Bài tập lớn môn giải tích 2

VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị trung bình của một đại lượngVẤN ĐỀ 3: Thể tích hình xuyến 2.. Với số liệu có được, tính thể tích của vật thể này theo công thức vừa tìm được.. VẤN ĐỀ 1: Mô phỏng l

để chúng em bước vào đời vững chắc và tự tin.

Do chưa có nhiều kinh nghiệm làm đề tài cũng như những hạn chế về kiến thức, trong bài chắc chắn sẽ không tránh khỏi nhiều thiếu sót Rất mong nhận được sự nhận xét, ý kiến đóng góp, phê bình từ phía Cô để bài tập lớn của nhóm em được hoàn thiện hơn.

Cuối cùng xin kính chúc thầy cô sức khỏe dồi dào, gia đình hạnh phúc, gặp nhiều may mắn và sự nghiệp nở hoa trên con đường nhà giáo cao quý.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị trung bình của một đại lượng

VẤN ĐỀ 3: Thể tích hình xuyến

2 Tìm một vật thể có dạng hình xuyến, ghi các kích thước cần

thiết Với số liệu có được, tính thể tích của vật thể này theo công

thức vừa tìm được So sánh với kết quả đo thực nghiệm.

16

3 Giả sử bạn muốn phủ lên vật thể này một lớp sơn dày 0.3 mm.

Dùng vi phân để ước tính lượng sơn cần thiết Dùng một cách

khác để tính lượng sơn này và so sánh 2 kết quả.

16

VẤN ĐỀ 4: Diện tích mặt trụ

2 Ứng dụng tích phân đường và tích phân mặt tính diện tích xung

quanh của vật thể

19

VẤN ĐỀ 6: Tìm và giải các bài toán ưng dụng

lOMoARcPSD|20597457

4 Ứng dụng Tích phân mặt loại 1 25

LỜI MỞ ĐẦU

Giải tích là một môn học đại cương có tầm quan trọng đối với sinh viên học

về các khối ngành khoa học kĩ thuật-công nghệ nói chung và sinh viên của trường Đại Học Bách Khoa nói riêng Do đó, việc sinh viên phải dành một lượng thời gian nhất định để học tập và thực hành là điều tất yếu để giúp cho sinh viên làm bài thật tốt đạt được điểm số cao cũng như là có được cơ

sở vững chắc để học các môn khoa học tự nhiên và làm tiền đề để sinh viên lĩnh hội những kiến thức thuộc lĩnh vực các môn chuyên ngành trong tương lai.

Nhờ vào sự ra đời và sự phát triển nhanh chóng của toán tin đã hỗ trợ rất lớn trong quá trình phát triển của môn học Giải tích Việc ứng dụng tin học trong quá trình giải thích các cơ sở dữ liệu, giảng dạy và giải các bài toán giúp cho chúng ta rút ngắn được thời gian hơn và giúp sinh viên hiểu rõ hơn đôi nét bài tập của môn học này hơn mang lai hiểu quả rất cao

Sau đây là nội dung tìm hiểu bài tập lớn của nhóm em ạ!

lOMoARcPSD|20597457

VẤN ĐỀ 1: Mô phỏng lại phương pháp đã đặt ra trước đó bằng cách tìm hoặc tạo ra một hố nhỏ (với miệng hố có hình dạng bất kì

và độ nông sâu tại mỗi vị trí khác nhau), đo đạc và dùng tổng Rieman để ước tính thể tích của hố Dùng một phương pháp khác

để tính thể tích và so sánh 2 kết quả.

1 Mô phỏng lại phương pháp đã đặt ra:

Cho bảng số liệu dưới đây:

Giả sử hồ tự nhiên có chiều dài (x) là 20m và chiều rộng (y) là 16m, ta đó độ sâu (z) của hồ nước theo khoảng cách 2m/lần và và ghi số liệu vào bảng trên Từ đó ước tính thể tích của hồ bằng tổng Riemann.(Hiện nay, việc đo độ sâu của sông, hồ và đại dương được thực hiện dựa trên ứng dụng của sóng vô tuyến và sóng siêu âm Chúng ta cũng có thể tự đo độ sâu của của sông hồ nhờ vào các thiết bị đo được bán trên thị trường một cách đơn giản).

Ta thấy hồ có hình dạng gần giống một nửa hình hộp chữ nhật, vì vậy thể tích hồ có thể tính:

Từ kết quả của 2 cách tính thể tích trên có chênh lệch nhau, nếu ta có thể đo độ sâu của hồ ở những đoạn gần nhau hơn nữa thì sẽ tính được thể tích của hồ một cách chính xác.

VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị trung bình của đại lượng

lOMoARcPSD|20597457

1 Tính nhiệt độ trung bình trong ngày của khu vực Đông Nam Bộ trong ngày 26/04/2022:

Những số liệu thu thập được dựa trên cơ sở dữ liệu thời tiết và nhiệt độ của ngày26/04/2022

Nếu chúng ta chỉ biết được nhiệt độ vào lúc nữa đêm là 28°C và nhiệt độ vào buổichiều là 35°C, thì nhiệt độ trung bình có giá trị là:

Nếu chúng ta biết thêm được vào lúc 7h00 sáng là 29, thì chúng ta có thể tính lạimức trung bình nhiệt độ:

Vậy thì điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta biết nhiệt độ hàng giờ thông qua bảng số liệusau:

Nhiệt độ trung bình:

trong đó đại diện cho nhiệt độ giờ thứ i mà chúng ta biết

Công thức Nhiệt độ trung bình:

Nhân với:

với ( khoảng nhiệt độ)

lOMoARcPSD|20597457

Chúng ta ngày càng thu thập nhiều nhiệt độ hơn, mỗi lần chia tổng của các nhiệt độ

đó bằng số nhiệt độ mà chúng ta biết Các nhiệt độ kéo dài trong khoảng thời gian từthời điểm a đến thời điểm b

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta để những con số nhiệt độ mà chúng ta biết tăng lên

mà không bị giới hạn?

Lấy giới hạn của từ

Nhưng có thể được xem như là một hàm mô tả nhiệt độ từ thời gian a đến thời gian

b Do đó, từ , chúng ta có thể sử ột tích phân xác định để xử lý tổng này, nếu nó tồntại

Nhìn chung, chúng ta hiện có một cơ chế để xác định giá trị trung bình của một hàmf(x) kéo dài một số giá trị đầu vào liên tục

Giá trị trung bình của một hàm f(x) , trên a x b, với f(x) liên tục trên đó khoảng thờigian, là:

2 Các ví dụ áp dụng thực tế:

Ví dụ 1:

Xác định giá trị trung bình của trên

Chúng ta hãy xem xét điều này bằng đồ thị:

Vùng tô bóng bên trái có vùng :

Hình chữ nhật bên phải cũng có vùng tương tự là và chúng ta biết rằng chiều dàicủa nó là 3

Từ đó chúng ra có là chiều cao của hình chữ nhật

Chúng ta coi chiều cao của hình chữ nhật là giá trị trung bình của

trên , bởi vì chiều cao và hàm giá trị đó là giống nhau với tất cả x trên khoảng Sau

đó thì

là chiều cao của hình chữ nhật

Vì vậy, giá trị trung bình của một hàm chỉ là chiều cao của một hình chữ nhật, biểuthị

"Dàn trải" các giá trị hàm khác nhau trong khoảng thời gian sao cho mọi vị trí trongkhoảng thời gian, hàm nhận cùng một giá trị

Nếu chúng ta biễu diển giá trị hàm không đổi đó là , sau đó tồn tại một vài giá trị cvới

lOMoARcPSD|20597457

, điều này làm giá trị trung bình hoạt động Định lý giá trị trung bình đối cho tíchphân, đảm bảo với chúng ta rằng có một giá trị C như vậy tồn tại, chúng ta có thểxác định giá trị đó nếu cần.

là chiều cao của hình chữ nhật

đây là giá trị trung bình của hàm

Điều này cho ta thấy rằng khi , chúng ta có giá trị chính xác (giá trị trung bình)chiều cao hình chữ nhật tại

Giả sử rằng: Đại diện cho nhiệt độ tại thời điểm t, với t là khoảng thời gian sau 9

am Cho (a) thông qua (c), xác định nhiệt độ trung bình của mỗi giá trị sau nhữngkhoảng thời gian:

a) Từ 9 am đến 9 pm

b) Từ 10 am đến 6 pm

c) Từ 8 am đến 12 pm

VẤN ĐỀ 3: Thể tích hình xuyến

1 Xây dựng công thức tính thể tích hình xuyến:

Nhìn xuống trục z

lOMoARcPSD|20597457

2 Tìm một vật thể có dạng hình xuyến, ghi các kích thước cần thiết Với số liệu có được, tính thể tích của vật thể này theo công thức vừa tìm được So sánh với kết quả đo thực nghiệm.

vi phân để ước tính lượng sơn cần thiết Dùng một cách khác để tính

lượng sơn này và so sánh 2 kết quả.

Sau khi phủ 1 lớp sơn ta được số liệu:

VẤN ĐỀ 4: Diện tích mặt trụ

2 Ứng dụng tích phân đường và tích phân mặt tính diện tích xung quanh của vật thể

Sxung quanh vật thể = A + Sđáy dưới

 Đối với tích phân đường

Diện tích mặt xung quanh của vật thể bao gồm mặt trụ bị cắt bởi 2 mặt phẳng

Sxung quanh vật thể = A + Sđáy dưới = 54 + 9 = 63

 Đối với tích phân mặt

lOMoARcPSD|20597457

Ứng dụng tích phân mặt loại 1 vào tính diện tích mặt xung quanh của vậtthể

Sxung quanh vật thể = A + Sđáy dưới = 54 + 9 = 63

3 Cách tính khác cho diện tích xung quanh của vật thể

Ta chia vật thành 2 phần, từ h1 là S1, từ h2 là S2

S = S 1 + S 2

S1 : Mặt trụ xung quanh và mặt đáy dưới

S2 : Một nửa của mặt trụ xung quanh bề mặt phía trên\

S = (2 + ) + = 2.3.6 + 3 2 + 3.6 = 63

VẤN ĐỀ 5: Trong các vùng có khí hậu mùa Đông khốc liệt, chỉ

số phong hàn thường được dùng để mô tả rõ tính khắc nghiệt của cái lạnh Chỉ số W là nhiệt độ thực tế tại một thời điểm, phụ thuộc vào nhiệt độ không khí T và tốc độ gió v hằng năm W là hằng số với 2 ẩn T và v, W = f (T, v) Bảng 1 ghi lại giá trị của W được biên soạn bởi NOAA National Weather Service of the US and the Meteorological Service of Canada

Ví dụ, tại thời điểm nhiệt độ là -5oC và tốc độ gió là 50 km/h Ta sẽ sẽ cảm nhận đượcnhiệt độ thực tế khi không có gió ở khoảng -15oC

f (-5, 50) = -15

1 Ước tính f ’T(-30, 50), f ’v(-20, 30) và cho biết ý nghĩa

lOMoARcPSD|20597457

2 Ta sẽ cảm nhận được nhiệt độ không khí là bao nhiêu nếu nhiệt độ thực tế là -60,5oC

35 f(x, y)= 2x + y; R is the triangle bounded by y =2x, y= 0, and x =2

Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt

Trong các bài tập 34–41, hãy tìm thể tích của vật rắn được giới hạn bên trên bởi bề mặt z = f (x, y) và bên dưới bởi miền mặt phẳng R

35 f (x, y) = 2x + y; R là tam giác giới hạn bởi y = 2x, y = 0 và x = 2

Phần 3: Giải

Ta có :

Nguồn: Bài 35, trang 601, sách Soo T Tan - Applied calculus for the managerial, life,and social sciences _ a brief approach-Brooks_Cole _ Cengage Learning (2008)

2.Ứng dụng của tích phân đường loại 1:

Phần 1: đề tiếng Anh

C is the right haft of the circle

Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt

C là nửa bên phải của đường tròn

Phần 3: Giải

Ta có: (C): ;

+ ;

3.Ứng dụng tích phân đường loại 2

Phần 1: đề tiếng Anh

lOMoARcPSD|20597457

Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt

11-14: Sử dụng định lí Green để xác định (Kiểm tra định hướng của đường cong trước khi áp dụng định lý.)

Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt

, S là 1 phần của mặt phẳng được bao quanh bởi hình chữ nhật [0, 3] x [0, 2]

Phần 2: Dịch sang Tiếng Việt

, S là tam giác với các đỉnh (1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 2)

Phần 3: Giải

Ta có:

lOMoARcPSD|20597457

=

=

Nguồn: Bài 5+6, trang 1091, (Stewart's Calculus Series) James (James Stewart)

Stewart - Calculus_ Early Transcendentals-Brooks Cole (2007)

5.Ứng dụng Tích phân bội ba:

0 0 0

1 1 2

4

0 0 0

1 1 2

4

1 1 4 2

0 1

0 1

5 7 2 35

r E

 VẤN ĐỀ 1:

https://www.youtube.com/watch?v=71J7h2pvR0E&t=21s

 VẤN ĐỀ 2:

https://math.illinoisstate.edu/day/courses/current/146/Notes/ch06se c05intapsavgval.pdf