Chuyen de 5 Phương trình bậc hai - Hệ thức Viet. On thi cap 3

TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm Bài 1.. Tìm giá trị của m để phương Loại II: Hai nghiệm có bậc bằng nhau, hệ số không bằn

Chuyên đề 5: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI – HỆ THỨC VIET

DẠNG 1 TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1 Cho phương trình : x2 8x15 0 Không giải phương trình, hãy tính

1 A = 2 2

1 2

1 2

x  x

3 C = 1 2

2 1

x x

5 E = x1  x2 6 F = x x1 1  x2 x2

Bài 2 Cho phương trình : 8x2 72x64 0 Không giải phương trình, hãy tính:

A =

1 2

1 2

x x

Bài 3 Cho phương trình : x2 3x 2 0 Không giải phương trình, hãy tính:

1 2

1 2

1 2

Cx x

1 2

1 2

E x x

Bài 4 Cho phương trình : 2x2 3x 1 0 Không giải phương trình, hãy tính:

1 x 1 x

2 1 1 1

x  x 

Bài 5 Cho phương trình x2  4 3x 8 0 có 2 nghiệm x1 ; x 2 , không giải phương trình, tính

3 3

1 2 1 2

Q

x x x x





DANG 2 TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ CỦA PHƯƠNG TRÌNH THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM ĐÃ CHO

Loại I: Hai nghiệm có bậc bằng nhau, hệ số bằng nhau (Đối xứng)

PP:

B1) Điều kiện cho phương trình có 2 nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt

B2) Viết hệ thức Vi – ét

B3) Biến đổi biểu thức bài ra về tổng tích và thay Vi –ét vào để giải

B4) Đối chiếu điều kiện và kết luận

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m –1 = 0 (1) (m là tham số) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thõa mãn: x (1 x ) x (1 x )1  1  2  2 6

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 2x + m +3 =0 ( m là tham số)

1) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3 Tìm nghiệm còn lại

2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x13x32 8

Ví dụ 3: Cho phương trình : x22 m 2 x 2m 1 0      Tìm m để 2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thoả mãn hệ thức : 3 3

1 2

x x 0

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x25x 3m 1 0   (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3 3

x  x 3x x 75

Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 2

x 1 x 1 4

Ví dụ 6: Cho phương trình :x2 2 m 3 x m    2 5m 2 0  Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn

hệ thức : x1  x2 6

Ví dụ 7: Cho phương trình x2 – 6x – m – 3 = 0 (m là tham số) Với giá trị nào của m pt có 2 nghiệm trái dấu thỏa mãn x1 < x2 và 3 x1  x2 4

Ví dụ 8: Cho phương trình : x2 2m 3x 3 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 < x2 và

1 2 4

x  x 

Ví dụ 9: Cho phương trình x2 – 4x – m2 – 3 = 0 (m là tham số) Với giá trị nào của m pt có 2 nghiệm thỏa mãn x1 < x2 và x1  x2 6

Ví dụ 10: Cho phương trình: x2 – 5x + m = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình trên khi m = 6

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1 x2 3

Ví dụ 11: Cho phương trình : x2 2x m 3 0   Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

Ví dụ 12: Tìm m để phương trình: x2 2mx m 2 2 0 (x là ẩn, m là tham số) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x13 x32 10 2

Ví dụ 13: Cho phương trình : x2 2 m 1 x m    2 3m 10 0  .Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2 6

Ví dụ 14: Cho phương trình : 2  

x  m x m  Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 là kích thước của hình chữ nhật có đường chéo là 4 10

Ví dụ 15: Cho phương trình: mx2 2m1x m  3 0 (x là ẩn) Tìm giá trị của m để

Ví dụ 16: Cho phương trình: x2 2m1x2m 3 0 (x là ẩn) Tìm giá trị của m để phương

Loại II: Hai nghiệm có bậc bằng nhau, hệ số không bằng nhau.

PP:

B1) Điều kiện cho phương trình có 2 nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt

B2) Viết hệ thức Vi – ét

1 2

1 2

(1) (2)

b

x x

a c

x x a











B3) Theo bài ra ta có (3) Kết hợp (1) và (3) ta có hpt Giải hpt ta được x 1 , x 2 Thay x 1 , x 2 vào (2) tìm tham số.

B4) Đối chiếu điều kiện và kết luận

Ví dụ 1 Cho phương trình : x2 2m1x2m1 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 – 2x2 = 3

Ví dụ 2 Cho phương trình : x2m1x2m 9 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức: 4x1 + x2 = 1

Ví dụ 3 Cho phương trình : x2m1x2m 6 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

1 2

2

x x 

Ví dụ 4 Cho phương trình : x2 m2x4m 8 0

Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức :

1 2

2 1

x x  

Loại III: Hai nghiệm có bậc lệch, hệ số lệch.

PP:

B1) Điều kiện cho phương trình có 2 nghiệm hoặc hai nghiệm phân biệt

B2) Viết hệ thức Vi – ét

B3) Thêm bớt kx x1 2 đưa về tổng tích, thay Vi-ét, rồi đưa về loại I hoặc loại II để giải

B4) Đối chiếu điều kiện và kết luận

Ví dụ 1) Cho phương trình : x2 2x m 22m 0 Tìm m để PT có 2 nghiệm thỏa mãn:

x12 2x2 3x x1 2 16

Ví dụ 2) Cho phương trình : x2 2x m  1 0 Tìm m để PT có 2 nghiệm thỏa mãn:

x12 2x2 x x1 2 2

Ví dụ 3) Cho phương trình x2  2xm 3  0 với m là tham số.

Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện:

12

2 2 1 2

2

1  x x x  

Ví dụ 4) Cho phương trình x2 2mx2m1 0 với m là tham số.

Tìm giá trị của m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn điều kiện: 2

1 2 2 1 2 50

x  mx  x x 

Ví dụ 5) Cho phương trình : x2 7x m  2 0 Tìm m để PT có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 x21

Ví dụ 6) Cho phương trình : x2 6x m  3 0 Tìm m để PT có 2 nghiệm thỏa mãn:

2

(x  2)(x  5x m 5)6

Ví dụ 7) Cho phương trình : x219x 7 0có 2 nghiệm x1 và x2 Không giải phương trình hãy

Ví dụ 8) Cho phương trình : x2 4x m 0 Tìm m để PT có 2 nghiệm thỏa mãn: 3  

DẠNG 3 XÁC ĐỊNH DẤU CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Cho phương trình: ax2bx c 0 (a  0) Hãy tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm:

trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

Ta lập bảng xét dấu sau:

Dấu nghiệm x1 x2 S x1x2 P x x 1 2  Điều kiện chung

cùng dấu,   P > 0   0   0 ; P > 0

cùng dương, + + S > 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S > 0

cùng âm   S < 0 P > 0   0   0 ; P > 0 ; S < 0

Bài tập tham khảo:

Ví dụ 1: Xác định tham số m sao cho phương trình 2x2 3m1x m  6 0 có 2 nghiệm trái dấu

Ví dụ 2: Xác định tham số m sao cho phương trình x2 2m1x2m 6 0 có 2 nghiệm cùng dương

Ví dụ 3: Xác định tham số m sao cho phương trình x22m1x2m 8 0 có 2 nghiệm âm

Ví dụ 4: Xác định tham số m sao cho phương trình x2 (m4)x2m 4 0 có 2 nghiệm thỏa mãn: x1 < 0 < x2

Ví dụ 5: Xác định tham số m sao cho phương trình x2 2mx2m1 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 < 3 < x2

Ví dụ 6: Cho phương trình : x2  2 m 1 x m    2  3m 5 0  .Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn

hệ thức : x1  x2 2

Ví dụ 7: Cho phương trình : x2 2m2x4m24 0 Tìm m để 2 nghiệm x1 và x2 là kích thước của hình chữ nhật có đường chéo là 4 10

Ví dụ 8: Cho phương trình: x4 2m1 x24m 3 0 (x là ẩn) Tìm giá trị của m để phương

trình có 4 nghiệm phân biệt

Ví dụ 9: Cho phương trình: x4  2m1 x2m 3 0 (x là ẩn) Tìm giá trị của m để phương

trình có 2 nghiệm phân biệt

Ví dụ 10: Cho phương trình: x42x2 m 3 0 (x là ẩn) Tìm giá trị của m để phương trình

vô nghiệm

Ví dụ 11: Cho phương trình: x2 2m1x2m 3 0 (x là ẩn) Tìm giá trị của m để phương

DẠNG 4 TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

1 Biểu thức là đa thức bậc hai:

A = M 2 + k suy ra Min A = k, dấu “=” xảy ra khi M = 0

A = – M 2 + k suy ra Max A = k, dấu “=” xảy ra khi M = 0

2 Biểu thức là phân thức:

Cách 1: Tách về bình phương

Cách 2: Dùng phương trình bậc hai có nghiệm

Cách 3: Dùng các bất đẳng thức phù hợp

Ví dụ 1: Cho phương trình : x22m1x m 0Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm

m để : 2 2

1 2 6 1 2

A x x  x x có giá trị nhỏ nhất

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2  mx m 1 0 Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: B x 1(1 x1)x2(1 x2)

Bài tập áp dụng

1) Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.Tìm m để biểu thức Ax1 x22 có giá trị nhỏ nhất

2) Cho phương trình x2 2(m1)x 3 m0 Tìm m sao cho nghiệm x x1; 2 thỏa mãn điều kiện

2 2

1 2 10

x x 

3) Cho phương trình : x2 2(m 4)x m 2 8 0 xác định m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2thỏa mãn

a) A x 1x2 3x x1 2 đạt giá trị lớn nhất

1 2 1 2

B x x  x x đạt giá trị nhỏ nhất

4) Cho phương trình : x2 (m1)x m 2m 2 0 Với giá trị nào của m, biểu thức 2 2

1 2

Cx x dạt giá trị nhỏ nhất

5) Cho phương trình x2(m1)x m 0 Xác định m để biểu thức 2 2

1 2

E x x đạt giá trị nhỏ nhất 6) Cho phương trình x2 2x m  2 0 Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2sao cho

1

2 1 2

A x x x x đạt giá trị nhỏ nhất

7) Cho phương trình x2 2mx m 2 m 1 0 Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2sao

2 2 1

A x x đạt giá trị lớn nhất

DẠNG 5 TÌM HỆ THỨC LIÊN HỆ GIỮA HAI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAO CHO HAI NGHIỆM NÀY KHÔNG PHỤ THUỘC (HAY ĐỘC LẬP) VỚI THAM SỐ

PP

B1) Rút m ở một điều kiện và thế vào điều kiện còn lại

B2) Biến đổi đẳng thức ở B1)

B3) Kết luận

Ví dụ 1 : Cho phương trình : 2

x  mx m  có 2 nghiệm x x1; 2 Lập hệ thức liên hệ giữa x x1; 2

sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Ví dụ 2: Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình : m1x2 2mx m  4 0 Chứng minh rằng biểu thức A3x1x22x x1 2 8 không phụ thuộc giá trị của m.

Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình : x2 m2x2m1 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập hệ thức liên hệ giữa

1; 2

x x sao cho x x1; 2 độc lập đối với m.

2 Cho phương trình : x24m1x2m 4 0.Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng

không phụ thuộc vào m.

DẠNG 6 LẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

PP: Bước 1: Gọi PT cần lập có dạng x 2 – Sx + P = 0 (1)

1 2





Bước 3: Thay S và P vào PT (1)

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1; 2

Bài tập áp dụng:

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một

phương trình cho trước:

Bài tập áp dụng:

1/Cho phương trình: x2 2x 3 0 (1)

a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x , x1 2 Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 1

1

x và

2

1

x

2/ Cho phương trình 3x25x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1; 2 Không giải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 1

2

1

y x

x

  và 2 2

1

1

y x

x

3/ Cho phương trình : x2 5x1 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn y thoả

1 1

y x và 4

2 2

y x

4/ Lập phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các điều kiện:

DẠNG 7 TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Bước 1: Ta có S a b P a b  (2) (1)





Bước 2: Từ (1) suy ra a = S – b thay vào (2) ta được b( S – b) = P

Bước 3: Giải PT thu được ở bước 2 ta được b, thay b vào (1) ta được a

Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P

1 S = 3 và P = 2 2 S =  3 và P = 6 3 S = 2x và P = x2  y2

Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết

1 a + b = 9 và a2 + b2 = 41 2 a  b = 5 và ab = 36 3 a2 + b2 = 61 v à ab = 30

B-CÁC BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0

a) Giải phương trình với m = - 5

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d)Tìm hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m

e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bài tập 2: Cho phương trình x2 – 2x – 1 = 0 có hai nghiệm x1 và x2 Không giải phương trình hãy

tính giá trị của biểu thức:

Bài tập 3:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0

a) Giải phương trình với m = - 2

b) Tìm m để phương trình có một nghiệm x = - 2 Tìm nghiệm còn lại

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8

e) Tìm giá trị lớn nhất của A = x1(1 x1)x2(1 x2)

Bài tập 4: Cho phương trình x2 – 2(m – 3)x – 1 = 0

a) Giải phương trình khi m = 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 ; x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó

Bài tập 5: Cho phương trình: (1 3)x2 2x 1  3 0 (1)

a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Gọi 2 nghiệm của phương trình (1) là x , x1 2 Lập một phương trình bậc 2 có 2 nghiệm là 1

1

x và

2

1

x

Bài tập 6: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x1 x2 - x1 - x2

Bài tập 7: Cho phương trình (ẩn số x): x2 4x m 2 3 0 * 

1 Chứng minh phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

2 Tìm giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm x x thỏa 1, 2 x2 5x1

Bài tập 8: Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)

1 Giải phương trình (*) với a = 1

2 Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*) Tìm giá trị của a để biểu thức:

Bài tập 9: Cho phương trình bậc hai tham số m: x2 -2 (m-1) x - 3 = 0

a Giải phương trình khi m= 2

b Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 với mọi giá trị của m

Tìm m thỏa mãn

Bài tập 10:Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tìm m để phương trình có 2

nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1 1 1 5 2

2 1

x x x x







Bài tập 11:Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn

x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài tập 12: Cho phương trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1)

Tìm giá trị của tham số m để phương trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2

Bài tập 13: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tìm m để phương trình có nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3

d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài tập14:

Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 (1)

a) Giải phương trình (1) với m = 2

b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12

Bài tập 15: Cho phương trình bậc hai x2 + 5x + 3 = 0 có hai nghiệm x1; x2 Hãy lập một phương trình bậc hai có hai nghiệm (x12 + 1 ) và ( x22 + 1)

Bài tập 16: Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Bài tập 17: Cho phương trình x2 – 2mx – 2m – 5 = 0 (m là tham số)

1/ Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m 2/ Tìm m để x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1; x2 là hai nghiệm của phương trình)

Bài tập 18: Cho phương trình: x2 - mx + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài tập 19: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số) Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phương trình thoả mãn 10x1x2 + 2

2

2

x  đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

Bài tập 20

Cho phương trình (ẩn x): x2– ax – 2 = 0 (*)

1 Giải phương trình (*) với a = 1

2 Chứng minh rằng phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của a

3 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (*) Tìm giá trị của a để biểu thức:

1 ( 1 2)( 2 2) 2

x  x  x  x có giá trị nhỏ nhất

Bài tập 21 Cho phương trình x 2 – 3x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1).

a) Giải phương trính (1) khi m = 1.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có nghiệm kép.

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 ; x 2 là độ dài các cạnh

của một hình chữ nhật có diện tích bằng 2 (đơn vị diện tích)

Bài tập 22 Cho phương trình: x2 2(m1)x2m0 (1) (với ẩn là x ).

1) Giải phương trình (1) khi m =1.

2) Chứng minh phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

3) Gọi hai nghiệm của phương trình (1) là x ; 1 x Tìm giá trị của m để 2 x ; 1 x là độ dài hai2 cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12

Bài tập 23 Cho phương trình x - 2mx - (m + 4) = 02 2 (1), trong đó m là tham số

a) Chứng minh với mọi m phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1) Tìm m để 2 2

1 2

x + x 20