Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 đề tài s1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI S1 HÀM NHIỀU BIẾN THỰC (NGHIÊN CỨU NÂNG CAO) GVHD HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Lớp L21 Nhóm 17 Danh sá[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI S1.

HÀM NHIỀU BIẾN THỰC (NGHIÊN CỨU NÂNG CAO)

GVHD: HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM

Lớp: L21

Nhóm: 17

Danh sách thành viên:

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Lời đầu tiên chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Bách Khoa-ĐHQG TP.HCM đã đưa môn Giải Tích 2 vào chương trình giảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên bộ môn là cô Huỳnh Thị Hồng Diễm đã giảng dạy, truyền đạt cho chúng em những kiến thức quý báu trong những ngày qua Trong suốt thời gian tham gia lớp học của cô chúng em tự thấy bản thân mình tư duy hơn, học tập càng thêm nghiêm túc, hiệu quả hơn Đây chắc chắn là những tri thức quý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em sau này Được sự phân công của giảng viên bộ môn, cùng với những kiến thức tích lũy trong quá trình học tập chúng em xin trình bày bài báo cáo Qua việc thực hiện bài báo cáo này, nhóm chúng em đã biết thêm rất nhiều những kiến thức mới

lạ và bổ ích Do vốn kiến thức của chúng em vẫn còn hạn chế nên mặc dù đã cố gắng hết sức nên chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mong cô xem xét, góp ý để bài báo cáo hoàn thiện hơn.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

NỘI DUNG BÁO CÁO Chương 1: ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1

1.1 Định nghĩa:

Định nghĩa 1:

lim

t →0

1

t (f (a+tv) − f ( a))

Như vậy, với điều kiện tồn tại thì:

đối với vị trí thứ j (hoặc f khả vi tại a đối với vị trí thứ j) khi và chỉ khi f có đạo hàm cấp 1

đứng vị trí thứ j) Nếu điều kiện đó được thỏa mãn, ta gọi đạo hàm riêng cấp 1 của f tại a

đối với vị trí thứ j, và kí hiệu là Df(a)

Với điều kiện tồn tại:

Ký hiệu: f1, … , f n là các ánh xạ thành phần của f xác định bởi: ∀ x ∈ E , f (x)=(f1( x ) ,… , f n (x )).

Cho j ∈{1, … , p} Để f có đạo hàm riêng cấp 1 tại a đối với vị trí thứ j, điều kiện cần và đủ

là f1, … , f n có các đạo hàm riêng cấp 1 đối với vị trí thứ j Trong trường hợp này:

D j f ( a)=(D j f1(a) , … , D j f n (a )).

Nhận xét: Mệnh đề cho phép đưa về việc nghiên cứu các hàm có giá trị trong R

Định nghĩa 3:

j

ay ℎay f ' x j

thay cho D j f

Nhận xét:

Mỗi D j f (1 ≤ j≤ p) xác định trên một bộ phận của U

Nếu f: R2→ R2 thì D1f được xác định trên R ∗x R:

{với mọi vịtrí tại tất cả các điểm của U f có đạo àm ℎay riêng cấp 1đối

D1f , , D p f liên tục trênU Tổng quát: Cho U là bộ phận của E, f :U → F

{với bất kỳ j ∈{1 ,… , p}và mọi a ∈ U , f có đạo àm ℎay cấp 1 tại a t eo ℎay e j , ký iệu ℎay : D e j f ( a).

với bất kỳ j ∈{1 , … , p}ánℎay xạ D e j f liên tục trênU

E ∈C1

trên U

 Mệnh đề:

Cho U là một bộ phận mở của R p , f: U → R nthuộc lớp C1 trên U, a=(a1, … , a p)∈U

Ký hiệu: U o={ℎay=(ℎay1,, … , ℎay p)∈ R p ; a+ℎay=(a1+ℎay1, … , a p+ℎay p)∈U}

{∀ ℎay∈ U o , f (a+ℎay)=f ( a)+∑

 Hệ quả: Nếu f thuộc lớp C1 trên một bộ phận mở U của R pthì fliên tục trên U.Chứng minh:

∂ x j (a)+o (‖ℎay‖)ℎay → 0 → f (a ).

1.3.Vi phân của một ánh xạ thuộc lớp C1

1) Đại cương:

Định nghĩa:

Ký hiệu (e1, … ,e p)là cơ sở chính tắc của R p, a ∈ U Khi đó ∀ j ∈{1 , … , p}:

∀ t ∈ R ∗ ,1

t (φ(a+t e j)− φ (a)=φ(e j)).Vậy φ có các đạo hàm riêng cấp 1 tại a và D j φ ( a)=φ(e j) Từ đó, ∀ ℎay=(ℎay1,…, ℎay p)∈ R p

Với j ∈{1 , … , p} phép chiếu thứ j p r j : R p → R được ký hiệu, một cách lạm dụng là x j, từ đó:

(x1,… , x p)→ x j

d a p r j=d a x j : R p → R

(ℎay1, … , ℎay p)→ ℎay j

Nếu f: U → R n thuộc lớp C1 trên U, ta có:

trận Jacobi của f tại a là Jacobien của f tại a

2.Các phép toán:

Định lý (Hợp các ánh xạ thuộc lớp C1):

Giả sử n , p , q ∈ N ∗ ,U (tương ứng V) là một bộ phận mở của R q (tương ứng R p¿, f: U → R p ,

thường (luật thứ 3 là phép nhân)

Mệnh đề - Định nghĩa:

a

Ký hiệu: grad f (a)´ , sao cho:

∀ ℎay∈ E ,< ´ grad f (a) , ℎay>¿(d a f)(ℎay)

∀ a ∈U , ´ grad f (a)=∑

Cho U là một bộ phận mở của E, a ∈ U,f: U→F Ta nói f khả vi tại a nếu và chỉ nếu tồn tại

L a ∈ Ը(E,F) sao cho khi kí hiệu U0∈{ℎay∈ E , a+ℎay∈U¿ } thì:

∀ h ∈U0, f (a+h)=f (a)+L a(h)+o(¿ ∨h∨¿ )

ℒ ( E , F ) chỉ tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F

Nhận xét:

tập hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F

Mệnh đề - Định nghĩa 1:

tuyến tính tiếp xúc với f tại a )

Nếu {các đạo àm f có các đạo àm ℎay riêng cấp 1 của f liên tục tại a ℎay riêng cấp 1trên U t ì ℎay f k ả ℎay vitại a

Mệnh đề 2:

Cho U là một bộ phận mở của E, f :U → F khả vi trên U Để f thuộc lớp C1 trên U, điều

cấp một bởi ‖.‖1 trên R p và điều kiện:

∀ x ∈[a; b], Max|∂ x ∂ f j(x )|≤ M

1 ≤ j≤ p

Một bộ phận C của một R – kgv có tính lồi khi và chỉ khi:

{ ϕt uộc ℎay ϕlà song ánℎay lớp C1trênU

ϕ −1 t uộc ℎay lớp C1trênV

Nếu { ϕ t uộc ℎay ϕ làsong ánℎay lớpC1trênU

Với mọi a t uộc ℎay U , d a ϕlàmột song ánℎaytừ E lên F

thì {ϕlà một C dim ( E)=dim ⁡(F )1−vi p ôi ℎay từ U lênV

Nhận xét:

Bài tập áp dụng:

trẻ có chiều cao 60(cm) và cân nặng 9(kg) Tại thời điểm này h tăng 20(cm/năm) và w tăng5(kg/năm) Ước lượng sự tăng diện tích da của đứa trẻ tại thời điểm nay?

dt =?

Code

Chương 2: ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO2.1 Định nghĩa:

đạo hàm riêng cấp k của f đối với các vị trí i1, … , i k liên tiếp

+ Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lí Schwartz luôn luôn đúng tại các điểm mà đạo hàm tồn tại

+ Định lí Schwartz cũng đúng cho tất cả các đạo hàm từ cấp 3 trở lên

f xxy '' ' =f xyx '' ' =f ' ' ' yxx

Cách viết đạo hàm cấp cao và cách tính:

Ví dụ về giải phương trình đạo hàm riêng cấp 2:

Ví dụ: Cho f(x,y)= e xy Tính f xyy '' '

tiếp trên U đến cấp k đối với mọi vị trí và nếu các đạo hàm riêng liên tiếp này đều liên tục trên U

đến mọi cấp và nếu các đạo hàm riêng liên tiếp này liên tục trên U

Nhận xét:

1) Nếu f thuộc lớp C ktrên U thì đối với mọi m của N sao cho m ≤k , f thuộc lớp C m trên U.

thường (luật thứ 3 là phép nhân)

Định lý:

¿, f :U → R p ; g :V → R n sao cho

f (U )∁ V , k ∈ N ∗ ∪{ +∞}.

Nếu f và g đều thuộc lớp C k tương ứng trên U và V thì g ° f thuộc lớp C k trên U

2.3 Đổi thứ tự lấy đạo hàm:

Ta nói ϕ là một C k- vi phôi (từ U lên V) khi và chỉ khi: { ϕt uộc ℎay lớp C k trên U

ϕlà song ánℎay

ϕ −1 t uộc ℎay lớp C k trênV

Định lý:

Nếu{ ϕt uộc ℎay ϕ làsong ánℎay lớp C k trênU

Với bất kỳ a ∈U , d a ϕlà một song ánℎaytừ R p

lên R n , thì n=p và ϕ làmột C k- vi phôi từ U lên V

Do hàm theo x,z này cũng khả vi vô hạn lần theo hướng x,z tùy ý nên ánh xạ ngược Ta có điều phải chứng minh

∃V ∈V R p(a), ∀ x ∈( X ∩V )−{a }, f (x)<f (a)

∃V ∈V R p(a), ∀ x ∈( X ∩V )−{a }, f (x)>f (a)

 Nếu { f có một cực trị địa phương tại a U là một tậpmở của R p

các đạo hàmriêng cấp 1 của f tại a tồntại

 Thì ∀ j ∈{1 p }, f ' x j(a)=0

Định nghĩa:

3.3 Khảo sát nhờ đạo hàm riêng cấp 2

2) Áp dụng để khảo sát cực trị địa phương của hàm số nhiều biến số thực

a) Trường hợp nhiều biến

Định lí:

3) Nếu s2 -rt > 0, thì f không có cực trị địa phương tại a

{.Tồn tại một ánℎay xạ duy n ất v × w⊂U ℎay φ : v → w saoc o ℎay :

∀ x∈ v , f (x , φ(x))=0

φ t uộc ℎay lớp C1trên v

2, Nếu p=1 và n=2 định lý về hàm ẩn có dạng như sau:

Giả sử:{ f , g đều t uộc f (A )=g( A)=0 ℎay lớpC1trên U

Khi đó tồn tại một lân cận mở trong của a trong R và các lân cận mở w1,w2 của b,c tương ứngtrong R sao cho:

{ v × w1×w2⊂U

.Tồn tại một cặp duy n ất ℎay cácánℎay xạ φ : v → w1, ℶ :v → w2

sao c o ℎay ∀ x ∈ v , f (x , φ (x), ℶ (x))=g( x , φ(x ), ℶ (x))=0

φ , ℶ t uộc ℎay lớp C1trên v

Cho U là một bộ phận mở của Rp Ta gọi mọi ánh xạ ω:U → Ը(R n

, R) sao cho tồntạip ánh xạ

Cho U là một bộ phận mở của Rp, ω là một dạng vi phân trên U Nếu U sao hóa và ω đóng

2 Dạng vi phân chính xác

Định nghĩa: