Tài liệu học tập hình học 9

Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông với dây chung tại trung điểm của dây chung?. Nếu tam giác có góc tù thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó nằm trong tam giác.. N

Giáo viên : TRẦN QUỐC NGHĨA

Email: tranquocnghia@gmail.com

Tài liệu lưu hành nội bộ

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 1

 Hai điểm C, D bất kì thuộc đường tròn   O chia đường tròn này

thành hai phần, mỗi phần gọi là một (hay còn gọi tắt là ) Hai điểm …… gọi là hai mút của………

 Đoạn nối hai mút của cung gọi là (còn gọi tắt là …… )

 Dây đi qua tâm là ……… của đường tròn

 Trên hình bên:

2 Điểm với đường tròn

Cho đường tròn tâm O, bán kính R:

 Điểm … nằm trên đường tròn  ………

 Điểm … nằm trong đường tròn  ………

 Điểm … nằm ngoài đường tròn  ………

R O

B O

C

D

A

N O

H

P

VD 1 Cho hình bên, biết điểm N nằm trong

đường tròn  O R , điểm ;  H nằm ngoài đường

tròn  O R Hãy so sánh  ;  ONH và  OHN

 Giải:

II – CÁCH XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRÒN 1 Cách xác định đường tròn Xem hình vẽ hình sau:  Vẽ đường tròn tâm A, bán kính 2cm  Vẽ đường tròn tâm O đường kính CD  Kết luận: Một đường tròn được xác định khi

2 Đường tròn qua hai điểm VD 2 Cho đoạn thẳng PT Hãy vẽ hai đường tròn tâm N và H qua hai điểm P, T a) Có nhận xét gì về quan hệ giữa đường thẳng PT và NH ?

b) Có thể vẽ được bao nhiêu đường tròn như vậy?

 Kết luận: qua hai điểm phân biệt A, B

H

O N

A

N

H

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 3

VD 3 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng

a) Vẽ d là đường trung trực của 1 AB; d là đường trung trực của 2 BC

b) Gọi O là giao điểm của d và 1 d So sánh độ dài của 2 OA, OB, OC

c) Vẽ đường tròn  A OB Các điểm ;  B và C có thuộc đường tròn trên không? Vì sao?

 Giải:

 Kết luận: qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng

Có nhận xét gì khi ba điểm A, B, C thẳng hàng:

VD 4 Cho tam giác ABC Vẽ đường tròn tâm O qua ba đỉnh của tam giác trong các trường hợp: ABC nhọn, ABC vuông, ABC tù  Giải: Tâm O nằm Tâm O nằm Tâm O nằm

B

A

A

A

 Kết luận: Đường tròn đi qua ba

điểm A, B, C gọi là đường tròn

……… tam giác ABC Khi

đó, tam giác ABC được gọi là tam

giác ……… đường tròn

VD 5 a) Cho tam giác ABC vuông tại C có O là trung điểm của

cạnh huyền AB Chứng minh rằng OAOBOC

b) Cho tam giác MNP nội tiếp đường tròn tâm O đường kính MN

Chứng minh rằng OM ONOP Từ đó suy ra  MPN vuông

 Giải:

 Định lí:  Trong một tam giác vuông,

 Nếu một tam giác có

A B C O MỤC LỤC ĐƯỜNG TRÒN Chủ đề 1 Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn 1

A – Bài học 1

B – Bài tập thực hành 6

C – Bài tập tự luyện 10

D – Câu hỏi trắc nghiệm 15

Chủ đề 2 Đường kính và dây cung của đường tròn 17

A – Bài học 17

B – Bài tập thực hành 21

C – Bài tập tự luyện 23

D – Câu hỏi trắc nghiệm 28

Chủ đề 3 Đường thẳng và đường tròn 31

A – Bài học 31

B – Bài tập thực hành 39

C – Bài tập tự luyện 50

D – Câu hỏi trắc nghiệm 55

Chủ đề 4 Vị trí tương đối của hai đường tròn 57

A – Bài học 57

B – Bài tập thực hành 62

C – Bài tập tự luyện 66

D – Câu hỏi trắc nghiệm 68

ÔN TẬP CHƯƠNG 2 70

A – Tóm tắt lí thuyếT 70

B – Câu hỏi ôn tập 72

C – Bài tập tự luyện 73

D – Câu hỏi trắc nghiệm 88

MỤC LỤC 97

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Tài liệu dạy học TOÁN 9, Nguyễn Cam, NXBGDVN [2] Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Tập 1, Lê Mậu Thống, NXBĐHQG [3] Các dạng toán điển hình 9 Toán 9 Tập 1, Lê Đức, NXBĐHQG [4] Và một số tài liệu khác trên internet không rõ nguồn

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 96

248 Cho đường tròn  O ; 25cm  , điểm C cách O là 7cm Có bao nhiêu

dây đi qua C có độ dài là một số nguyên?

249 Cho nửa đường tròn tâm O , đường kính AB  10cm Điểm M

thuộc nửa đường tròn Qua M kẻ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn

Gọi D và C lần lượt là hình chiếu của A , B trên xy Diện tích lớn

nhất của tứ giác ABCD là

A 50cm B 60cm C 50cm2 D 60cm2

250 Cho điểm C thuộc nửa đường tròn đường kính AB , H là hình

chiếu của C trên AB Các điểm D và E thuộc nửa đường tròn sao

cho HC là tia phân giác DHE Hệ thức nào sau đây đúng?

A 2

2

C HC2 HD HE D HD2 HC HE

251 Cho đường tròn  O R , đường kính AB cố định Điểm C di chuyển ;  trên đường tròn, điểm G là trọng tâm tam giác ABC Khi đó điểm G di chuyển trên: A Đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 3 R B Đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 2 R C Đường tròn tâm O , bán kính 3 R D Đường tròn tâm O , bán kính 2 R 252 Tam giác ABC vuông tại A Gọi R và r lần lượt là bán kính các đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó, diện tích tam giác ABC tính theo R và r là A S Rrr2 B S2Rrr2 C S 2Rrr2 D S Rrr2 Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 5 III – TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN VD 6 Cho đường tròn   O , A là điểm nằm trên đường tròn Tìm điểm A đối xứng với A qua tâm O Lấy một điểm B khác A cũng thuộc đường tròn Tìm điểm B đối xứng với B qua tâm O Có nhận xét gì về hai điểm A và B đối với đường tròn   O  Giải:

 Kết luận: Đường tròn là hình có

VD 7 Cho đường tròn   O , d là đường thẳng đi qua tâm Lấy M là điểm nằm trên đường tròn Tìm điểm M đối xứng của M qua d Có nhận xét gì về điểm M ? Hãy chứng minh điều này  Giải:

 Kết luận: Đường tròn là hình có

VD 8 Chia bánh Trung thu

Bánh Trung thu khi mua về thường người ta để chiếc bánh hình tròn trong chiếc hộp hình vuông như hình vẽ

Em hãy trình bày cách cắt bánh để chia chiếc bánh thành 2 phần, 4 phần và 8 phần bằng nhau

O A

B

O

M d

B – BÀI TẬP THỰC HÀNH

TH1 Các phát biểu nào sau đây xác định duy nhất một đường tròn?

a) Đường tròn đi qua hai điểm cố định

b) Đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng

c) Đường tròn tâm O, bán kính 2 cm

d) Đường tròn đường kính AB cho trước

TH2 Cho hình chữ nhật ABCD

a) Chứng tỏ bốn điểm A, B, C và D cùng thuộc một đường tròn

b) Cho AB 10 cm và BC 6 cm Tính bán kính của đường tròn trên

 Giải:

TH3 Cho ABC nhọn Vẽ đường tròn   O có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D và E a) Chứng minh: CD AB và BEAC b) Gọi K là giao điểm của BE và CD Chứng minh: AK BC  Giải:

241 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  18cm , AC  24cm và đường tròn   I nội tiếp tam giác Khi đó AI bằng

242 Tam giác ABC cân tại A , BC  12cm , đường cao AH  4cm thì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng

A 2,5cm B 6,5cm C 13cm D 5cm

243 Hai đường tròn   O và   O cắt nhau tại A và B , OO  3cm Qua

A kẻ đường thẳng cắt đường tròn   O và   O theo thứ tự B và C ,

A nằm giữa B và C Độ dài đoạn BC lớn nhất bằng

A 5cm B 6cm C 7cm D 9cm

244 Cho đường tròn  O R Từ điểm M cách O một khoảng 2R , kẻ ; 

hai tiếp tuyến MA , MB với   O , A và B là hai tiếp điểm Bán

kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB bằng

A R B R 2 C R 3 D

2

R

245 Tam giác MNP cân tại M có MN  6cm , góc M bằng 120 Bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP bằng

246 Cho đường tròn   O và điểm A cố định trên đường tròn Điểm B

chuyển động trên đường tròn   O Trung điểm M của AB chuyển

động trên đường nào?

A Đường tròn đường kính OA B Đường tròn tâm O , bán kính OA

C Đường tròn đường kính AB D Đường tròn tâm A , bán kính AO

247 Cho đường tròn  O ; 2cm  , điểm A di chuyển trên đường tròn Kẻ tiếp tuyến Ax của   O tại A , điểm M trên tia Ax sao cho

AM  OA Khi đó điểm M chuyển động trên đường nào?

