Trên nửa mặt phẳng bờ ACchứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD vuông góc với ACvà AD AC=... 1 Chứng minh BD CE=2 Trên tia đối của tia MA lấy Nsao cho MN MA=.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN HOẰNG HÓA ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN 7
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1 (4,0 điểm)
1 Tính
1000 10 11 7 5.2 8 11 121 15 : 25 :
2 Tìm x,
biết:
− + − + =
Bài 2 (4,0 điểm)
1 Tìm
, ,
x y z
biết:
10 3
;
y = z =
và
78
x y z− + =
2 Cho
b =ac c =bd
Với
, , 0; ;
b c d ≠ b c d b+ ≠ + ≠c d
Chứng minh:
3
3 Tính giá trị biểu thức
15 2019 14 2019 13 2019 12 2019 1
với x=2018
Bài 3 (4,0 điểm)
1 Tìm
y
nguyên, biết ( )2018
2 Cho
,
p q
là các số nguyên tố lớn hơn 3 và thỏa mãn
2
p q= +
Chứng minh rằng: ( p q+ )M12
Bài 4 (6,0 điểm)
Cho ∆ABC
có ba góc nhọn, AB AC<
, trung tuyến AM.Trên nửa mặt phẳng bờ
AB
chứa điểm C,
vẽ đoạn thẳng AE
vuông góc với AB
và AE AB= .
Trên nửa mặt phẳng bờ ACchứa điểm B, vẽ đoạn thẳng AD
vuông góc với ACvà AD AC= .
Trang 21) Chứng minh BD CE=
2) Trên tia đối của tia MA lấy Nsao cho MN MA= .
Chứng minh 3)
· 1800 ·
và ∆ADE = ∆CAN
4) Gọi I là giao điểm của DE
và AM.Chứng minh :
+
Bài 5 (2,0 điểm)
1 Tìm các số hữu tỉ a b c, ,
thỏa mãn đồng thời ab c bc= , =4 ,a ac=9b
2 Tìm số tự nhiên nhỏ nhất ađể khi ghép nó vào bên phải số 2019thì được một số tự nhiên chia hết cho 2018
ĐÁP ÁN Bài 1.
1 1000 1000 11 49 40 8 121 121
1000 1000 11 9 8.0 1000 1000 11.9 99
2
A
B
x
x
= − ÷− − ÷ = − ÷ − ÷= − − ÷=
− + − + =
10 10
21 1
10 10
x
=
Bài 2.
1)
10
(1)
9 10 9
3
(2)
4 3 4 9 12
Trang 3Từ (1) và (2) suy ra
78
6 60, 54, 72
10 9 12 10 9 12 13
− +
− +
2) Từ
Từ (1) và (2) suy ra
+ −
= = =
+ −
dfcm
3) Ta có: 2019 2018 1= + = +x 1
Do đó: C x= 15 − +(x 1) x14 + +( x 1) x3 − +(x 1) x12 + +(x+1)x−1
1 2018 1 2017
x
Vậy C =2017
Bài 3.
1 Vì
y∈¢
mà ( )2018
2018 2019 1
2018 0
20119 1
y
y
⇒
hoặc
2018 1
2019 0
y y
2018 0
2018
2019 1
2019
2018 1
y
y y
y
y y
⇒ =
Vậy
2018
y =
hoặc
2019
y=
2 Vì q nguyên tố ,
3
q>
nên q có dạng 6k +1
hoặc 6k +5(k∈¥) Nếu
6 1
q = k +
thì p q= + =2 6k +3 3M
mà
3
p >
nên p là hợp số (loại)
Trang 4Nếu
q = k + ⇒ = + =p q k + + = k +
Suy ra p q+ =(6k + +7) (6k + =5) 12k +12 12(M dfcm)
Bài 4.
1 Xét ∆ABD
và ∆ACE
có:
( )
AD AC gt=
và
AE AB gt BAD CAE= =
cùng
phụ với
BAC ⇒ ∆ABD= ∆AEC c g c ⇒BD CE=
2 cạnh tương ứng)
2 Xét ∆ABM
và ∆NCM
có:
AM =MN gt BM CM gt AMB NMC= =
đ đ)
( )
(hai góc tương ứng)
Do đó:
ACN = ACB BCN+ = ACB ABC+ = −BAC dfcm
Trang 5+Ta có:
DAE DAC BAE BAC= + − = −BAC⇒DAE ACN=
Xét ∆ADE
và ∆ACN
có: CN = AE
(cùng bằng AB),
AC =AD gt DAE =ACN cmt ⇒ ∆ADE = ∆CAN cgc( )
3 Theo tính chất góc ngoài, ta có:
·AQP QAD QDA APQ PAE PEA=· + · ;· = · +·
Mà AB AC<
nên
AE AD< ⇒ ADE AED<
Theo chứng minh trên ta có:
QAD PAE=
Từ đó suy ra
QAD QDA PAE PEA+ < +
Hay
·AQP APQ<· ⇒ AP AQ<
4 Vì
( )
(hai góc tương ứng) Xét ∆ADP
vuông tại A
Xét ∆ADI
vuông tại I, theo định lý pytago có:
AD =DI +AI ⇒AI =AD +DI
Xét ∆AIE
vuông tại I , theo định lý Pytago ta có:
AE = AI +IE ⇒ AI = AE −IE
+
+
Bài 5.
1 Nhân từng vế ba đẳng thức ta được ( )2
36
abc = abc
Nếu abc=0
thì kết hợp với đề bài ta được a b c= = =0
Nếu abc≠0
thì abc=36
Kết hợp ab= ⇒ = ±6 c 6
Trang 6Kết hợp bc=4a⇒ = ±a 3
Kết hợp ac=9b
suy ra b= ±2
Với c=6
thì
6
ab
Với
Vậy có 5 bộ (a b c, , )
thỏa mãn là (0;0;0 ; 3;2;6 ; 3; 2;6 ; 3; 2; 6 ; 3;2; 6) ( ) (− − ) ( − − ) (− − )
2 Đặt a a a a n= 1 2 (n ∈¥*, , , ,a a1 2 a n
là các chữ số, a1≠0)
Số tự nhiên cần tìm có dạng 2019a a1 2 a n
Theo giả thiết, ta có: 2019a a1 2 a nM2018
1 2
2019.10 2018
2018.10 10 2018 10 2018
n
n
a a a
M
Xét các trường hợp:
Với n=1,
ta được : 1
không tìm được 1
a
10 10< + <a 20
Với n=2,
ta được 1 2
100+a a M2018
không tìm được 1 2
a a
100 100< +a a <200
Với n=3
, ta được 1 2 3
1000+a a a M2018
, không tìm được 1 2 3
a a a
vì
1 2 3
1000 1000< +a a a <2000
Với n=4,
ta được 1 2 3 4 1 2 3 4
Vậy số tự nhiên anhỏ nhất cần tìm là a =2108