031 đề thi HSG toán 9 huyện hà trung 2018 2019

5,0 điểm Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB2 .R Gọi Ax By là , các tia vuông góc với AB Ax By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng , bờ AB.Qua điểm M thuộc nửa đường trò

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TRUNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 Môn thi: TOÁN Câu 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

: 10

P

x



a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi 4 3 2 2 4 3 2 2

3 2 2 3 2 2

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Giải hệ phương trình: 1 3 1 1







b) Giải phương trình: x 1 4 x x1 4 x 5

c) Cho một số tự nhiên có 4 chữ số Nếu xóa đi chữ số hàng chục và hàng đơn

vị thì số đó giảm đi 5445 đơn vị Tìm số đã cho

Câu 3 (4,0 điểm)

a) Chứng minh A2n 1 2 n 1chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

b) Tìm tất cả các số nguyên dương , ,x y z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

11

x  y z và 8x9y10z100

c) Chứng minh rằng nếu  2 2

xy x  y  thì x 1 y2  y 1x2 0

Câu 4 (4,0 điểm)

a) Cho ,x y0thỏa mãn 2 1

x  y 

  Tìm giá trị lớn nhất của

2

Pxy

b) Tìm các số tự nhiên n sao cho Bn2  n 13là số chính phương

Câu 5 (5,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB2 R Gọi Ax By là , các tia vuông góc với AB Ax By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng ( ,

bờ AB).Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D Gọi I là trung điểm của

đoạn thẳng CD

a) Tính số đo góc COD

b) Chứng minh 1

2

OI  CD và OI vuông góc với AB

c) Chứng minh : AC BD R2

d) Tìm vị trí của điểm M để tứ giác ABCD có chu vi nhỏ nhất

ĐÁP ÁN Câu 1

a) ĐKXĐ: x10,x1

2

: 10

:

:

10

P

x

x









x



b)

4 3 2 2 4 3 2 2

Vậy

 3 2 1  12

2 2 1 2

 

Câu 2

a) ĐKXĐ: x 1,y1

2

( ) 3

y

TM x

           

Vậy hệ phương trình có nghiệm    x y;  3;2

b) ĐKXĐ: 1  x 4

Đặt a x 1 4x a 0

2

a

Thay vào phương trình đã cho ta được:

2

5

3( ) 2

a

a tm

 







3( )

x tm

x tm







Vậy S  0;3

c) Gọi số cần tìm là abcd0b c d, , 9;1 a 9

Ta có:

 

5445 100 5445 99.55 99 99 55

abcd  ab abcd ab  abcd  ab cd

Vì cdlà số có 2 chữ số nên 55 00 55, 00 5500





Vậy các số cần tìm là 5500 và 5499

Câu 3

a) Ta có 2n 1;2 ;2n n 1là ba số tự nhiên liên tiếp nên 2n 1 2 2 n n 1chia hết cho 3

Mà  2 ,3n 1nên 2n 1 2 n 1chia hết cho 3

Vậy A chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n

b) Ta có: 8x8y8z8x9y10z100   x y z 12,5   x y z 12

Ta có : x  y z 11và , ,x y zdương nên x  y z 12 (1)

Ta có: 8x9y10z100 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Do , ,x y z là các số nguyên dương nên z1,y2,x9

c) Ta có   2 2

xy x  y 

Câu 4

a) Ta có

2

x xy y xy y x xy xy y

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 1 y 2xy2 y xy.2 2 2xy2

1 8

8

xy xy

Dấu " " xảy ra khi 2 1

2

y xy  x y

MaxP   x y

b) B là số chính phương, nên 4B cũng là số chính phương

Đặt 2

4Bk (k là số tự nhiên) thì 2 2  2 2

4n 4n52k  2n1 k  51

2n 1 k2n 1 k 1. 51 51. 1 17. 3 17.3

Vì n là số tự nhiên nên 2 n  1 k 2n 1 kta có các hệ phương trình:

         

         

Giải các hệ        1 , 2 , 3 , 4 ta được: n 12;n 3;n13;n4

Do n là các số tự nhiên nên n4;13

Câu 5

a) OC là tia phân giác của AOM (tính chất tia phân giác)

OD là tia phân giác của MOB (tính chất tia phân giác)

Mà AOM và MOB là hai góc kề bù OCODhay COD900

b) Tam giác COD vuông tại O có 1

2

IC IDOI  CD(đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Ta có: AC/ /BD(cùng vuông góc với AB)

Suy ra tứ giác ABCD là hình thang

OI

 là đường trung bình của hình thang OI / /ACOI AB

c) Xét tam giác COD vuông tại O có OM CD(CD là tiếp tuyến)

Áp dụng hệ thức lượng ta có OM2 MC MD hay MC MD R2

I

D

C

B O

A

M

C và D là giao của các tiếp tuyến nên CA CM DB , DM

Suy ra CA DB R2

d) Ta có : CADBCD

Hình thang ABCD có độ dài cạnh AB không đổi

Nên chu vi hình thang nhỏ nhất khi CD nhỏ nhất

CD nhỏ nhất khi CDAB

CD ABkhi CD/ /AB

/ /

CD AB khi OM AB OM, ABkhi M là điểm chính giữa của cung AB