Một số vấn đề cơ sở trong giải tích p adic

Một số vấn đề cơ sở trong giải tích p adic

CAO NGỌC DIỆP

MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ TRONG

GIẢI TÍCH P −ADIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số : 60 46 40

Giáo viên hướng dẫn:

TS HÀ TRẦN PHƯƠNG

THÁI NGUYÊN, 2012

Mở đầu 3

1.1 Không gian siêu metric và bổ sung đủ 5

1.1.1 Không gian siêu metric 5

1.1.2 Bổ sung đủ của không gian siêu metric 9

1.2 Trường các số p−adic 13

1.2.1 Một số khái niệm 13

1.2.2 Số p−adic 17

2 Hàm xác định bởi chuỗi lũy thừa 21 2.1 Chuỗi lũy thừa p−adic 21

2.2 Định lý biểu diễn Weierstrass 29

2.3 Đa giác Newton 40

Ta biết trường các số hữu tỷ Q đóng kín với các phép toán cộng, trừ,nhân, chia, tức là Q đóng kín đối với các phép toán số học Tuy nhiên,trường Q không đầy đủ vì có những dãy Cauchy không hội tụ trong Q.Điều này làm cho việc thực hiện các phép toán về giới hạn trên Q sẽ gặpnhiều khó khăn Do đó chúng ta cần phải mở rộng trường các số hữu tỷQ.

Khi mở rộng Q theo metric tự nhiên ta sẽ được tập số thực R Khi đó R

là một trường số đầy đủ, tức là mọi dãy Cauchy của R đều hội tụ trong R

Ta gọi việc mở rộng này là mở rộng theo phép toán giải tích Tuy nhiên, Rkhông đóng đại số vì đa thức bất khả quy x2 + 1 không có nghiệm trong

R Trong thực tế, ta tiếp tục mở rộng R thành trường số C sao cho đathức x2 + 1 luôn có nghiệm Việc mở rộng đơn giản nhất từ R thành Cnhờ vào việc đưa thêm một đại lượng số ảo i : i2 = −1 Ta biết C đóngvới mọi phép toán số học, đầy đủ và đóng đại số

Một vấn đề tự nhiên được đặt ra là việc mở rộng này có là duy nhấthay không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ xem xét lại quá trình mởrộng trên Việc mở rộng Q theo phép toán giải tích được tiến hành nhưsau: Đầu tiên, chúng ta trang bị cho Q một chuẩn, chính là chuẩn giá trịtuyệt đối thông thường, khi đó metric ρ(x, y) = |x − y| sinh ra trên Q mộttôpô và Q không đầy đủ với tôpô này Bổ sung đủ của Q theo tôpô cảmsinh bởi chuẩn chúng ta sẽ được R Tuy nhiên, ta biết rằng có nhiều cáchtrang bị chuẩn cho Q và sinh ra các cấu trúc tôpô khác nhau Trong Luậnvăn này chúng ta sẽ xem xét một ví dụ về bổ sung đủ của Q khác với R

và một số tính chất về giải tích trên bổ sung đủ đó

Cấu trúc luận văn gồm 2 chương:

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian siêu metric

và trường số phức p−adic Cp

Chương 2: Trình bày một số nghiên cứu về hàm sinh bởi chuỗi lũy thừa

p−adic như chuỗi lũy thừa p−adic, Định lý biểu diễn Weierstrass, Đa giácNewton

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn rất nhiệt tình, tận tâmcủa thầy Hà Trần Phương Người viết xin chân thành bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình về sự hướng dẫn chu đáo của thầy trong suốt thời gianthực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin trường ĐHKH Thái Nguyên

đã tận tình truyền đạt cho tôi kiến thức trong quá trình học tập và tạođiều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này

Cuối cùng, tôi xin dành lời cảm ơn chân thành tới tất cả những ngườithân đã luôn động viên và giúp đỡ để tôi yên tâm học tập và hoàn thiệnluận văn

Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bảnchắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Rất mong nhậnđược sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp để luận văn hoànthiện hơn

Thái Nguyên, tháng 5 năm 2012

Học viên

Cao Ngọc Diệp

Trường các số p−adic

1.1 Không gian siêu metric và bổ sung đủ

1.1.1 Không gian siêu metric

Cho X là một tập khác rỗng, trên X ta trang bị một hàm số

ρ :X × X → R(x, y) → ρ(x, y),

thoả mãn các điều kiện sau

1) ρ(x, y) > 0 ∀x, y ∈ X; ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y;

2) ρ(x, y) = ρ(y, x) ∀x, y ∈ X;

3) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) ∀x, y, z ∈ X

Khi đó, ρ được gọi là một metric hay khoảng cách trên X Và cặp (X, ρ)

gọi là một không gian metric Mỗi phần tử củaX sẽ được gọi là một điểm,

ρ(x, y) gọi là khoảng cách giữa hai điểm x và y của X Điều kiện 1 gọi làtiên đề đồng nhất, Điều kiện 2 gọi là tiên đề đối xứng, Điều kiện 3 gọi làtiên đề tam giác Nếu ρ thỏa mãn Điều kiện 1, Điều kiện 2 và Điều kiện

30 sau đây

30) ρ(x, y) 6 max{ρ(x, z), ρ(z, y)} với mọi x, y, z ∈ X

thì metric ρ được gọi là siêu metric và X được gọi là không gian siêumetric

Ví dụ Chọn X = Q (hoặc X = R); ta xác định metric trên X như sau:

ρ(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X

Dễ chứng minh được (X, ρ) là không gian metric.

Cho (X, ρ) là một không gian metric hoặc siêu metric, {xn} là một dãycác phần tử của X, ta nói {xn} hội tụ đến xo ∈ X nếu

lim

n→∞ρ(xn, xo) = 0

Khi đó ta viết lim

n→∞xn = xo, hoặc xn → xo khi n −→ ∞.xo gọi là giới hạncủa dãy {xn} Ta đã biết, sự hội tụ trong không gian metric là duy nhất.Định lý sau đây cho thấy tính chất tương tự của không gian siêu metric.Định lý 1.1 Cho (X, ρ) là một không gian siêu metric Khi đó

1) Giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất

2) Nếu lim

n→∞xn = a; lim

n→∞yn = b thì lim

n→∞ρ(xn, yn) = ρ(a, b) Tức là hàmkhoảng cách là một hàm số liên tục đối với x và y

với mọi n Từ giả thiết ta suy ra ρ(a, b) = 0, kéo theo a = b

2) Với mọi n ta đều có

gọi là hình cầu đóng tâm xo bán kính r.

Cho A ⊂ X, điểm xo ∈ A được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại

r > 0 sao cho B(xo, r) ⊂ A Hiển nhiên, theo định nghĩa, điểm trong của

A phải thuộc tập hợp A

Điểm xo ∈ X được gọi là điểm biên của tập A nếu với mọi r > 0,

B(xo, r) ∩ A 6= ∅ và B(xo, r) ∩ X\A 6= ∅ Tập hợp tất cả các điểm biêncủa A kí hiệu là δA Chú ý rằng, điểm biên của A có thể thuộc A hoặckhông thuộc A Ngoài ra, ta cũng có δA = δ(X\A)

Điểm xo ∈ X được gọi là điểm tụ của tập A nếu với mọi r > 0, hìnhcầu B(xo, r) luôn chứa vô số điểm của A Điểm tụ của A có thể thuộc A

hoặc không thuộc A Tập các điểm tụ của A kí hiệu là Ad Có thể thấy

x ∈ Ad khi và chỉ khi với mọi r > 0, hình cầu B(xo, r) chứa ít nhất mộtđiểm của A

Tập hợp A\Ad được gọi tập các điểm cô lập của A Như vậy, x ∈ A làmột điểm cô lập của A nếu tồn tại r > 0 sao cho

B(x, r) ∩ (A\{x}) = ∅

Cho (X, ρ), tập A ⊂ X được gọi là tập mở nếu mỗi điểm của A đều làđiểm trong của A Tập A trong không gian metric X được gọi là tập đóngnếu phần bù của nó CXA = X\A là tập mở

Dễ thấy X và tập rỗng là những tập mở Hình cầu mở B(xo, r) là mộttập mở, vì với mọi x ∈ B(xo, r) luôn tồn tại r1 = r − ρ(xo, x) > 0 sao cho

B(x, r1) ⊂ B(xo, r), tức là mọi điểm của B(xo, r) đều là điểm trong Hiểnnhiên X, ∅ là những tập đóng, dễ chứng minh được hình cầu đóng là tậpđóng

