Báo cáo bài tập lớn môn giải tích 2 đề tài s1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN GIẢI TÍCH 2 ĐỀ TÀI S1 HÀM NHIỀU BIẾN THỰC (NGHIÊN CỨU NÂNG CAO) GVHD HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM Lớp L21 Nhóm 17 Danh sá[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

MÔN: GIẢI TÍCH 2

ĐỀ TÀI S1.

HÀM NHIỀU BIẾN THỰC (NGHIÊN CỨU NÂNG CAO)

GVHD: HUỲNH THỊ HỒNG DIỄM

Lớp: L21

Nhóm: 17

Danh sách thành viên:

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU

Lời đầu tiên chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Trường Đại học Bách Khoa-ĐHQG TP.HCM đã đưa môn Giải Tích 2 vào chương trình giảng dạy Đặc biệt, chúng em xin gửi lời cảm ơn đến giảng viên bộ môn là cô Huỳnh Thị Hồng Diễm đã giảng dạy, truyền đạt cho chúng em những kiến thức quý báu trong những ngày qua Trong suốt thời gian tham gia lớp học của cô chúng em tự thấy bản thân mình tư duy hơn, học tập càng thêm nghiêm túc, hiệu quả hơn Đây chắc chắn là những tri thức quý báu, là hành trang cần thiết cho chúng em sau này Được sự phân công của giảng viên bộ môn, cùng với những kiến thức tích lũy trong quá trình học tập chúng em xin trình bày bài báo cáo Qua việc thực hiện bài báo cáo này, nhóm chúng em đã biết thêm rất nhiều những kiến thức mới

lạ và bổ ích Do vốn kiến thức của chúng em vẫn còn hạn chế nên mặc dù đã cố gắng hết sức nên chắc chắn khó tránh khỏi những thiếu sót Kính mong cô xem xét, góp ý để bài báo cáo hoàn thiện hơn.

Chúng em xin chân thành cảm ơn!

NỘI DUNG BÁO CÁO Chương 1: ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP 1

1.1 Định nghĩa:

Định nghĩa 1:

lim

t →0

1

t (f(a+tv)−f (a) )

Như vậy, với điều kiện tồn tại thì:

đối với vị trí thứ j (hoặc f khả vi tại a đối với vị trí thứ j) khi và chỉ khi f có đạo hàm cấp 1

đứng vị trí thứ j) Nếu điều kiện đó được thỏa mãn, ta gọi đạo hàm riêng cấp 1 của f tại a

đối với vị trí thứ j, và kí hiệu là Df(a)

Với điều kiện tồn tại:

Ký hiệu: f1,…,f n là các ánh xạ thành phần của f xác định bởi: ∀ x∈E ,f(x) =(f1(x),…, f n(x)).

Cho j ∈{1,…, p } Để f có đạo hàm riêng cấp 1 tại a đối với vị trí thứ j, điều kiện cần và đủ

D j f(a) =(D j f1(a),…,D j f n(a)).

Nhận xét: Mệnh đề cho phép đưa về việc nghiên cứu các hàm có giá trị trong R

Định nghĩa 3:

j ℎ f ay ' x j

thay cho D j f

Nhận xét:

Nếu f: R2→R2 thì D1f được xác định trên R ∗x R:

{ f cóđạo àm ℎ riêng cấp 1đối

vớimọi vịtrí tại tất cảcác điểmcủa U

D1f , , D p f liên tục trênU Tổng quát: Cho U là bộ phận của E, f :U →F

{vớibất kỳ j∈{1,…, p} vàmọi a∈ U ,f cóđạo àm ℎ cấp1tại at eo ℎ e j ,ký iệu ℎ : D e j f(a).

với bất kỳ j ∈{1,…, p} ánℎ xạ D e j f liên tục trênU

E ∈C1trên U

 Mệnh đề:

Ký hiệu: U o={ℎ=(ℎ 1, ,…,ℎ p)∈ R p ; a+ℎ=(a1+ℎ1,…,a p +ℎ p)∈U}

Chứng minh:

Với j ∈{1,…, p } phép chiếu thứ j pr j : R p →R được ký hiệu, một cách lạm dụng là x j, từ đó:

(x1,…, x p )→x j

d a pr j =d a x j : R p →R

(ℎ1,…,ℎ p )→ℎ j

Nếu f: U → R n thuộc lớp C1 trên U, ta có:

trận Jacobi của f tại a là Jacobien của f tại a

2.Các phép toán:

Định lý (Hợp các ánh xạ thuộc lớp C1):

Giả sử n, p,q∈ N ∗ ,U (tương ứng V) là một bộ phận mở của R q (tương ứng R p¿,f: U →R p ,

Nếu λ , f ,gđều thuộc lớp C1 trên U thì λf +g thuộc lớp C1 trên U

Nhận xét:

thường (luật thứ 3 là phép nhân)

Mệnh đề - Định nghĩa:

Cho U là một bộ phận mở của E, a∈ U,f: U→F Ta nói f khả vi tại a nếu và chỉ nếu tồn tại

∀ h ∈U0,f (a+h)=f (a)+L a (h)+o(¿∨h∨¿ )

ℒ (E , F) chỉ tập hợp các ánh xạ tuyến tính từ E vào F

Nhận xét:

hợp các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F

Mệnh đề - Định nghĩa 1:

tuyến tính tiếp xúc với f tại a )

Ký hiệu: d a f

Định lý 1:

Nếu f khả vi tại a thì f liên tục tại a

Định lý 2:

