Các sóng nhỏ với dải tần số bị chặn

Các sóng nhỏ với dải tần số bị chặn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THU

CÁC SÓNG NHỎ VỚI DẢI TẦN SỐ BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - Năm 2011

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN THỊ THU

CÁC SÓNG NHỎ VỚI DẢI TẦN SỐ BỊ CHẶN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS HÀ TIẾN NGOẠN

Thái Nguyên - Năm 2011

Mục lục

1.1 Không gian Hilbert 4

1.1.1 Định nghĩa và các ví dụ 4

1.1.2 Phép chiếu trực giao và cơ sở trực chuẩn 7

1.1.3 Không gian L2(R) 10

1.2 Biến đổi Fourier trong L2(R) 11

1.2.1 Định nghĩa 11

1.2.2 Một số tính chất 11

2 Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 13 2.1 Khái niệm sóng nhỏ trực chuẩn trong L2(R) 13

2.2 Tính trực chuẩn của sóng nhỏ 14

2.3 Tính đầy đủ của sóng nhỏ 18

3 Đặc trưng một vài sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27 3.1 Điều kiện cần và đủ của sóng nhỏ với dải tần số bị chặn 27

3.2 Một số ví dụ 36

Mở đầu

Trong những năm gần đây, lý thuyết về sóng nhỏ (wavelet) đượcrất nhiều các nhà khoa học đi sâu vào nghiên cứu bởi sự thú vị và tínhứng dụng lớn của nó trong thực tế Hơn nữa nó còn là cây cầu nối với cácngành khoa học khác như: Sinh học, Vật lý, Tin học, Người ta có thể ứngdụng lý thuyết về phép biến đổi sóng nhỏ trong xử lý ảnh, nén tín hiệuvideo, hay ứng dụng của sóng nhỏ vào trong kỹ thuật phân tích tín hiệuđiện tim, các dịch vụ dữ liệu đa phương tiện di động, và nhiều ứng dụngthực tế khác

Chính vì vậy việc xây dựng sóng nhỏ có vai trò rất quan trọng trong

lý thuyết và ứng dụng thực tế, trong đó thì sóng nhỏ có dải tần số bị chặn(band-limited wavelet) là loại được dùng nhiều hơn cả

Một hàm f ∈ L2(R) được gọi là có dải tần số bị chặn nếu giá của fˆ

chứa trong một khoảng hữu hạn (biến đổi Fourier của nó có giá compact),trong đó giá của fˆlà suppfˆ={ξ; ˆf (ξ) 6= 0} Nội dung chính dựa chủ yếutrên tài liệu [7], luận văn này sẽ trình bày một cách hệ thống các sóng nhỏ

có dải tần số bị chặn trong không gian L2(R), mô tả đầy đủ các tính chấtđặc trưng và phương pháp để xác định chúng

Luận văn gồm có phần Mở đầu, 3 chương tiếp theo và phần kết luận.Chương 1: Trình bày kiến thức bổ xung, hỗ trợ cho nghiên cứu nộidung chính về sóng nhỏ có dải tần số bị chặn trong chương 2 và 3, baogồm một số khái niệm cơ bản về cơ sở trực chuẩn, phép chiếu trực giao,biến đổi Fourier trong không gian Hilbert, đặc biệt là không gian L2(R).Chương 2: Trình bày các định lý về điều kiện cần và đủ cho tính trực

chuẩn và tính đầy đủ của cơ sở sóng nhỏ mà được sinh ra bởi một hàmsóng mẹ bằng các phép toán dịch chuyển và co dãn Một tính chất đặcbiệt của loại sóng nhỏ này là biến đổi Fourier của nó không những có giácompact mà còn bằng không trong một lân cận nào đó của gốc tọa độ.Chương 3: Trình bày phương pháp cụ thể để xây dựng một hàm sóngnhỏ có dải tần số bị chặn Cụ thể là những sóng nhỏ trực chuẩn mà biếnđổi Fourier của nó có giá chứa trong [−83π,83π] cùng với một số ví dụ điểnhình.

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại họcThái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Tác giả xinbày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy về sự tận tình hướngdẫn trong suốt thời gian tác giả làm luận văn

Trong quá trình học tập và làm luận văn, thông qua các bài giảng vàxêmina, tác giả thường xuyên nhận được sự quan tâm giúp đỡ và đóng gópnhững ý kiến quý báu của các giáo sư trong Viện Toán học thuộc ViệnKhoa học và Công nghệ Việt Nam cùng các thầy cô giáo trong trường Đạihọc Khoa học - Đại học Thái Nguyên Từ đáy lòng mình, tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy các cô

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô, Ban Giám hiệu Nhàtrường, Ban chấp hành Đoàn, phòng Đào tạo Khoa học và Quan hệ Quốc

tế, Khoa Toán - Tin Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đãquan tâm và giúp đỡ tác giả trong thời gian học tập và làm luận văn caohọc

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp

đã luôn theo sát, động viên tác giả vượt qua những khó khăn để có đượcđiều kiện tốt nhất khi học tập và nghiên cứu

Mặc dù đã hết sức cố gắng, nhưng chắc chắn luận văn không thể tránhkhỏi thiếu sót Vì vậy tác giả rất mong được sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy

cô, bạn bè đồng nghiệp và các độc giả quan tâm

Xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, 20 tháng 10 năm 2011.

Tác giả

Nguyễn Thị Thu

Nhận xét 1.2 Tích vô hướng h., i thoả mãn các điều kiện:

Định nghĩa sơ chuẩn

Một sơ chuẩn trên không gian tuyến tính X là một ánh xạ p : X → R

thỏa mãn:

Nhận xét:

+ Nếu p là sơ chuẩn, thì p(0) = 0

Định nghĩa nửa chuẩn

Một nửa chuẩn trên không gian tuyến tínhX là một ánh xạp : X → R

thỏa mãn:

Nhận xét:

1) p là nửa chuẩn ⇒ p là sơ chuẩn

2) Nếu p là một nửa chuẩn trên X, thì

p(x) ≥ 0

Mệnh đề 1.2 Giả sử hx, yi là một dạng song tuyến tính đối xứng dươngtrong không gian tuyến tính X Khi đó p(x) = hx, xi1/2 là một nửa chuẩntrong X

Nhận xét 1.3 Không gian tiền Hilbert X là một không gian địnhchuẩn với chuẩn:

Thật vậy theo Mệnh đề 1.2 hx, xi1/2 là một nửa chuẩn Vì h., i là tích

vô hướng nên hx, xi = 0 ⇔ x = 0 Điều này tương đương với kxk = 0 ⇔

không gian định chuẩn áp dụng được cho không gian tiền Hilbert

Mệnh đề 1.3 Giả sử X là không gian tiền Hilbert, các dãy {xn} và {yn}

hội tụ đến x và y trong X Khi đó,

Khi đó, Rn là một không gian Hilbert.

Ví dụ 1.2 Trong L2[a, b], ta xét tích vô hướng:

hx, yi =

Z b a

x(t)y(t)dt (x(t), y(t) ∈ L2[a, b])

Khi đó,

Z b a

|x(t)|2dt

1/2

(1.3)Không gianL2[a, b] với chuẩn (1.3) là đầy đủ, do đó là không gian Hilbert

Ví dụ 1.3 Trong không gian l2, ta đưa vào tích vô hướng

Không gian l2 đầy đủ đối với chuẩn đó Vậy l2 là không gian Hilbert

A: Phép chiếu trực giao

Định nghĩa 1.5 Giả sử X là không gian tiền Hilbert, khi đó:

a) Hai vectơ x, y ∈ X được gọi là trực giao, nếu hx, yi = 0;

ký hiệu : x⊥y

b) Hệ S ⊂ X được gọi là một hệ trực giao, nếu các vectơ của S trựcgiao với nhau từng đôi một

Định nghĩa 1.6 Giả sử H là không gian Hilbert Toán tử tuyến tính liên

Như vậy 1H − p cũng là toán tử chiếu trực giao

(d) kerp=im(1H − p) và imp=ker(1H − p) Thật vậy, giả sử x ∈kerp

suy ra x = x − px = (1H − p)x ∈im(1H − p)

Ngược lại, giả sử y = x − px suy ra py = px − p(px) = px − px = 0,

và do đó y ∈im(1H − p) Đổi vai trò giữa p và (1H − p) ta được đẳng thứcthứ hai

Định nghĩa 1.7 Giả sử M, N ⊂ H là các không gian con của H Ta nói

M trực giao với N và viết M ⊥N nếu

Rõ ràng nếu M ⊥N thì N ⊥M Với M ⊂ H tùy ý, đặt

và gọi là phần bù trực giao của M

Định lí 1.1 (về sự tồn tại của phép chiếu trực giao)

Giả sử G là không gian con đóng của không gian Hilbert H Khi đótồn tại phép chiếu trực giao từ H lên G

B: Cơ sở trực chuẩn

Định nghĩa 1.8 Hệ S ⊂ X được gọi là một hệ trực chuẩn nếu S là một

hệ trực giao và mọi x ∈ S có kxk = 1

Định nghĩa 1.9 Giả sử {ei}i∈I là hệ các vectơ trong không gian Hilbert

H Ta nói {ei}i∈I là hệ đầy đủ nếu x⊥ei với mọi i ∈ I thì x = 0

Định nghĩa 1.10 Hệ {ei}i∈I được gọi là cơ sở trực giao nếu nó là hệ trựcgiao và đầy đủ Ngoài ra nếu keik = 1 với mọi i ∈ I thì cơ sở trực giaonày gọi là cơ sở trực chuẩn

gọi là không gian L2(R).

Hay còn được viết dưới dạng:

Trong không gian L2(R) thì:

Tích vô hướng của hai véc tơ f và g, kí hiệu hf, gi, được xác định bởi

iii) Để {ϕj} là cơ sở trực chuẩn ⇔ ∀f ta có (∗) hoặc (∗∗).

trong đó x được gọi là biến thời gian và ξ được gọi là biến tần số

Biến đổi ngược Fourier là:

với mọi f, g ∈ L2(R) và f0g, f g0 ∈ L1(R) Trong trường hợp f, g, f0, g0 ∈

L2(R), bằng cách sử dụng (1.5) và (1.6) ta cũng suy ra được điều phảichứng minh

Biến đổi Fourier là một song ánh từ L2(R) lên L2(R)

Chương 2

Sóng nhỏ với dải tần số bị chặn

Định nghĩa 2.1 Một sóng nhỏ trực chuẩn trongL2(R) là một hàmψ(x) ∈

L2(R) sao cho hệ các hàm số {ψj,k(x) : j, k ∈ Z} là cơ sở trực chuẩn của

|ˆg (µ + 2`π)|2eikµdµ

2π

Z 2π 0

Thực hiện phép đổi biến, ta có: hψj,k, ψj,`i = hψ0,k, ψ0,`i

Suy ra hệ {ψj,k : k ∈ Z} là trực chuẩn với mỗi j cố định khi thỏa mãn(2.1)

Nếu j > n thì với việc đổi biến x = 2−n(y + k), ta suy ra được:

hψj,k, ψn,mi = hψ`,p, ψ0,0i

với ` = j − n và p = k − 2j−nm Đổi vai trò ta thấy tính trực giao giữa

ψj,k và ψn,m (với j > n; k, m ∈ Z) có thể quy về tính trực giao giữa ψj,k

ˆ

ψ 2jξ
ψ (ξ)eˆ ikξdξ

=

Z 2π 0

(X

với hầu hết ξ trên R và j > 1

Vì vậy (2.1) và (2.2) là điều kiện cần và đủ để hệ {ψj,k : j, k ∈ Z} là trựcchuẩn

Ta nhận thấy rằng hai chuỗi (2.1) và (2.2) là hội tụ với hầu hết ξ ∈R.

Thật vậy, nếu ta định nghĩa:

R

ˆ

ψ 2jξ

R

ˆ

ψ (ξ)

2

dξ

dần tới 0 khi M → ∞ Một áp dụng của Bổ đề Fatou khi cho M → +∞

chỉ ra rằng đẳng thức trên là đúng với hầu hết ξ ∈ I khi thay M = +∞

Từ đó suy ra (2.7)



Mục đích tiếp theo của chúng ta là chỉ ra rằng ψˆ có giá "cách xa" gốc

tọa độ khi ψ là một sóng nhỏ có dải tần số bị chặn và sao cho | ˆψ| liên tụctại 0

Giả sử rằng ψ có dải tần số bị chặn và | ˆψ| liên tục tại 0

Giả sử {ψj,k : j, k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn trong L2(R) Vì ψ⊥Wj với

X

k∈Z

ˆ

Nhắc lại rằng supp( ˆψ) ⊂ −2Jπ, 2Jπ
Do đó điểm ξ + 2j+1kπ nằm ngoàigiá của ψˆ khi k 6= 0, ξ ∈ supp( ˆ , j > J

Vì vậy công thức trên được quy về

ˆ

ψ (ξ) ˆψ (2−jξ) = 0 hầu hết trên supp( ˆ , khi j > J

Nhưng đẳng thức vẫn đúng nếu ξ /∈ supp( ˆ , nên | ˆψ (ξ) ˆψ 2−jξ
| = 0

với mọi ξ ∈ R khi j > J Cho j → ∞ và sử dụng tính liên tục của | ˆψ| tại

0, ta được:

| ˆψ(ξ) ˆψ(0)| = 0 ∀ξ ∈R.

Vì ψˆ không đồng nhất 0 nên suy ra ψ(0) = 0ˆ .

Chúng ta tổng kết được kết quả này trong mệnh đề tiếp theo sau đây:Mệnh đề 2.1 Nếu ψ là một hàm có dải tần số bị chặn, | ˆψ| liên tục tại 0

và {ψj,k : j, k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn, thì ψ(0) = 0ˆ .

Nếu thêm vào điều kiện ψ là một sóng nhỏ trực chuẩn ta có đượckết quả lớn hơn, đó là:

Định lí 2.4 Nếu ψ là một sóng nhỏ trực chuẩn có dải tần số bị chặn saocho | ˆψ| liên tục tại 0, thì ψ = 0ˆ hầu khắp nơi trong một lân cận mở của

gốc tọa độ

Chứng minh

Ta lại giả sử rằng supp ( ˆψ) ⊂ −2Jπ, 2Jπ
Như đã chỉ ra trong chứngminh của Mệnh đề 2.1 thì

Điều này chỉ ra rằng khi|j| > J, ψ(2ˆ jξ) = 0 với hầu hết ξ ∈ supp( ˆ (khi

j > J ta có thể đặt η = 2jξ và có được | ˆψ 2jξ
ψ (η)| = 0ˆ hầu hết trênR)

Đẳng thức trong Định lý 2.3 trở thành:

X

|j|6J

| ˆψ 2jξ
|2 = 1 với hầu hết ξ ∈ supp( ˆψ)

Vì không có quá 2J − 1 số hạng trong tổng trên nên với mỗi số hạng đóphải tồn tại j0 ∈ (−J, J) ∩Z sao cho

| ˆψ 2j0ξ
|>



12J − 1

12

với hầu hết ξ ∈ supp( ˆψ)

Theo Mệnh đề 2.1 và tính liên tục của | ˆψ| tại 0, ∃ ε > 0 sao cho

| ˆψ (µ)| 6 1

2



12J − 1

Định lí 2.5 Nếu ψ là một sóng nhỏ trực chuẩn có dải tần số bị chặn saocho | ˆψ| liên tục tại 0, thì với mỗi số nguyên lẻ q ta có

Vì vậy tồn tại một số hữu hạn các giá trị dạng v = 2jk xuất hiện trongcác số hạng khác không Khi k 6= 0thì chúng có dạng duy nhất là v = 2pq

với hữu hạn các số p, q ∈ Z, p> j và q là số lẻ Vì vậy

là một hệ trực chuẩn thỏa mãn (2.7) và (2.8) Khi đó ψ là một sóng nhỏtrực chuẩn.

Chứng minh

Ta cần chỉ ra rằng P

j∈Z

(Qjf )∧(ξ) = ˆf (ξ) hầu khắp nơi trên R với mọi

f ∈ L2(R), trong đó Qj là phép chiếu trực giao vào Wj (xem (2.4)) Theophần (B) của Định lý 2.2 ta có thể viết:

(Qjf )∧(ξ) = ˆf (ξ) | ˆψ 2−jξ
|2+ ˆψ 2−jξ
X

k6=0

ˆ

f ξ + 2j+1kπ
ψ (2ˆ −jξ + 2kπ)

Với j cố định và k 6= 0 ta có thể viết 2jk = 2j2pq = 2nq với p > 0 và

của gốc, nên khi cộng theo chỉ số j các biểu thức này ta có thể hoán vịthứ tự của phép lấy tổng đó Do đó sử dụng (2.2) ta được

cuối cùng trùng với vế trái của (2.8) mà ta đã giả sử bằng không Vì vậyP

j∈Z

(Qjf )∧(ξ) = ˆf (ξ) hầu khắp nơi trên R, nó chỉ ra tính đầy đủ của hệ

Chúng ta sẽ tóm tắt các kết quả ở trên bằng định lý sau:

Định lí 2.7 Giả sử ψ ∈ L2(R) là một hàm có dải tần số bị chặn sao cho

ˆ

ψ bằng không trong một lân cận của gốc tọa độ và {ψi,k : j, k ∈ Z} là một

hệ trực chuẩn Khi đó hệ này là đầy đủ nếu và chỉ nếu

Nhận thấy rằng để có điều kiện cần chúng ta đã giả thiết tính liên tụccủa | ˆψ| tại gốc tọa độ Song để có điều kiện đủ ta phải giả thiết rằng ψˆ

hầu hết bằng không trong mọi lân cận của gốc tọa độ Đó là do phươngpháp chứng minh và người ta có thể loại bỏ được điều kiện chặt hơn này.Chú ý 1: Độ dài của khoảng quanh gốc tọa độ mà nói tới trong Định

lý 2.4 có thể nhỏ tùy ý Thật vậy, với ε > 0 người ta có thể xây dựng đượcmột hàm sóng nhỏ ψ có dải tần số bị chặn sao cho ψˆliên tục tại 0, | ˆψ| và

ˆ

ψ không đồng nhất 0 trên (−ε, ε) (tất nhiên ψˆ là đồng nhất 0 trong một

khoảng nhỏ hơn trong Định lý 2.4)

Ta sẽ thấy rằng trên đoạn 23π,43π có thể chọn b(ξ) = | ˆψ(ξ)| là một hàm

đo được tùy ý sao cho 0 6 b (ξ) 6 1 hầu khắp nơi Đối với những điểmkhác của K, thì b được xác định bởi giá trị của nó trên 23π,43π Ta sẽ chỉ

ra rằng bất kỳ hàm sóng nhỏ ψ mà có supp( ˆ chứa trong [−83π,83π] phảithỏa mãn

ˆ

Chương này sẽ cung cấp cho chúng ta những ví dụ áp dụng của một vàikết quả được thiết lập trong 2.2 và 2.3 của Chương 2

Định lí 3.1 Giả sử ψ ∈ L2(R) và b(ξ) = | ˆψ(ξ)| có giá chứa trong

[−83π, −23π] ∪ [23π,83π] Khi đó ψ là một sóng nhỏ trực chuẩn nếu và chỉnếu các điều kiện sau được thỏa mãn

Định lí 2.5 Nếu ψ sóng nhỏ trực chuẩn có dải tần số bị chặn saocho | ˆψ| liên tục 0, với số ngun lẻ q ta có

Vì tồn số hữu hạn giá trị dạng v = 2jk xuất trongcác số hạng khác khơng... hàm (2.1) và(2.2) Do hồn tồn đặc trưng cho sóng nhỏ trực chuẩn.Chúng ta bắt đầu việc số kết cần thiết Nếu ψ mộtsóng nhỏ có dải tần số bị chặn, ta ln tìm số ngun J cho:

mãn

Bổ đề 2.1... tất số hạng bằngkhông, trừ số hạng tương ứng với k = Vậy Bổ đề chứng minhtrong trường hợp −j J Chú ý điều kiện I ∩ [−π, π] = ∅ chưa

Định lí 2.3 Nếu ψ sóng nhỏ trực chuẩn có tần số bị chặn,