Chủ đề 1 hệ thức lượng trong tam giác vuông

Hệ thức lượng trong tam giác vuông, hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông, tỉ số lượng giác của một góc nhọn, hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, chứng minh hệ thức hình học, tính độ dài đoạn thẳng trong tam giác vuông, Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông biết độ dài hai cạnh, Tính cạnh khi biết một tỉ số lượng giác của một góc, chứng minh hệ thức lượng giác, giải tam giác vuông

H

a

h

CHỦ ĐỀ 1: HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG Phần 1: Kiến thức cần nhớ

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH ta có

a h = b c

Phần 2: Bài tập

Bài 1: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH Biết AB = 4 cm AC = 7,5 cm Tính

HB, HC

Bài 2: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH

a) Biết AH = 6 cm, BH = 4,5 cm. Tính AB, AC, BC, HC 

b) Biết AB = 6 cm, BH = 3 cm. Tính AH, AC, CH

Bài 3: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Tính diện tích ABC, biết AH = 12

cm,  BH = 9 cm

Bài 4: Cho ABC, biết BC = 7,5 cm, CA = 4,5 cm, AB = 6 cm

a) ABC là tam giác gì? Tính đường cao AH của ABC

b) Tính độ dài các đoạn BH, CH

Bài 5: Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông là 7 và 24 Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền

Bài 6: Cho một tam giác vuông, biết tỉ số hai cạnh góc vuông là , cạnh huyền là 26

cm Tính độ dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Bài 8: Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) Biết AB = 26 cm, AD = 10 cm và đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC Tính diện tích của hình thang ABCD Bài 9: Cho ABC vuông ở A, AB = 12 cm, AC = 16 cm, phân giác AD, đường cao

AH Tính độ dài các đoạn HB, HD, HC

Bài 10: Cho ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH Biết BD = 15 cm,

CD = 20 cm Tính BH, CH

Bài 11: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH Tính chu vi của ABC, biết AH =

Bài 12: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH Biết AB : AC = 3 : 7, AH = 42 cm Tính BH, CH

Bài 13: Cho hình thang vuông ABCD, , AB = 15 cm, AD = 20 cm, các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau ở O

a) Tính độ dài các đoạn OB, OD

b) Tính độ dài đường chéo AC

c) Tính diện tích hình thang ABCD

Bài 14: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH Biết BH : HC = 9 : 16, AH = 42 cm Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác

Bài 15: Biết tỉ số hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là 5 : 6, cạnh huyền là

122 cm Tính độ dài hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền

Bài 16: Một tam giác vuông có cạnh huyền là 6,15 cm, đường cao ứng với cạnh huyền là 3 cm Tính các cạnh góc vuông của tam giác

Bài 17: Trong một tam giác vuông, tỉ số giữa đường cao và trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông bằng 40 : 41 Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó, viết

Bài 18: Cho ABC vuông tại A, AB = 12 cm, BC = 13 cm Tính AC, đường cao

AH, các đoạn thẳng BH, CH và diện tích của tam giác

Bài 19: Cho ABC vuông có cạnh huyền AB, AC = 15 cm, đường cao CH chia AB thành hai đoạn AH và HB với HB = 16 Tính diện tích tam giác vuông ABC

Bài 20: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AC = 20 cm, AH = 12 cm Tính diện tích tam giác ABC

Bài 21: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH biết HB = 9 cm, HC =16cm.  Tính

AB, AC

Bài 22: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Biết AH = 6 cm HC - BH = 9 cm.  Tính HB, HC

giác ABC

Bài 24: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của

H trên AB và AC Chứng minh rằng:

a) AM.AB =  AN.AC

b) HB.HC = MA.MB + NA.NC

c) 

Bài 25: Cho hình vuông ABCD Gọi I là một điểm nằm giữa A và B Tia DI cắt tia

CB ở K Kẻ Dx vuông góc với DI cắt tia BC ở L chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL cân

Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính x, y trong mỗi hình vẽ sau:

Bài 2: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Trong các đoạn thẳng sau: AB, AC,

BC, AH, BH, CH hãy tính độ dài các đoạn còn lại nếu biết:

a) AB = 15cm, BC = 25cm

b) HB = 18cm, CH = 32cm

c) AB = 7,2cm, CH = 9,6 cm

d) AC = 25cm, AH = 7,2cm

e) AH = 7,2cm, CH = 9,6cm

f) BC = 25cm, AH = 12cm, AB < AC

Bài 4: Cho ABC vuông tại A có AB = 6cm, AC =8cm Các đường phân giác trong

và ngoài của góc B cắt đường thẳng AC lần lượt tại M và N Tính AM, AN

Bài 5: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC) Tính diện tích và chu

vi của ABC biết AH = 12cm, BH = 9cm

Bài 6: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH (H thuộc BC) Chu vi của ABH là 30cm, ACH là 40cm Tính chu vi của ABC

Bài 7: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 6cm, BH = 3cm Tính AH

và chu vi của các tam giác vuông trong hình vẽ

Bài 8: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Tính diện tích ABC, biết AH = 12cm, BH = 9 cm

Bài 9: Cho ABC biết CB = 5cm, AC =4cm, AB = 3cm

a) Tính đường cao AH của ABC

b) Tính BH, CH

Bài 10: Cho ABC có 3 góc nhọn, đường cao CH Chứng minh rằng:

a)

b) Vẽ trung tuyến AM của ABC Chứng minh rằng:

+)

+)

Bài 11: Hình bình hành ABCD có góc nhọn A Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của B,

D trên đường chéo AC Gọi M, N là hình chiếu của C trên các đường thẳng AB, AD Chứng minh rằng:

a) AK = IC

b) Tứ giác BIDK là hình bình hành

c)

Bài 12: Cho ABC có đường cao AH ( H nằm giữa B và C) AH = 12cm, BH = 9cm,

BC = 25cm

a) Chứng minh ABC vuông tại A

b) Kẻ Bx//AC cắt AH ở D Tính HD và chứng minh

Bài 13: Cho ABC vuông tại A có AB = 12cm, AC = 16cm

a) Tính độ dài trung tuyến AM

b) Kẻ đường cao AH Tính chu vi ABH

Bài 13: Cho ABC vuông tại A có AB < AC, đường cao AH Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh:

a) AB.AD = AC.AE

b)

c)

d)

c¹nh kÒ



e) Biết BC = 10cm, AH = 4cm Tính BH, CH và

CHỦ ĐỀ 2: TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN Phần 1: Kiến thức cần nhớ

- Các tỉ số lượng giác của góc nhọn  được định nghĩa như sau

- Với hai góc  và  phụ nhau ta có

- Một số góc đặc biệt

Phần 2: Bài tập

a) Tính AC, BC

b) Tính sinB, cosB, cotB

Bài 3: Cho ABC nhọn, hai đường cao BD và CE Hãy biểu thị cosA bằng 2 cách, từ

đó chứng minh

Bài 4: a) Cho ABC vuông ở A, AB = 8cm, AC = 15cm Tính tỉ số lượng giác của góc C, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc B

b) Cho ABC vuông ở A, AB = 6cm, BC = 10cm Tính tỉ số lượng giác của góc B,

từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C

c) Cho ABC vuông ở C, BC = 1,2cm, CA = 0,9cm Tính tỉ số lượng giác của góc

B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A

Bài 5: Cho ABC vuông ở A, AC = 5 cm Biết cotB = 2,4

a) Tính AB, BC

b) Tính tỉ số lượng giác của góc C

Bài 6: Cho ABC vuông ở A, AC = 5 cm Biết cosB = 0,8 Tính tỉ số lượng giác của góc C

Bài

7 : Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 450 : sin570, cos53032', tan72015', cot85035'

Bài

8 : Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh, với góc nhọn  tùy ý, ta có:

a) sin < 1, cos < 1

Bài

9 : Tìm sin, cos biết:

Bài

Bài 1 1 : Cho ABC vuông ở A, đường cao AH Biết AB = 7,5cm, AH = 6cm

a) Tính AC, BC

b) Tính cosB, cosC

hợp sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4), biết rằng:

a) AB = 13, BH = 5

b) BH = 3, CH =4

Bài 1 3 : Cho ABC có hai cạnh góc vuông là AB = 16mm, AC = 3cm

a) Tính các tỉ số lượng giác của các góc nhọn

b) Tính

Bài 1 4 : a) Biết Tính

Bài 1 5 : Chứng minh rằng với góc nhọn α tùy ý, mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào α

Bài 1 6 : Áp dụng kết quả bài 8, hãy đơn giản các biểu thức sau:

a) e)

Bài 17: Áp dụng kết quả bài 8, tính:

d)

e)

Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH (H thuộc BC), hãy tính sinB và sinC trong các trường hợp sau: (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 4)

a) AB = 13cm, BH = 0,5dm

b) BH = 3cm, CH = 4cm

đường trung tuyến BM của ABC

Bài 3: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH (H thuộc BC), biết BH = 4cm, CH = 1cm Giải ABC

Bài 4: Cho ABC vuông ở A có AB = 10cm, AC = 15cm

a) Tính góc B

b) Phân giác của góc B cắt AC tại I Tính AI

c) Vẽ AH vuông góc với BI tại H Tính AH

Bài 5: Cho ABC vuông ở A, đường cao AH = 6cm, (H thuộc BC), biết

Tính độ dài các cạnh HB, HC, AB, AC

Bài 7: Cạnh huyền của một tam giác vuông có một góc bằng 600 là 8 Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 600

Bài 8: Cạnh góc vuông kề với góc 600 của một tam giác vuông bằng 3 Hãy tìm cạnh huyền và cạnh góc vuông còn lại (sử dụng bảng lượng giác của các góc đặc biệt)

a) Chứng minh ABC vuông

b) Tính tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A

Bài 10: Cho ABC có AB = 5cm,

a) Tính độ dài các đoạn thẳng AC và BC

b) Chứng minh ABC vuông

c) Tính tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A

Bài 11: Cho MNP vuông ở M, đường cao MQ chia cạnh huyền NP thành 2 đoạn

NQ = 3, PQ = 6 So sánh cotN và cotP Tỉ số nào lớn hơn và lớn hơn bao nhiêu lần? Bài 12: Đường cao BD của ABC nhọn bằng 6, đoạn thẳng AD = 5

a) Tính diện tích ABD

c) Tính AC, dùng các thông tin sau nếu cần:

Bài 14: Biết tanB = 2 Tính

Bài 16: Cho ABC vuông ở A, Chứng minh rằng

Bài 17: Hãy biến đổi các tỉ số lượng giác sau đây thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 450 : sin600, cos750, sin52030', cot820, tan800

Bài 18: Tính giá trị biểu thức sau:

Bài 19: Cho ABC vuông ở A Tính tỉ số lượng giác của góc C, biết cosB = 0,6

a) Tính AB, AC

b) Kẻ từ A các đường thẳng AM, AN lần lượt vuông góc với các đường phân giác trong và ngoài của góc B Chứng minh MN = AB

c) Chứng minh các tam giác MAB và ABC đồng dạng Tìm tỉ số dồng dạng

CHỦ ĐỀ 3: MỘT SỐ HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ GÓC TRONG TAM GIÁC VUÔNG Phần 1: Kiến thức cần nhớ

Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:

a) cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cos góc kề

b) cạnh góc vuông kia nhân với tan góc đối hay cot góc kề

b = a.sinB = a.cosC

c = a.sinC = a.cosB

b = c.tanB = c.cotC

c = b.tanC = c.cotB

Phần 2: Bài tập

a) a = 72cm, b) b = 20cm, c) b = 15cm,

d) b = 21cm, c = 18cm e) c = 10cm, f) c = 25cm,

Tính AB, AC

Bài 5: Cho ABC hai đường cao BH, CK Chứng minh nếu AD > AC thì BH > CK

Bài 7: Chứng minh rằng: Nếu một tam giác có hai cạnh bằng a và b, góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng đó bằng α thì diện tích tam giác đó bằng:

Bài 8: Cho ABC có AB = 16 cm, AC = 14 cm và

a) Tính BC

b) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 9: Một hình bình hành có hai cạnh là 15 cm và 18 cm và góc tạo bởi hai cạnh đó bằng 135 độ Tính diện tích của hình bình hành ấy

a) Tính AD

b) Tính diện tích ABCD

Bài 11: Cho ABC vuông ở A, AB = 6cm, AC = 8cm

a) Tính BC,

b) Đường phân giác của góc A cắt BC ở D Tính BD, DC

tứ giác AEDF

Bài 12: Góc ở đỉnh của một tam giác cân bằng 780, cạnh 28,5cm Tính cạnh bên và diện tích của tam giác

Bài 13: Cạnh bên của một tam giác cân dài 17,2 cm, góc ở của là 460 Tính cạnh đáy

và diện tích của tam giác đó. 

Bài 14: Cho tam giác ABC Biết AB = 10, AC = 24, BC = 26

a) Chứng minh tam giác ABC vuông ở A

b) Tính sinB, sinC

c) Tính chiều cao AH và các đoạn Mà nó chia ra trên cạnh BC

Bài 15: Một cột đèn có bóng dài trên mặt đất là 7,5 m, các tia sáng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 420 Tính chiều cao của cột đèn

Bài 16: Một khúc sông rộng khoảng 240 m Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy phải chèo khoảng 300m mới tới bờ bên kia Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò

đi một góc bằng bao nhiêu?

Bài 17: (h1) Ở độ cao 920m từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm A,

B của hai đầu cầu những góc so với đường nằm ngang mặt đất các góc lần lượt là

Bài 18: (h2) Một đài quan sát ở đài hải đăng cao 150m so với mực nước biển nhìn

nhiêu mét?

Bài 19: (h3) Một người quan sát đứng cách một chiếc tháp 10m, nhìn thấy cái tháp dưới góc được phân tích như hình vẽ Tính chiều cao của tháp

Bài 20: (h4) Trên quả đồi có một cái tháp cao 100 m Từ đỉnh B và chân C của tháp nhìn điểm A ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng 600 và 300 Tính chiều cao h của quả đồi?

Hình 1 Hình 2

Bài 21: Một con đường lên dốc tạo với mặt phẳng nằm ngang một góc α Hỏi độ cao

h so với mặt đất là bao nhiêu nếu quãng đường đi trên đường lên dốc đó là l trong các trường hợp sau:

a) l = 1,5km, b) l = 3km,

Bài 1:  Một cột đèn có bóng trên mặt đất dài 7,5 cm các tia nắng tạo với mặt đất một góc xấp xỉ 420 Tính chiều cao của cột đèn

Bài 2: Một cột đèn điện AB cao 6 m có bóng in trên mặt đất là AC dài 3,5 m Tính (làm tròn đến phút) mà tia nắng mặt trời tạo với mặt đất

Bài 3: Một cầu trượt trong công viên có độ dốc là 280 và có độ cao là 2,1 cm Tính độ dài của mặt cầu trượt (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 4: Một khúc sông rộng khoảng 250m Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu?

Bài 5: Một cây cột đèn cao 7 m có bóng trên mặt đất dài 4 m Hãy tính góc của tia sáng mặt trời tạo với mặt đất

Bài 6: Anh An đặt cầu thang tiếp xúc với tường và thang tạo với tường một góc 30° Chân cái thang thì cách chân tường một khoảng là 1,5 m Tính chiều của thang

Bài 7: Cho chiều cao của cột đèn bằng đoạn thẳng CD, chiều cao của bạn An bằng đoạn thẳng AB = 1,6 m Bạn An đứng cách cột đèn 6 m, cột đèn tạo với đoạn thẳng

Tính chiều cao của cột đèn (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất)

Bài 8: Ở độ cao 920 m, từ một máy bay trực thăng người ta nhìn hai điểm D, C của hai đầu cầu so với đường vuông góc với mặt đất các góc lần lượt là 400 và 300 Tính chiều dài cây cầu CD

Bài 9: Giông bão gió thổi mạnh, một cây tre gãy gập xuống làm ngọn cây chạm đất

và tạo với mặt đất một góc 300 Người ta đo được khoảng cách từ chỗ ngọn cây chạm đất đến gốc cây tre là 8,5 m Giả sử cây tre mọc vuông góc với mặt đất Hãy tính của cây tre đó (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai)

Bài 10: Một chiếc máy bay lên cao cách mặt đất 10 km trong khoảng thời gian 2,4 phút Tính vận tốc của máy bay biết rằng đường bay lên của máy bay tạo với phương nằm ngang một góc 300

Bài 11: Trong hè năm 2023 anh Phương có dịp tham quan Hà Nội, Hạ Long, Sa Pa

và chính đợt đi tham quan hè này anh Phương đã được đến với núi Yên Tử hùng vĩ Khi tiến gần đến chân núi anh dùng dụng cụ đo góc đo được từ mặt đất nơi anh đứng đến đỉnh núi một góc 300, sau đó anh tiếp tục di chuyển thêm 954 m về phía chân núi theo đường thẳng tại đây anh đo được một góc bằng 500 Em hãy cho biết độ cao của núi Yên Tử là bao nhiêu mét?

Bài 12: Từ đỉnh của một ngọn đèo hải đăng cao 150 m so với mực nước biển, anh Phương nhìn thấy một hòn đảo dưới góc 7015' so với đường nằm ngang chân đèn Anh dự định khám hòn đảo với quãng đường ngắn nhất Biết rằng trên tàu còn lại 42 lít dầu, cứ đi 10 m thì tàu lại tiêu hao 0,4 lít dầu Hỏi thuyền có ra được đảo với số lượng dầu trên hay không?

Bài 13: Tính chiều cao của một ngọn núi biết rằng tại hai điểm cách nhau 600 m trên mặt đất người ta nhìn thấy đỉnh núi với góc nâng lần lượt là 480 và 340

Bài 14: Một bức tượng cao 3 m được đặt trên một cái bệ tại một điểm nằm trên mặt đất người ta nhìn thấy nóc tượng và nóc bệ với các góc nâng lần lượt là 640 và 420

tính chiều cao của cái bệ