Định lý 1.2 Trong không gian siêu metric X ta luôn có

1) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là tập mở

2) Giao của một số hữu hạn các tập mở là mở

Chứng minh 1) Giả sử {Us}s∈S là một họ tuỳ ý các tập mở trong X Đặt

U = ∪s∈SUs, giả sử xo ∈ U tuỳ ý, khi đó xo phải thuộc một tập Us nào

đó trong họ Do Us mở nên tồn tại một hình cầu B(xo, r) ⊂ Us ⊂ U, suy

ra xo là điểm trong của U, tức là U là tập mở

2) Giả sử U1, , Un là những tập mở Đặt V = ∩ni=1Ui Giả sử xo ∈ V

tuỳ ý, khi đó xo ∈ Ui ∀i = 1, , n Do Ui, i = 1, , n, là những tập

mở nên tồn tại các số ri > 0 sao cho B(xo, ri) ⊂ Ui với mỗi i = 1, , n.Chọn r = min{r1, , rn}, khi đó B(xo, r) ⊂ Ui, ∀i = 1, , n, nên

B(xo, r) ⊂ ∩ni=1Ui Kéo theo V mở

Định lý 1.3 Trong không gian siêu metric X ta luôn có

1) Giao của họ tuỳ ý các tập đóng là đóng;

2) Hợp của một số hữu hạn các tập đóng là đóng

Bây giờ chúng ta đề cập đến hai tính chất hình học đặc trưng trongkhông gian siêu metric Các tính chất này tương đối khác lạ với tính chấthình học của không gian metric thông thường Dựa vào tính chất của siêumetric ta có:

Mệnh đề 1.4 Trong không gian siêu metric X ta luôn có:

1) Mọi tam giác đều cân

2) Mọi điểm trong hình cầu đóng hay mở trong không gian siêu metricđều là tâm của mặt cầu

Chứng minh 1) Giả sử x, y, z là ba điểm thuộc không gian X, không mấttính tổng quát ta giả thiết ρ(x, y) > ρ(x, z) Khi đó

ρ(x, y) ≤ max{ρ(x, z), ρ(z, y)} = ρ(z, y)

và

ρ(z, y) ≤ max{ρ(x, z), ρ(x, y)} = ρ(x, y)

Do đó ρ(z, y) = ρ(x, y).

2) Với mỗi điểmbnằm trong hình cầuB(a, r)vàz ∈ X sao choρ(a, z) = r

Hiển nhiên

ρ(a, b) < r = ρ(a, z)

nên từ nhận xét trên suy ra ρ(b, z) = ρ(a, z) = r Điều này kéo theo b

cũng là tâm của hình cầu

Mệnh đề 1.5 Cho X là một không gian siêu metric, B(a, r1), B(b, r2)

là hai hình cầu trong X Khi đó một trong hai điều sau đây xảy ra:

1) B(a, r1) ⊂ B(b, r2) hoặc B(b, r2) ⊂ B(a, r1);

1.1.2 Bổ sung đủ của không gian siêu metric

Giả sử (X, ρ) là một không gian metric hoặc siêu metric Dãy {xn} cácphần tử của X được gọi là một dãy Cauchy (hay dãy cơ bản) nếu

∀ε > 0, tồn tại một số no ∈ N∗, ∀n > no ta luôn có ρ(xn, xo) < ε/2 Suy

ra, khi m, n > no,

ρ(xn, xm) 6 ρ(xn, xo) + ρ(xo, xm) < ε

Như vậy {xn} là một dãy Cauchy

Tuy nhiên điều ngược lại chưa chắc đúng Ví dụ, Q với metric ρ(x, y) =

|x − y|; x, y ∈ Q là một không gian metric Dễ thấy dãy

{xn = 1 + 1

n

n

}∞n=1

là một dãy Cauchy trong Q nhưng không hội tụ trong Q

Không gian metric hoặc siêu metric X gọi là không gian đầy đủ nếu mọidãy Cauchy các phần tử của X đều hội tụ

Dễ thấy Q không phải là không gian metric đầy đủ, nhưng R,C với

metric tự nhiên, là các không gian metric đầy đủ

Định lý 1.6 Giả sử (X, ρ) là một không gian siêu metric không đầy đủ.Khi đó tồn tại một không gian siêu metric đầy đủ (X,b ρ)b sao cho

1) X đẳng cự với một không gian con X1 của bX,

n→∞ρ(xn, yn) = 0 Ta có thể kiểm tra được một cách dễ dàng quan hệ trên

là quan hệ tương đương Gọi bX là tập hợp tất cả các lớp tương đương, tức

Vì {xn}; {yn} là hai dãy Cauchy nên từ bất đẳng thức trên ta suy ra

{ρ(xn, yn)} là một dãy Cauchy trong R, nên tồn tại lim

n→∞ρ(xn, yn) > 0.Ngoài ra ta cũng thấy rằng lim

n→∞ρ(xn, yn) không phụ thuộc vào việc chọndãy Cauchy{xn}; {yn}trongx,b ybtương ứng Vì nếu {x0n}; {yn0}là hai phần

tử của bx,ybtương ứng, thì lý luận như trên ta cũng có

ρ là một siêu metric trên bX

Tiếp theo ta sẽ chứng minh

a) X đẳng cự với một không gian con X1 nào đó của bX,

ϕ :X → Xb

x 7→ ϕ(x) = xb

là một phép đẳng cự Đặt X1 = ϕ(X) Hiển nhiên X1 là một không giancon của bX và X đẳng cự với X1.

b) Giả sử xb là một phần tử bất kỳ của bX và ε là một số dương tuỳ ý.Gọi {xn} là một phần tử của bx Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho ∀m, n > no

ta có ρ(xn, xm) < ε Gọi xbno là phần tử của X1 chứa dãy {xno, xno, },khi đó

b

ρ(x,b bxno) = lim

n→∞ρ(xn, xno) 6 ε

Như vậy X1 trù mật trong bX

c) Giả sử {xbn} là một dãy Cauchy trong bX VìX1 trù mật trong bX nênvới mỗi n tồn tại một phần tử ybn ∈ X1 sao cho ρ(b xbn,ybn) < 1

m→∞ρ(xm, xn) 6 ε

2 ∀n > no, tức làb

ρ(x,b ybn) 6 ε

2 ∀n > no (2)Chọn no đủ lớn sao cho 1

2 = ε ∀n> no

Do vậy lim

n→∞xbn = x.b Tức là bX là không gian đầy đủ

Không gian đầy đủ bX trong Định lý 1.4 được gọi là không gian bổ sung

đủ của không gian siêu metric X

Định lý 1.7 Không gian bổ sung đủ của một không gian siêu metric làduy nhất, sai khác một đẳng cự Tức là, nếu ta đồng nhất các không giansiêu metric đẳng cự thì bổ sung đủ của một không gian siêu metric là duynhất

Chứng minh Giả sử (Y ,b ρb1) là cũng là một không gian bổ sung đủ củakhông gian (X, ρ), tức là X đẳng cự với một không gian con trù mật Y1

n→∞ψ(xbn) =y.b Dễ thấy ybchỉ phụ thuộc vào xb chứkhông phụ thuộc vào cách chọn dãy {xbn}

Đặt Φ(x) =b yb, ta được một ánh xạ từ bX vào bY Do cách xây dựng Φ

nênΦ là một song ánh Giả sửxb1,xb2 ∈ Xb và{x1

n}; {x2

n} là hai dãy phần tửcủa X1 sao cho lim

n→∞xb1n = bx1; lim

n→∞xb2n = bx2 Đặt yb1 = Φ(xb1); yb2 = Φ(xb2).Khi đó

Ta kí hiệu trường các số phức, thực và hữu tỷ là C, R và Q tương ứng

và kí hiệu Z là vành các số nguyên Với K là một trường con của R, ta kí

K+ = {x ∈ K : x > 0}, K+ = {x ∈ K : x > 0}

Với a, b ∈ K, a 6 b, ta viết

K[a, b] = {x ∈ K : a 6 x 6 b}

Cho K là một trường, kí hiệu nhóm nhân K− {0} bởi K∗

Định nghĩa 1.8 Một giá trị tuyệt đối trên K là một hàm

Nếu giá trị tuyệt đối này thoả mãn thêm điều kiện

4) |x + y| 6 max{|x|, |y|} với mọi x, y ∈K

thì được gọi là giá trị tuyệt đối không Acsimet Ngược lại, ta gọi là giá trịtuyệt đối Acsimet

Nếu |.| là không Acsimet, thì trong thực tế ta có:

|x + y| = max{|x|, |y|} nếu |x| 6= |y|

Cho K là một trường đã trang bị giá trị tuyệt đối |.|, giá trị tuyệt đối

|.| được gọi là tầm thường nếu:

Định lý 1.9 (Các điều kiện về giá trị tuyệt đối tương đương) Cho K làmột trường | · |1, | · |2 là hai giá trị tuyệt đối trên K Khi đó các điều kiệnsau là tương đương:

với logp là hàm logarit thực cơ số p, được gọi là hàm giá trị liên kết củagiá trị tuyệt đối |.| Dễ thấy vp có tính chất cộng tính Nếu chọn p = eα

(α > 0), khi đó ve = αvp Theo Mệnh đề 1.9, ta có

Mệnh đề 1.11 Cho K là một trường có hai giá trị tuyệt đối tương ứngvới hai hàm giá trị liên kết v và w Hai giá trị tuyệt đối đó là tương đươngnếu và chỉ nếu tồn tại α > 0 sao cho v = αw

Trong trường hợp không Acsimet ta có:

Mệnh đề 1.12 Một giá trị tuyệt đối |.|p trên trường K là không Acsimetnếu và chỉ nếu hàm giá trị liên kết vp (với p > 1) của nó thoả mãn điềukiện:

1) vp(x) = +∞ khi và chỉ khi x = 0;

2) vp(xy) = vp(x) + vp(y) với mọi x, y ∈ K;3) vp(x + y) > min{vp(x), vp(y)} với mọi x, y ∈ K

Bây giờ ta mô tả thêm một tính chất khác của giá trị tuyệt đối khôngAcsimet Cho K là một trường, xét ánh xạ φ : Z →K xác định bởi

Trong trường hợp này ta có

y ∈ K[x; r] ⇒K(y; r) ⊂K[y; r] =K[x; r];

y ∈ Khx; ri ⇒K(y; r) ⊂Khx; ri

Điều này suy ra các tập K[x; r],K(x; r) và Khx; ri là vừa mở, vừa đóng

Dễ nhận thấy, giá trị tuyệt đối không Acsimet cảm sinh khoảng cách siêumetric

Dễ dàng chứng minh được hàm vp trên Q thoả mãn điều kiện trong Mệnh

đề 1.12, và được gọi là giá trị p−adic trên Q Nó có tính chất sau:

Chứng minh Hiển nhiên với mọi x ∈ Q ta có |x|p > 0 và

|x|p = 0 ⇔ x = 0

Hơn nữa với mọi x, y ∈ Q Ta xét các khả năng: nếu x = 0 hoặc y = 0

thì x.y = 0 kéo theo |x.y|p = 0 = |x|p.|y|p Nếu x 6= 0 và y 6= 0, thì

x = pvp (x).x0; y = pvp (y).y0 với x0, y0 có tử và mẫu không chia hết cho p Tathấy x.y = pvp (x)+vp(y).x0.y0 và hiển nhiên x0.y0 cũng có tử và mẫu khôngchia hết cho p Suy ra

|x.y|p = p−(vp (x)+v p (y)) = p−vp (x).p−vp (y) = |x|p.|y|p

Ngoài ra, với mọi x, y ∈Q giả sử x = pvp (x).x0; y = pvp (y).y0 với x0, y0 có

tử và mẫu không chia hết cho p Đặt vo = min(vp(x), vp(y)) Khi đó:

x + y = pvp (x).x0 + pvp (y).y0 = pvo(pvp (x)−v o.x0 + pvp (y)−v o.y0)

Từ đó |x + y|p 6 p−vo = max{p−vp (x), p−vp (y)} = max{|x|p, |y|p} Như vậygiá trị tuyệt đối |.|p là không Acsimet

Định nghĩa 1.15 Giá trị tuyệt đối |.|p trên Q xác định như trên được gọi

là giá trị tuyệt đối p−adic

Ta kí hiệu |.|∞ là giá trị tuyệt đối thông thường trên Q Định lý sau đâycho thấy một tính chất về các giá trị tuyệt đối trên Q

Định lý 1.16 (Định lý Ostrowski) Mọi giá trị tuyệt đối không tầm thường

|.| trên Q đều tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường hoặc |.|p với

trong đó p 6 ∞ nghĩa là chúng ta lấy tích của các giá trị tuyệt đối |.|p

trên tất cả các số nguyên tố p của Q và cả |.|∞

Chứng minh Giả sử x > 0 và x = m

n là một biểu diễn tối giản của x

(x < 0 ta chứng minh tương tự), với m, n là các số nguyên tố cùng nhau.Giả sử m = pα1

1 pα2

2 pαk

k trong đó p1, p2, , pk là các số nguyên tố nhỏhơn hoặc bằng m, tương tự n = qβ1

Công thức được chứng minh

Với một số nguyên tố p, bổ sung đủ của Q theo tôpô sinh bởi theo giátrị tuyệt đối |.|p là một trường kí hiệu là Qp, giá trị tuyệt đối |.|p trên Qp

được mở rộng theo kỹ thuật chuẩn từ giá trị tuyệt đối |.|p trên Q thỏamãn:

(1) Tồn tại một phép nhúng Q ,→ Qp và giá trị tuyệt đối |.|p trên Qp

nhận được bằng cách mở rộng giá trị tuyệt đối |.|p trên Q;

(2) Q trù mật trong Qp;

(3) Qp là đầy đủ

Trường Qp thỏa mãn ba điều kiện trên tồn tại một cách duy nhất, saikhác một phép đẳng cự, được gọi là trường các sốp−adic Nó cũng có tínhchất:

(4) Với mỗi x ∈ Qp∗, tồn tại một số nguyên vp(x) sao cho|x|p = p−vp (x),tức là hàm giá trị liên kết vp trên Q được mở rộng lên Qp Nói cách khác

tập các giá trị tuyệt đối của Q và Qp là như nhau dưới hàm |.|p, nó chính

Điều này kéo theo Zp là compact, như thế Qp compact địa phương

Bao đóng đại số của Qp kí hiệu là Qp, giá trị tuyệt đối trên Qp được mởrộng từ giá trị tuyệt đối |.|p trên Qp và cũng kí hiệu là |.|p Chú ý rằng Qp

không đầy đủ Trường bổ sung đủ của Qp theo tôpô cảm sinh bởi giá trịtuyệt đối |.|p, kí hiệu là Cp Như vậy:

(1) Tồn tại một phép nhúng Qp ,→ Cp và giá trị tuyệt đối |.|p trên Cp

nhận được bằng cách mở rộng giá trị tuyệt đối |.|p trên Qp Ta đồng nhất

Qp với ảnh của nó trong Cp (dưới ánh xạ nhúng);

Hàm xác định bởi chuỗi lũy thừa

2.1 Chuỗi lũy thừa p−adic

Cố định một số nguyên tố p Trong phần này, để cho đơn giản ta luôn

kí hiệu |.| thay cho |.|p trên Cp

Định nghĩa 2.1 Cho U ⊂ Cp là tập mở Hàm f : U → Cp được gọi

là liên tục tại z0 ∈ U nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi

Mệnh đề 2.2 Dãy {an} trong Cp là dãy Cauchy nếu và chỉ nếu nó thoảmãn

Ngược lại, với mỗi m = n + k > n ta có

|am − an| = |(an+k − an+k−1) + (an+k−1− an+k−2) + · · · + (an+1 − an)|

6 max{|an+k − an+k−1|, |an+k−1− an+k−2|, , |an+1− an|}

Từ bất đẳng thức này suy ra nếu lim

n−→∞|an+1 − an| = 0 thì {an} là dãyCauchy

Hệ quả 2.3 Chuỗi vô hạn

Mệnh đề 2.4 Cho bjn ∈ Cp và giả sử rằng

1) lim

n−>∞bjn = 0 với mọi j;

2) lim

j−>∞bjn = 0 hội tụ đều theo n

Khi đó cả hai chuỗi

Bây giờ ta xem xét chuỗi luỹ thừa p−adic

2) Hàm µ(r, f ) liên tục theo r

3) Với mỗi r, chỉ số trung tâm ν(r, f ) luôn tồn tại hữu hạn và là một

số nguyên không âm Theo định nghĩa ta có

ν(t, f ) − ν(0, f )

t dt+ ν(0, f ) log r, (0 < r < ρ) (2.3)trong đó log là kí hiệu logarit thực cơ số e

Chứng minh Lấy 0 < r1 < r2 < ρ và đặt ν1 = ν(r1, f ) Ta sẽ chứng minh