có thể được thõa mãn trong trườnghợp (ii1) và (iii1) không thực hiện được như vi dụ dưới đây

Ví dụ 2.2.2 Cho X = Y = R, Λ ≡ M = [0, 1], C = R+, K(x, λ) =[0, 1], λ0 = 0 và

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

Như vậy, (i) và (iv1) không được thỏa mãn và theo định lý 2.2.2 S1(.) lànửa liên tục dưới tại 0 (thực tế S1(λ) = [0, 1] với mọi λ ∈ [0, 1]) Rõ ràng

(ii1) và (iii1) không được thỏa mãn trong trường hợp này

Nếu tập S1(λ0, µ0) đã biết và từ chứng minh của định lý 2.2.2 ta có thểthay (iv1) bởi tính bao hàm của tập C của F(.,.,.) tại (x0, y, µ0) với mọi

x0 ∈ S1(λ0, µ0), y ∈ K(λ0, µ0) Dạng yếu này của (iv1) thực sự yếu hơn sovới (ii1) và (iii1)

Ta sang bài toán (SQEP)

Định lý 2.2.3 Cho bài toán (SQEP) với các điều kiện sau

(i)K(.,.) là nửa liên tục trên và compact trong X × {λ0} và E(.) nửa liên tụcdưới tại λ0;

(iiu) F(.,.,.) là nửa liên tục trên trong X × X × {µ0};

(iii2) ∀x ∈ S2(λ0, µ0), ∀y ∈ K(x, λ0), F (x, y, µ0) ⊆ Y \ −C

Khi đó S2(., ) là nửa liên tục dưới tại (λ0, µ0)

Chứng minh:

Giả sử tồn tạix0 ∈ S2(λ0, µ0), λα → λ0, µα → µ0 sao cho∀xα ∈ S2(λα, µα), xα

9x0 Do tính nửa liên tục dưới của E(.) nên tồn tại lưới xα ∈ E(λα), xα →

x0 Từ giả thiết ta suy ra tồn tại một lưới con xβ sao cho xβ ∈ S/ 2(λβ, µβ)

với mọi β Nghĩa là,với một vài yβ ∈ K(xβ, λβ),

Ví dụ 2.2.3 Khẳng định rằng (iii2) không thể bỏ qua trong định lý 2.2.3

vì S1(λ) = S2(λ) và (ii1) trùng với (iiu) do F(.,.,.) là hàm đơn trị

tương tự bài toán (QEP) ta có thể sử dụng một bao hàm C để thay thế (iiu)

và (iii2) như sau

Định lý 2.2.4 Cho bài toán (SQEP) như sau

(i) K(.,.) là nửa liên tục trên và compact trong X × {λ0} và E(.) là nửa liêntục dưới tại λ0;

(iv2) F(.,.,.) có tính chất bao hàm C ngặt trong X × X × µ0

Khi đó S2(., ) là nửa liên tục dưới tại (λ0, µ0)

Chứng minh: Ta lặp lại phần chứng minh đầu của định lý 2.2.3 để có 2.2

điều này mâu thuẫn với 2.2 

Giống với giả thiết(iv1), (iv2)không cần bất kỳ thông tin nào trênS2(λ0, µ0).Đây là dạng yếu và có thể được thỏa mãn ngay cả khi (iiu) và (iii2) khôngthỏa được chỉ ra trong ví dụ sau

Ví dụ 2.2.4 Cho X = Y = R, Λ ≡ M = [0, 1], F (x, y, λ) = [0, λ + 1) và

λ0 = 0 Khi đó, F(.,.,.) là nửa liên tục trên tại (x,y,0) bất kỳ Thay vào đó,lấy một tập mở(−1, 1) ⊇ [0, 1) = F (x, y, 0), ta không thể tìm bất kỳ lân cận

N nào của (x,y,0) sao cho (−1, 1) ⊇ F (N ) Bây giờ, ta hãy xem xét (iii2)

Ta có S0 = [0, 1] và với bất kỳ x,y, F (x, y, 0) = [0, 1) * Y intC, nghĩa là

(iii2)không được thỏa mãn Vì với bất kì x, y, F(x,y,0) = [0, 1) ⊆ Y − intC,

(iv2) được thỏa mãn Vì (i) là cũng được thỏa, ta có thể áp dụng Định lý2.2.4 để chọn bất kì hàm S2(.) nửa liên tục dưới nào tại 0, trong khi Định lý

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

2.2.3 không thực hiện được

Trong phần này chúng ta tìm hiểu điều kiện đủ cho tập nghiệm S1 và S2 lànửa liên tục dưới cho các bài toán

Đầu tiên chúng ta đề cập đến mối quan hệ giữa 3 trường hợp nửa liên tụctrên theo mệnh đề dưới đây

Gọi X là không gian tô pô Hausdorff, Y là không gian véc tơ tô pô và G:

X → 2Y là một hàm đa trị

Mệnh đề 2.3.1 (i) Nếu G là nửa liên tục trên tại x0 thì G là H-usc tại x0.Ngược lại nếu G là H-usc tại x0 và G(x0) là compact thì G là nửa liên tụctrên tại x0

(ii) Nếu G là H-usc tại x0 và G(x0) đóng thì G đóng tại x0

(iii) Nếu G(A) là compact với mọi tập con A compact của dom G và nếu Gđóng tại x0 thì G là nửa liên tục trên tại x0

(iv) Nếu Y compact và nếu G đóng tại x0 thì G là nửa liên tục trên tại x0

Chứng minh:

(i) Chiều thuận có thể được suy ra từ định nghĩa một cách hiển nhiên Đốivới chiều ngược lại ta chứng minh bằng phản chứng, giả sử có tập mở Uchứa G(x0) và x0 → x, yα ∈ G(xα), yα ∈ U/ với mọi α Do G là nửa liên tụctrên Hausdorff vàG(x0) compact, bằng cách khai triển một dãy con nếu cầnthiết, ta có thể giả định rằng yα → y0 với y0 ∈ G(x0) Điều này mâu thuẫnvới giả thiết vì yα ∈ U/

(ii) Giả sử (xα, yα) → (x0, y0) và yα ∈ G(xα) nhưng y0 ∈ G(x/ 0) Bởi vì

G(x0) đóng nện tồn tại lân cận B của 0 sao cho y0 ∈ G(x/ 0+ B Thực vậy, vì

(Y \G(x0))−y0 := V là một lân cận của 0 = 0 - 0 và phần hiệu là liên tục nên

ta có lân cận B của 0 sao cho B − B ⊆ V Khi đó (B − B) ∩ (G(x0− y0) = ∅.

Do đó B ∩ (G(x0) + B − y0) = ∅ Như vậy, y0 ∈ G(x/ 0) + B Vì G là H-usctại x0 nên tồn tại lân cận N của x0) sao cho G(N ) ⊆ G(x0) + B/2 Vì vậychúng ta có thể giả sử rằng xα ∈ N với mọi α Như thế,yα ∈ G(x0 + B/2

với mọi α và không thể dẫn đến y0 ∈ G(x/ 0) + B

Ví dụ 2.3.1 Để thấy được sự quan trọng của tính com pắc trong giả thiết(i) và tính đóng trong (ii) ta chọn G : R → 2R với G(x) = (x, x + 1) Khi

đó G là H-usc nhưng không nửa liên tục trên và không đóng

Định lý 2.3.2 Xét bài toán (QEP) Giả sử rằng

(i) K(.,.) là nửa liên tục dưới trong X × {λ0}, clK(., ) là nửa liên tục trên

và compact trong X × {λ0};

(iiu) F(.,.,.) là nửa liên tục trên trong X × X × {µ0}

Khi đó S1(., ) vừa là nửa liên tục trên vừa đóng tại (λ0, µ0)

Chứng minh: Giả sử rằng 1(., ) không nửa liên tục trên tại (λ0, µ0),nghĩa là, có một tập U chứa S1(λ0, µ0) sao cho với mọi dãy con (λα, µα) →(λ0, µ0), tồn tại xα ∈ S1(λα, µα), xα ∈ U, ∀α/ Do tính nửa liên tục trêncủa clK(.,.) và tính compact của clK(x0, y0) ta có thể nói rằng xα → x0 ∈clK(x0, λ0) Nếu x0 ∈ S/ 1(λ0, µ0) thì khi đó tồn tại y0 ∈ K(x0, λ0) sao cho

F (x0, y0, λ0) ⊆ −intC Tính liên tục của K(.,.) ngược lại chỉ ra sự tồn tạicủayα ∈ K(xα, λα) sao cho yα → y0 Theo(iiu) phải có một chỉ số α sao cho

F (xα, yα, µα) ⊆ −intC, điều không thể xảy ra khi xα ∈ S1(λα, µα) Vì vậy,

x0 ∈ S1(λ0, µ0) ⊆ U, thêm một lần nữa ta gặp mâu thuẫn vì xα ∈ U, ∀α/

Bây giờ giả sử rằng S1(., ) là không đóng tại (λ0, µ0), nghĩa là có một dãy sốthực (λα, µα, xα) → (λ0, µ0, x0) với xα ∈ S1(λα, µα) nhưng x0 ∈ S/ 1(λ0, µ0)



Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

Chú ý rằng K(.,.) có thể không phải là nửa liên tục trên ( và như vậy làkhông liên tục) ngay cả cho trường hợp mà K(.,.) là nửa liên tục dưới vàclK(.,.) là nửa liên tục trên Ví dụ, lấy K(x, λ) = (λ, λ + 1) Hơn nữa tậpK(.,.) này là H-usc Đối với tính nửa liên tục trên yếu hơn này của S1(., ) ta

có thể làm yếu cho giả thiết (iiu) như sau Trong bài toán (QEP) cho X làmột không gian véc-tơ Hausdorff khi đó ta có

Định lý 2.3.3 Giả thiết cho bài toán (QEP) là

(i) K(.,.) là H-liên tục và compact trong X × {λ0};

(iihu)F (., , ) là H-usc trong X × X × {λ0};

(iiiu) ∀BX (lân cận mở của 0 trong X), ∀x /∈ S1(λ0, µ0) + BX, ∃BY (lân cậncủa 0 trong Y), ∃y ∈ K(x, λ0),

F (x, y, µ0) + BY ⊆ −intC

Khi đó S1(., ) là H-usc tại (λ0, µ0)

Chứng minh: Giả sử rằngS1(., )là không H-usc tại(λ0, µ0), nghĩa là ∃BX

(lân cận mở của 0 trong X), ∃λα → λ0, ∃µα → µ0, ∃xα ∈ S1(λα, µα), xα ∈/

S1(λ0, µ0) + BX Do tính compact của K(x0, λ0) và tính nửa liên tục trênHausdorff của K(.,.) ta có thể giả định rằng xα → x0 với x0 ∈ K(x0, λ0).Nếu x0 ∈ S/ 1(λ0, µ0) + BX thì (iiiu) cho ta lân cận By của 0 trong Y và

nhiên, ta có thêm giả thiết (iiiu) Ví dụ sau đây đảm bảo cho ta rằng giảthiết bổ sung thêm này là cần thiết.

Ví dụ 2.3.2 Cho X = Y = R, Λ ≡ M = [0, 1], C = R+, K(x, λ) =[0, 1], F (x, y, λ) = x(−1 − λ, λ) và λ0 = 1 Dễ thấy (i) và (iihu) được thỏamãn và S1(0) = 0, S1(λ) = [0, 1] với mỗi λ ∈ [0, 1] Vì vậy S1(.) không là H-usc tại 0 Lý do này là vì(iiiu) bị vi phạm Thay vào đó, chọn BX = (−1, 1)

và x = 1 Khi đó, với mỗi BY := (ε, ε) và với mỗi y ∈ [0, 1],

F (1, y, 0) + BY ≡ (−1, 0) + (−ε, ε) * (−∞, 0)

Thông qua bài toán (SQEP) ta sẽ thấy một sự đối xứng hoàn chỉnh củahai thuộc tính nửa liên tục của các tập nghiệm và các giả thiết nửa liên tụctrên F : (iiu) cho S2 để là nửa liên tục dưới và cho S1 để là nửa liên tục trên

và theo tính đối xứng thì (ii1) cho S1 để là nửa liên tục dưới và cho S2 để lànửa liên tục trên, như ví dụ sau đây

Định lý 2.3.4 Đối với bài toán (SQEP) các điều kiện sau được thoản mãn:(i) K(.,.) là nửa liên tục dưới trong X × {λ0}, clK(., ) là nửa liên tục trên

và compact trong X × {λ0};

(ii1) F(.,.,.) là nửa liên tục trên trong X × X × {µ0}

Khi đó S2(., ) là vừa nửa liên tục trên vừa đóng tại (λ0, µ0)

Chứng minh: giả sử tồn tại lân cận mở U của S2(λ0, µ0), lưới λα →

λ0, µα → µ0 và xα ∈ S2(λα, µα) sao cho xα ∈ U, ∀α/ Ta có thể giả sử rằng

xα → x0 vớix0 ∈ clK(x0, λ0) Nếux0 ∈ S/ 2(λ0, µ0)thì tồn tạiy0 ∈ K(λ0, µ0)

và f0 ∈ F (x0, y0, µ0 ∪ (−intC)

Toán ứng dụng Luận văn thạc sĩ

Từ tính liên tục dưới của K(.,.) suy ra sự tồn tại củayα ∈ K(xα, λα), yα → y0

và cũng như vậy hàm F(.,.,.) sinh ra dãy fα ∈ F (xα, yα, µα), fα → f0 Vì

xα ∈ S2(λα, µα), fα ∈ −intC/ , điều này trái với giả thiết Do vậy, S2(., ) lànửa liên tục trên tại (λ0, µ0)

Bây giờ giả sử rằng S2(., ) là không đóng tại (λ0, µ0), nghĩa là, tồn tại dãy

(λα, µα, xα) → (λ0, µ0, x0) với xα ∈ S2(λα, µα) nhưng x0 ∈ S/ 2(λ0, µ0) Khi

đó giống như trên ta cũng nhận được sự mâu thuẫn 

Chú ý: Từ chứng minh của định lý 2.3.4 ta dễ dàng thấy rằng giải thiết rằngclK(.,.) compact có thể được bỏ qua nếu chỉ có tính đóng của S1 và S2 đượcthỏa mãn

Ta thấy rằng tính đối xứng giữa các điều kiện đủ cho hai tập nghiệm S1 và

S2 là nửa liên tục dưới hoặc nửa liên tục trên Các ví dụ sau đây chỉ ra rằngcác điều kiện này là xa so với các điều kiện cần thiết và hai tập hợp này cóthể hoặc không thể là nửa liên tục trong nhiều trường hợp khác nhau

Ví dụ 2.4.1 (S1 liên tục, S2 không nửa liên tục dưới) Đặt X = Y = R

Λ ≡ M = [0, 1], C = R+, K(x, λ) = [0, 1], F (x, y, λ) = x[−λ, 1 − λ] và

x0 = 0 Ta dễ dàng thấy rằng S1(λ) = [0, 1], ∀λ ∈ Λ Do đó S1(.) là nửaliên tục tại 0 Một cách tương đương dễ dàng thấy rằng S2(0) = [0, 1] và

S2 = {0}, ∀λ ∈ (0, 1] Vì vậy S2(.) là không nửa liên tục dưới tại 0 Trongtrường hợp (iii1), (iii2), (iv2) không thỏa mãn nhưng (iv2) thì có

Ví dụ 2.4.2 (S1 không nửa liên tục dưới,S2 nửa liên tục) Đặt X,Y,Λ,M,C,K

và λ0 giống như ví dụ 4.1 và F (x, y, λ) = x[−1 − λ, −λ] Ta thấy rằng

S1(0) = [0, 1], S1(λ) = {0} với λ ∈ (0, 1] và S2 = 0 với mọi λ ∈ [0, 1] Nhưvậy S1(.) là không nửa liên tục dưới tại 0 và S2(.) là liên tục tại 0 Có thể