Nếu f khả vi tại a, thì ∀ v ∈ E −{0},f có đạo hàm tại a theo v

Hệ quả:

các đạo àm ℎ riêng cấp 1củaf liên tục tại a t ì ℎ f k ả ℎ vi tại a

Mệnh đề 2:

Cho U là một bộ phận mở của E, f :U →F khả vi trên U Để f thuộc lớp C1 trên U, điều

ℒ (E , F)được trang bịmột c uẩn ℎ nào đó,vì E và F có số c iều ℎ ℎ ữu ℎ nênℒ ạn (E , F)cũngcó số c iều ℎ ℎ ữu ℎ ạn

Định lý 4:

cấp một bởi ‖.‖1 trên R p và điều kiện:

∀ x∈[a; b], Max|∂ f

∂ x j (x)|≤ M

1≤ j≤ p

Một bộ phận C của một R – kgv có tính lồi khi và chỉ khi:

-vi phôi (từ U lên V) khi và chỉ khi:

Nếu { ϕ t uộc ℎ lớp C1trên U

ϕ làsong ánℎ Với mọi a t uộc ℎ U ,d a ϕ làmột songánℎtừ E lên F

trẻ có chiều cao 60(cm) và cân nặng 9(kg) Tại thời điểm này h tăng 20(cm/năm) và w tăng5(kg/năm) Ước lượng sự tăng diện tích da của đứa trẻ tại thời điểm nay?

dt =?

Code

Chương 2: ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

+ Đối với các hàm sơ cấp thường gặp, định lí Schwartz luôn luôn đúng tại các điểm mà đạo hàm tồn tại

+ Định lí Schwartz cũng đúng cho tất cả các đạo hàm từ cấp 3 trở lên

f xxy '' ' =f xyx '' ' =f ' ' ' yxx

Cách viết đạo hàm cấp cao và cách tính:

Ví dụ về giải phương trình đạo hàm riêng cấp 2:

Ví dụ: Cho f(x,y)= e xy Tính f xyy '' '

f x ' (x , y)= y e xy

f xy '' (x , y)=(1+xy)e xy

f xyy '' ' (x, y)=[ x+(1+xy)x]e xy =(2 x+ x2y)e xy

2.2 Ánh xạ thuộc lớp C k trên một miền mở:

Định nghĩa:

tiếp trên U đến cấp k đối với mọi vị trí và nếu các đạo hàm riêng liên tiếp này đều liên tục trên U

đến mọi cấp và nếu các đạo hàm riêng liên tiếp này liên tục trên U

Nhận xét:

1) Nếu f thuộc lớp C ktrên U thì đối với mọi m của N sao cho m ≤k ,f thuộc lớp C m trên U.

thường (luật thứ 3 là phép nhân)

Định lý:

f(U)∁V ,k ∈ N ∗ ∪{+∞ }

Nếu f và g đều thuộc lớp C k tương ứng trên U và V thì g° f thuộc lớp C k trên U

2.3 Đổi thứ tự lấy đạo hàm:

Ta nói ϕ là một C k- vi phôi (từ U lên V) khi và chỉ khi: { ϕt uộc ℎ lớpC k trên U

ϕlà songánℎ

ϕ −1 t uộc ℎ lớp C k trênV

Định lý:

Nếu{ ϕt uộc ℎ lớpC k trênU

ϕ làsong ánℎ Vớibất kỳ a∈U ,d a ϕlà một songánℎtừ R p lên R n , thì n= pvàϕ làmột C k- vi phôi từ U lên V

Ví dụ:

Cho U ={(x , y)∈ R2;x> y2}, f :U →R2 xác định bởi f (x, y)=( x, xy− y33) Chứng minh rằng f là

Gọi f ( y)=xy− y33,f ' ( y)=x− y2 >0 nên f ( y) là hàm tăng, f(0)=0, f(√x)= 23√x3

Do hàm theo x,z này cũng khả vi vô hạn lần theo hướng x,z tùy ý nên ánh xạ ngược Ta có điều phải chứng minh

∃V ∈V R p (a),∀ x∈( X ∩V )−{a},f (x)<f (a)

∃V ∈V R p (a), ∀ x∈( X ∩V )−{a},f (x)>f (a)

 Thì ∀ j ∈{1 p},f ' x j (a)=0

Định nghĩa:

3.3 Khảo sát nhờ đạo hàm riêng cấp 2

2) Áp dụng để khảo sát cực trị địa phương của hàm số nhiều biến số thực

a) Trường hợp nhiều biến

Định lí:

1) Nếu s2 -rt < 0, r>0 thìf có cực tiểu địa phương ngặt tại a

2) Nếu s2 -rt < 0, r<0 thì f có cực đại địa phương ngặt tại a

3) Nếu s2 -rt > 0, thì f không có cực trị địa phương tại a

2, Nếu p=1 và n=2 định lý về hàm ẩn có dạng như sau:

.f ,g đềut uộc ℎ lớpC1trên U

.|∂ f

∂ y (A ) ∂ f ∂ z (A )

∂ g

∂ y (A ) ∂ g ∂ z ( A)|≠ 0

Khi đó tồn tại một lân cận mở trong của a trong R và các lân cận mở w1,w2 của b,c tương ứngtrong R sao cho:

{ .v× w1×w2⊂U

.Tồn tạimột cặpduy n ất ℎ cácánℎ xạφ : v→w1,ℶ:v →w2saoc o ℎ ∀ x ∈v, f (x,φ (x),ℶ(x))=g(x ,φ(x),ℶ(x))=0

Định nghĩa: