Chủ đề 5 phương trình bậc hai

Giải phương trình, phương trình bậc hai, định lí vi et và ứng dụng, bài tập về dấu các nghiệm, tìm tham số để thỏa mãn điều kiện cho trước, hai nghiệm phân biệt, nghiệm trái dấu, cùng dấu, vô nghiệm, nghiệm dương phân biệt, nghiệm thỏa mãn hệ thức cho trước, nghiệm đối xứng

CHỦ ĐỀ 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Phần 1: Kiến thức cần nhớ

1 Dạng tổng quát: ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0 ), (trong đó x là ẩn, a, b, c là các hệ số)

2 Công thức nghiệm và công thức nghiệm thu gọn:

a) Công thức nghiệm: Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Δ = b2 – 4.a.c + Δ < 0  phương trình vô nghiệm

+ Δ = 0  Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

−b 2a

+ Δ > 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b+√Δ

b) Công thức nghiệm thu gọn: Với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Nếu b chẵn Đặt b = 2b’, ta có Δ’ = b’2 – a.c

+ Δ’ < 0  phương trình vô nghiệm

+ Δ’ = 0  Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

−b' a

+ Δ’ > 0  phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=−b' +√Δ'

a ;

3 Hệ thức vi-ét:

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì:

Giả sử x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (a  0) Ta có thể sử dụng

hệ thức vi-ét để tính các biểu thức của x1, x2 theo a, b, c

S1 =

S2 =

S3 =

4 Ứng dụng hệ thức Vi-et

- Nếu a + b + c = 0  x1 = 1;

- Nếu a - b + c = 0  x1 = -1;

b) Tìm hai số khi biết tổng và tích: Cho hai số x, y biết x + y = S; x.y = P thì x, y là hai nghiệm của phương trình bậc hai X2 - SX + P = 0

x2 thì

a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu {Δ≥0

c

a>0

b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu dương 

c) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu âm { Δ≥0

c

a>0

−b

a <0

d) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0

Phần 2: Bài tập

Dạng 1: Giải phương trình

Bài 1: Giải các phương trình sau:

1) x 2 - 11x + 30 = 0

2) x 2 - 10x + 21 = 0

3) x 2 - 12x + 27 = 0

4) 5x 2 - 17x + 12 = 0

5) 3x 2 - 19x - 22 = 0

6) x 2 - (1+√2)x + √2 = 0

7) x 2 - 14x + 33 = 0

8) 6x 2 - 13x - 48 = 0

9) 3x 2 + 5x + 61 = 0

10) x 2 - √ 3x - 2 -√ 6 = 0

11) x 2 - 24x + 70 = 0

12) x 2 - 6x - 16 = 0

13) 2x 2 + 3x + 1 = 0

49) 50)

51) x 2 - 16x + 84 = 0

52) x 2 + 2x - 8 = 0

53) 5x 2 + 8x + 4 = 0

54) x 2 – 2(√ 3+ √ 2)x + 4√ 6 = 0

55) 11x 2 + 13x - 24 = 0

56) x 2 - 11x + 30 = 0

57) x 2 - 13x + 42 = 0

58) 11x 2 - 13x - 24 = 0

59) x 2 - 13x + 40 = 0

60) 3x 2 + 5x - 1 = 0

61) 5x 2 + 7x - 1 = 0

14) x 2 - 5x + 6 = 0

15) 3x 2 + 2x + 5 = 0

16) 2x 2 + 5x - 3 = 0

17) x 2 - 7x - 2 = 0

18) 3x 2 - 2√ 3x - 2 = 0

19) -x 2 - 7x - 13 = 0

20) √2x 2 – 2(√3−1)x -3√2 = 0

21) 3x 2 - 2x - 1 = 0

22) x 2 - 8x + 15 = 0

23) 2x 2 + 6x + 5 = 0

24) 5x 2 + 2x - 3 = 0

25) x 2 + 13x + 42 = 0

26) x 2 - 10x + 2 = 0

27) x 2 - 7x + 10 = 0

28) 5x 2 + 2x - 7 = 0

29) 4x 2 - 5x + 7 = 0

30) x 2 - 4x + 21 = 0

31) 5x 2 + 2x -3 = 0

32) 4x 2 + 28x + 49 = 0

33) x 2 - 6x + 48 = 0

34) 3x 2 - 4x + 2 = 0

35) x 2 - 16x + 84 = 0

36) x 2 + 2x - 8 = 0

37) 5x 2 + 8x + 4 = 0

38) x 2 – 2(√3+√2)x + 4√ 6 = 0

39) x 2 - 6x + 8 = 0

40) 3x 2 - 4x + 2 = 0

41)

42)

43)

44)

45)

46)

47)

48)

62) 3x 2 - 2√ 3x - 3 = 0

63) x 2 - 2√2x + 1 = 0 64) x 2 - 2( √3−1)x - 2√ 3 = 0

65) 11x 2 + 13x + 24 = 0

66) x 2 + 13x + 42 = 0

67) 11x 2 - 13x - 24 = 0

68) 2x 2 - 3x - 5 = 0

69) x 2 - 4x + 4 = 0

70) x 2 - 7x + 10 = 0

71) 4x 2 + 11x - 3 = 0

72) 3x 2 + 8x - 3 = 0

73) x 2 + x + 1 = 0

74) x 2 + 16x + 39 = 0

75) 3x 2 - 8x + 4 = 0

76) 4x 2 + 21x - 18 = 0

77) 4x 2 + 20x + 25 = 0

78) 2x 2 - 7x + 7 = 0

79) -5x 2 + 3x - 1 = 0

80) x 2 - 2√ 3x - 6 = 0

81) x 2 - 9x + 18 = 0

82) 3x 2 + 5x + 4 = 0

83) x 2 + 5 = 0

84) x 2 - 4 = 0

85) x 2 - 2x = 0

86) 87) 88) 89) 90) 91) 92) 93) 94) 95)

Bài 2: Giải các phương trình sau:

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13) x 4 - 13x 2 + 36 = 0

14) 9x 4 + 6x 2 + 1 = 0

15) 2x 4 + 5x 2 + 2 = 0

17) x 4 - 5x 2 + 4 = 0

18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29)

Bài 3: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm:

3) x2 – (1 + √ 3)x + √ 3 = 0 4) (1 - √2)x2 –2(1 + √2)x + 1 + 3√2=0 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 6) 5x2 + 24x + 19 = 0

7) (√ 3 + 1)x2 + 2√ 3x + √ 3 - 1 = 0 8) x2 – 11x + 30 = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

13) 14) 15) 16) 17) 18) 19)

9)

10)

11)

12)

20) 21) 22) 23) 24)

Bài 5: Giải các phương trình sau:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20)

Bài 6: Giải các phương trình sau:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

24) 25) 26) 27) 28) 29) 30)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

31) 32) 33) 34) 35) 36) 37) 38) 39) 40) 41) 42) 43) 44) 45) 46) 47)

Dạng 2: Dạng tổng hợp

Bài 1: Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình x2 – 3x – 7 = 0

a) Không giải phương trình hãy tính:

4 2

4 1

3

2

3

1

1 2 2 1 2

1

2 1

2

2

2

1

x x F

; x x E ; x 3x x 3x D

; 1 x 1 1 x 1 C ; x x B

; x

x

A































1

vµ 1 x

1

2

Bài 2: Cho phương trình 3x2    5x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 1 2

1

y x

x

 

1

x

 

Bài 3: Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình không giải phương trình hãy tính:

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9) 10) 11)

12) 13) 14)

Bài 4: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 5x2 – 3x – 1 = 0 Không giải phương trình hãy tính:

Bài 5: Cho phương trình x2 + mx + m+3 = 0

a) Giải phương trình với m = -2

b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m

d) Xác định giá trị của m để x12 + x22 = 10

e) Tìm m để 2x1 + 3x2 = 5

f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm còn lại

g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương

Bài 6: Cho phương trình bậc hai: mx2 – (5m-2)x + 6m – 5 = 0

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau

d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo của nhau

e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0 Tìm nghiệm còn lại

f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

Bài 7: Cho phương trình x2 – mx + m – 1 = 0, ẩn x, tham số m

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với mọi m Tính nghiệm kép (nếu có) cùng giá trị tương ứng của m

b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2

+) Chứng minh A = m2 – 8m + 8.

+) Tìm m để A = 8

+) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của m

Bài 8: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0

a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó

b) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4 Tính nghiệm còn lại

c) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu)

d) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm) e) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia f) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2

g) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x12 + 2x22 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất

Bài 9: Cho phương trình: (x là ẩn )

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

Bài 9: Cho phương trình: (x là ẩn )

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Bài 10: Tìm m để phương trình

a) x2−x+2(m−1)=0 có 2 nghiệm dương phân biệt

Bài 11: Cho phương trình:

a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm trái dấu với mọi a

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm giá trị của a để đạt GTNN

Bài 12: Cho phương trình bậc hai tham số m:

a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện = 10

Bài 13: Cho phương trình:

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì ?

b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là x1; x2 Hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m

a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phương trình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức:

Bài 16: Cho phương trình: (m là tham số)

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x1; x2 với mọi m; tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trị của m tương ứng

c) Tìm m để A = 8 và tìm GTNN của A và giá trị của m tương ứng

d) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai lần nghiệm kia

a) Xác định giá trị của m để phương trình có nghiệm

b) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều dương

c) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau

d) Gọi x1; x2 là hai nghiệm nếu có của phương trình Tính theo m

Bài 18: Cho phương trình: có hai nghiệm là x1; x2 Không giải phương

trình hãy tính giá trị của biểu thức :

a) Giải phương trình khi m =

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm m để:

Bài 20: Cho phương trình: (1) (n , m là tham số)

a) Cho n = 0 CMR phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 của phương trình (1) thoả mãn hệ:

Bài 21: Cho phương trình: ( k là tham số)

a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi k

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tìm k sao cho

Bài 22: Cho phương trình:

a) CMR phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia

Bài 23: Cho phương trình: x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)

a) Chứng minh phương trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi k

b) Tìm những giá trị của k để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình(1) Tìm k để x13 + x23 > 0

Bài 24: Cho phương trình: x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m = -5

b) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m

c) Tìm m để đạt GTNN (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1))

Bài 25: Cho phương trình: (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = -

b) CMR phương trình đã cho có nghiệm với mọi m

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Bài 26: Cho phương trình: mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

b) Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

c) Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Bài 27: Cho phương trình: x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

a) Tìm k để phương trình (1) có nghiệm kép

b) Tìm k để phương trình(1) có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện x12 + x22 = 10

Bài 28: Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

a) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị của m thoả mãn x12 + x22 = 12 (x1, x2 là hai nghiệm của phương trình)

Bài 29: Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm điều kiện của m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

c) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Bài 30: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0

a) Giải phương trình khi m = 0

b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm m để 5x1 + x2 = 4

Bài 31: Cho phương trình: x2 + 4x + 1 = 0 (1)

a) Giải phương trình (1)

b) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x1 và x2 Tính B = x13 + x23.

Bài 32: Cho phương trình: x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23 0

Bài 33: Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*)

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Bài 34: Cho phương trình:

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

c) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

d) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm m để

e) Tìm m để phương trình có nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia?

Bài 35: Cho phương trình

a) CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 với mọi m

c) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn

Bài 36: Cho phương trình

a) Giải pt khi

b) Tìm k để phương trình có một nghiệm là 3 Tìm nghiệm còn lại?

c) CMR pt luôn có 2 nghiệm x1; x2 với mọi k

d) CMR giữa tổng và tích các nghiệm có một sự liên hệ không phụ thuộc k?

e) Tìm k để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn

f) Tìm k để pt tổng bình phương các nghiệm có GTNN

Bài 37: Cho phương trình

a) CMR phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m ≠ 1

b) Tìm m để pt có tích hai nghiệm bằng 5 Từ đó hãy tính tổng các nghiệm của ptrình

c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?

d) Tìm m để pt có hai nghiệm x1; x2 thoả

Bài 38: Cho phương trình

a) Tìm m để pt có một nghiệm bằng m Tìm nghiệm còn lại?

