Các bước để viết 3 loại tổng Riemann dưới dạng công thức.Giả sử ta muốn ước lượng diện tích của đồ thị f trong một đoạn [a, b] bằng tổng Riemann với n hình chữ nhật có cùng chiều rộng :
Trang 1ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
BÁO CÁO BÀI TẬP
LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1
NHÓM L23_14
TP HCM, 12/2022
Trang 2Giáo viên hướng dẫn: Trần Ngọc Diễm
Duy
Nhân
Đề tài báo cáo
1 Cho hàm số y= f(x), a≤ x≤ b cho dạng bảng số Dùng tổng Riemann để ước
b
tính ∫ f ( x) dxbằng một phần mềm hoặc một ứng dụng tùy ý Yều cầu thể hiện
a
được cách cùng tổng trái/ tổng phải/ tổng trung tâm.
2 Giải phần Discovery Promblem trong phần 8.3, Calculus early
transcendenals, 6th Edition, James Stewart.
Trang 4Danh sách 2 Nhận xét 3 Bài làm 5 Bài 1…….……….
B Giải phần Discovery Problem trong phần 8.3, Calculus
early transcendenals, 6th Edition, James
Trang 6A Các bước để viết 3 loại tổng Riemann dưới dạng công thức.
Giả sử ta muốn ước lượng diện tích của đồ thị f trong một đoạn [a, b] bằng tổng
Riemann với n hình chữ nhật có cùng chiều rộng :
Bước 1: Tính Δxxvới Δxx là chiều rộng của mỗi hình chữ nhật và Δxx = b −
Trang 7B Giải quyết vấn đề thủ công
Ta sẽ dùng các công thức trên để giải quyết vấn đề sau:
Cho hàm số y= f(x) dưới dạng bảng số trong đoạn [0; 6]
Trang 8C Giải quyết vấn đề bằng phần mềm Geogebra
Điểm đặc biệt của Geogebra là nó cho phép người dùng tự thiết kế lại giao diện tùy theonhu cầu Vì vậy, nhóm em đã thiết kế lại giao diện của Geogebra để tiện cho việc tính
và biểu diễn tổng Riemann như sau:
Đầu tiên, hàm số được đưa ra dưới dạng bảng số ở phần B chính là y=x2
Như vậy, ta có:
Tổng Riemann trái là:
Trang 9Tổng Riemann phải sẽ là:
Tổng Riemann trung tâm sẽ là:
Trang 10Như vậy, bọn em đã hoàn thành việc tính tổng và biểu diễn tổng Riemann trái, phải
và trung tâm
Ngoài ra, trong quá trình học và tìm hiểu, nhóm em nhận thấy rằng:
Nếu hàm y = f(x) đồng biến trên đoạn [a, b] thì tổng Riemann trái của f(x) trên đoạn [a, b]
sẽ có kết quả nhỏ hơn so với tích phân của chính nó trên đoạn [a, b] và tổng Riemannphải
trên đoạn [a, b] sẽ có kết lớn hơn so với tích phân của chính nó trên đoạn [a, b]
Ngược lại, nếu hàm y = f(x) nghịch biến trên đoạn [a, b] thì tổng Riemann trái của f(x) trên đoạn [a, b] sẽ có kết quả lớn hơn so với tích phân của chính nó trên đoạn [a, b] và
tổng Riemann phải trên đoạn [a, b] sẽ có kết nhỏ hơn so với tích phân của chính nó trênđoạn [a, b]
Để kiểm chứng điều này, nhóm em đã minh họa trên Geogebra với ba hàm UpperSum
và LowerSum, ActualIntegral(tính tích phân của y=f(x)).Ví dụ, Hàm y=x2 đồng biến trênđoạn [0, 6] nên là :
Trang 122 Giải phần Discovery Problem trong phần 8.3,
Stewart.
A Một số công thức cần biết trước khi giải bài toán.
1 Tọa độ khối tâm của C trên một mặt R với diện tích là A trên trục Oxy.
Nếu mặt R nằm giữa hai hàm y=f ( x ) và y=g ( x ) với f ( x ) ≥ g ( x ) thì tọa độ khối tâm R sẽ là:
2 Công thức thể tích theo phương pháp vỏ hình trụ (Cylindrical shells).
Thể tích của hàm y=f ( x ) giới hạn bởi a và b khi xoay y=f ( x ) quanh trục Oy là:
b
V =∫ 2 πxfxf ( x) x , 0 ≤ a<b
a
Trang 133 Định lý Pappus (được đặt tên theo nhà toán học người Hi Lạp Pappus of
Alexandria sống vào thế kỉ thứ tư trước công nguyên)
Định lý phát biểu rằng :
Cho R là một hình nằm lệch về một phía so với đường thẳng l trên trục tọa độ Nếuxoay R quanh l thì thể tích của R sẽ bằng tích của diện tích của R và quãng đường điđược bởi khối tâm của R
V = Ad
Chứng minh:
Chúng ta sẽ chứng minh một trường hợp đặc biệt khi hình R nằm giữa y=f ( x ) và
y=g ( x ) và đường l là trục Oy như Hình 6 Áp dụng công thức nếu ra ở phần 2 cho f ( x )
Trang 14B Giải phần Discovery Problem trong phần 8.3, Calculus
early transcendenals, 6th Edition, James Stewart.
1 Đề bài
Giả sử bạn có hai cái cốc như hình dưới đây, một cái thì phình to ra ngoài và cái kia thì lõm vào trong Bạn nhận thấy chiều cao và hình dạng của hai cái cốc giống hệt nhau Điều này khiến bạn tự hỏi liệu có sự khác biệt giữa lượng cà phê mà hai cốc
có thể chứa hay không Tất nhiên bạn có thể đổ đầy nước vào một cốc và đổ cái cốc
Trang 15tay cầm, bạn nhận thấy cả hai cái cốc đều là kết quả của một mặt tròn xoay Điều này khiến bạn nghĩ rằng lượng cà phê đổ có thể đổ vào một cốc chính là thể tích của cái mặt tròn xoay của cốc đó.
a) Giả sử hai cái cốc có cùng chiều cao, cốc A được tạo thành bởi việc xoay đường cong
x=f ( y ) quanh trục y và cốc B được tạo thành bằng việc xoay chính đường cong đóquanhđường x=k Tìm giá trị của k sao cho hai cốc chứa lượng cà phê bằng nhau
b) Bạn có thể kết luận gì từ kết quả ở phần 1 về diện tích của A1và A2
c) Dùng định lý Pappus để giải thích kết quả ở phần 1 và 2
d) Dựa vào sự đo đạc và quan sát của bạn, hãy cho một giá trị h và đưa ra một phương trình x=f ( y ) và tính toán lượng cà phê mỗi cốc đựng
2 Giải bài toán
a)
Cốc A có thể tích
ℎ
Trang 1716
Trang 18⇔ 1
2 k A2 = 1
2 k A1 ⇔ A2= A1 ( như đã chứng minh ở phần 2 )Lại có: A1 + A2 =k ℎ
d)
Ta sẽ chọn một cái cốc có ℎ=8 cm và có đường kính là 6 cm.
Với phương trình x=f ( y ), ta chọn một parabol có đỉnh với tọa độ (4, 4) Khi đó,
ta có công thức biểu diễn parabol:
x=a ( y − 4)2 + 4
Trang 1917
Trang 20+ Hoàn thành đúng, đủ và đúng hạn những yêu cầu được giao.
+ Đã có thể áp dụng phần mềm vào việc giải toán, cụ thể là Geogebra.
+ Có phân chia công việc rõ ràng; từng cá nhân hoạt động và hoàn thành tốt
Trang 21+ Trình bày trong Word còn nhiều khuyết điểm.
Tài liệu tham khảo
Về tài liệu:
1 Calculus: Early Transcendentals 6th Edition by James Stewart
2 Giáo trình giải tích 1 do Nguyễn Đình Huy chủ biên – NXB ĐHQG 2016
3 Bài giảng về tích phân xác định trên Khan Academy.
4 Complete solution manual for single variable calculus.pdf
Trang 22Về Geogebra
1. Riemann Sums Conceptualization của Jerry Yang
2 Riemann Sums của John Stenger
3 Left and Right Riemann Sums của Cbishop
Trang 23LỜI CẢM ƠN
Tập thể nhóm 14 xin cảm ơn thầy cô đã xem qua báo cáo bài tập lớn của chúng em Chúng em chân thành cảm ơn cô Trần Ngọc Diễm, cô Trần Thị Ngọc Huyền và cô Lê Nguyễn Hạnh Vy đã chỉ dạy tận tình và hỗ trợ chúng em rất nhiều để cả nhóm có thể hoàn thành bài tập lớn một cách trọn vẹn nhất ạ Tuy nhiên trong quá trình làm bài không thể không xảy ra những sai sót, thiếu sót, chúng em mong thầy cô cho chúng em những góp ý để chúng em có thể hoàn thiện hơn nữa.
MỘT LẦN NỮA, NHÓM 14 XIN CHÂN THÀNH
CẢM ƠN CÁC CÔ!