Một tài liệu khá hay cho các em học sinh lớp 9. Tài liệu tổng hợp được những phần kiến thức lý thuyết về căn bậc hai và hệ thống bài tập rất phong phú về chuyên đề này. Không những vậy những bài tập nâng cao được tích hợp vào đây để giúp các em luyện tập.
Trang 1Chương I: CĂN BẬC HAI - CĂN BẬC BA
A LÝ THUYẾT
1) Định nghĩa, tính chất căn bậc hai:
a) Với số dương a, số ađược gọi là căn bậc hai số học của a
b) Với a 0 ta có x = a
a a x
x
0
2 2
c) Với hai số a và b không âm, ta có: a < b a b
d) Cho A là một biểu thức đại số, người ta gọi √𝐴 là căn thức bậc hai của A, còn A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn
√𝐴 xác định (hay có nghĩa) khi A ≥ 0
A neu A 0
2) Các công thức biến đổi căn thức:
1 A2 A 2 AB A B (A 0, B 0)
3 A A
B B (A 0, B > 0) 4 A B2 A B (B 0)
A B A B (A 0, B 0) 2
A B A B (A < 0, B 0)
6 A 1 AB
B B (AB 0, B 0) 7
2
C A B C
A B
A B
(A 0, A B2)
8 A A B
B
B (B > 0) 9. C C A B
A B
A B
(A, B 0, A B)
3) Bài tập:
Bài 1: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
a) 0, 25.0,36 b) 4 2
2 ( 5) c) 1, 44.100 d) 4 2
3 5
Bài 2: Áp dụng quy tắc khai phương một tích, hãy tính:
a) 2, 25.400.1
c) 1 1 .3.27
0, 001.360.3 ( 3)
Bài 3: Tính
a) A = 2 2
37 12
21,8 18, 2
Trang 2c) C = 2 2
100(6, 5 1, 6 )
Bài 4: Thực hiện phép tính:
a) 121
144; 0,99
0,81; 117
64
b) 0, 01
0, 0004 ;
2
(1 3) 4
; 48 75
c) 1 9 .5 0, 014
16 9 ; 1, 44.1, 21 1, 44.0, 4 ;
165 124 164
;
2 2
149 76
457 394
Bài 5: Áp dụng quy tắc nhân, chia căn thức bậc hai, hãy tính:
c) 11 44 d) 72
2 ; 192
12
B BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài 1: Thực hiện các phép tính sau:
3) 2 32 4 8 5 18 4) 3 12 4 27 5 48
5) 12 75 27 6) 2 18 7 2 162
7) 3 20 2 45 4 5 8) 8 12 3 27 7 48 6 75
9) 2 18 3 32 11 50 10) 96 3 54 13 6 2 216
11) 72 51 4,5 22 2 27
13) 3-2 48+3 75-4 108 14) 72 51 4,5 22 2 27
15) 41 32 27 162
2 16) 3 2 8 50 4 32
17) 5 48 4 27 2 75 108 18)
5
4 5 45
1 10 48
15 2 9
5
2
1 6 18
8 20) 3 6 2 2 4 3
2 3 2
21)
3
1 1 5 11
33 75 2
48
2
3
1 1 5 11
33 75 2 48 2
Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:
1) ( 2 2 ) 2 2 2 2) ( 28 2 14 7 ) 7 7 8
3) ( 14 3 2 )2 6 28 4) ( 6 5 )2 120
Trang 35) ( 2 3 3 2 )2 2 6 3 24 6) ( 28 12 7 ) 7 2 21
7) 15 50 5 200 3 450 : 10 8) (2 3 5 )2 240
9) 2
2 2 3 2 1 2 2 2 6 10) 3 3 2 3 5 3 2
11) 3 1 3 1 12) 2 3 2 3
13) 2 52 5 14) 3 2 3 2
15) 5 2 2 5 2 2 16) 3 5 3 5
17) 20 12 15 27: 5 3 19) 75 243 - 48 : 3
20) 2 18 3 32 6 2: 2 22) 2 2
1 2 1
23) 27 3 2 2 6: 3 3 24) 2 2
3 1 1
3
25) 18 - 8 : 2 26) 28 2 3 7 7 84
27) ( 3 2 2 3 )( 3 2 2 3 ) 28)
Bài 3: Thực hiện các phép tính sau:
2 3 2
3 2) 2 2
3 2 3
2
) 3 2 ( )
2
1
) 1 3 ( ) 2 3 (
) 2 5 ( )
3
5
) 6 2 ( ) 6 3 (
Bài 4: Thực hiện các phép tính sau:
1) 8 2 15 - 8 2 15 2) 5 2 6 + 8 2 15
3) 7 4 3 12 6 3 4) 11 6 2 3 2 2
5) 5 3 5 48 10 7 4 3 6) 15 6 6 33 12 6
7) 6 2 5 6 2 5
11 6 2 11 6 2
8) 2
3 5 9 4 5
) 3 19 )(
3 19
2 2
3 1 1
2 2
5 2 5
2 2
2 1 1
2 3 2
3 2 4 3
2
4
5 2 6 5
2
14 2 9 14
2
Trang 415) 16)
Bài 5: Trục căn thức ở mẫu:
1)
5
3
2
3 2
3)
2
2
3
4)
1 3 2
4
5) 5 3
6
7)
2
3
1
1 2
9)
3
2
3
2
10)
1 3
2 3
11)
3 2
1
1
1 3 2
Bài 6: Rút gọn biểu thức:
3 1 3 1
3)
1 5
1 1
5
1
1 2 5
1
5)
2 3 4
2 2
3
4
2
5 7 5 7
5 7
7)
2 5
1 2
5
1
12 6
30 15
9)
2 2 3
1 8
3
1
1 : 3 1
5 15 2
1
7 14
6 12 33 6 6
3 4 7 3
4
2 16 24 2 16
24 ( 3 10 ) 19 3 40
2 6 11 2 6
11 14 8 3 24 12 3
32 3 17 32 3
2 4 9 2 2
1
17 16 2 63 16 6 7
24 5 24
7 4 7
3 2 3
Trang 511) 2 3 6 216 . 1
3
1 2
1 1 2 5
1 2
5
1
2
1 3 : 2
1 3
1 2
2 2 3
3 2 3
2 3
2 2
3
3 :
2 3 2
5 3
1 3 3
15 2
3
3 1 3
2
1 3 2 6
4 2
5
1
3 2
1 2
1
1
Bài 7: Chứng minh các đẳng thức sau:
1) 2
4 7 23 8 7 2) 9 4 5 5 2
3) 4 2 3 : 2 1 2
1 2 3 1
1 3
216 2
8
6 3
5 7
1 : 3 1
5 15 2
1
7
1 2
1 2
7) 2 2 3 2 1 2 22 2 6 9 8)
5 2
4 5
2
4
2
9) 3 5 10 2 3 5 8 10) 2 1 2 1 2 ( 2 1 )
11) 6 + 2 5 - 13 + 48 = 1 + 3
12) 4 + 5 3 + 5 48 - 10 7 + 4 3 = 3
Bài 8: Với giá trị nào của x thì các biểu thức sau có nghĩa:
1) 3x 2 2) 4
2x 3
3)
2 2 x
4) 2 x 3
5) 9x 2 6x 1 6) 2x 1
7) x 3
5 x
8) 2 3
1
x x
Bài 9: Rút gọn các biểu thức sau:
1) 9a 81a 3 25a 16 49a (a0) 2) 3 2x - 5 8x + 7 18x (x0)
3) 9x 18 4x 8 3 x 2 (x2) 4) 25x 16x(x0)
5) 5 15 15 1 15
3 x x 3 x (x0) 6) 16x 16 9x 9 4x 4 x 1 (x-1)
7) 4 20 3 5 4 9 45
3
x x x (x-5) 8) 25 25 15 1 1
2 9
x
Bài 10: Tìm x, biết:
Trang 61) 4x = 5 2) 16x = 8
3) 5 2x 1 21 4) 5 4x 6 21
7) 3x - 1 = 4 8) - 3x + 4 = 12
9) 9 (x 1 ) 21 10) 4 5x 12
Bài 11: Tìm x, biết:
1) 25x 16x 9 2) 3 2x 5 8x 7 18x 28 0
3) 5 15 15 2 1 15
3 x x 3 x 4) 16x 16 9x 9 4x 4 x 1 16
5) 4 20 3 5 4 9 45 6
3
x x x 6) 16x 16 9x 9 1
7) 3 2x 5 8x 20 18x = 0 8) 16 16 5 0
3
1 4 4
1 x x x
Bài 12: Giải các phương trình sau:
1) 2
2x 3 5 2) 2
9.(x 2) 18
5) ( 2x 1 )2 3 6) 4x2 4x 1 6
7) 2
4 4 2
9x 12x 4 4 9) 1 12 x 36x2 5 10) 4x2 20x 25 2 x 5
11) 2
6 9 2
x x x
1 : 1 1
1
2
x
x x
a) Tìm x để A có nghĩa
b) Rút gọn A
c) Tính A với x =
3 2
3
:
1
a
a
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A biết a = 4 +2 3
c) Tìm a để A < 0
Trang 7Bài 15: Cho biểu thức C =
a a
a a a
a a
a a
a
2
3 2
2 : 4
4 2
2 2
2
a) Rút gọn C
b) Tìm giá trị của a để B > 0
c) Tìm giá trị của a để B = -1
Bài 16: Cho biểu thức D =
x
x x
x x
x
x
3
1 2 2
3 6
5
9 2
a) Rút gọn D
b) Tìm x để D < 1
c) Tìm giá trị nguyên của x để D Z
x x
x x
x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết x =
3 2
2
c) Tìm giá trị của x thỏa mãn: P x 6 x 3 x 4
4
x
a) Tìm giá trị của x để P xác định
b) Rút gọn P
c) Tìm x sao cho P>1
9
x
a) Tìm giá trị của x để C xác định
b) Rút gọn C
c) Tìm x sao cho C < -1
Bài 20: Cho biểu thức:
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P < 1
c) Tìm x để đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 21: Cho biểu thức: P =
2
1 x : x 1
1 1 x x
x 1
x x
2
a) Rút gọn biểu thức trên
1 x
x x
1
4 x : x 1 x
2 x P
Trang 8b) Chứng minh rằng P > 0 với mọi x≥ 0 và x ≠ 1
1 1 a 1
1 a a 2 2
1 a
2 2
1
2 2
a) Tìm a dể Q tồn tại
b) Chứng minh rằng Q không phụ thuộc vào giá trị của a
Bài 23: Cho biểu thức: A =
x
x x
x y xy
x y
xy
x
1 2
2
2 2
3
a) Rút gọn A
b)Tìm các số nguyên dương x để y = 625 và A < 0,2
5 a 2 1 : a 16
2 a 4 4 a
a 4
a
a 3
(Với a ≥ 0; a ≠ 16)
a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = -3
c) Tìm các số tự nhiên a để P là số nguyên tố
Bài 25: Cho biểu thức: P a 2a a
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P
b) Tính giá trị của P với a 3 8
c) Tìm a để P < 0
Bài 26: Cho biểu thức: A x 2 x 1
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A
b) Tính giá trị của A với x = 36
c) Tìm x để A A
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn M
b) Tìm x để M >
3
1
c) Tìm x để biểu thức M đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó
x 1 x 1 x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn A
Trang 9b) Tính giá trị của A khi x =
4
1
c) Tìm giá trị của x để: A A
Bài 29: Cho biểu thức: P 1 1 . 1
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn P
b) Tính giá trị của A với x = 25
P 5 2 6 ( x 1) x 2005 2 3
) 1 (
1 :
1
1 1
x
x x
x x
P
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm x để P > 0
Bài 31: Cho biểu thức: A =
1
1 : 1
x x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho A < 0
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để 5
P 4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M x 12 1.
P
x 1
Bài 33: Cho biểu thức A = x x 1 x 1
x 1 x 1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
4
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1
Bài 34: Cho biểu thức: A =
x 1
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
Bài 35: Cho biểu thức : P = 2a 4 a 2 2
a a 1 a a 1 a 1
Trang 10a) Rút gọn P
b) Tính P khi a = 3 - 2 3
Bài 36: Cho biểu thức : P=
1
4 6 1
3
x x
x x
a) Rút gọn P
b) Tìm các GT của x để P <
2
1
Bài 37: Cho biểu thức : P =
x x
x x
x
1 1
a) Rút gọn P
b) Tính GT của P khi x = 4
c) Tìm GT của x để P =
3 13
9
x
a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P =
3
1 c) Tìm GTLN của P