Gọi I là giao điểm của AN và BM.. Chứng minh OI là đường trung trực của là tam giác cân... TRƯỜNG THCS TỊNH BẮC ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNGMÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2022-2023 Hướng dẫn chung: - Học
Trang 1PHÒNG GD&ĐT SƠN TỊNH
TRƯỜNG THCS TỊNH BẮC ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 7
NĂM HỌC 2022-2023
(Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề)
Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức sau: 10 81 16.154 4 2
4 675
Câu 2 (2,0 điểm) Tìm ba số x, y, z thỏa mãn:
5 4 3
z y x
và 2 2 2 2 3 2 100
y z
Câu 3 (2,0 điểm) Cho các số x, y thỏa mãn (x - 2)4 + (2y - 1)2018 0
Tính giá trị của biểu thức M = 11x2y + 4xy2
Câu 4 (4,0 điểm)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy +2 y = 0.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M x 5 x 6 x2020
Câu 5 (2,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức Q = x x
12
2 27
(với x là số nguyên).
Câu 6 (6,0 điểm)
Cho xOy nhọn Trên tia Ox lấy A, trên tia Oy lấy B sao cho OA OB Vẽ ra phía ngoài xOy
hai đoạn thẳng AM và BN sao choAM BN , AM Ox và BN Oy
a) Chứng minh: OM = ON
b) Chứng minh AMB BNA
c) MN cắt Ox tại E, MN cắt Oy tại F Gọi I là giao điểm của AN và BM Chứng minh OI là đường trung trực của là tam giác cân
Câu 7 (2 điểm) Cho ba số x, y, z thoả mãn 0 xyz 1
1 1
1
z xz
y yz
x
-HẾT -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Phòng thi:
Trang 2TRƯỜNG THCS TỊNH BẮC ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG
MÔN: TOÁN 7 NĂM HỌC 2022-2023
Hướng dẫn chung:
- Học sinh giải theo cách khác mà đúng, đảm bảo tính lôgic, khoa học thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa
- Câu hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai phần nào không chấm điểm phần đó
1
(2đ)
4
10 81 16.15
4 675
5 3 2
5 3 2 3 5
= 4 2 82 32 22
5 3 2
) 1 3 5 ( 5 3
= 4
225 1
2 3
= 2244
2 3 = 2 3
7 2
4
5
= 143
0,5 0,5
0,5 0,5
2
(2đ)
25
100 25
3 2 2 75
3 32
2 18
2 25 16 9
2 2 2 2 2 2 2 2 2
x
10 8 10 8 100
64
2
z y y z
KL: Có hai bộ (x; y; z) thỏa mãn là : (6; 8 ;10) và (-6; -8;-10)
0,5 0,5
0,5
0,5
3
(2đ)
Vì (x - 2)4 0; (2y – 1) 2018 0 với mọi x, y nên
(x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0 với mọi x, y
Mà theo đề bài : (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 0
Suy ra (x - 2)4 + (2y – 1) 2014 = 0
Hay: (x - 2)4 = 0 và (2y – 1) 2018 = 0
suy ra x = 2, y = 1
2
Khi đó tính được: M = 24
0,25 0,25
0,25 0,25 0,25 0,25 0,5
4
(4đ)
a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x, y sao cho: x - 2xy +2 y = 0.
Ta có:
x - 2xy + 2y = 0
x(1 – 2y) + 2y = 0
(2 y-1) + x(1 – 2y) = -1
(x-1)(1 – 2y) = -1
Ta có: -1 = 1.(-1 )
Ta có bảng:
Vậy (x;y) {(2;1);(0;0)}
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M x 5 x 6 x2020
0,5
0,25 0,75
0,5 0,25
Trang 3Ta có a a a; 0, a Dấu bằng xảy ra khi a=0;
a a a, Dấu bằng xảy ra khi a 0
x x x
Vì 6 x 6 x x, ; x 5 0, x x; 2020 x 2020,x
Nên M 6 x 0 x 2020, x M 2026,x
Dấu bằng xảy ra
Vậy GTNN của M=2026 tại x=5
0,25
1,0
0,25
0,25
5
(2đ)
Ta có: Q = x x
12
2 27
12
3
Suy ra Q lớn nhất khi
x
12
3 lớn nhất
* Nếu x > 12 thì 12 0 3 0
12
x
x
* Nếu x < 12 thì 12 0 3 0
12
x
x
Từ 2 trường hợp trên suy ra x
12
3
lớn nhất khi 12-x>0
Vì phân số
x
12
3
có tử và mẫu là các số nguyên dương, tử không đổi nên phân số có giá trị lớn nhất khi mẫu là số nguyên dương nhỏ nhất
Hay 12 x 1 x 11
Suy ra A có giá trị lớn nhất là 5 khi x =11
0,25 0,25 0,25 0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
6
y
I
F E
N
M
B
A
O
a) Xét OAM và OBN
Có OA = OB; AM = BN; OAM OBN
=> OAM = OBN (c.g.c)
=> OM = ON
b) Xét OMB và ONA
0,5
0,5 0,5 0,5
Trang 4Có OA = OB; OM = ON; MOBNOA
OMB = ONA (c.g.c)
=> MB = NA Chứng minh AMB = BNA (c.c.c)
=> AMBBNA
c) Theo câu b có IAB cân tại I => IA = IB
=> OIA = OIB (c.c.c)
=> EOI FOI Chứng minh được OEM = OFN (g.c.g)
=> OE = OF
=> OIE = OIF (c.g.c) => IE = IF
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
0,5 0,5 0,5
7
(2đ)
Vì 0 x y z 1 x - 1 0, y - 1 0 (x - 1) (y - 1) 0
xy + 1 x + y (1)
Chứng minh tương tự : (2) ; (3)
Cộng từng vế của (1) (2) (3) ta có :
+ + + + (4)
Mà
Chứng minh tương tự ;
+ + 2 (5)
Từ (4) (5) đpcm
0,5 0,5
0,5
0,5