1. Hình ảnh của đường tròn trên thực tế
Hình ảnh bộ cồng chiên Hình ảnh vòng tròn các dân tộc ở Tây Nguyên trên lá cờ Olympic 2. Ba vị trí tương đối của hai đường tròn
VD 16. Hãy liệt kê số điểm chung của các cặp đường tròn dưới đây
Có … điểm chung Có … điểm chung
Có … điểm chung Có … điểm chung Có … điểm chung
O O O O
O O A O O
A
B
O O A
112. Cho tam giác đều ABC ngoại tiếp đường tròn O; 2cm. Diện tích của tam giác ABC bằng:
A. 6 cm . 2 B. 12 3 cm2. C. 3 3 2
4 cm . D. 10 3 2 3 cm . 113. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB6 cm, AC8 cm ngoại
tiếp đường tròn I r; . Tính r.
A. 2 cm. B. 2, 5 cm. C. 3, 3 cm. D. 4, 4 cm. 114. Xét bài toán: “Cho góc xAy (khác góc bẹt) và lấy điểm D tùy ý trên
cạnh Ax. Hãy nêu cách dựng đường tròn tâm O tiếp xúc với Ax tại D và tiếp xúc với Ay”. Hãy sắp xếp một cách hợp lí các câu sau để được lời giải của bài toán trên.
a) Dựng tia phân giác At của góc xAy cắt d tại O. b) Dựng đường tròn O OD; . Đó là đường tròn cần dựng.
c) Qua D dựng đường thẳng d vuông góc với Ax.
d) Dựng góc xAy khác góc bẹt và lấy điểm D trên cạnh Ax. Sắp xếp nào sau đây hợp lí.
A. c), b), a), d). B. d), a), b), c). C. d), c), a), b). D. a), b), d), c).
115. Cho hình thang ABCD có A D90 và B 2C ngoại tiếp đường tròn tâm O. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Chu vi hình thang ABCD bằng hai lần tổng hai cạnh đáy.
B. AOD là tam giác đều.
C. 2
OB BC .
D. A), B), C) đều đúng.
116. Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Gọi J là tâm đường tròn bàng tiếp trong góc A tiếp xúc với BC, AB, AC theo thứ tự tại D, E, F. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Ba điểm A, I , J thẳng hàng.
B. IBJ là tam giác vuông.
C. Bốn điểm B, I , C, J cùng thuộc một đường tròn.
D. A) và C) đều đúng; B) sai.
...
TH14. Cho tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường
tròn (gọi tâm của nó là O).
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ME là tiếp tuyến của đường tròn O .
Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
TH15. Cho đường tròn O R; đường kính AB. Vẽ dây AC sao cho ACR. Gọi I là trung điểm của dây AC, OI cắt tiếp tuyến Ax tại M. Chứng minh rằng:
a) ACB90, từ đó suy ra độ dài BC. b) OM là phân giác COA.
c) MC là tiếp tuyến của đường tròn O .
Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
D – CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
107. Từ điểm A nằm bên ngoài đường tròn O;8cm sao cho 12 cm
OA . Kẻ tia Ax tạo với AO một góc 30. Gọi H là hình chiếu của O trên Ax. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tia Ax và đường tròn O không có điểm chung nào.
B. Tia Ax và đường tròn O chỉ có một điểm chung.
C. Tia Ax và đường tròn O có hai điểm chung.
108. Cho đường tròn O R; và đường thẳng a. Gọi d là khoảng cách từ tâm O đến a. Điền vào chỗ trống (...) để được các khẳng định đúng:
Vị trí tương đối của
a và O Số điểm chung
Hệ thức giữa d và R a và O cắt nhau
d R a và O không giao nhau
109. Cho đường tròn O;5cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm ngoài đường tròn cắt đường tròn tại B và C sao cho ABBC. Kẻ đường kính CD, Tính độ dài AD.
A. 10 cm . B. 12 cm . C. 15 cm . D. 16 cm . 110. Cho đường tròn O R; , bán kính OA, dây CD là trung trực của
OA. Kẻ tiếp tuyến với đường tròn O tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. OAC là tam giác đều. B. Tứ giác OCAD là hình thoi.
C. CI R 3. D. A, B, C đều đúng.
111. Cho đường tròn O R; và điểm P nằm bên ngoài đường tròn sao cho OP2R. Kẻ hai tiếp tuyến PM và PN với đường tròn. Khẳng định nào sau đây sai?