A Đường tròn tâm O , bán kính OA

B Đường tròn tâm A , bán kính 2cm

C Đường tròn đường kính OM

D Đường tròn tâm O , bán kính 2 2cm

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 94

233 Cho đường tròn  O ;5cm  và điểm M cách O là 3cm Độ dài dây

ngắn nhất đi qua M là

A 4cm B 6cm C 8cm D 10cm

234 Cho đường tròn  O ;5cm  và điểm M cách O là 3cm Độ dài dây

dài nhất đi qua M là

A 6cm B 5cm C 10cm D 12cm

235 Cho đường tròn  O ;15cm  , dây AB  24cm Một tiếp tuyến song

song với AB cắt các tia OA , OB theo thứ tự tại E và F Độ dài

EF là

A 40cm B 42cm C 20cm D 48cm

236 Tỉ số bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp tam giác

ABC đều cạnh 2cm là

A 1

1

1

237 Cho đường tròn  O ; 4cm  và  O ;5cm  cắt nhau tại A và B biết

6cm

AB  Khi đó độ dài đoạn OO là

A 4  7cm B 42 2cm C 4  7cm D 42 2cm

238 Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn   O , BC  24cm ,

20cm

AC  thì bán kính đường tròn   O bằng

A 15cm B 12cm C 16cm D 18cm

239 Cho đường tròn  O ;9cm  tiếp xúc ngoài với đường tròn  O ; 4cm 

tại điểm A BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn thì độ

dài BC là

A 13cm B 12cm C 11cm D 14cm

240 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn   O và tiếp tuyến MA , MC

của đường tròn, A và C là các tiếp điểm Biết  ABC  70  thì góc



AMC bằng

A 30 B 40 C 50 D 70

TH4 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm

 1; –1 

A , B  2;1  và C   3; 3  với đường tròn tâm O bán kính 2

(với O là gốc tọa độ)

 Giải:

TH5 Cho ABC nhọn có ba đỉnh thuộc đường tròn  O R Gọi ;  H là trực tâm của ABC Vẽ đường kính AD a) Tứ giác BHCD là hình gì ? Vì sao ? b) Gọi I là trung điểm của BC Chứng minh: AH 2OI c) Gọi G là trọng tâm của ABC Chứng minh: O, H, G thẳng hàng d) So sánh diện tích của hai tam giác AHG và AOG  Giải:

225 Tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn  O ;16cm  , đường cao AH

Khi đó, độ dài đoạn HB là

A 8cm B 12cm C 8 2cm D 8 3cm

226 Diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 2cm là

A 3 5cm 2 B 3 3cm 2 C 6 5cm 2 D 6 3cm 2

227 Cho nửa đường tròn  O ;10cm  , đường kính MN , E là một điểm

trên đường tròn sao cho OE vuông góc với MN Diện tích tam giác

MNE là

A 100cm B 120cm C 100cm2 D 200cm2

228 Cho nửa đường tròn  O ;8cm  có BC là đường kính và AB là dây

2

AB  BC thì AC bằng

229 Cho đường tròn  O ;6cm  , đường kính BC , điểm A thuộc đường

tròn Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các dây AB và AC

Khi đó BM2CN2 bằng

230 Cho đường tròn   O , bán kính OA , OB tạo với nhau góc 120 ,

đường kính CD vuông góc với dây AB , C thuộc cung nhỏ AB thì

góc  ACB bằng

A 120 B 135 C 144 D 150

231 Một tam giác có chu vi là 120cm , độ dài các cạnh có tỉ lệ là

8 :15 :17 Khoảng cách từ giao điểm các đường phân giác của tam giác đó đến mỗi cạnh là

232 Hai đường tròn  O R và ;   O r  ;  tiếp xúc ngoài tại A , BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn, B và C là các tiếp điểm

Biểu thức nào biểu thị độ dài đoạn thẳng BC là

A 2Rr B 2 Rr C 2 2Rr D 3 Rr

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 92

218 Dựa vào hình vẽ, độ dài đoạn AD là

A 10

3 B 3

C 13

4 D 3, 5

219 Độ dài bán kính đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình

vuông ABCD biết AB  2cm là

220 Đường tròn  O ;16cm  ngoại tiếp tam giác đều ABC Gọi H là

trung điểm BC Khi đó độ dài đoạn AH là

A 16cm B 16 3cm C 8 3cm D 12 3cm

221 Cho tam giác đều ABC cạnh 2cm Bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác ABC bằng

A 3 cm

3 cm

3 cm

3 cm

222 Cho đường tròn Từ điểm A cách tâm O một khoảng 12cm kẻ các

tiếp tuyến AB và AC với đường tròn ( B và C là các tiếp điểm)

Khi đó  BAC bằng

A 30 B 60 C 75 D 45

223 Đường tròn  O ; 4cm  và  O ; 6cm  cắt nhau tại hai điểm A và B

biết  OA   O 120  Độ dài đoạn nối tâm là

A 76cm B 74cm C 6 2cm D 6 3cm

224 Cho điểm M nằm ngoài đường tròn   O Kẻ tiếp tuyến MA , MB

với đường tròn, A và B là các tiếp điểm Nếu  AOB  120  thì

D

4,5 7,5

2

TH6 Trong các biển báo giao thông sau, biển nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đố xứng?

Số 103a: Cấm otô, môtô ba bánh Số 102: Cấm đi ngược chiều

TH7 Trong các hoa văn sau, hoa văn nào có tâm đối xứng, hoa văn nào

có trục đố xứng?

TH8 Cuộc khai quật khảo cổ học dưới nước từ con tàu cổ đắm tại vùng biển Cù Lao Chàm – Hội An kéo dài 4 năm (1997-2000) đã mang lại nhiều thông tin mới lạ về gốm của người Việt xưa Trong đó có một đĩa

bị bể, các nhà khảo cổ muốn phục hồi đĩa lại như hình dáng ban đầu

Em hãy giúp các nhà khảo cổ xác định tâm của đĩa tròn đó ở vị trí nào?

C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1 Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo,

2 cm

OA  Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2 cm Hãy xác định vị

trí của năm điểm A, B, C, D và O so với đường tròn

2 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau Gọi M ,

N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD và DA C/m:

bốn điểm M , N, P và Q cùng nằm trên một đường tròn

3 Cho ABC đều Gọi M , N, P lần lượt là trung điểm của AB,

BC, CA Chứng minh rằng bốn điểm B, C, P và M cùng nằm

trên một đường tròn

4 Cho ABC đều có độ dài cạnh là a (cm) Tính bán kính của đường

tròn ngoại tiếp ABC

5 Cho  O ; 4 cm  có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau

Dây AM của   O cắt bán kính OC tại I Cho biết OI 3 cm

Tính AM và đường cao MH của AMB

6 Cho hình thang cân ABCD Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C

và D nằm trên một đường tròn

7 Cho hình vuông ABCD cạnh a

a) Chứng minh: bốn đỉnh A, B, C và D của hình vuông trên

cùng nằm trên một đường tròn

b) Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó

8 Cho ABC cân tại A, BC 12 cm, đường cao AH 4 cm Tính

bán kính của đường tròn ngoại tiếp ABC

9 Cho ABC cân tại A, đường cao BE Gọi D, F lần lượt là trung

212 Đường tròn tâm O bán kính 16cm ngoại tiếp tam giác đều ABC

Khi đó, độ dài các cạnh tam giác ABC là

A 24cm B 18cm C 8 3cm D 16 3cm

213 Cho đoạn thẳng AB Đường tròn   O đường kính 2cm tiếp xúc với

đường thẳng AB Tâm O nằm trên:

A Đường vuông góc với AB tại A

B Đường vuông góc với AB tại B

C Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 1cm

D Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 2cm

214 Cho AB là một dây của đường tròn  O ;13cm  Nếu AB  12cm thì

khoảng cách từ O đến AB bằng

A 205cm B 133cm C 12cm D 5cm

215 Cho đường tròn tâm O , đường kính AB  18cm , dây CD dài 12cm

và vuông góc với AB Diện tích tứ giác ACBD là

217 Cho hình vuông ABCD , I và J lần lượt là trung điểm AD và BC

Vị trí tương đối của  I IA và ;   J JB là ; 

A Tiếp xúc trong B Tiếp xúc ngoài

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 90

204 Trong các câu sau, câu nào sai?

A Hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại A thì A thuộc đoạn thẳng nối tâm

B Hai đường tròn tiếp xúc trong tại A thì A thuộc đoạn nối tâm

C Nếu hai đường tròn  O R và ;   O R  ;  không giao nhau thì 

A Hai tâm đường tròn đối xứng với nhau qua dây chung

B Các tiếp tuyến chung và đường nối tâm luôn đồng quy

C Dây chung vuông góc với đoạn nối tâm và đi qua trung điểm của

đoạn nối tâm

D Hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm vuông với dây chung

tại trung điểm của dây chung

206 Hình nào dưới đây không có đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh

của nó?

207 Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng?

A Hai đường tròn phân biệt không thể có quá hai điểm chung

B Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn

tiếp xúc trong

C Hai đường tròn tiếp xúc ngoài chỉ có một tiếp tuyến chung

D Hai đường tròn cắt nhau thì dây chung là trung trực của đoạn nối tâm

208 Cho đường tròn  O ;12cm  , dây AB vuông góc với bán kính OC tại

trung điểm M của OC Dây AB có độ dài là

A 3 3cm B 6 3cm C 9 3cm D 12 3cm

209 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB  5cm , AC  12cm Bán

kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

A 1cm B 1, 5cm C 1, 2cm D 2cm

10 Cho ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn   O Đường cao AH cắt đường tròn   O ở D

a) Chứng minh: AD là đường kính của đường tròn   O

b) Tính  ACD

c) Cho BC 24 cm, AC cm Tính AH và bán kính của   O

11 Cho ABC có đường cao AH Từ một điểm M bất kỳ trên cạnh

BC, kẻ MDAB và MEAC Chứng minh: năm điểm A, D,

H, M và E cùng nằm trên một đường tròn

12 Cho ABC Điểm I di động trên cạnh BC Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của I trên AB và AC Lấy M đối xứng với A qua D, lấy N đối xứng với A qua E Chứng minh:

a) I là tâm đường tròn đi qua ba điểm A, M , N b) Đường tròn   I nói trên đi qua một điểm cố định khác A

13 Ba đường cao AD, BE, CF của ABC gặp nhau tại H Gọi I,

K, L lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA và M , N, P lần lượt là trung điểm của HA, HB, HC Chứng minh:

a) Các tứ giác INPL và MLKN là các hình chữ nhật

b) 9 điểm D, E, F, L, I , K, M , N và P cùng nằm trên một

đường tròn (đường tròn Euler)

14 Vẽ hoa văn: trong cuộc sống có rất nhiều hình ảnh liên quan đến

đường tròn, hình tròn, với những hoạ tiết trang trí trên các viên gạch

đá hoa người ta có thể dùng những đường tròn và các cung tròn tạo nên nét đẹp Hãy vẽ lại các hình đó vào vở

15 Hình xoắn ốc: quan sát hình vẽ bên dưới (hình a) Hãy vẽ vào vở và

tính bán kính các đường tròn tâm B, tâm C, tâm D và tâm A Cho

biết ABCD là hình vuông cạnh 1 cm

16 Vẽ lọ hoa: Chiếc lọ trên hình bên trên (hình b) được vẽ trên giấy kẻ

ô vuông bởi 5 cung có tâm A, B, C, D, E Hãy vẽ lại hình đó vào vở

17 Công viên văn hóa Đầm Sen (TPHCM) có dạng hình tam giác như

hình bên dưới

Ban quản lí muốn đặt hệ thống loa tại

vị trí sao cho khi phát thông báo thì

tất cả nhân viên và khách tham qua

đều nghe thấy Dùng kiến thức đã

học, em hãy giúp Ban quản lí Công

viên xác định địa điểm cần tìm

18 Trò chơi tập thể: Múc nước đổ đầy thùng

Có 3 tổ dựng lều ở 3 địa điểm như hình

vẽ Mỗi tổ có 6 người có nhiệm vụ múc

nước đổ vào thùng cho đầy Ban tổ

chức đặt 3 thùng có dung tích bằng

nhau ở một điểm tập kết chung

Mỗi tổ được phát một cái gàu, các thành viên trong tổ chia thành từng

cặp cũng nhau, múc nước từ trại của mình về điểm tập kết Tổ nào

múc nước đổ đầy thùng trước là chiến thắng Hãy tìm điểm tập kết các

thùng chứa sao cho khoảng cách từ 3 tổ tới điểm tập kết bằng nhau

B

A

C

D E

A B

C D

B Nếu tam giác có góc tù thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

đó nằm trong tam giác

C Nếu tam giác vuông thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm cạng lớn nhất trong tam giác

D Nếu tam giác đều thì tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm một cạnh của tam giác

201 Cho tam giác MNP và hai đường cao MH , NK Gọi   O là đường

tròn nhận MN là đường kính Khẳng định nào sau đây không đúng?

A Ba điểm M , N , H cùng nằm trên đường tròn   O

B Ba điểm M , N , K cùng nằm trên đường tròn   O

C Bốn điểm M , N , H , K không cùng nằm trên đường tròn   O

D Bốn điểm M , N , H , K cùng nằm trên đường tròn   O

202 Cho hai đường tròn  O R và ;   O R  ;  cắt nhau tại hai điểm Phát 

biểu nào sau đây là sai:

A Đường nối tâm là trung trực của dây chung

B Dây chung là trung trực của đoạn nối tâm

C Hai tiếp tuyến chung của hai đường tròn song song với nhau

D Hai tiếp tuyến chung và đường nối tâm cùng đi qua một điểm

203 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác:

A Cách đều ba đỉnh của tam giác B Nằm trên một cạnh của tam giác

C Nằm bên ngoài tam giác D Cách đều ba cạnh của tam giác

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 88

191 Đường thẳng d cách tâm O của đường tròn  O ; 4cm  một khoảng

3cm Khi đó vị trí tương đối của d và đường tròn  O ; 4cm  là

192 Cho hai đường tròn  O ;15cm  và  O ;10cm  và OO  25cm Số

tiếp tuyến chung của hai đường tròn là

195 Hai đường tròn chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn:

196 Hai đường tròn có hai tiếp tuyến chung trong thì vị trí tương đối của

chúng là

A Tiếp xúc ngoài B Tiếp xúc trong

197 Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là

A Giao điểm của các đường cao trong tam giác

B Giao điểm của các đường phân giác các góc trong tam giác

C Giao điểm của các đường trung tuyến trong tam giác

D Giao điểm của các đường trung trực trong tam giác

198 Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai khi nói về tam giác?

A Có duy nhất một đường tròn nội tiếp tam giác

B Có duy nhất một đường tròn ngoại tiếp tam giác

C Có duy nhất một đường tròn bàng tiếp tam giác

D Có duy nhất một đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác

19 Dụng cụ xác định tâm đường tròn

Xác định tâm đường tròn có nhiều cách Chẳng hạn ta có thể dùng đường trung trực của hai dây cung không song song, giao điểmcủa hai đường trung trực là tâm của đường tròn Trong thực tế, những người thợ mộc thường tự chế tạo ra dụng cụ tìm tâm đường tròn đơn giản và tiện lợi như dưới đây

Nếu nhà em không có thước cặp, em hãy đề xuất một cách đo đường kính lon sữa, đường kính quả bóng

21 FROZEN YOGURT Three snack

carts sell frozen yogurt from points A,

B, and C outside a city Each of the

three carts is the same distance from

the frozen yogurt distributor

Find a location for the distributor that

is equidistant from the three carts

Archaeologists find three stones

They believe that the stones were

once part of a circle of stones with a

community firepit at its center They

mark the locations of Stones A, B,

and C on a graph where distances are

measured in feet

a Explain how the archaeologists can use a sketch to estimate the

center of the circle of stones

b Copy the diagram and find the approximate coordinates of the

point at which the archaeologists should look for the firepit

23 HALLENGE The four towns

on the map are building a

common high school They

have agreed that the school

should be an equal distance

from each of the four towns

Is there a single point where they could agree to build the school? If

so, find it If not, explain why not Use a diagram to explain your

a) Chứng minh:  AO C    AOB và O C OB // b) Chứng minh: tiếp tuyến của   O tại B và tiếp tuyến của   O tại

C song song với nhau

c) Tiếp tuyến của   O tại C cắt OO tại D Tính CD và O D d) Đường thẳng CD cắt đường thẳng BO tại E Tính diện tích ABE

189 Cho đường tròn  O R đường kính ;  AB Lấy điểm C ngoài đường tròn sao cho B là trung điểm của OC Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM,

CN đến   O với M, N là hai tiếp điểm

a) Chứng minh: AMN cân Tính CM và AM theo R b) Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi Tính SAMCN theo R c) Gọi I là trung điểm của CM Đường thẳng AI cắt OM tại K Chứng minh: K là trung điểm của AI

d) Tính diện tích AKB theo R

190 Một quả bóng tròn có đường kính 30cm, một bóng đèn đặt cách tâm quả bóng 25cm Tính khoảng cách xa nhất trên quả bóng mà ánh sáng của bóng đèn có thể chiếu tới

25cm

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 86

185 Cho 2 đường tròn ngoài nhau  O R và ;   O r  ;  với Rr, AB là

tiếp tuyến chung ngoài (A là là tiếp điểm trên   O , B là tiếp điểm

trên   O ) Từ O vẽ O C OA

e) Tính độ dài của tiếp tuyến chung ngoài và tiếp tuyến chung trong

và khoảng cách hai tâm d OO theo hai bán kính

186 Cho đường tròn  O R và điểm ;  I cố định với

2

R

OI  AB là dây cung quay quanh I

a) Tìm vị trí C, D của A (hay B ) tương ứng lúc độ dài IA (hay

IB) dài nhất, ngắn nhất

b) Chứng tỏ tập hợp các trung điểm M của dây cung AB là một

đường tròn, tìm tâm và bán kính đường tròn này

c) Gọi EF là vị trí giới hạn của dây cung AB lúc M tiến dần đến

I Chứng minh:

i EF CD

ii EF là độ dài ngắn nhất của dây cung AB và CD là độ dài lớn

nhất của AB

d) C/minh CEF đều, tính chu vi và diện tích tam giác này theo R

187 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Trên nửa mặt phẳng

bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tia tiếp tuyến Ax Từ M trên Ax,

kẻ tiếp tuyến MC tới nửa đường tròn ( C    O ) Đường thẳng BC

cắt tia Ax tại D

a) Chứng minh: MAMD

b) Kẻ CH  AB, BM cắt CH tại I Chứng minh: I là trung

điểm của CH

c) Kẻ tia OyOM , tia này cắt MC tại N Chứng minh: NB là

tiếp tuyến của nửa   O

25 Cho các khẳng định sau:

(a) Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm O cố định bằng

4 cm là đường tròn tâm O bán kính 4 cm (b) Đường tròn tâm O bán kính 4 cm gồm tất cả những điểm có khoảng cách đến O bằng 4 cm

(c) Hình tròn tâm O bán kính 4cm gồm tất cả những điểm có khoảng cách đến O nhỏ hơn hoặc bằng 4 cm

Số khẳng định đúng là

A 1 B 2 C 3 D 4

26 Cho các khẳng định sau:

(a) Qua một điểm, ta sẽ được vô số đường tròn

(b) Qua hai điểm, ta vẽ được vô số đường tròn

(c) Qua ba điểm, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

Số khẳng định sai là:

A 0 B 2 C 1 D 3

27 Cho đường tròn  O R ngoại tiếp tam giác ;  ABC vuông tại A Khẳng định nào sau đây đúng:

A Điểm O nằm bên trong tam giác ABC.

B Điểm Onằm bên ngoài tam giác ABC.

C Điểm O nằm tùy ý trên cạnh tam giác ABC.

D Điểm O là trung điểm của cạnh tam giác ABC.

28 Cho đường tròn tâm  O R đường kính ;  AB , qua trung điểm H của

OA vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tại M Tính theo R diện tích AMM

A R2 3 B

232

R

233

R

234

30 Cho tam giác MNP vuông tại M nội tiếp đường tròn  O ;10 cm  ,

32 Trên mặt phẳng toạ độ Oxy lấy điểm P  2;1 

Khẳng định nào sau đây đúng?

A Điểm P nằm bên trong đường tròn  O ; 5 

B Điểm P nằm bên ngoài đường tròn  O ; 5 

C Điểm P nằm trên đường tròn  O ; 5 

33 Xét bài toán: “Nêu cách dựng đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác

ABC” Hãy sắp xếp một cách hợp lí các câu sau để được lời giải của

bài toán đã cho

a) Dựng đường tròn tâm O bán kính OA Đó là đường tròn ngoại

34 Cho góc vuông  xOy và điểm M nằm bên trong góc đó Vẽ đường

tròn tâm I đi qua O và M cắt Ox ở A và cắt Oy ở B Gọi M là

điểm đối xứng của M qua AB Khẳng định nào sau đây đúng?

A Điểm M  nằm bên trong đường tròn   I

B Điểm M  nằm bên ngoài đường tròn   I

C Điểm M  nằm trên đường tròn   I

182 Cho đường tròn  O R có đường kính ;  AB, gọi   I là đường tròn

tâm I , đường kính OA

a) Chứng tỏ   O và   I tiếp xúc trong nhau

b) Cho C là điểm bất kì thuộc   O (C khác A, B), AC cắt   I

tại K C/minh:

i ABC và AOK vuông

ii K là trung điểm của AC và

2

BC

OK 

iii IOK và OBC đồng dạng

c) Gọi EF là đường kính của   O qua K, chứng tỏ B, C, E, F

là 4 đỉnh của hình thang cân

d) Cho  BOC  60  Tính các cạnh, diện tích của ABC và của hình thang cân BCEF

183 Cho  O R và ;   O R  ;  tiếp xúc ngoài nhau tại  E Gọi AB là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( A    O , B    O )

a) Tính diện tích tứ giác AOO B theo R và R b) Gọi D là điểm đối xứng của A qua O Chứng minh: B, E, D

thẳng hàng

c) Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và đường tròn đường kính OO

184 Cho ABC có ba góc nhọn Đường tròn tâm I đường kính BC cắt

AB tại F, cắt AC tại E, BE cắt CF tại H

a) Trong ABC điểm H gọi là gì?

b) Gọi K là điểm đối xứng của H qua I và M là điểm đối xứng của

H qua BC Chứng minh 5 điểm A, B, K, M , C cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm và bán kính của đường tròn này

c) Gọi O là trung điểm của AH Chứng minh O OIM là hình thang cân

d) G là trọng tâm của ABC So sánh diện tích của AOG và

AHG



Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 84

179 Từ điểm I ở ngoài đường tròn  O R vẽ hai cát tuyến ;  IAB và ICD

(không qua O ) Gọi M , N lần lượt là hai trung điểm của hai dây

cung AB, CD

a) Chứng minh: OM AB, ON CD, OM ON 2R, CD2R,

2

AB R

b) Chứng tỏ có một đường tròn qua bốn điểm O, I , M , N Xác

định tâm K của đường tròn này

c) Đường tròn   K cắt   O tại E và F Chứng tỏ IE, IF là hai

tiếp tuyến của   O Suy ra cách dựng tiếp tuyến vẽ từ I đến   O

d) Chứng tỏ: ABCDOM ON Nói rõ vị trí tương đối của 2

cát tuyến IAB và ICD lúc ABCD

e) Trường hợp dây cung AB  R 3 Tính các góc và diện tích của

AOB

 theo R

180 Cho đường tròn  O R có đường kính ;  AB AC và BD là hai dây

cung song song với nhau

a) Chứng minh: ACBD, suy ra CD là đường kính của   O

b) Chứng tỏ ACBD là hình chữ nhật

c) Chứng tỏ rằng nếu dây cung AC  R 2 thì ACBD là hình vuông

và ngược lại

d) Tính diện tích ACBD trong trường hợp  BAC  30 

181 Cho hai đường tròn  O R và ;   O R  ;  có  R 8, R 6 và

10

OO 

a) Chứng tỏ  O R và ;   O R  ;  cắt nhau tại 2 điểm  A và B và

OO là đường trung trực của AB

b) Chứng minh AO là tiếp tuyến của   O và AO là tiếp tuyến

của   O

c) Gọi I là giao điểm OO và AB Tính độ dài của IA, IO

d) Xác định tâm và tính bán kính của đường tròn qua 4 điểm A,

O, B, O

e) Tìm điều kiện về bán kính của đường tròn   O sao cho đường

tròn này không có điểm chung nào với  O R  ;  

Chủ đề 2 ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN

I – SO SÁNH ĐỘ DÀI CỦA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY

VD 1 Cho đường tròn  O R có ;  AB là dây bất kì Chứng minh

2

AB R

 Giải:

 Trường hợp 1: AB là đường kính

 Trường hợp 2: AB không là đường kính

 Định lí:  Trong các dây của một đường tròn, đường kính là

II – QUAN HỆ VUÔNG GÓC GIỮA ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY VD 2 Cho đường tròn tâm O và đường kính AB vuông góc với dây CD tại I Chứng minh I là trung điểm của dây CD  Giải:

 Định lí:  Trong một đường tròn, đường kính vuông góc

R O

A

R

O B

A R O

B

C

O

D B

A

I

VD 3 Cho đường tròn tâm O và đường kính AB, dây cung CD

không đi qua tâm Chứng minh rằng khi AB đi qua trung điểm I của

dây CD thì ABCD Điều này còn đúng không nếu CD đi qua tâm?

Vẽ hình minh họa

 Giải:

 Định lí:  Trong một đường tròn, đường kính đi qua

III – LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH ĐẾN DÂY VD 4 Ôn tập Cho đường thẳng d và điểm A không nằm trên d Từ A dựng AH d tại H Lấy Bd Khi đó:  AH gọi là đường ……… kẻ từ A đến đường thẳng d  AB gọi là đường ………kẻ từ A đến đường thẳng d  Độ dài đoạn AH gọi là đường ……… …… từ điểm A đến đường thẳng d  Ta có kết quả: ………

 Nếu từ tâm của đường tròn   O dựng OH vuông góc với dây CD tại H thì khi đó OH gọi là khoảng cách từ tâm O đến dây CD C O D B A I O B A A d B O D C H 176 Cho đường tròn  O R và điểm ;  I trong   O (I khác O ) a) Hãy vẽ dây cung AB qua I và nhận I làm trung điểm b) Gọi   I là đường tròn tâm I có đường kính AB, đường thẳng OI cắt đường tròn   O tại C và D, cắt đường tròn   I tại E và F Chứng tỏ C, D, E và F cách đều A và B c) Chứng minh: AEBF là hình vuông d) So sánh 2 tích IE IF và IC ID e) Biết

2

R

OI  , tính độ dài các cạnh và diện tích của ACD và hình vuông AEBF theo R

177 Cho đường tròn  O R , ;  H là điểm bên trong   O (H khác O),

CD là đường kính qua H (HCHD), AB là dây cung vuông góc với CD tại H

a) Chứng tỏ CD là đường trung trực của AB b) Chứng minh:  CAD  CBD  90  

c) Chứng minh: HA HB HC HD theo 2 cách:

i Dùng 2 tam giác đồng dạng

ii Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông

d) Trường hợp

2

R

OH  , chứng minh ABC đều và cạnh có độ dài

là R 3 Suy ra cách vẽ tam giác đều có 3 đỉnh nằm trên đường tròn  O R cho trước ; 

178 Cho ABC vuông tại A có đường cao AH Gọi I và K lần lượt là tâm của 2 đường tròn có đường kính HB và HC

a) Chứng tỏ 2 đường tròn   I và   K tiếp xúc ngoài nhau và tiếp

xúc trong với đường tròn qua 3 điểm A, B, C b) Đường tròn   I cắt AB tại D, đường tròn   K cắt AC tại E Chứng minh ADHE là hình chữ nhật và AD AB AE AC Suy

ra ABC đồng dạng với AED c) Chứng tỏ tứ giác BDEC có các góc đối bù nhau

d) Cho AH 4 và HB 3 Tính diện tích của tứ giác BDEC bằng hai cách:

i) Diện tích của nhiều tam giác ii) Diện tích của hai tam giác

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 82

172 Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia bất kì

Ax và By song song với nhau Một đường tròn tâm M tiếp xúc với

AB tại C, với Ax tại D, với By tại E

a) Nêu cách dựng đường tròn tâm M

b) C/minh: ADBE không phụ thuộc vào vị trí của Ax và By

c) Chứng minh: E, M , D thẳng hàng

d) C/m: M thuộc một đường tròn cố định khi Ax và By thay đổi

173 Cho hai đường tròn  O R và ;   O R  ;  tiếp xúc ngoài tại  A Gọi

BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( B    O )

a) Chứng minh:  BAC  90 

b) Gọi D là điểm đối xứng của C qua O C/m: B, A, D thẳng hàng

c) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính OO

d) Chứng minh: BC  2 RR

174 Cho hai đường tròn   O và   O cắt nhau ở A và B Gọi C và lần

lượt là điểm đối xứng của A qua O và O Một đường thẳng   d

bất kì qua A cắt   O và   O tại M và N

a) Chứng minh: C, B, D thẳng hàng

b) AC cắt   O tại E, AD cắt   O tại F Chứng minh: C, D, E,

F cùng thuộc một đường tròn

c) Chứng minh: trung trực của MN luôn đi qua trung điểm của CD

khi   d thay đổi Suy ra trung điểm của MN luôn di động trên

một đường tròn cố định

d) Định vị trí của đường thẳng   d để MN có độ dài lớn nhất

175 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi M là điểm bất kì

thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đến

AB Vẽ đường tròn  M MH Kẻ các tiếp tuyến ;  AC, BD với

đường tròn tâm M (C, D là các tiếp điểm khác H )

a) C/minh: C, M , D thẳng hàng và CD là tiếp tuyến của   O

b) Chứng minh: Khi M di chuyển trên AB thì tổng ACBD

không đổi

c) Giả sử CD và AB cắt nhau tại I C/minh: OH OI không đổi

VD 5 Cho AB và CD là hai dây (khác đường kính) của  O R Gọi ; 

OH, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến AB, CD (hình bên)

a) Chứng minh rằng OH2HB2 OK2KD2

b) Từ kết quả câu a) suy ra:

 Nếu ABCD thì OH OK

 Nếu OH OK thì ABCD

 Giải:

 Định lí 1: Trong một đường tròn: 



O

D

C K

H A

B

VD 6 Sử dụng kết quả câu a) của VD5, hãy so sánh:

 OH và OK nếu biết ABCD

 AB và CD nếu biết OH OK

 Giải:

 Định lí 2: Trong hai dây của một đường tròn: 



VD 7 Chia bánh Trung thu

Bánh Trung thu khi mua về thường người ta để chiếc bánh hình tròn

trong chiếc hộp hình vuông như hình vẽ

Em hãy trình bày cách cắt bánh để chia chiếc bánh thành 2 phần, 4

phần và 8 phần bằng nhau

O

D

C K

H A

B

169 Cho nửa đường tròn   O đường kính AB2R và một điểm M bất

kì trên nửa đường tròn (M khác A, B) Đường thẳng   d tiếp xúc

với nửa đường tròn tại M và cắt trung trực của đoạn AB tại I Đường tròn   I tiếp xúc với AB cắt đường thẳng   d tại C và D

(D nằm trong góc  BOM )

a) C/m: OC, OD là các tia phân giác của các góc  AOM và  BOM

b) Chứng minh: CA và DB vuông góc với AB

AC BDR d) AM cắt BD tại F, BM cắt AC tại E C/m: SABM  SEFM e) Xác định vị trí của M sao cho diện tích hình thang ABCD nhỏ nhất

170 Cho đường tròn   O và dây BC cố định Điểm A di động trên cung lớn

BC Gọi M là trung điểm của dây AC Vẽ đường kính BD của   O

a) Chứng minh: M thuộc một đường tròn cố định Xác định tâm I

của đường tròn này

b) Gọi K là trung điểm của BC, đường tròn   I cắt CD tại J Chứng minh: K, I , J thẳng hàng

c) Gọi H là hình chiếu của M trên AB, chứng tỏ đường thẳng

HM luôn đi qua trung điểm của dây CD khi A thay đổi

d) Chứng minh: khi A di động thì H luôn di động trên một đường tròn cố định

171 Cho đường tròn  O R và đường thẳng ;    d cắt đường tròn tại E,

F Từ điểm A bất kì trên   d và ở ngoài đường tròn   O , vẽ các

tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn   O (B, C là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của EF và BC cắt OA, OH lần lượt tại I ,

K Chứng minh:

a) Năm điểm A, B, C, O, H thuộc một đường tròn

b) OI OA OH OK R2 c) Khi A thay đổi, đường thẳng BC luôn đi qua một điểm cố định d) I luôn thuộc một đường tròn cố định khi A thay đổi

e) KE, KF là các tiếp tuyến của  O R ; 

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 80

166 Cho đường tròn  O R đường kính ;  AB Lấy điểm M    O Gọi

P, Q theo thứ tự là hình chiếu của M trên AB và tiếp tuyến Ax

của   O Gọi I là trung điểm của của PQ

a) Chứng minh: A, I , M thẳng hàng Suy ra I thuộc một đường

tròn cố định và tính theo R bán kính của đường tròn này

b) Tiếp tuyến tại M của   O cắt tiếp tuyến Ax ở N Chứng minh:

O, I , N thẳng hàng và MA là phân giác các góc OMQ, NMP

c) Đường trung trực của đường kính AB cắt MB tại K

Chứng minh: NK R

d) Xác định vị trí của M để AMN đều

167 Cho đường tròn  O R đường kính ;  AB Lấy điểm C ngoài đường

tròn sao cho B là trung điểm của OC Từ C vẽ hai tiếp tuyến CM

và CN đến đường tròn   O (M , N là các tiếp điểm)

a) Chứng minh: AMN là tam giác cân Tính CM và AM theo R

b) Chứng minh: tứ giác AMCN là hình thoi Tính SAMCN theo R

c) Gọi I là trung điểm của CM, AI cắt OM tại K Chứng minh:

K là trung điểm của AI

d) Tính diện tích AKB theo R

168 Cho đường tròn  O R và đường thẳng ;  xy cố định ở ngoài   O Từ

điểm M bất kì trên xy kẻ hai tiếp tuyến MB, MC đến đường tròn

  O (B, C là các tiếp điểm)

a) Xác định tâm O của đường tròn đi qua M, B, O, C

b) Chứng minh:   O luôn đi qua một điểm cố định H khác O

c) Dây cung BC cắt OH tại I và cắt OM tại K Chứng minh:

2

OI OH OK OM R Suy ra khi M thay đổi trên xy thì BC

luôn đi qua một điểm cố định

TH2 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD vuông góc với

AB tại I Chứng minh ACD cân tại A

 Giải:

TH3 Cho hình bên, biết bán kính OA của   O vuông góc với dây BC

A

K O

O

C

B M A

TH4 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Từ O hạ

đường thẳng OH và OK lần lượt vuông góc với AB và AC Chứng

minh rằng nếu OH OK thì ABC là tam giác cân

TH5 Cho đường tròn   O ngoại tiếp tam giác đều ABC Từ O kẻ

OM, ON, OP lần lượt vuông góc với AB, BC, CA Chứng minh rằng

TH6 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn   O Số đo các góc A ,

B, C theo thứ tự là 80, 55, 45 Từ O hạ đường vuông góc OI,

DJ , OK xuống các cạnh tương ứng BC, AC và AB So sánh độ dài

Cho tam giác ABC

nội tiếp trong đường

c) Chứng minh: KI là tiếp tuyến của   O

163 Cho đường tròn  O R và tiếp tuyến ;  xy tại điểm A cố định trên đường tròn Từ điểm B tùy ý trên   O (khác A), kẻ BH xy Đường phân giác trong của góc  AOB cắt BH tại C và cắt xy tại

M Chứng minh:

a) BA là tia phân giác của OBH b) MB là tiếp tuyến của  O R ; 

c) C luôn luôn thuộc một đường tròn cố định khi B thay đổi

164 Cho đường tròn  O R đường kính ;  AB Vẽ dây CD của   O

vuông góc với OA tại trung điểm của M của OA Gọi E là trung điểm của BC

a) Chứng minh: O, M , C, E cùng thuộc một đường tròn

b) Tính BC theo R c) Tiếp tuyến tại B của   O cắt OE tại N C/m: NC là tiếp tuyến của   O

d) Chứng minh: NA chia MC hai phần bằng nhau

e) Chứng minh: MA2MB2MC2MD2 4R2

165 Cho ABC có  A  90  , (AB AC) nội tiếp  O R , có đường cao ; 

AH Gọi M là trung điểm AC a) Chứng minh: A, M , O, H cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm I của đường tròn này

b) Chứng minh:   O và   I tiếp xúc nhau

c) Đường tròn   I cắt AB tại N Chứng minh: I, M , N thẳng hàng

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 78

159 Cho hai đường tròn   O và   O tiếp xúc ngoài A Kẻ tiếp tuyến

chung ngoài DE, D    O , E    O Kẻ tiếp tuyến chung trong tại

A, cắt DE ở I Gọi M là giao điểm của OI và AD, N là giao

160 Cho ABC vuông tại A (AB AC) nội tiếp đường tròn   O có

đường kính BC Kẻ dây AD vuông góc với BC Gọi E là giao

điểm của DB và CA Qua E kẻ đường thẳng vuông góc với BC,

cắt BC ở H, cắt AB ở F Chứng minh:

a) EBF cân b) HAF cân

c) HA là tiếp tuyến của   O

161 Cho   O đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O Vẽ đường

tròn   O có đường kính CB

a) Hai đường tròn   O và   O có vị trí tương đối như thế nào với nhau?

b) Kẻ dây DE của đường tròn   O vuông góc với AC tại trung

điểm H của AC Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi K là giao điểm của DB và   O Chứng minh: ba điểm E,

C, K thẳng hàng

d) Chứng minh: KH là tiếp tuyến của   O

162 Cho hai đường tròn  O R và ;   O R  ;  tiếp xúc ngoài tại  A

(RR) Vẽ các đường kính AOB, AO C Dây DE của đường tròn

  O vuông góc với BC tại trung điểm K của BC

a) Chứng minh: tứ giác BDCE là hình thoi

TH7 Cho tam giác ABC là tam giác cân có góc đỉnh A bằng 30, nội tiếp đường tròn tâm O Từ O hạ các đường thẳng vuông góc OM và

ON xuống các cạnh tương ứng AB và BC Chứng minh OM ON

 Giải:

b) Cho đường tròn   O đường kính AB , dây CD cắt đường kính

AB tại I Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A và B trên

CD Chứng minh: CH DK

37 Tứ giác ABCD có  B  D  90   a) C/minh: bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn b) So sánh AC và BD Nếu ABCD thì tứ giác ABCD là hình gì?

38 Cho đường tròn   O có đường kính AD2R Vẽ cung tròn tâm D

bán kính R, cung này cắt đường tròn   O ở B và C a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính các góc CBD, CBO, OBA c) Chứng minh: ABC đều

39 Cho đường tròn  O R và điểm ;  M nằm bên trong đường tròn a) Hãy nêu cách dựng AB nhận M làm trung điểm

b) Tính AB, biết R 5 cm, OM 1, 4 cm

40 a) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD Các

đường vuông góc với CD tại C và D tương ứng cắt AB ở M và

N Chứng minh: AM BN

b) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Trên AB lấy các

điểm M, N sao cho AM BN Qua M và N kẻ các đường thẳng

song song với nhau, chúng cắt nửa đường tròn lần lượt tại C và D

Chứng minh: MCCD và NDCD

41 Cho đường tròn   O , điểm A nằm bên trong đường tròn, điểm B

nằm bên ngoài đường tròn sao cho trung điểm I của AB nằm bên

trong đường tròn Vẽ dây CDOI tại I Tứ giác ACBD là hình

gì? Vì sao?

42 Cho đường tròn tâm O bán kính 5 cm , dây AB 8 cm

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB

b) Gọi I là điểm thuộc dây AB sao cho AI 1 cm Kẻ dây CD đi

qua I và vuông góc với AB Chứng minh CD AB

43 Cho đường tròn tâm O bán kính 25 cm, dây AB 40 cm Vẽ dây

CD song song với AB và có khoảng cách đến AB bằng 22 cm

Tính độ dài dây CD

44 Cho đường tròn   O , điểm A nằm bên trong đường tròn Vẽ dây

BCOA tại A Vẽ dây EF bất kỳ đi qua A và không vuông góc

với OA So sánh BC và EF

45 Cho đường tròn tâm O có các dây cung AB và CD bằng nhau và

vuông O đến mỗi dây

46 Cho   O có các dây cung AB và CD bằng nhau, các tia AB và

CD cắt nhau tại E nằm nên ngoài đường tròn Gọi H và K lần

lượt là trung điểm của của AB và CD Chứng minh:

47 Cho đường tròn   O , dây AB và CD (ABCD) cắt nhau tại K

nằm bên ngoài đường tròn Đường tròn  O OK cắt ;  KA và BC lần

lượt tạo M và N So sánh KM và KN

156 Cho đường tròn tâm O đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn Gọi N là điểm đối xứng với A qua M BN cắt đường tròn ở C Gọi E là giao điểm của AC và BM

a) Chứng minh: NE AB b) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M Chứng minh: FA là tiếp tuyến của   O

c) Chứng minh: FN là tiếp tuyến của đường tròn  B BA ; 

157 Cho đường tròn  O R và hai điểm ;  A, B thuộc đường tròn Tiếp tuyến tại A và B của   O cắt nhau tại C Tia CO cắt   O tại E

và F (EOC) Gọi I là trung điểm của AB a) Cho biết  AOB  120 

i Tính OI theo R và chứng minh I thuộc một đường thẳng cố định khi A, B di động trên   O sao cho  AOB luôn có số đo

bằng 120

ii Lấy KAC (AK AC) Vẽ đường tròn đường kính OK cắt cung AB của   O tại M (M khác A) Tia KM cắt BC tại

H Chứng minh: KH là tiếp tuyến của   O

iii Lấy TAB sao cho  KOT  60  (A, T nằm khác phía đối với OK) Chứng minh: O, T, H thẳng hàng

E và F Gọi M là trung điểm của EF, đường thẳng   d qua C

và song song với AM Đoạn thẳng AM cắt CD tại I Chứng minh:   d tiếp xúc   O

c) Chứng minh: bốn điểm I, O, M , B cùng thuộc một đường tròn

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 76

153 Cho ABC vuông tại A có  B  60  và BC2a Vẽ đường kính

AB và đường tròn   F đường kính AC Hai đường tròn này cắt

nhau tại điểm thứ hai là H

a) Chứng minh: B, H, C thẳng hàng

b) Chứng minh: AC tiếp xúc   E và EF AH tại K

c) Tính theo a diện tích AKF

d) Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh: A, E, H, M , F

cùng thuộc một đường tròn

154 Cho đoạn thẳng AB, điểm C nằm giữa A và B Vẽ về một phía

của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC

và CB Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn lớn tại

D DA, DB cắt nửa đường tròn có đường kính AC, CB theo thứ

d) Điểm C ở vị trí nào trên AB thì MN có độ dài lớn nhất?

155 Cho đường tròn  O R đường kính ;  AB và   d la tiếp tuyến của

  O tại A M là điểm di động trên   d Kẻ tiếp tuyến MC đến

  O (C là tiếp điểm khác A) Tia BC cắt   d tại K và kẻ CH

vuông góc với AB tại H

a) Chứng minh: OM //BK

b) BM cắt CH tại I Chứng minh: I là trung điểm của CH

c) Gọi N là trực tâm của AMC Chứng minh: tứ giác AOCN là

hình bình hành Từ đó suy ra N di động trên đường cố định, chỉ

rõ đường cố định đó?

d) Cho OM 2R Chứng minh: AMC đều và tính AM , SAMC

theo R

48 Cho đường tròn   O , dây AB và CD (ABCD) cắt nhau tại M Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và CD So sánh MH

và MK (Chú ý: xét 2 trường hợp của điểm M)

49 Cho đường tròn   O , hai dây AB và CD (ABCD) cắt nhau tại I

nằm bên trong đường tròn Chứng minh:

a) OI là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và

CD b) I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau từng đôi một

50 Cho đường tròn   O , dây AB bất kỳ không đi qua tâm Trên cung nhỏ AB lấy hai điểm phân biệt C, D sao cho D nằm trên cung nhỏ

ADBC Chứng minh: CD//AB

51 Cho đường tròn  O ;5 cm  , hai dây AB, CD (CD//AB), biết

8 cm

AB  , CD 6 cm Tính khoảng cách giữa hai dây

52 Cho đường tròn   O và điểm I nằm bên trong đường tròn Vẽ dây

ABOI tại I Chứng minh rằng AB là dây cung ngắn hơn mọi dây cung khác đi qua I

53 Cho ABC nội tiếp trong đường tròn   O có  A  B   C  Gọi OH,

OI, OK lần lượt là khoảng cách từ O đến BC, AC và AB So sánh các độ dài OH , OI, OK

54 Cho đường tròn   O , các bán kính OA, OB Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM BN Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN Chứng minh rằng:

a) OC là tia phân giác của  AOB b) OC AB

55 Cho  O R và một điểm ;  A cố định với

2

R

OA  Một dây cung

MN quay quanh A a) Chứng minh: trung điểm của MN thuộc một đường tròn cố định b) Xác định vị trí của MN để độ dài MN ngắn nhất? Dài nhất? Tính

độ dài ngắn nhất, dài nhất đó của MN

56 Cho ABC vuông tại A, M là điểm di động trên cạnh huyền BC

Gọi   O là đường tròn đường kính AM

a) Chứng minh:   O luôn đi qua hai điểm cố định

b) Đường tròn   O cắt AB, AC lần lượt tại E và F Định vị trí

của M sao cho độ dài EF nhỏ nhất

57 Cho đường tròn   O và dây AB cố định M và N là hai điểm di

động lần lượt trên cung lớn và cung nhỏ A B

2

AMBN

b) Định vị trí của MN để diện tích tứ giác AMBN lớn nhất

58 Cho đường tròn   O và dây BC cố định Điểm A di chuyển trên

cung lớn BC Gọi M là trung điểm của AC và H là hình chiếu

của M trên AB Kẻ CDBC Chứng minh:

a) B, O, D thẳng hàng

b) MH luôn đi qua một điểm cố định

59 Cho hình vuông ABCD cạnh a , O là giao điểm của hai đường

chéo Gọi M là trung điểm của OB, N là trung điểm của CD

a) Xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABN

b) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp AON và E là trung điểm

của ON Chứng minh: KIE và AND đồng dạng

c) Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp AON

d) Chứng minh  AMN  90  và AN MD

60 Cho đường tròn   O và hai điểm A, B nằm bên trong đường tròn

và không cùng thuộc một đường kính Dựng hai dây song song và

bằng nhau sao cho điểm A nằm trên một dây, điểm B nằm trên dây

còn lại

149 Cho ABC vuông tại A Vẽ các đường tròn   O và   I đi qua A

và tiếp xúc với BC tại các điểm B và C Gọi M là trung điểm của

BC Chứng minh:

a) Các đường tròn   O và   I tiếp xúc với nhau

b) AM là tiếp tuyến chung của hai đường tròn   O và   I

c) OMI vuông

d) BC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OMI

150 Cho  O R và ;   O r  ;  tiếp xúc ngoài tại A Gọi BC là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( B    O , C    O ) Tiếp tuyến chung trong của   O và   O cắt BC tại I

a) Chứng tỏ các góc  BAC và  OIO là góc vuông

b) Kẻ đường kính BD của   O C/m ba điểm A, C, D thẳng hàng c) Tính theo R và r độ dài BC, BA, CA

d) Kẻ đường kính CE của   O Chứng minh: SABC  SADE

151 Cho  O R và ;   O r ở ngoài nhau ;  AB là một trong các tiếp tuyến chung ngoài, EF là một trong các tiếp tuyến chung trong (A và E

thuộc đường tròn   O ) EF cắt AB tại C a) Chứng minh: OCO C

b) Chứng minh: AC BC R r c) Tính AB, EF theo R, r và OO d

152 Cho hai đường tròn   O và   O cắt nhau tại A và B Dây AC của đường tròn   O tiếp xúc với đường tròn   O tại A Dây AD của đường tròn   O tiếp xúc với đường tròn   O tại A Gọi K là điểm đối xứng với A qua trung điểm của I của OO, E là điểm đối xứng với A qua B Chứng minh:

a) ABKB b) Bốn điểm A, C, E, D nằm trên một đường tròn

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 74

144 Cho ABC vuông tại A, đường cao AH Vẽ đường tròn  A AH ; 

Kẻ các tiếp tuyến BD, CE với đường tròn (D, E là các tiếp điểm

khác H) Chứng minh:

a) Ba điểm D, A, E thẳng hàng

b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

145 Cho đường tròn  O R tiếp xúc với đường thẳng ;  xy tại A Trên tia

Oz song song với đường thẳng xy lấy điểm I Từ I vẽ các tiếp

tuyến với   O cắt xy tại E và F

a) Chứng minh: I là tâm đường tròn ngoại tiếp OEF

b) Cho OI  R 2 , tính chu vi IEF

146 Cho hai đường tròn đồng tâm O Một đường tròn   O cắt đường

tròn nhỏ tại A và B, cắt đường tròn lớn tại C và D Chứng minh

rằng AB CD//

147 Cho ABC vuông tại A, có ABa, BC2a Các đường tròn

đường kính AB, AC cắt nhau tại điểm thứ hai là D

a) Chứng minh: B, C, D thẳng hàng

b) Gọi E và F lần lượt là điểm đối xứng của D qua AB và AC

Chứng minh: E, A, F thẳng hàng

c) Tính theo a khoảng cách từ trung điểm O của BC đến EF

d) Tính theo a diện tích tứ giác BCEF

148 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Đường thẳng   d tiếp xúc

với nửa đường tròn tại C Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của

A và B trên   d Chứng minh:

a) C là trung điểm của DE

b)  A AD và ;   B BE tiếp xúc ngoài nhau tại một điểm ;  H thuộc

đường kính AB

61 OPEN-ENDED MATH In the cross section of the submarine

shown, the control panels are parallel and the same length Explain two ways you can find the center of the cross section

62 MULTI-STEP PROBLEM If

a car goes around a turn too quickly, it can leave tracks that form an arc of a circle By finding the radius of the circle, accident investigators can estimate the speed of the car

a To find the radius, choose points A and B on the tire marks

Then find the midpoint C of AB Measure CD, as shown Find the radius r of the circle

b The formula S  3.86 fr can be used to estimate a car’s speed in miles per hours, where f is the coefficient of friction and r is the radius of the circle in feet The coefficient of friction measures how slippery a road is If f 0.7, estimate the car’s speed in part (a)

63 GARDENING Three bushes

are arranged in a garden as shown Where should you place a sprinkler so that it is the same distance from each bush?

D – CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

64 Xét đường tròn   O đường kính AB vuông góc với dây CD tại I

Gọi E và F là hình chiếu của O trên AC và AD (EAC)

Khẳng định nào sau đây đúng?

A ACD là tam giác cân B OEOF

C 1

2

65 Cho đường tròn  O ;34 cm  có OI vuông góc với dây MN

(IMN) sao cho OI 30 cm, thì độ dài của MN bằng:

A 30 cm B 32 cm C 34 cm D 40 cm

66 Cho đường tròn  O R dây ;  AB 19, 2 cm Gọi H là hình chiếu của

O trên AB Cho biết OH 7, 2 cm Độ dài R bằng:

A 12 cm B 13 cm C 14, 5 cm D 15, 6 cm

67 Cho đường tròn   O đường kính AB và dây CD vuông góc với

OB tại trung điểm I của OB Tứ giác OCBD là hình gì?

68 Cho đường tròn   O , đường kính AB và dây CD không cắt đường

kính AB Gọi M và N theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên

đường thẳng CD Gọi I là trung điểm của dây CD AMON là tam

giác gì?

C Tam giác vuông D Tam giác vuông cân

69 Cho đường tròn  O ; 6, 5 cm  có đường kính MN và dây

12 cm

MP  Vẽ dây PQ vuông góc với MN tại H Tính độ dài

dây PQ (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất)

A 8, 5 cm B 9, 2 cm C 10, 4 cm D 10,8 cm

140 Cho đường tròn  O R đường kính ;  AB và một điểm C nằm trên đường tròn Đường thẳng song song với AC kẻ từ O cắt tiếp tuyến tại C của   O tại D Chứng minh:

a)  COD  BOD  b) DB cũng là tiếp tuyến tại B của   O

c) AC OD 2R2

141 Cho đường tròn  O R và một điểm ;  A nằm ngoài   O Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM , AN của   O (M , N là hai tiếp điểm)

a) AMN là tam giác gì? Vì sao?

b) Đường thẳng vuông góc với OM tại O cắt đường thẳng AN tại

P Chứng minh: APPO c) Gọi H là giao đểm của AO và MN Chứng minh: OH OA R2

142 Cho đường tròn  O R đường kính ;  AB Từ trung điểm I của bán kính OB vẽ dây cung CD vuông góc với OB

a) So sánh IC và ID b) Tiếp tuyến tại C của   O cắt đường thẳng AB tại M C/m: i) COM  DOM

ii) MD là tiếp tuyến của   O

c) Tính độ dài đoạn MC theo R

143 Cho  O ;3 cm  và điểm A sao cho OA 5 cm Kẻ cac tiếp tuyến

AB, AC với đường tròn (B, C là hai tiếp điểm) Gọi H là giao điểm của AO và BC

a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M bắt kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự tại D và E Tính chi vi ADE

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 72

1 Đường tròn tâm O bán kính R (với R 0) là hình gồm các điểm

cũng là trục đối xứng của đường tròn đó

7 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là …………

8 Trong một đường tròn

a) Đường kính vuông góc với một dây thì đi qua của dây ấy

b) Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì

vuông góc với dây ấy

9 Trong một đường tròn:

a) Hai dây ……… thì cách đều tâm, hai dây ………… thì

bằng nhau

b) Dây …… thì gần tâm hơn, dây thì lớn hơn

10 Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó

……… với bán kính đi qua

11 Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và …………

với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một của đường

tròn

12 Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

a) Điểm đó …… hai tiếp điểm

b) Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là ……… của góc tạo bởi hai tiếp

tuyến

c) Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là của góc tạo bởi hai bán

kính đi qua các tiếp điểm

13 Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường ……… …………

của dây chung

70 Cho đường tròn   O và hai dây bằng nhau AB và CD Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại điểm P nằm ngoài   O Gọi H và

K theo thứ tự là trung điểm của hai dây AB và CD

73 Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn   O Gọi E và F

theo thứ tự là hình chiếu của O trên AB và AC Khẳng định nào sau đây đúng ?

A OEOF B AO là tia phân giác của  BAC

C AEF cân tại A D A, B, C đều đúng

74 P has a radius of 3 and  AOB  90  What is the length of AB?

T

5 x  9

2x

3 x  2

O

4 x  1 7

x  15

15

N O

P

L

M Q

11 Tiếp tuyến của đường tròn là đường thẳng có điểm chung duy nhất với

đường tròn (điểm chung đó gọi là tiếp điểm)

a Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

b Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

12 Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

a Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

b Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

c Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua tiếp điểm

13 a Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của  gọi là đường tròn nội tiếp

tam giác

b Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác

14 a Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và các phần kéo dài của

hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp của tam giác

b Tâm của đường tròn bàng tiếp của tam giác là giao điểm của phân giác trong và hai phân giác ngoài của hai góc còn lại

15 Vị trí tương đối của hai đường tròn:

Cho O R;  và O r;  với Rr và OO d

  O và  O cắt nhau  R–rdRr

  O và  O tiếp xúc ngoài  d Rr

  O và  O tiếp xúc trong  d R–r

  O và  O ở ngoài nhau  d Rr

  O và  O đựng nhau  d R–r

  O và  O đồng tâm  d 0

16 Tính chất đường nối tâm:

a Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nối tâm, tức là đường nối tâm là đường trung trực của dây chung

b Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

17 Tiếp tuyến chung của hai đường tròn là đường thẳng tiếp xúc với cả hai

đường tròn Có hai loại: tiếp tuyến chung trong (cắt đoạn nối tâm) và tiếp tuyến chung ngoài (không cắt đoạn nối tâm)

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 70

ÔN TẬP CHƯƠNG 2

bằng R là đường tròn tâm O bán kính R Kí hiệu O R;  hoặc  O

 ; 

OMRM O R

2 a Qua 3 điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

b Đường tròn qua 3 đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp

tam giác đó Khi đó tam giác được gọi là nội tiếp đường tròn Tâm

của đường tròn này là giao điểm của hai hay ba đường trung trực của

tam giác đó

b Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại

tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông

4 Đường tròn là hình có tâm đối xứng Đó là tâm của đường tròn đó

5 Đường tròn có vô số trục đối xứng, đó là bất kì đường kính nào của

đường tròn

6 Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính Từ đó suy

ra nếu AB là một dây cung bất kì của O R thì ;  AB2R

7 a Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua

trung điểm của dây ấy

b Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây

không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

8 Trong một đường tròn:

a Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

b Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

9 Trong hai dây của một đường tròn:

a Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

b Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

a d R  a và  O không có điểm chung

b d R  a và  O tiếp xúc nhau (có một điểm chung)

c dR  a và  O cắt nhau (có hai điểm chung)

Nếu xem đường chân trời như đường thẳng và mặt trời là hình tròn thì

ta có thể vẽ lại các hình trên như thế nào? Em hãy vẽ 3 hình tròn tương ứng Mặt trời trong mỗi hình bên trên

 Kết luận: Với một đường thẳng và một đường tròn thì ta có







Em hãy tìm thêm vài hình ảnh thực tế tương tự hình ảnh mặt trời mọc

để minh họa cho kết luận trên







2 Ba vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

VD 1 Cho đường tròn  O R , đường thẳng a cắt đường tròn tại hai ; 

điểm A và B Gọi H là chân của đường vuông góc kẻ từ O đến

đường thẳng a Hãy so sánh OH với R

VD 2 Quan sát hình bên, hãy tìm số điểm chung giữa đường thẳng a

và đường tròn  O R rồi so sánh ;  OH với R (H là chân đường

VD 3 Cho đường tròn  O ; 4 cm  , a là tiếp tuyến với   O tại A M

là một điểm trên a sao cho AM 3 cm Tính OM

O

H

R a

O A

136 Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB Vẽ các đường tròn

 O OA và ;   B BA Kẻ một đường thẳng qua ;  A cắt hai đường tròn

  O và   B theo thứ tự tại C và D Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hai đường tròn   O và   B tiếp xúc trong tại A

thuộc   O Khẳng định nào sau đây sai?

Α IBD# IAC B BO D # AOC

139 Cho hai đường tròn  O ;5 cm  và  O ;3 cm  tiếp xúc ngoài tại A

Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC ( B    O và C    O Vẽ đường tròn  I r tiếp xúc với ;  BC tại M và tiếp xúc ngoài với hai đường tròn   O và   O tại N và P Tính độ dài r (Làm tròn kết quả đến

chữ số thập phân thứ hai) Khẳng định nào sau đây đúng?

A 0, 75 cm B 0, 95 cm C 1, 24 cm D 1,83 cm

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 68

130 Cho hai đường tròn  O R và ;   O R cắt nhau tại ;  A và B Khẳng

định nào sau đây đúng?

A AB là đường trung trực của OO

B OO là đường trung trực của dây AB

C Tứ giác OAOB là hình thoi

D A, B, C đều đúng

131 Cho hai đường tròn  O ;13 cm  và  O ;15 cm  cắt nhau tại A và B

sao cho AB 24 cm Tính độ dài OO

A 11 cm B 13 cm C 14 cm D 15 cm

132 Cho hai đường tròn   O và   O cắt nhau tại A và B Gọi I là

trung điểm của OO Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA cắt

  O tại C và cắt   O tại D So sánh AC và AD

A AC AD B AC AD

133 Cho hai đường tròn   O và   O tiếp xúc ngoài tại A Vẽ hai bán

kính OM và O N song song với nhau thuộc cùng một nửa mặt

phẳng có bờ OO Tam giác MAN là tam giác gì?

134 Cho hai đường tròn  O ;8 cm  và  O ;5 cm  tiếp xúc ngoài tại M

Gọi AB là tiếp tuyến chung của hai đường tròn ( A    O , B    O )

Tính độ dài AB (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai)

A 8, 75 cm B 10,85 cm C 12, 65 cm D 14, 08 cm

135 Cho hai đường tròn  O R và ;   O R cắt nhau tại ;  A và B sao cho

tâm đường tròn này nằm trên đường tròn kia Tính theo R diện tích

3

R

25

2

R

VD 4 Quan sát hình bên hãy tìm số điểm chung giữa đường thẳng a

 Kết luận 4: Hoàn thành bảng sau:

Gọi d là khoảng cách từ tâm đường tròn  O R đến đường thẳng a ; 

Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn Hình vẽ

Số điểm chung

VD 5 Cho tam giác ABC vuông tại A có AB 3 cm, AC 4 cm

Từ C làm tâm về các đường tròn  C ; 4 cm  ,  C ;5cm  và  C ;5cm  , Hãy xét mối quan hệ của AB với mỗi đường tròn trên

 Giải:

R d a O

R d a O

R d a O

O

H

R a

A

C

B

34

II – DẤU HIỆU NHẬN BIẾT TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN

1 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

 Dấu hiệu 1: Nếu đường thẳng và đường tròn có một và chỉ một

điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn

 Dấu hiệu 2: Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn

và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là tiếp

tuyến của đường tròn

VD 6 Cho hình bên, chứng minh BC là tiếp

tuyến của đường tròn  A AB ; 

Suy ra BC là ……… của đường tròn  A AB ; 

VD 7 Cho tam giác ABC có AB 3 cm, AC 4 cm, BC 5 cm

Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn  B ;3 cm 

2 Cách vẽ tiếp tuyến của đường tròn

VD 8 Cho đường tròn   O và điểm A nằm trên đường tròn Từ A

vẽ đường thẳng d vuông góc với OA tại A Chứng tỏ đường thẳng

d là tiếp tuyến của đường tròn   O

124 Cho hai đường tròn   O và   O cắt nhau tại A và B, trong đó O

nằm trên   O Kẻ đường kính O OC của đường tròn   O

a) Chứng minh: CA, CB là các tiếp tuyến của   O

b) Đường vuông góc với AO tại O cắt CB ở I Đường vuông góc với AC tại C cắt đường thẳng O B ở K Chứng minh O, I, K

thẳng hàng

125 Cho hai đường tròn đồng tâm O Gọi AB là dây bất kì của đường tròn nhỏ Đường thẳng AB cắt đường tròn lớn ở C và D (A nằm giữa B và C) So sánh AC và BD

126 Cho I là trung điểm của của đọan thẳng AB Vẽ các đường tròn

 I IA và ;   B BA ; 

a) Xét vị trí tương đối của hai đường tròn   I và   B

b) Đường thẳng qua A cắt các đường tròn   I và   B theo thứ tự

tại M và N So sánh AM và MN

127 Cho hai đường tròn   O và   O tiếp xúc ngoài tại A Gọi CD là tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn ( C    O , D    O ) a) Tính  CAD b) Tính CD biết OA 4, 5 cm và O A 2 cm

128 Cho đường tròn  O ;3 cm  và đường tròn  O ;1 cm  tiếp xúc ngoài nhau tại A Vẽ hai bán kính OB và O C song song với nhau và thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ OO

a) Tính  BAC

b) Gọi I là giao điểm của BC và OO Tính OI

129 Cho  O ; 48 cm  và  O ;14 cm  , khoảng cách tâm là d 50 cm a) Chứng minh:   O và   O cắt nhau tại A và B

b) Tính  OAA

c) Tính AB

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 66

c) Không có điểm chung với   O ?

118 Cho  O R và điểm ;  I cách O một khoảng dR Với giá trị nào

của r thì đường tròn  I r tiếp xúc với ;   O R ? ; 

119 Cho hai đường tròn   O và   O tiếp xúc ngoài nhau tại A Đường

thẳng bất kì qua A cắt   O và   O theo thứ tự tại B và C Chứng

minh rằng các tiếp tuyến tại B và C song với nhau

120 Cho  O ;30 cm  và (O; 40 cm) cắt nhau tại A và B Biết

48 cm

AB  Chứng minh: OO là đường trung trực của AB Tính

khoảng cách OO

121 Cho hai đường tròn   O và   O cắt nhau tại A và B Kẻ các

đường kính AOC và AO D Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng

hàng và ABCD

122 Cho   O và   O cắt nhau tại A và B Gọi I là trung điểm của

OO Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với IA, cắt   O và   O tại

C và D (khác A ) Chứng minh: ACAD

123 Cho hai đường tròn   O và   O tiếp xúc ngoài nhau tại A Vẽ hai

đường kính AOB và AO C Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai

đường tròn, D    O , E    O Gọi M là giao điểm của BD và CE

a) Tính  DAE

b) Tứ giác ADME là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh: MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn

VD 9 Cho đường tròn   O và điểm A nằm bên ngoài đường tròn

Vẽ đường tròn tâm I đường kính AO, đường tròn   I cắt đường tròn

  O tại B và C Chứng tỏ rằng AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn   O

 Giải:

 Kết luận: Ta có thể vẽ tiếp tuyến của đường tròn theo 2 cách:

 Tiếp tuyến tại một điểm trên đường tròn: làm như VD8

 Tiếp tuyến từ một điểm bên ngoài đường tròn: làm như VD9

VD 10 Vẽ (các) tiếp tuyến đi qua điểm A của đường tròn   O trong

hai trường hợp sau:

A

O A

O

III – TÍNH CHẤT HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU

1 Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau

VD 11 Cho hình bên với AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn

  O (B, C là tiếp điểm) Chứng tỏ rằng:

a) AB AC

b) AO là phân giác của  BAC

c) CA là phân giác của  BOC

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 64

TH5 Trên hình bên, hai đường tròn tiếp xúc tại A Chứng minh rằng

TH6 Cho đường tròn  O R ;  có đường kính AB và hai tiếp tuyến Ax, By

Một tiếp tuyến khác tại điểm M cắt Ax ở C và cắt By ở D

a) Chứng minh: CDACBD

b) Chứng minh: COD vuông

c) Chứng minh: AB2 4AC BD

d) AM cắt OC tại I, BM cắt OD tại K Tứ giác OIMK là hình gì? Định

vị trí của M để OIMK là hình vuông

e) AM cắt By tại F, BM cắt Ax tại E Chứng minh:

i C là trung điểm của AE ii) SABM  SEFM

D

2 Đường tròn nội tiếp tam giác

VD 12 Gọi I là giao điểm ba đường phân giác trong tam giác ABC,

Vẽ ID , IE , IF lần lượt vuông góc với BC, AC và AB a) Chứng minh rằng IEIF

b) Chứng minh rằng IEID Suy ra ba điểm D, E và F cùng nằm trên đường tròn  I ID ; 

 Giải:

 Kết luận: Đường tròn nội tiếp tam giác

VD 13 Cho tam giác đều ABC cạnh 2 cm Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác

 Giải:

3 Đường tròn bàng tiếp tam giác

VD 14 Gọi K là giao điểm đường phân giác của góc A với các

đường phân giác của hai góc ngoài tại B và C của tam giác ABC,

D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ K xuống các

 Ghi nhớ: Một tam giác có … đường tròn ngoại tiếp, … đường tròn nội

tiếp, … đường tròn bàng tiếp

VD 15 Cho tam giác đều ABC cạnh a , vẽ đường tròn bàng tiếp góc

b) Dây AD của đường tròn lớn cắt đường tròn nhỏ ở C Chứng minh rằng OD O C// 

 Giải:

Gv: Trần Quốc Nghĩa Trang 62

TH1 Cho hai đường tròn   O và   O cắt nhau tại hai điểm A, B I

là giao điểm của AB vào OO Kẻ các đường kính AC của đường tròn

  O và đường kính AD của đường tròn   O

a) Đường thẳng d có vị trí như thế nào với đường tròn   O ? Vì sao?

b) Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng d và đường tròn   O

Tính độ dài đoạn thẳng AB

 Giải:

TH2 Cho đường tròn   O , điểm A nằm bên ngoài đường tròn Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm)

a) Chứng minh OABC b) Vẽ đường kính CD Chứng minh BD song song với AO

 Giải: