Tài liệu ôn tập Hình học 9: Chuyên đề đường tròn

Chuyên đề “Đường tròn” với mong muốn các em học sinh nắm được: kiến thức cốt lõi, phương pháp giải và có thể làm được các bài tập liên quan đến “ Đường tròn”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều dạng toán hình học khác. Đặc biệt là giải các bài toán hình tổng hợp trong các đề thi vào 10. Mời các bạn cùng tham khảo!

-2-

CHUYÊN ĐỀ NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

MÔN TOÁN NĂM HỌC 2021 - 2022

I THÔNG TIN CƠ BẢN:

Họ và tên: Nguyễn Thị Hòa

Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS Phú Xuân – Bình Xuyên – Vĩnh Phúc

Nhiệm vụ được phân công năm học 2021 – 2022: giảng dạy bộ môn Toán 9

Chủ nhiệm 9A Tổ trưởng tổ KHTN

II TÊN CHUYÊN ĐỀ:

- Tên chuyên đề: ĐƯỜNG TRÒN

- Dự kiến số tiết dạy: 15 tiết

- Đối tượng học sinh: lớp 9 trường THCS Phú Xuân

III THỰC TRẠNG CHẤT LƯỢNG THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 BỘ MÔN TOÁN CỦA TRƯỜNG THCS PHÚ XUÂN NĂM HỌC 2021 – 2022:

Nhiều năm qua kết quả thi vào 10 môn Toán của trường THCS Phú Xuân luôn ở mức thấp, chưa đạt được điểm bình quân bằng mặt bằng chung của Huyện cũng như của Tỉnh Kết quả xếp loại cấp huyện, cấp tỉnh 4 năm gần đây như sau:

Năm học Điểm BQ tính trên tỉ lệ 100% dự thi Cấp Huyện Cấp Tỉnh

Cụ thể kết quả điểm bộ môn Toán thi vào 10 năm học 2021-2022 như sau :

Môn

TS dự thi Điểm

Tbm

CN

Điểm

Tb thi vào 10 THPT

Điểm lệch

TS điểm liệt

TS điểm dưới Tb (<5)

TS điểm từ 6.5 trở lên

-3-

- Điểm liệt ( ≤ 1) còn 01 HS đạt 0,75 điểm

Trong quá trình giảng dạy môn toán lớp 9 tại trường THCS Phú Xuân bản thân tôi nhận thấy học sinh rất sợ học toán hình và thường rất lúng túng, hoặc không thể tự mình làm được một bài toán hình đặc biệt trong kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thường rất ít học sinh trường tôi làm được bài tự luận hình, có chăng chỉ rất ít em làm được các phần 1,2, Hầu như không có em nào làm được cả bài hình đó Để phần nào khắc phục được vấn trên cũng là theo sự phân công chỉ đạo của PGD bản thân tôi mạnh dạn đưa ra Chuyên đề

“Đường tròn” với mong muốn các em học sinh nắm được: kiến thức cốt lõi, phương pháp giải và có thể làm được các bài tập liên quan đến “ Đường tròn”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều dạng toán hình học khác Đặc biệt là giải các bài toán hình tổng hợp trong các đề thi vào 10

IV NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ

2 Điểm thuộc và không thuộc đường tròn

* Điểm M  (O ; R) hay M nằm trên đường tròn hay (O) đi qua M  OM R

* Điểm N nằm ngoài đường tròn  ONR

R

O

M N

P

* Điểm P nằm trong đường tròn OPR

3 Đường kính của đường tròn

Đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn và đi qua tâm O gọi là đường kính của đường tròn tâm Tâm O của đường tròn là trung điểm của đường kính

4 Cách xác định đường tròn

+ C1: Biết tâm và bán kính của đường tròn

+ C2: Biết một đoạn thẳng là đường kính của đường tròn

* Không vẽ được đường tròn nào đi qua ba điểm thẳng hàng

* Đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông có đường kính là cạnh huyền của tam giác vuông

đó Tam giác nội tiếp đường tròn có đường kính là cạnh huyền thì tam giác đó là tam giác vuông

II Đường kính và dây

1 Đường kính và dây của đường tròn

* Trong các dây của đường tròn, dây lớn nhất là đường kính

* Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây:

+ Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy

+ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy

2 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

* Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

* Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

III Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Gọi khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng là OH

d

O O

H

A

O

1 Đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt:

 đường thẳng có hai điểm chung A,B với đường tròn (O) OH < R

2 Đường thẳng d và đường tròn (O) không giao nhau

 Đường thẳng d và đường tròn (O) không có điểm chung  OH R

-5-

3 Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn

 đường thẳng d chỉ có một điểm chung Hvới đường tròn (O) OH = R

IV Tiếp tuyến của đường tròn

1 Định nghĩa: Khi đường thẳng a và đtường tròn O R;  chỉ có một điểm chung

H thì đường thẳng a và đường tròn O R;  tiếp xúc nhau hay đường thẳng a là tiếp tuyến của đường tròn O R;  Điểm H là tiếp điểm Ta có OH R

3 Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

+ Dấu hiệu 1: Đường thẳng và đường tròn chỉ có một điểm chung (định nghĩa tiếp tuyến)

+ Dấu hiệu 2: Đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với

bán kính đi qua điểm đó

V Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí về hai tiếp tuyến cắt nhau

* Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

- Điểm đó cách đều hai tiếp điểm

- Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến

- Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm

VI Vị trí tương đối của hai đường tròn

-6-

r R

O' O

B

r R

O'

R

O' O

A

r R

O'

O' O

O' O

Vị trí tương đối của đường tròn

(O, R) và (O, r) (R  r)

Hai đường tròn cắt nhau  02  R – r < OO < R + r

Hai đường tròn tiếp xúc ngoài

Hai đường tròn tiếp xúc trong

VII Đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp tam giác

1 Đường tròn nội tiếp tam giác

* Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác ngoại tiếp đường tròn

* Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác các góc trong của tam giác

2 Đường tròn ngoại tiếp tam giác

* Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, còn tam giác gọi là tam giác nội tiếp đường tròn

* Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực các cạnh của tam giác

* Chú ý: Mỗi tam giác có chỉ một đường tròn nội tiếp, một đường tròn ngoại tiếp

B MỘT SỐ LƯU Ý ĐỂ HỌC SINH CÓ THỂ LÀM ĐƯỢC CÁC BÀI TOÁN HÌNH CỦA CHƯƠNG NÀY

2 Vẽ hình chính xác dựa vào giả thiết

-Việc các em vẽ hình có đúng hay không quyết định một phần kết quả của bài toán Các em cần đọc kĩ đề bài, sử dụng đúng các kí hiệu để vẽ hình cho chính xác, khi vẽ chính xác rồi thì các em cần chú ý đến việc vẽ đẹp hơn, rõ ràng, dễ quan sát thì việc xác định các mối quan hệ hình học trong bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều Thông thường để

có một hình vẽ hợp lí cho một bài toán hình tổng hợp ít nhất nên vẽ hình đến lần thứ hai

- Tránh vẽ hình vào các trường hợp đặc biệt vì khi đó các em dễ bị ngộ nhận tính chất

mà đề bài không cho Sau khi vẽ hình xong nên dùng kí hiệu để đánh dấu những đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau hay các góc vuông để tiện sử dụng khi chứng minh nhưng không nên làm dụng quá nhiều kí hiệu trên một hình vẽ vì dễ gây rối và khó nhìn

3 Phân tích giả thiết-kết luận để tìm ra những mối quan hệ mới

- Hãy tóm tắt giả thiết và kết luận một cách triệt để Thường thì khi các em phân tích

kỹ giả thiết thì các em đã có chìa khóa giải quyết được những câu đầu tiên trong bài hình rồi Giả thiết nói đến hình nào thì các em hãy khai thác hết tính chất của hình đó, những tính chất càng liên quan đến đề bài thì việc giải quyết bài toán sẽ càng dễ dàng hơn

- Để làm được điều này các em cần trang bị cho mình một lượng kiến thức cơ bản, những định nghĩa và tính chất, dấu hiệu nhận biết,… các em cần có phương pháp để nắm được nó Thường thì các hình hay có mối liên hệ với nhau nên sẽ có rất nhiều mẹo cho các em học thuộc một cách nhanh chóng

- Khi đứng trước một bài toán các em hãy tự đặt ra các câu hỏi: đề bài cho cái gì? Bắt tìm các gì? Và nó có liên quan gì đến giả thiết không?

4 Tập tưởng tượng và tư duy chứng minh, suy luận từ kết quả chứng minh

- Có rất nhiều con đường để đi đến cùng một đáp án Tuy nhiên không phải con đường nào cũng dễ dàng và khả thi Việc các em phân tích kỹ đề bài để lựa chọn những phương

án tốt nhất, đi đến kết quả nhanh nhất là rất cần thiết

- Để làm được điều đó các em phải ghi ra những câu hỏi như là: Để chứng minh điều này ta phải chứng minh điều gì trước đó? Giả sử như điều này đúng thì điều kia có đúng không?…Hoặc đôi khi suy ngược từ kết quả để tìm ra đáp án

-8-

- Một vấn đề rất hay gặp đó là các em hay bỏ sót giữ kiện Nếu trong đề bài còn một giả thiết các em chưa sử dụng thì hãy tìm cách sử dụng nó Còn trong bài toán chứng minh có nhiều ý nhỏ các em hãy cố gắng liên hệ các ý đó với nhau để giải quyết những ý tiếp theo, rất nhiều bài toán câu a, câu b lại là giả thiết và là chìa khóa để làm câu c, câu

d

- Sau khi chứng minh xong mỗi phần có thể tìm tòi, suy luận tìm phương pháp chứng minh khác Hoặc tổng quát hóa, tương tự hóa để có thể thay đổi cách hỏi của bài toán hoặc ra một bài toán khác tương tự hay mở rộng hơn

5 Làm gì khi bài toán chứng minh đi vào bế tắc

- Phương án tốt nhất trong trường hợp này là các em hãy sử dụng một cách giải quyết khác Hãy tạm quên đi nhưng cách chứng minh ban đầu và thay vào đó là những giả thiết mới, cách nghĩ mới

- Lúc này các em nên đọc lại đề một lần nữa và xuất phát lại từ đầu Hoặc các em có thể giải lao ít phút sau đó lấy giấy nháp và triển khai làm lại một lần nữa Nếu khó khăn

có thể nhờ sự giúp đỡ của bạn bè, thầy cô,…vì không phải bài nào các em cũng tự giải quyết được

6 Luyện tập nhiều từ những ví dụ cơ bản

- Càng luyện tập nhiều thì càng giúp các em học tốt hơn Khi các em làm tốt rồi thì các

em sẽ có sự đam mê và thôi thúc các em yêu thích môn học hơn Đây cũng là cách giúp các em có thêm kĩ năng giải toán hình học lớp 9 chính xác Hãy tham khảo các ví dụ trong sách giáo khoa, làm nhiều bài tập trong sách bài tập để nắm vững được kiến thức và vận dụng chúng linh hoạt trong các dạng bài khác nhau

- Hãy chăm chỉ, kiên trì và ham học hỏi để đạt được thành công nhé Nếu học hình học

mà các em dễ bỏ cuộc thì chắc chắn các em sẽ không thể nào trau dồi được thêm chút kiến thức hình học nào đâu Ngoài ra nên học hỏi thêm từ bạn bè để tham khảo thêm một

số phương pháp học hình và cách giải sáng tạo mới nhé!

-9-

Cụ thể chứng minh các điểm đó cùng cách đều một điểm cố định nào đó, trường hợp đặc biệt có thể chứng minh các điểm đó tạo thành một hình chữ nhật hay nhiều hình chữ nhật (hình vuông) có các đường chéo đồng quy, hay chứng minh các điểm đó tạo thành các tam giác vuông có chung cạnh huyền, …

2 Ví dụ:

Ví dụ 1 Tứ giác ABCD có B = D 90

Chứng minh rằng bốn điểm A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn

Lời giải

Gọi O là trung điểm của AC Áp dụng tính chất

đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các

tam giác vuông ABC, ADC ta có:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A Gọi D là điểm đối xứng với B qua AC E, là điểm đối xứng với Cqua AB Chứng minh: B C D E, , , cùng thuộc một đường tròn

Giải:

D E

A

C B

Ta có: B D, đối xứng với nhau qua AC(gt)  AClà trung trực của BD

 ABAD  1

Chứng minh tương tự ACAE  2

Lại có ABAC(ABC cân tại A)  3

Từ      1 ; 2 ; 3 B C D E, , , A AB; 

-10-

Ví dụ 3:

Cho tam giác ABC, cóAD BD CK, , là 3 đường cao, H là trực tâm

a) Chứng minh: Các điểm B D H K, , , thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn đó

b) Chứng minh các điểm: B K E C, , , thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn

I

O

K

H E

D

A

a) Gọi I là trung điểm của BH

Xét BKH vuông tại K và BDH vuông tại D, ta có: KI DI, lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền BH  IBIH IK ID  B D H K, , , cùng nằm trên 1 đường tròn tâm

I đường kính BH

b) Gọi O là trung điểm của BC

Xét BEC vuông tại E và B KC vuông tại K, ta có: EO KO, lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC  OEOKOBOC  B K E C, , , cùng nằm trên 1 đường tròn tâm O đường kính BC

Ví dụ 4: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M , trên cạnh BClấy điểm

Nsao cho AM BN Gọi E là giao điểm của MD và NA Chứng minh: N C D E, , ,cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn đó

Giải:

E

I

C D

N

-11-

AD AB MADNBA ( tứ giác ABCD là hình vuông),

mà AM BN (gt)  MAD NBA c g c . AMDBNA

Lại có ABN vuông tại B ( do 0

90

Nối DN, gọi I là trung điểm của DN

Ta có NCD vuông tại C ( do tứ giác ABCD là hình vuông) NCDnội tiếp đường tròn đường kính DN 1 

Ta có NED vuông tại E ( do tứ giác AEM là tam giác vuông) NEDnội tiếp đường tròn đường kính DN 2 

Từ    1 ; 2  C D E N, , , cùng thuộc đường tròn đường kính DN

Mà I là trung điểm của DN I là tâm của đường tròn đi qua 4 điểm C D E N, , ,

Ví dụ 5: Cho hình thang cânABCD AB / /CD, qua D kẻ đường thẳng vuông góc với

AD, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC,hai đường thẳng này cắt nhau tại E Chứng minh: A B C E D, , , , cùng thuộc một đường tròn

Giải:

N M

-12-

Mà OA OD (do O thuộc trung trực của AD)

OAOBOCOD A B C D, , , cùng thuộc một đường tròn  1

Lại có: AEDvuông tại D ADDE AED nội tiếp đường tròn đường kính AE

Chứng minh tương tự ACE nội tiếp đường tròn đường kính AE

 A D E C, , , cùng thuộc một đường tròn. 2

Mặt khác qua ba điểm A D C, , chỉ có một đường tròn  3

Từ  1 ,  2 ,  3 suy ra A B C E D, , , , cùng thuộc một đường tròn

Ví dụ 6 Cho đường tròn  O , đường thẳng d không đi qua tâm và cắt đường tròn  O tại A, B Trên đường thẳng d lấy điểm C nằm ngoài đường tròn Từ C kẻ tiếp tuyến

CM,CN (M, N là hai tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh: năm điểm

C, M, I, O, N cùng thuộc một đường tròn Xác định tâm của đường tròn đó

d B

O

A

C M

N I

3 Bài tập tự luyện

Bài 1 Cho tam giác đều ABCcó cạnh bằng a AM,BN,CP là các đường trung tuyến Chứng minh 4 điểm B,P,N,C cùng thuộc một đường tròn Tính bán kính đường tròn đó

-13-

Giải

Vì tam giác ABC đều nên các trung tuyến đồng

thời cũng là đường cao

 AM,BN,CP lần lượt vuông góc với BC,AC,AB

các tam giác BPC,BNC là tam giác vuông với BC là cạnh

a) Các điểm A D B E, , , cùng nằm trên 1 đường tròn

b) Các điểm A D C F, , , cùng nằm trên 1 đường tròn

c) Các điểm B C E F, , , cùng nằm trên 1 đường tròn

b) Gọi N là trung điểm của AC

Xét ADC vuông tại D và A FC vuông tại F , ta có: DN FN, lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC  NANCNDNF A D C F, , , cùng nằm trên 1 đường tròn tâm N đường kính AC

c) Gọi I là trung điểm của BC

I

N M

-14-

Xét BEC vuông tại E và B FC vuông tại F, ta có: EI FI, lần lượt là trung tuyến ứng với cạnh huyền BC  IEIFIBIC B C F E, , , cùng nằm trên 1 đường tròn tâm I

đường kính BC

Bài 3 Cho tứ giác ABCD có C D 90   0 Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của

AB,BD,DC,CA Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn Tìm tâm

đường tròn đó

Giải

Kéo dài AD,CB cắt nhau tại điểm T thì

tam giác TCD vuông tại T

+ Có MN là đường trung bình của tam

giác ABD NM / /AD

+ MQ là đường trung bình của tam giác

Bài 4 Cho tam giácABC, các đường cao BDvà CEcắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng B,E,D,C cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng A,D,H,E cùng thuộc một đường tròn

Lời giải

a) Ta có: BEC 90 (CE AB), BDC 90

BD AC Gọi M là trung điểm BC, EBCvuông

tại Ecó EM là đường trung tuyến

A

b) Chứng minh tương tự có A,D,H,E cùng thuộc đường tròn

O

Q P

N M

B

A

T

ta sẽ chứng minh MND 90  0

Cách 1: Kẻ đường thẳng qua N song song với AB cắt

BC,AD tại E,F

Xét NEMvuông và  DFN vuông có

 1  3

EM NF AB,EN DF AB

  NEM   DFN  NME  DNF,MNE  NDF  MNE DNF 90   0   MND vuông tại N

Suy ra 4 điểm M,N,C,D cùng nằm trên đường tròn đường kính MD

Cách 2: Gọi K là trung điểm của ID với I là giao điểm của hai đường chéo

Dễ thấy MCKN là hình bình hành nên suy ra CK / /MN

Mặt khác do NK  CD,DK  CN  K là trực tâm của tam giác



CDN CK  ND  MN  ND

Bài 6: Cho tam giác ABC có trực tâm H Lấy điểm M,N thuộc tia BC sao cho



MN BC và Mnằm giữa B,C Gọi D,E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M,N lên

AC,AB Chứng minh các điểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn

Giải: Giả sử MD cắt NE tại K Ta có HB / /MK do

cùng vuông góc với AC suy ra HBC KMN  ( góc

thuộc đường tròn đường tròn đường kính AK

Dễ thấy E,D (AK)  nên các điểm A,D,E,H cùng thuộc một đường tròn

DẠNG 2: CHỨNG MINH MỘT ĐƯỜNG THẲNG LÀ TIẾP TUYẾN CỦA

M

D

C B

C A

M

Ví dụ 1 Cho đường tròn O Từ điểm M nằm ngoài đường tròn  O , kẻ tiếp tuyến

MA với đường tròn (A là tiếp điểm) Kẻ dây AB vuông góc với MO Chứng minh rằng MB là tiếp tuyến của đường tròn  O

Lời giải

GT Đường tròn O : Tiếp tuyến MA; A là tiếp

điểm; Dây AB; ABMO

H O M

A

B

KL MB là tiếp tuyến của đường tròn  O

Xét đường tròn  O có MAlà tiếp tuyến tại A

Có MB⊥OB tại B thuộc đường tròn  O nên MB là tiếp tuyến của đường tròn  O

Ví dụ 2 Cho nửa đường tròn O đường kính AB Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn (A, B là tiếp điểm) Lấy điểm C trên tia Ax Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với CO cắt tia By tại điểm D Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn  O

KL CD là tiếp tuyến của đường tròn  O

Cách 1:

COE EOD COD  90 COA BOD  90 COE EOD COA BOD  90

Mà COECOAEODBOD

Xét OED và OBD có: OEOB, EODBOD,ODlà cạnh chung

Kẻ OH⊥CD, H CD Lấy I là trung điểm của CD

Xét COD : COD  90 , có OI là trung tuyến ứng với

cạnh huyền CD OI CI ID 1 CD

2

    ICD

  cân tại I ICOIOC

  (so le trong) ICOACO Hay HCOACO

Xét HCO và ACO có: OHCOAC 90 ,OCHOCA,OCchung

   (Cạnh huyền, góc nhọn) OHOA H  O đường kính AB

Mà CD⊥OH tại H nên CD là tiếp tuyến của đường tròn  O

Ví dụ 3 Cho tam giác nhọn ABC, kẻ các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Gọi O

là trung điểm của BC và I là trung điểm của AH Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn tâm O

b) EI, FI là hai tiếp tuyến của đường tròn O đường kính BC Từ đó suy ra năm điểm

D, O, E, I, F cùng thuộc một đường tròn

Lời giải

-18-

GT ABC nhọn; Các đường cao AD, BE, CF cắt

nhau tại H; O là trung điểm của BC; I là

trung điểm của AH

KL a) B, C, E, F cùng thuộc đường tròn tâm O

b) EI, FI là hai tiếp tuyến của đường tròn O ;

Năm điểm D, O, E, I, F cùng thuộc một đường

tròn

a) Có BE AC, CFABBECBFC 90

E, F

 thuộc đường tròn đường kính BC

Mà O là trung điểm của BC nên bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn tâm O b) Xét AEH có EI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AH nên

1

2

     AIE cân tại I IAEIEA

Có OEOC OEC cân tại O OECOCE

Xét ADOvuông tại DDAC DCA  90 Hay IAEOCE 90

    Mà IEA OEC IEO 180    IEO 90

Có IEOE, E O IE là tiếp tuyến của đường tròn  O

CMTT IFO90  IF là tiếp tuyến của đường tròn  O

Có IEOIFOIDO  90 D, E, F thuộc đường tròn đường kính IO

Suy ra năm điểm D,O, E, I, F cùng thuộc đường tròn đường kính IO

Ví dụ 4: Cho ABC cân tại A , các đường cao AH và BKcắt nhau tại I Vẽ (O) có đường kính AI CMR

1) K thuộc đường tròn đường kính AI

2) HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

O

1

2 2 1

C B

I K

H A

Lời giải

-19-

1) Gọi O là tâm đường tròn đường kính AI

AIK

 vuông tại K(vì BK vuông góc AC)

AIKnội tiếp đường tròn đường kính AI

K thuộc đường tròn đường kính AI

2)  ABC cân tại K có AH là đường cao

AH là đường trung tuyến HB = HC

 BKC vuông tại K K có KH là đường trung tuyến

 OKH  hay HK  OK

 HK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AI

Ví dụ 5: Cho  ABC , các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Vẽ đường tròn tâm O đường kính CH Gọi M là trung điểm của AB CMR: MDlà tiếp tuyến của (O)

Giải

a) + Xét  ABD vuông tại D ( do BD  AB ) có

MD là trung tuyến ( do M là trung điểm của AB )

O H

D M

E

C B

A

-20-

3 Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho (O) dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với

AB cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn ở C .Chứng minh BC là tiếp tuyến của (O)

Giải:

Gọi H là giao điểm của OC vàAB

OAB cân ở O (vì OA OB R) có OH là đ.cao nên đồng

thời là phân giác

Nên BC OB do đó BC là tiếp tuyến của (O)

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A đường cao BH Trên nửa mặt phẳng chứa C bờ AB

vẽ BxBA cắt đường tròn tâm B bán kính BH tại D Chứng

minh CD là tiếp tuyến của (B)

Nói cách khác CD là tiếp tuyến của đường tròn (B)

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB AC) đường cao AH Gọi E là điểm đối

xứng với B qua H Đường tròn tâm O đường kính ECcắt AC tại K Chứng minh HK

là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Giải

Vì tam giác EKC có một cạnh EC là đường kính của

(O) nên EKC 90  0

Kẻ HIACBA / /HI / /EK suy ra AI IK từ đó ta

có tam giác AHK cân tại H

Do đó K1B (cùng phụ với góc hai góc bằng nhau là

BAH, IHK)

α

21

x D

H

C B

A

3 2

1

I K

O E

B A

O

A

B

C H

1 2 O

A

B

C H

1 2

B C 90 K K 90 suy ra HKO 90  0 hay HK là tiếp tuyến của (O)

Bài 4: Cho (O)đường kính AB Lấy I là trung điểm của OA Vẽ dây CDAB

1) Tứ giác ACOD là hình gì? Vì sao

2) Gọi E là trung điểm của BC CMR: D, O, E thẳng hàng

3) CMR: IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp OEB

2) (O) đường kính DE, dây CB

Có Elà trung điểm của CB

=> IEC cân tại I C1 E1 (2)

Có ICB vuông tại I=> C + B = 901 2 0(3)

-22-

Bài 5: Cho tam giác  ABC nhọn Vẽ đường tròn tâm O đường kính BCcắt AB, AC

lần lượt tại Evà F BFvà CE cắt nhau tại I Gọi Mlà trung điểm AI Chứng minh:

MF là tiếp tuyến của (O)

Hướng dẫn

Có BFC nội tiếp (O) đường kính BC  BF  AC

 BEC nội tiếp (O) đường kính BC  BE  AB

 OFM  hay MF  OF

MF

 là tiếp tuyến của đường tròn

Bài 6: Cho tam giác  ABCnhọn, đường cao BD và CE cắt nhai tại H Gọi I là

trung điểm của BC Chứng minh rằng ID, IE là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

 ADE

Hướng dẫn

 AHDvuông tại D (vì BD vuông góc AC)

  AHDnội tiếp đường tròn đường kính AH

Gọi O là tâm đường tròn đường kính AH

OA = AH

 HADvuông tại D có DO là đường trung tuyến (O)(O)A = AH) =>

=>  OAD cân tại O

I

D O

E

C B

A

H

 ODI  hay OD  DI

 ID là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Tương tự chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Bài 7: Cho hình thang ABCD ( 0

b) Gọi I là trung điểm BC

Đường tròn tâm ( )I đường kính BC có bán kính

Do dRnên H thuộc đường tròn ( )I (2)

Từ (1) và (2) AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC

Bài 8 Cho đường tròn O Từ điểm M nằm ngoài đường tròn  O , kẻ hai tiếp tuyến

MA, MB với đường tròn ( A, B là tiếp điểm) và cát tuyến MCD không đi qua tâm O

K H

D

I B

C A

D M

Xét OEK và OIM có: OEKOIM90 ,

O chung  OEK∽OIM g g  

Có KDOD, D O KD là tiếp tuyến của đường tròn  O

Chứng minh tương tự ta cũng có KC là tiếp tuyến của đường tròn  O

DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC

1 Phương pháp

+ Bài tập chứng minh các đẳng thức hình học là bài toán mà ta phải chứng minh một

đẳng thức đúng từ các dữ kiện để bài cho Các đẳng thức thường có dạng như A=B+C, A.B=C.D, A.B=C2, …

+ Để làm được bài toán này ta có thể sử dụng định lí Ta-lét, tính chất đường phân giác, tam giác bằng nhau, tam giác đồng dạng, các hệ thức lượng trong tam giác vuông, mối quan hệ đường kính và dây,…

+ Các bước suy luận để chứng minh:

- Giả sử cần chứng minh: AB.AC = AD.AE

-25-

+ Ngoài ra có những bài toán ta sẽ không trực tiếp suy ra được hệ thức cần chứng minh

mà cần phải chứng minh từng vế của hệ thức bằng với một hệ thức thứ ba

2 Ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB có bán kính R, tiếp tuyến Ax Trên

tiếp tuyến Ax lấy điểm F sao cho BF cắt đường tròn tại C Tia phân giác của góc ABF

cắt Ax tại E và cắt đường tròn tại D Chứng minh rằng BD.BE = BC.BF

F

+ Có ACB nhìn đường kính AB nên ACB  900

+ Có Ax là tiếp tuyến, F thuộc Ax nên FAB  900

+ Xét tam giác FAB và tam giác ACB có:

B chung

 090

+ Có ADB nhìn đường kính AB nên ADB  900

+ Có Ax là tiếp tuyến, E thuộc Ax nên EAB  900

+ Xét tam giác EAB và tam giác ADB có:

B chung

 090

ADBEAB 

Suy ra hai tam giác EAB và ADB đồng dạng theo trường hợp góc – góc

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho

AI = 2/3 AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn

MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E Chứng minh hệ thức:

+ Có AMB nhìn đường kính AB nên AMB  900

+ Xét tam giác AMB có AMB  90 ;0 MI  AB(MN vuông góc với AB tại I) có:

2

AM AI AB(hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

+ Có ACB nhìn đường kính AB nên ACB  900

+ Xét tam giác AEI và tam giác ABC có:

 090

-27-

Ví dụ 3 Cho đường tròn (O; R) và một điểm M nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến

MA và cát tuyến MBC đi qua tâm O

góc chung; ACB  ACM  MAB

 ACM đồng dạng với BAM

(g.g)



MA

MC MB

MA 

 MA2 = MB.MC (đpcm)

3 2 1

M B

C

O

A

Ví dụ 4 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, M là một điểm nằm trên nửa đường

tròn Qua Mvẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn Gọi D và C theo thứ tự là các hình chiếu của A và B trên tiếp tuyến ấy

a Chứng minh rằng M là trung điểm của CD

b Chứng minh AB = BC + AD

Lời giải

a Ta có: D và C theo thứ tự là các hình chiếu của A

và B trên tiếp tuyến qua M Nên ADDC; BCDC

=> AD//BC Vậy tứ giác ABCD là hình thang Mà

OMDC ( Theo tính chất của tiếp tuyến) =>

OM//AD//BC Xét hình thang ABCD có

OA = OB, OM / /AD => M là trung điểm của CD

b Theo CM phần a ta có OM là đường trung bình của hình thang ABCD nên ta có: OM= (BC+AD)/2 Mà AB=2 OM Vậy AB = 2OM = BC + AD

E

O

C M

D

B A

Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O) D là điểm trên cung nhỏ BC CD và AB kéo

dài cắt nhau ở M, BD và AC kéo dài cắt nhau ở N Chứng minh AB2 BM CN

Bài 3: Cho đường tròn (O) có đường kính AB = Qua A kẻ tiếp tuyến xy Một điểm M

thuộc Ax, nối BM cắt (O) tại C Chứng minh MA2 MB MC

Bài 4: Tam giác AMB cân tại M nội tiếp trong đường tròn (O; R) Kẻ MH vuông góc với

AB (H thuộc AB), MH cắt đường tròn tại N Trên tia đối BA lấy điểm C MC cắt đường tròn tại D ND cắt AB tại E Chứng minh 4 điểm M,D,E,H cùng thuộc một đường tròn

và chứng minh các hệ thức sau: NB2 NE ND và AC BE BC AE

Bài 5: Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn Qua M

kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm) Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại hai điểm C và D (C nằm giữa M và D) Gọi I là trung điểm của dây

CD Kẻ AH vuông góc với MO tại H Chứng minh OH OM R2

DẠNG 4: BÀI TẬP TỔNG HỢP

1 Phương pháp:

Đối với dạng bài tổng hợp cần nắm được toàn bộ kiến thức cơ bản như định nghĩa, định

lí, tính chất, hệ thức,…cũng như phương pháp thường sử dụng để chứng minh các dạng bài đơn lẻ Để vận dụng linh hoạt vào giải toán

   (điều phải chứng minh)

b) Từ (1) OC là tia phân giác của AOM và OD là

tia phân giác của MOB

d) Ta có OI là đường trung tuyến trong tam giác vuông COD vuông tại O

Nên đường tròn đường kính CD ngoại tiếp OCD

Lại có OI là đường trung bình của hình thangABDCOI // AC //BD

Mà ACAB nên ABOIAB là tiếp tuyến tại O của đường tròn ( )I

Ví dụ 2 Cho đường tròn ( )O và điểm A nằm ngoài đường tròn ( )O Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với ( )O (B, C là các tiếp điểm)

a) Chứng minh A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC

c) Biết OA  10 cm, OB  6 cm Tính độ dài đoạn BC

d) Đường tròn ( )O cắt đoạn OA tại I Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

OH BCH là trung điểm của BCBC2HB9,6 cm

d) Ta cĩ BAI  CAI (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

AI

 là tia phân giác của BAC (1)

Mặt khác

90 90

)

I

 (do cân tại

là tia phân giác của

ABC.(2)

Từ (1), (2) I là tâm đường trịn nội tiếp ABC

Ví dụ 3 Cho hai đường trịn ( ; )O R và (O R  ; ) tiếp xúc ngồi tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngồi BC (B ( ),O C (O )) với hai đường trịn Tiếp tuyến chung tại A của ( )O và (O )cắt BC tại M

a) Chứng minh MAMBMC và BAC 90

b) Tính số đo của OMO

c) Chứng minh OO tiếp xúc với đường trịn đường kính BC

d) Biết R9 cm, R  4 cm Tính độ dài đoạn thẳng BC

b) Ta cĩ MO là tia phân giác của BMA và

MO là tia phân giác của CMA

-31-

c) Ta có MAMBMCM là tâm đường tròn đường kính BC và A cũng thuộc đường tròn (M)

Mà MAOO nên OO tiếp xúc với đường tròn đường kính BC

d) MOO vuông tại M có đường cao 2

Ví dụ 4 Cho đường tròn tâm O, đường kính AB 2R Điểm C nằm trên đường tròn (C

khác A, B) Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB Vẽ đường tròn tâm I

đường kính HA và đường tròn tâm K đường kính HB CA cắt ( )I tại M (khác A), CB

cắt ( )K tại N (khác B)

a) Tứ giác CMHN là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh MN là tiếp tuyến chung của ( )I và ( )K

c) Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn đường kính MN

b) Gọi P là giao điểm của CH và MN PM PH PN (tính chất hình chữ nhật)

Từ đó suy ra PMI  PHI (cạnh - cạnh - cạnh) và PHK PNK (cạnh - cạnh - cạnh)

Do đó MN là đường tiếp tuyến của đường tròn ( )I và ( )K

Hay MN là tiếp tuyến chung của ( )I và ( )K

Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm Từ một điểm A cách O là 5cm vẽ hai tiếp tuyến

AB, ACvới đường tròn (B C, là tiếp điểm)

a) Chứng minh AO vuông góc với BC;

b) Kẻ đường kính BD Chứng minh rằng DC song song với OA;

c) Tính chu vi và diện tích tam giácABC

d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt tia DC tại E Đường thẳng AE và OCcắt nhau ở I; đường thẳng OEvà ACcắt nhau ởG

Chứng minh IG là trung trực của đoạn thẳng OA

Lời giải

a) Ta có OB  OC  R  2(cm)

AB  AC(Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau)

 AO là đường trung trực của BChay OA  BC

2

BD

OB  OD   R

 Tam giác BDCvuông tại C  DC  BC tại C

Vậy DC //OA (Vì cùng vuông góc vớiBC)

c) Xét ABO vuông có BO  AB(tính chất tiếp tuyến)

Tính đượcHB  2,4cm BC;  4,8cm Lại có 2

AB  OA AH  AH  3,2cm

Vậy chu vi tam giác ABClà AB  AC  BC  4  4  4,8  12,8   cm

Diện tích tam giác ABC là: . 3, 2.4,8 7, 68( 2)

Chứng minh được Tứ giác ABOElà hình chữ nhật  OE  AI

Chứng minh được tam giác AOI cân ở I

Sử dụng tính chất 3 đường cao của tam giác chỉ ra được IG là đường cao đồng thời là

trung trực của đoạn thẳng OA

Ví dụ 6

Cho đường tròn tâm Obán kínhR, dây BC khác đường kính Hai tiếp tuyến của đường

tròn  O R ;  tại B và tại C cắt nhau tạiA Kẻ đường kính CD, kẻ BHvuông góc với

c) Chứng minh BC là tia phân giác của ABH

d) Gọi I là giao điểm của AD và BH , E là giao điểm của BD vàAC Chứng minh

O B

C

D

A

ACBABC ( AB = AC nên ABC cân tại A )

Suy ra: ABC CBH BC là tia phân giác của ABH

d) Gọi I là giao điểm của AD và BH E là giao điểm của BD vàAC Chứng minh

-35-

3) Chứng minh AC BD AB

4

 4) Chứng minh OC // BM

5) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

6) Chứng minh MNAB

7) Gọi K là giao điểm của MN với AB Chứng minh N là trung điểm của MK

8) Xác định vị trí của M để chu vi tứ giác ACDB đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

1) Xét đường tròn  O :

Có AC, MC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại C và A, M

là hai tiếp điểm

AC MC; OC

  là tia phân giác của AOM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

Có BD, MD là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D và B, M

là hai tiếp điểm

BD MD; OD

  là tia phân giác của BOM (Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có CD  CM  MD , mà AC  MC, BD  MDCD  AC  BD (đpcm) 2) Có OC là tia phân giác của AOM, OD là tia phân giác của BOM (cmt)

Mà AOM và BOM là hai góc kề bù nên OCODCOD 90 (đpcm)

3) Xét COD vuông ở O , có OMCD (Tính chất tiếp tuyến)

 (Từ vuông góc đến song song)

Suy ra tứ giác ACDB là hình thang, đáy là AC và BD

Xét hình thang ACDB có O là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD nên OI là đường trung bình của hình thang ACDB

OI // AC

 (Tính chất đường trung bình của hình thang)

Mà ACAB nên suy ra ABOI (Từ vuông góc đến song song)

Tam giác COD có OI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền CD nên OI 1 CD

2

  O

 thuộc đường tròn tâm I đường kính CD

Có ABOI tại O thuộc đường tròn  I đường kính CD nên AB là tiếp tuyến của đường tròn  I đường kính CD (đpcm)

 là trung điểm của MK

Cách 2: