(Tiểu luận) báo cáo bài tập lớn môn giải tích 1 đề tài dùng tổng tích phân riemann tính diện tích một địa phương trong thực tế

i ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 1 ĐỀ TÀI DÙNG TỔNG TÍCH PHÂN RIEMANN TÍNH DIỆN TÍCH MỘT ĐỊA PHƯƠNG TRONG THỰC TẾ GVHD GVBT Ths Nguyễn Thị Xuân Anh[.]

i

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

-

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN GIẢI TÍCH 1

ĐỀ TÀI DÙNG TỔNG TÍCH PHÂN RIEMANN TÍNH DIỆN TÍCH MỘT ĐỊA PHƯƠNG TRONG THỰC TẾ

GVHD : GVBT:

Ths Nguyễn Thị Xuân Anh

ên GVLTNNguyễn Thị Kiều Ân

Nhóm Lớp: L1516

Danh sách thành viên:

h

ii

TP HỒ CHÍ MINH, tháng 12 năm 2022

h

iii

MỤC LỤC

DANH MỤC HÌNH ẢNH iii

DANH MỤC BẢNG BIỂU iv

NỘI DUNG ĐỀ BÀI 1

TÓM TẮT 2

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

1.Định nghĩa…… 3

2 Các dạng của tổng Riemann 4

3 Hàm sai số cuả tổng Riemann 4

CHƯƠNG II: GEOGEBRA 6

1.Giới thiệu các lệnh Geogebra được sử dụng 6

2.Giải bài toán bằng sơ đồ khối 6

3.Ví dụ 7

CHƯƠNG III: KẾT QUẢ VÀ KẾT UẬN 8

1 Kết quả……… 8

2 Kết luận………… 10

TÀI LIỆU THAM KHẢO 11

PHẦN PHỤ LỤC 12

h

iv

DANH MỤC HÌNH ẢNH

Hình 1.1 ………… ………3

Hình 2.1 ………… ………7

Hình 2.2 ………… ………7

Hình 3.1 ………… ………9

Hình 3.2 ………… ………10

h

v

DANH MỤC BẢNG BIỂU

Bảng 2.1.……… ………6

h

1

NỘI DUNG ĐỀ BÀI

Dùng tổng tích phân Riemann tính diện tích 1 địa phương trong thực tế

Tính diện tích phường Đông Hoà, Dĩ An, Bình Dương theo hướng dẫn trong file “Hướng dẫn BTL” ở Bkel với các yêu cầu dưới đây:

1/Tỉ lệ 0.5km=1đv

2/Diện tích thực tế để so sánh: 10.25 𝑘𝑚2

h

2

TÓM TẮT

Đề tài được giao

Tính diện tích 1 địa phương trong thực tế bằng tổng Riemann

Hướng giải quyết bài tập

 Ôn lại các kiến thức cần thiết trong chương 4 “PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ” của Giải Tích 1

 Tìm hiểu về phần mềm động Geogebra (các lệnh, các hàm symbolic và vẽ đồ hoạ)

 Giải quyết bài toán trên Geogebra

 Viết báo cáo bằng word và trình bày dưới dạng pdf

Ý nghĩa của bài toán

Bài toán cho ta cái nhìn trực quan về việc tính diện tích địa phương bằng sự phân chia các vùng thành các dạng hình (hình chữ nhật, hình thang, parabol, hoặc hình hàm bậc ba) mà cùng nhau tạo thành những vùng giống với những vùng đã có được công thức tính toán, sau đó tính diện tích của mỗi vùng này, và cuối cùng cộng tất cả diện tích của những vùng nhỏ này với nhau

Mục đích của báo cáo

 Báo cáo kết quả bài tập cho giảng viên

 Ghi chép lại quá trình giải quyết bài tập của cả nhóm

h

3

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Định nghĩa:

-Ta đều biết ứng dụng thường dùng nhất của tích phân là để tính diện tích Trong phần này, ta sẽ cùng đi qua một phương pháp dùng diện tích để tính gần đúng giá trị của tích phân, gọi là tổng Riemann Phương pháp này cực kì hữu hiệu khi ta cần tính tích phân mà không biết chính xác hàm 𝑓(𝑥) , chỉ biết tập hợp gồm toạ độ các điểm 𝑥 và 𝑓(𝑥)trong một miền xác định

-Cho hàm số 𝑓(𝑥) xác định trên đoạn [𝑎; 𝑏] (𝑎 < 𝑏) Chia đoạn [𝑎; 𝑏] thành n phần nhỏ hữu hạn [𝑥𝑖−1; 𝑥𝑖], (𝑖 = 1, … , 𝑛) bởi những điểm

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < … < 𝑥𝑖−1 < 𝑥𝑖 < … < 𝑥𝑛 = 𝑏 -Trên mỗi phần nhỏ này [𝑥𝑖−1; 𝑥𝑖] chọn bất kỳ một điểm 𝑥𝑖∗ ∈ [𝑥𝑖−1; 𝑥𝑖]và thành lập tổng 𝜎 = ∑𝑛 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖

𝑖=1 , với ∆𝑥𝑖 = 𝑥𝑖− 𝑥𝑖−1 > 0

-Tổng 𝜎 = ∑𝑛 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖

𝑖=1 được gọi là tổng tích phân của hàm số 𝑓(𝑥) trên đoạn [𝑥𝑖−1; 𝑥𝑖], hay tổng Riemann Nói cách khác, tổng Riemann là tổng diện tích của các hình chữ nhật có bề ngang ∆𝑥𝑖và chiều cao 𝑓(𝑥𝑖∗) trên miền [𝑎; 𝑏] Ta có thể dùng tổng Riemann để xấp xỉ giá trị của tích phân ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑎𝑏

Hình 1.1: Tổng Riemann cho hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥2 trong khoảng [−4;4] được chia thành 20 đoạn nhỏ, hay bước chia Δ𝒙𝒊=0.2 và 𝑥𝑖∗ = (𝑥𝑖−𝑥𝑖−1)/2

h

4

-Số hữu hạn 𝐼 ∈ 𝑅 được gọi là giới hạn của tổng tích phân 𝜎 khi λ→0,

(λ = max{Δxi, i = 1, … , n}) nếu như với mọi 𝜀 > 0, ∃𝛿 = 𝛿(𝜀) > 0, sao cho đoạn [𝑎; 𝑏] bị chia thành những đoạn nhỏ với độ dài 𝛥𝑥𝑖 < 𝜀, có nghĩa là 𝜆 < 𝛿 , luôn có bất đẳng thức |σ − I| < ε không phụ thuộc vào cách chia đoạn [𝑎; 𝑏] thành những đoạn nhỏ và cách chọn điểm 𝑥𝑖∗ trên những đoạn nhỏ [𝑥𝑖−1; 𝑥𝑖] Lúc này ta viết

lim

𝜆→0𝜎 = 𝐼

- Nếu tổng tích phân 𝜎 có giới hạn hữu hạn khi λ→0, có nghĩa là lim

𝜆→0𝜎 = 𝐼 thì I là tích phân xác định của hàm số 𝑓(𝑥) trong khoảng [𝑎; 𝑏] Trong trường hợp này những số a

và b trở thành cận trên và cận dưới của tích phân

-Như vậy ta có tích phân Riemann

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐼 = 𝑙𝑖𝑚

𝜆→0𝜎 = 𝑙𝑖𝑚

𝜆→0∑ 𝑓(𝑥𝑖∗)∆𝑥𝑖 𝑛

𝑖=1

𝑏

𝑎

2 Các dạng của tổng Riemann:

Dựa vào cách chọn 𝑥𝑖∗ mà ta có thể chia tổng Riemann ra làm 3 dạng chính:

 Tổng Riemann trái khi 𝑥𝑖∗ = 𝑥𝑖−1

 Tổng Riemann giữa khi 𝑥𝑖∗ = (𝑥𝑖−𝑥𝑖−1)/2

 Tổng Riemann phải khi 𝑥𝑖∗= 𝑥𝑖

Ngoài ra, còn một phương pháp tương tự tổng Riemann được gọi là quy tắc hình thang

Thay vì sử dụng 𝑓(𝑥𝑖∗), ta thay bằng trung bình cộng của 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝑣à 𝑓(𝑥𝑖) Khi đó ta có

𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏 𝑎

≈ ∑𝑓(𝑥𝑖−1) − 𝑓(𝑥𝑖)

2

𝑛

𝑖=1

𝛥𝑥𝑖

Tổng∑ 𝑓(𝑥𝑖−1 ) − 𝑓(𝑥𝑖)

2

𝑛

𝑖=1 𝛥𝑥𝑖 chính là tổng diện tích các hình thang có độ dài cạnh bên

là 𝛥𝑥𝑖 và độ dài hai đáy lần lượt là 𝑓(𝑥𝑖−1) 𝑣à 𝑓(𝑥𝑖)

3 Hàm sai số của tổng Riemann:

Gọi 𝑀1 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓′(𝑥)| và 𝑀2 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓′′(𝑥)| trong khoảng [𝑎, 𝑏] N: số khoảng chia Khi đó:

 Sai số của tổng Riemann trái

h

5

| ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∑ 𝑓(𝑥𝑖−1)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑏

𝑎

| ≤ (𝑏 − 𝑎)2

2𝑁 𝑀1

 Sai số của tổng Riemann phải

| ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∑ 𝑓(𝑥𝑖)∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑏

𝑎

| ≤(𝑏 − 𝑎)2

2𝑁 𝑀1

 Sai số của tổng Riemann giữa

| ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∑𝑓(𝑥𝑖−1) − 𝑓(𝑥𝑖)

2 ∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑏

𝑎

| ≤ (𝑏 − 𝑎)3

12𝑁2 𝑀2

Bên cạnh đó, ta cũng có sai số công thức hình thang

| ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − ∑ 𝑓 (𝑥𝑖+𝑥𝑖−1

2 ) ∆𝑥𝑖

𝑛

𝑖=1

𝑏

𝑎

| ≤ (𝑏 − 𝑎)3

24𝑁2 𝑀2

 Nhận xét: Từ 4 công thức sai số trên, ta có thể thấy công thức hình thang và tổng Riemann giữa có thể xấp xỉ giá trị tích phân tốt hơn khi N→∞, do 2 công thức này tỉ lệ nghịch với 𝑁2, trong khi sai số của tổng Riemann trái và phải chỉ

tỉ lệ nghịch với N

h

6

CHƯƠNG II: GEOGEBRA 1.Giới thiệu các lệnh Geogebra được sử dụng:

Công cụ di chuyển

Không dùng để vẽ và khởi tạo hình mà dùng để di chuyển hình, ta kéo thả chuột lên đối tượng để di chuyển đối tượng này

Các công cụ liên

quan đến đối tượng

điểm

Dùng để tạo 1 điểm mới, điểm được tạo có thể là điểm tự do trên mặt phẳng hoặc điểm thuộc 1 đối tượng khác (đường thẳng, đoạn thẳng)

Các công cụ liên

quan đến đoạn,

đường thẳng:

Dùng để tạo đường, đoạn, tia qua 2 điểm cho trước

Các công cụ tạo mối

quan hệ hình học

Dùng để tạo đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 1 đường hoặc đoạn thẳng cho trước

Curve()

Vẽ đồ thị của phương trình tham số,với các hàm của y,x theo biến t, điểm đầu và điểm cuối cho trước

m = curve(1.65,4.47+t,t,0,1.32)

Bảng 2.1 Các lệnh Geogebra cơ bản

2.Giải bài toán bằng sơ đồ khối:

h

7

Hình 2.1 Sơ đồ khối

3 Ví dụ:

Hình 2.2 Biểu đồ theo ví dụ

h

8

CHƯƠNG III: KẾT QUẢ VÀ KẾT LUẬN

1 Kết quả:

Kết quả bài toán thu được bằng :

Hình 3.1 Kết quả chạy được từ Geogebra

Link Geogebra: https://www.geogebra.org/classic/mqx4f4yg

h

9

*Nhận xét:

-Dựa vào hình 3.1 ta thấy diện tích đa giác: 10.915km2, diện tích theo phân hoạch: 10.757km2

Hình 3.2 Kết quả Wikipedia

*Nhận xét:

-Dựa vào hình 3.2 ta thấy rằng : diện tích thực theo wikipedia: 10.46km2

2 Kết luận

Qua đề tài lần này, nhóm 16 đã thu hoạch được rất nhiều kiến thức bổ ích:

-Giải được bài toán, đặc biệt với đề tài nhóm đã nắm bắt được một số khái niệm cơ bản của của tổng tích phân Riemann

-Biết cách sử dụng công cụ Geogebra

- Phân tích được bài toán tính diện tích của địa phương bằng ứng dụng tổng tích phân Riemann

-Rèn luyện được kỹ năng làm việc nhóm

-Biết được cách trình bày chuẩn của một bài báo cáo, bài tiểu luận

- Nhóm đã hoàn thành bài toán của giáo viên giao cho với đề tài “tính diện tích của địa phương bằng tổng riemann”

Diện tích theo wikipedia.org: 10.46km2

h

10

- Kết quả đạt được trên Geogebra theo đúng với dự tính, và đồng thời đúng hình dáng

đồ thị so với các phần mềm khác

Đề tài này đã hỗ trợ xác định diện tích của địa phương Với phương pháp sử dụng phần mềm Geogebra có thể giúp thuận tiện và dễ dàng hơn trong việc giải các bài toán tương tự mà không thể giải được bằng tay

h

11

TÀI LIỆU THAM KHẢO

“Giáo trình Giải tích 1”

h

12

PHỤ LỤC

h