Tìm GTNN đó?

Bài 39: Cho phương trình

a) CMR pt luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m

b) Đặt

+) Chứng minh

+) Tìm m sao cho A = 27

c) Tìm m để pt có nghiệm này bằng hai nghiệm kia Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?

Bài 40: Cho phương trình

a) Giải pt khi m = -5

b) CMR pt luôn có nghiệm x1; x2 với mọi m

c) Tìm m để ptrình có hai nghiệm trái dấu

d) Tìm m để ptrình có hai nghiệm dương

f) Tính giá trị của biểu thức

Bài 41: Cho phương trình

a) Giải pt khi khi

b) Tìm m để ptrình có hai nghiệm trái dấu?

c) Tìm m để ptrình có hai nghiệm đều âm?

d) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 Tìm m để

Bài 42: Cho phương trình

a) Tìm m để pt nhận 2 là nghiệm Với giá trị của m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại của pt

b) Tìm m để ptrình có hai nghiệm trái dấu

Bài 43: Cho phương trình

b) Tìm m để ptrình có nghiệm

e) Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm, tổng bình phương nghịch đảo các nghiệm

Bài 44: a) Pt có nghiệm Tìm p và tìm nghiệm kia

c) Biết hiệu hai nghiệm của pt bằng 11 Tìm q và hai nghiệm của pt

gấp đôi nghiệm kia

nghiệm còn lại

Bài 45: Cho phương trình

a) Tìm m để ptrình có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để ptrình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm kia

c) Tìm m để ptrình có hai nghiệm x1; x2 thoả

Bài 46: Cho phương trình

a) Tìm m để ptrình có nghiệm

GTNN Tìm GTNN đó

Bài 48: Tìm m để ptrình có nghiệm x1; x2 thỏa mãn:

Bài 49: Cho pt

a) CMR pt luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của pt không phụ thuộc m?

c) Tìm m để ptrình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau

Bài 50: Cho pt

a) Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm?

b) Tìm m để ptrình có hai nghiệm dương

c) Với giá trị nào của m thì pt nhận 1 là nghiệm Tìm nghiệm kia

Bài 51: Cho pt

a) Tìm m để ptrình có nghiệm

b) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm này bằng ba nghiệm kia Khi đó hãy tìm hai nghiệm ấy?

Bài 52: Tìm m để phương trình x2 – (m+5)x – m + 6 = 0 có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:

a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 1 đơn vị

b) 2x1 + 3x2 =13

Bài 53: Cho pt

a) Tìm m để ptrình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

b) Tìm m để ptrình có hai nghiệm đều âm? đều dương? trái dấu?

Bài 54: Cho pt

a) CMR pt luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m

b) Tìm m để ptrình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn một trong các điều kiện:

Bài 55: Cho pt

a) Với giá trị nào của k thì pt có một nghiệm? Tìm nghiệm đó?

b) Với giá trị nào của k thì pt có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm k để ptrình có hai nghiệm x1; x2 thoả

Bài 56: Cho pt

a) Giải pt khi m = 4?

b) Xác định giá trị của m để ptrình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm m để ptrình có hai nghiệm trái dấu

d) Tìm m để ptrình có hai nghiệm đều dương

Bài 57: Cho pt

a) Tìm các giá trị của m để ptrình có nghiệm

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của pt, tìm m để

Bài 58: Cho pt

a) Với giá trị nào của m thì pt có nghiệm

b) Với giá trị nào của m thì pt có hai nghiệm đều dương

c) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm m để

Bài 59: Cho pt

a) Giải pt khi a = -2

b) Tìm a để ptrình có hai nghiệm phân biệt

c) Tìm a để ptrình có hai nghiệm thoả mãn