A. MON 120. B. PMN là tam giác đều.
C. MN R. D. A, B đúng; C sai
103. Cho đường tròn O đường kính BC và một điểm A nằm trên đường tròn (A khác B và C). Qua O, kẻ tia Ox song song với
AC, tia Ox cắt AB tại D.
a) Chứng minh: OD AB và từ đó suy ra D là trung điểm của AB. b) Tiếp tuyến tại B của O cắt tia Ox tại E.
c) Chứng minh: EA cũng là tiếp tuyến của O
d) Tia CA cắt tia BE tại F. Chứng minh: tia CE đi qua trung điểm I của của đường cao AH của ABC.
104. Cho đường tròn O , điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B và C là hai tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, tiếp tuyến này cắt AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng
a) Chu vi MPQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M .
b) BOC2DOE. c) 1
DE2 ABAC
105. Cho đường tròn O;5 cm có đường kính AB và dây cung CD. Kéo dài AB và CD cắt nhau tại M. Gọi N là trung điểm của dây cung CD. a) Chứng minh: MNO là tam giác vuông.
b) Tiếp tuyến tại B của O cắt đường thẳng CD tại Q. Chứng minh: MN MQ. MO MB.
c) Tia ON cắt O tại E. Tính độ dài dây cung EC nếu độ dài dây cung CD6 cm.
106. MULTI-STEP PROBLEM An official stands 2 meters from the edge of a discus circle and 3 meters from a point of tangency.
a) Find the radius of the discus circle.
b) How far is the official from the center of the discus circle?
...
...
TH16. Cho O R; , và điểm A sao cho OAR 2, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với O . (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M bắt kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự tại
D và E.
a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo góc DOE.
c) Đoạn OA cắt O tại K. Chứng minh: K là tâm đường tròn nội tiếp ABC
. Tính bán kính của đường tròn này.
d) Tính độ dài BK theo R.
Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a) Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn B BA; .
b) Gọi I là đối xứng của B qua AH, đường thẳng AI cắt CD tại E. Chứng minh: A, H, E, C cùng thuộc một đường tròn. Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn này.
100. Cho đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm bắt kì trên đường tròn và H là hình chiếu của C trên AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến AD và BE đến đường tròn C CH; . Chứng minh:
a) D, C, E thẳng hàng.
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
c) Xác định vị trí của điểm C để diện tích tứ giác ABED lớn nhất.
101. Cho đường tròn O , điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (M , N là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh: OAMN.
b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh: MC//AO.
c) Tính độ dài các cạnh của AMN biết OM 3 cm, OA5 cm. 102. Cho nửa đường tròn O R; đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia
vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi D là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn.
Tiếp tuyến tại D cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N. a) Tứ giác AMNB là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo góc MON.
c) Chứng minh: MN AM BN. d) Chứng minh: AM BN. R2.
e) Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O. f) AN và BM cắt nhau tại Q, DQ cắt AB tại H. g) Chứng minh: DQAB và QH QD.
h) Tìm vị trí của D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất.
i) Cho R2 cm. Tìm vị trí của M và N để chu vi tứ giác AMNB có chu vi bằng 14 cm .
94. Cho điểm M trên O R; đường kính AB. Gọi H là trung điểm của BM, OH cắt O tại I và cắt tiếp tuyến tại B của O ở điểm D.
Gọi N là hình chiếu của I trên AM. Chứng minh: NI và DM là các tiếp tuyến của O .
95. Cho đường tròn O R; đường kính AB. Một tiếp tuyến tại M của
O cắt hai tiếp tuyến Ax, By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh: đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
96. Trên tiếp tuyến tại A của O R; lấy điểm B với ABR. Từ A kẻ đường
vuông góc với OB tại H, cắt O tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I . a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn O .
b) Tính theo R độ dài BH , IH và AI.
97. Từ điểm I bên ngoài O R; vẽ hai cát tuyến IAB và ICD (không qua tâm O). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD. a) Chứng minh: O, I , M , N cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường tròn OIMN cắt O tại E và F . Chứng minh: IE, IF là hai tiếp tuyến của O .
c) EF cắt OM tại K và cắt OI tại H. C/m: OM OK. OH OI. R2. 98. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C nằm trên
đường tròn (C khác A và B). Gọi D là trung điểm của AC. a) Tính số đo ODA và chứng tỏ rằng OD song song với BC.
b) Tiếp tuyến tại A của O cắt tia OD tại E. Chứng minh: EC là tiếp tuyến của O .
c) Đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của O tại điểm M .
d) Chứng minh rằng OE là trung tuyến của AOM.
99. Cho ABC vuông tại A (AB AC) có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm B, bán kính BA, đường tròn này cắt AH tại điểm thứ hai là D.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN
82. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I–3; 2. Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ?
83. Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5 cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào?
84. Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12 cm . Vẽ đường tròn
A;13 cm.
a) C/minh đường tròn A có hai giao điểm với đường thẳng xy. b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính độ dài BC.
85. Cho đường tròn O; 2 cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó
ABBC. Kẻ đường kính COD. Tính AD.
86. Cho hình thang ABCD (A D90), AB4 cm, BC13 cm, 9 cm
CD .
a) Tính độ dài AD.
b) C/minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC. 87. Cho O R; , bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính CI .
88. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
a) CECF . b) AC là tia phân giác của BAE. c) CH2 AE BF. .
89. Cho đường tròn O R; và đoạn thẳng OA2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn O .
a) Chứng minh: OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC. b) Chứng minh: ABC đều.
c) Tính theo R độ dài BC và diện tích ABC.
d) Đoạn OA cắt O tại D. Tứ giác OBDI là hình gì? Vì sao?
e) BO cắt AC kéo dài tại I. Tính theo R độ dài các cạnh của ABI. f) Từ O kẻ đường vuông góc với OC cắt AB tại K. Tính khoảng
cách từ K đến OA.
90. Cho ABC cân tại A, có O là trung điểm của BC và BC2a. Đường tròn O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại H và K. Qua D trên cung nhỏ HK, kẻ tiếp tuyến với O cắt AB và AC ở M và N.
a) Chứng minh: A, H, O, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: MONABC. c) Tính tích BM CN. theo a.
d) Định vị trí của MN sao cho BM CN đạt giá trị nhỏ nhất.
91. Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn O đi qua A và B, nhận đường thẳng
d làm tiếp tuyến.
92. Cho ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn B BA; và đường tròn
C CA; , chúng cắt nhau tại điểm D (khác A ). Chứng minh CD là tiếp tuyến của B .
93. Cho ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn O có đường kính AH. Chứng minh:
a) Điểm E nằm trên đường tròn O .
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn O .
C – BÀI TẬP TỰ LUYỆN
82. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I–3; 2. Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ?
83. Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5 cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào?
84. Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12 cm . Vẽ đường tròn
A;13 cm.
a) C/minh đường tròn A có hai giao điểm với đường thẳng xy. b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính độ dài BC.
85. Cho đường tròn O; 2 cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó
ABBC. Kẻ đường kính COD. Tính AD.
86. Cho hình thang ABCD (A D 90), AB4 cm, BC 13 cm, 9 cm
CD .
a) Tính độ dài AD.
b) C/minh rằng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC. 87. Cho O R; , bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA.
a) Tứ giác OCAD là hình gì? Vì sao?
b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I . Tính CI.
88. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng:
a) CECF. b) AC là tia phân giác của BAE. c) CH2 AE BF. .
89. Cho đường tròn O R; và đoạn thẳng OA2R. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn O .
a) Chứng minh: OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC. b) Chứng minh: ABC đều.
c) Tính theo R độ dài BC và diện tích ABC.
d) Đoạn OA cắt O tại D. Tứ giác OBDI là hình gì? Vì sao?
e) BO cắt AC kéo dài tại I . Tính theo R độ dài các cạnh của ABI. f) Từ O kẻ đường vuông góc với OC cắt AB tại K. Tính khoảng
cách từ K đến OA.
90. Cho ABC cân tại A, có O là trung điểm của BC và BC2a. Đường tròn O tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại H và K. Qua D trên cung nhỏ HK, kẻ tiếp tuyến với O cắt AB và AC ở M và N .
a) Chứng minh: A, H, O, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh: MONABC. c) Tính tích BM CN. theo a.
d) Định vị trí của MN sao cho BM CN đạt giá trị nhỏ nhất.
91. Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn O đi qua A và B, nhận đường thẳng
d làm tiếp tuyến.
92. Cho ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn B BA; và đường tròn
C CA; , chúng cắt nhau tại điểm D (khác A ). Chứng minh CD là tiếp tuyến của B .
93. Cho ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn O có đường kính AH. Chứng minh:
a) Điểm E nằm trên đường tròn O .
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn O .
94. Cho điểm M trên O R; đường kính AB. Gọi H là trung điểm của BM, OH cắt O tại I và cắt tiếp tuyến tại B của O ở điểm D.
Gọi N là hình chiếu của I trên AM . Chứng minh: NI và DM là các tiếp tuyến của O .
95. Cho đường tròn O R; đường kính AB. Một tiếp tuyến tại M của
O cắt hai tiếp tuyến Ax, By theo thứ tự tại C và D. Chứng minh: đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB.
96. Trên tiếp tuyến tại A của O R; lấy điểm B với ABR. Từ A kẻ đường
vuông góc với OB tại H, cắt O tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I. a) Chứng minh: AC là tiếp tuyến của đường tròn O .
b) Tính theo R độ dài BH , IH và AI.
97. Từ điểm I bên ngoài O R; vẽ hai cát tuyến IAB và ICD (không qua tâm O). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai dây AB và CD. a) Chứng minh: O, I, M , N cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường tròn OIMN cắt O tại E và F. Chứng minh: IE, IF là hai tiếp tuyến của O .
c) EF cắt OM tại K và cắt OI tại H. C/m: OM OK. OH OI. R2. 98. Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C nằm trên
đường tròn (C khác A và B). Gọi D là trung điểm của AC. a) Tính số đo ODA và chứng tỏ rằng OD song song với BC.
b) Tiếp tuyến tại A của O cắt tia OD tại E. Chứng minh: EC là tiếp tuyến của O .
c) Đường thẳng BC cắt tiếp tuyến tại A của O tại điểm M .
d) Chứng minh rằng OE là trung tuyến của AOM .
99. Cho ABC vuông tại A (ABAC) có đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm B, bán kính BA, đường tròn này cắt AH tại điểm thứ hai là D.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
TH16. Cho O R; , và điểm A sao cho OAR 2, kẻ các tiếp tuyến AB, AC với O . (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M bắt kì thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB, AC theo thứ tự tại
D và E.
a) Tứ giác ABOC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo góc DOE.
c) Đoạn OA cắt O tại K. Chứng minh: K là tâm đường tròn nội tiếp ABC
. Tính bán kính của đường tròn này.
d) Tính độ dài BK theo R.
Giải: ...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
a) Chứng minh: CD tiếp xúc với đường tròn B BA; .
b) Gọi I là đối xứng của B qua AH, đường thẳng AI cắt CD tại E. Chứng minh: A, H, E, C cùng thuộc một đường tròn. Suy ra AB là tiếp tuyến của đường tròn này.
100. Cho đường tròn đường kính AB. Gọi C là điểm bắt kì trên đường tròn và H là hình chiếu của C trên AB. Từ A và B kẻ các tiếp tuyến AD và BE đến đường tròn C CH; . Chứng minh:
a) D, C, E thẳng hàng.
b) DE là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
c) Xác định vị trí của điểm C để diện tích tứ giác ABED lớn nhất.
101. Cho đường tròn O , điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AM , AN với đường tròn (M , N là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh: OAMN.
b) Vẽ đường kính NOC. Chứng minh: MC//AO.
c) Tính độ dài các cạnh của AMN biết OM 3 cm, OA5 cm. 102. Cho nửa đường tròn O R; đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia
vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Gọi D là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn.
Tiếp tuyến tại D cắt Ax và By theo thứ tự tại M và N. a) Tứ giác AMNB là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo góc MON.
c) Chứng minh: MN AM BN. d) Chứng minh: AM BN. R2.
e) Đường tròn đường kính MN tiếp xúc với AB tại O. f) AN và BM cắt nhau tại Q, DQ cắt AB tại H. g) Chứng minh: DQAB và QH QD.
h) Tìm vị trí của D để tứ giác AMNB có chu vi nhỏ nhất.
i) Cho R2 cm. Tìm vị trí của M và N để chu vi tứ giác AMNB có chu vi bằng 14 cm .