giải tích 2 tài liệu học tập có hướng dẫn giải

Tài liệu ôn thi giải tích 2 CHƯƠNG I: CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ 1.1 Chứng minh chuỗi số hội tụ phân kỳ... *Dùng đạo hàm hoặc tích phân để tính tổng... Chú ý ta có thể biến đổi linh

Tài liệu ôn thi giải tích 2

CHƯƠNG I: CÁC LOẠI BÀI TẬP VỀ CHUỖI SỐ

1.1) Chứng minh chuỗi số hội tụ phân kỳ

*) Chuỗi số dương

1.1.1) Tiêu chuẩn dalambert

Cho chuỗi số dương

1

n n

n

U

D U



+) Nếu D > 1 chuỗi số phân kỳ

+)Nếu D < 1 chuỗi số hội tụ

1.1.2) Tiêu chuẩn cô-si

Cho chuỗi số dương

1

n n

+)Nếu C < 1 chuỗi số hội tụ

V





 , Nếu Un  Vn ,  N  No

+)Nếu

1

n n

Với 0 < K < + thì 2 chuỗi số

1

n n

*) Chuỗi đan dấu

Khi xét sự hội tụ của chuỗi đan dấu 1

n n

n n

n n

n n

n

n

n n

2 1

+)Bước 3

+) Kết luận miền hội tụ dựa vào bước 2 xem tại 2 đầu mút hội tụ tại điểm x=r hay x=-r

để lấy dấu bằng tại đầu mút đó

Ví dụ 1 : Tìm miền hội tụ của chuỗi số sau

1

1

n n

Xét lim 1

n n

n

n n

n

n n

n

n n

 0 suy ra tại X=2 chuỗi phân kì

Tương tự với X=-2 chuỗi số cũng phân kì

Suy ra miền hội tụ X   2, 2 

2 !

n n

n

n

x n

1

.

2 !

n n

n

n

x n

2 !

n n

n

n

x n

n

n

x x

 )

*)Dùng đạo hàm hoặc tích phân để tính tổng

Ví dụ 2 Tìm MHT và tính tổng của chuỗi số sau  

2 5 2

n n n

x n

n n n

x n

2 1

n n n

x x

n n n

x n

n n n

x n

1 3

n n n

19

Chú ý ta có thể biến đổi linh hoạt phép tích phân và đạo hàm để đưa về các tổng dễ tính hơn để thực hiện

Bài tập Tìm MHT và tính tổng các chuỗi số sau

n n n

x n

CHƯƠNG II : CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN

I)Cực trị không có điều kiện (99% thi cuối kì )

Gỉa sử cho hàm số F(x,y) , Tìm cực trị của hàm F(x,y)

+) B1 Xét hpt //( ) 0

(y) 0

F x F

(x) (xy) (yx) (y)

(x) 0 ham so dat cuc tieu(x) 0 ham so dat cuc dai

F F

 





-)Nếu D<0 suy ra hàm số không tồn tại cực trị

+)B3 Kết luận tồn tại cực trị tại điểm nào và F cực trị

x y

(x) (xy) (yx) (y)

DetB= 2.4-2.2= 4>0 mà lại có F// = 2>0

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại A (-7,5) và f ct=27

Vậy …………

II)Cực trị có điều kiện (99% không thi cuối kì )

Gỉa sử F(x,y) với điều kiện G(x,y) =a

+)B1 Xét phương trình larange Q(x,y,  ) = F(x,y) + .( G(x,y) –a )

+)B2 Xét hpt

/ / /

Q Q

x y

Làm tương tự với trường hợp 1

2

   rồi kết luận Bài tập Tìm cực trị của các hàm số sau

y

x    z

d) f x y ( , )   3 y3 x y x2  2 2 x y  2 x

************************

CHƯƠNG II : Tích phân bội

2)Dạng 2 Tính bằng phương pháp đổi biến

B1

03

Bài tập Sử dụng đổi biến dạng 1 tính các tích phân sau

2.2) Đổi biến dạng 2 ( đổi biến tọa độ cực)

+)Đặc điểm nhận dạng miền D thường cho dưới dạng 1 pt đường tròn và 1 hoặc nhiều điều kiện khác

+)B2 với cách đặt như trên ta luôn có DetJ=r

Hoặc tính DetJ tương tự như đổi biến dạng 1 bằng ma trận sau

Từ cách đặt, thay x và y lần lượt vào phương trình của miền D ta có

4

r d

Đặt

1

cos 2

r r

+)3.1 Công thức tính trong hệ tọa độ đề các

Nếu f x y z( , , ) liên tục trong miền V cho bởi hệ phương trình sau

+)3.2 Công thức trong tọa độ trụ

a) Tọa độ trụ : Tọa độ M(x,y,z)  0xyz là bộ 3 số sắp theo thứ tự ( , , )r  z trong đó( , )r 

là tọa độ cực M’(x,y) , hình chiếu của M lên mặt phẳng 0xy vậy với mọi điểm của không gian ta có r 0, 0    2 , -     z

(*) ta cũng phải tính DetJ thông thường nếu đặt như (*) thì DetJ=r

Tính tích phân như bình thường suy ra kết quả

Chú ý với tính tích phân bằng phương pháp đổi biến nhớ phải có DetJ

Bài tập ôn chương 3

y x

x y

x a

1 (AB)

0 1

x OB

y

y x x

Ta viết lại miền L trong tọa độ cực

2) Tích phân đường loại 2

+) Gỉa sử 2 hàm số P(x,y) và Q(x,y) liên tục trên cung ABtrơ cho bởi phương trình

t

t AB

P   dt Q x t y t dt

Chú ý tích phân đường loại 2 phụ thuộc vào đường đi của tích phân

C(5,0) Lấy ngược chiều kim đồng hồ

0 0

0

( , ) ( , ) (x, )

y x

Lời giải

9 (D )( ) :S x y xy

x y y z

Với Dxy là phần tô màu đỏ với làm tương tự ví dụ 1

+) Vectơ pháp tuyến đơn vị là n (cos , cos , cos )   

 ( cos cos cos )

+) Nếu đổi hướng của vecto pháp tuyến thì tích phân đổi dấu

+) Dấu của vecto pháp tuyến đơn vị phụ thuộc đề bài

I z x y dxdy    x y x y dxdyáp dụng tọa độ cực để tính

2.1) Công thức (O-G) ( Đưa tích phân mặt loại 2 về tích phân bội 3 ở chương 3 để tính)

+)Định lý Cho E là một miền kín bị chặn trong R3 có biến là 1 mặt kín trơn từng mảng hướng ra ngoài S các hàm P x y z( , , ), Q(x, y, z), R(x, y, z)liên tục cùng các đạo hàm riêng cấp

2.2) Định lý stokes

Định lý Cho1 mặt S là 1 mặt định hướng trơn từng mảnh , biên của n là 1 đường cong kín L trơn từng khúc , các hàm P(x,y,z) , Q(x,y,z) và R (x,y,z) liên tục cùng đạo hàm riêng cấp 1 trên S khi đó ta có

Định lý stokes áp dụng đưa tích phân đường loại 2 về tích phân mặt loại 2

Chiều của C tuân theo quy tắc vặn nút chai

+)C1 đưa về pt tham số ( áp dụng ct tích phân đường loại 2 )

Ta có thể viết lại C như sau 2 2 2

CHƯƠNG 5: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

I) Phương trình vi phân cấp 1

1) Dạng biến phân ly

Phương trình này có dạng f x dx( ) g y dy( )

Phương pháp giải: Lấy tích phân 2 vế ta được  f x( ) dx g y dy( ) F x( ) G y( ) C trong

đó với F(x) và G(y) lần lượt là các nguyên hàm của f(x) và g(y)

Ví dụ Giải pt vi phân sau (1+x)dy=(1-x)dx

3.1) Phương trình tuyến tính thuần nhất

Phương trình có dạng y'  p x y( ) 0ta có công thức nghiệm y Cep x dx( )

3.2) Phương trình tuyến tính không thuần nhất

Phương trình có dạng y'  p x y ( )  q x ( )ta có công thức nghiệm

Vậy nghiệm của pt là …………

4) Phương trình vi phân toàn phần

+)B2 Tìm yr , xét f x( ) P x e n( ) x ta có yr  x es xQn( ) x

-)TH1 s  0 nếu  không là nghiệm của pt (*)

-)TH2 s  1 nếu là nghiệm đơn của pt (*)

-)TH3 s  2 nếu là nghiệm kép của pt (*)

P x là đa thức bậc 1 suy ra Q x n( )=Ax+B ……

+)B3 từ y r  x e s x Q n( )x ta lấy đạo hàm yr theo x cấp 1, cấp 2 và lần lượt thay

tương ứng

'' '' ' '

r r r

+B4) Nghiệm của pt vi phân là y= yo  yr

Ví dụ; giải pt vi phân sau '' '

y  y  y e (1) Lời giải

Xét f x( )P x e n( ) x 1.e1.xta thấy =-1 không phải nghiệm của pt (*) suy ra s=0

Mặt khác P xn( ) là đa thức bậc 0 suy ra Q xn( )=A suy ra yr  x e0 xA  Aexta

có

'' ''

' '

x r

x r

x r

12

Ae  Ae  Ae e  A vậy

1 12

x r

(yx dx) xdy 0

b) y''  6y'  9ye3x

( 2) 4

(x,y) R ( 1) 1