ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG TOÁN 7

Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC.. b Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CD.. Chứng minh M, A, N thẳng

TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn: TOÁN KHỐI 7

Thời gian : 120 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (1,5 điểm) Tìm các số tự nhiên x và y, biết

a) 2 3x1 y 12x

Câu 2 (0,75 điểm) Cho f x( )ax2 bx c (Với , ,a b c  ) và 13 a b 2c Chứng0 minh rằng: ( 2) (3) 0f  f 

Câu 3 (0,75 đi m) ) Tính giá tr c a bi u th c A, bi tểm) ) Tính giá trị của biểu thức A, biết ị của biểu thức A, biết ủa biểu thức A, biết ểm) ) Tính giá trị của biểu thức A, biết ức A, biết ết

0,375 0,3

2,5 1,25 0,625 0,5

A

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của A, biết A x 1 x 2   x 100

Câu 5 (1,5 điểm) Cho dãy tỉ số bằng nhau sau

2012a b c d a 2012b c d a b 2012c d a b c 2012d

Tính giá tr c a bi u th cị của biểu thức A, biết ủa biểu thức A, biết ểm) ) Tính giá trị của biểu thức A, biết ức A, biết

a b b c c d d a M

c d d a a b b c

Câu 6 (2,0 điểm) Cho  ABC có hai nhọn B và C Trên tia đối của tia AB lấy điểm D

sao cho AD = AB, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AC

a) Chứng minh rằng: BE = CD

b) Gọi M là trung điểm của BE và N là trung điểm của CD Chứng minh M, A,

N thẳng hàng

c) Ax là tia bất kỳ nằm giữa hai tia AB và AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B và C trên tia Ax Chứng minh BH + CK  BC và xác định vị trí của tia Ax

để tổng BH + CK có giá trị lớn nhất

Câu 7 (1,5 điểm) Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định Sau khi đi được

nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc lên 20% do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút Tính thời gian ô tô đi từ A đến B

Câu 8 (1,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ

đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F Chứng minh rằng:

a) BE = CF

AB AC

… Hết …

……… ………

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn Toán Khối 7

Câu Hướng dẫn chấm Điểm

Câu 1

(1,5 điểm)

a)

2

1 1

1

2

x y x x

x





Nhận thấy ( 2,3) = 1  x– 1y x– 0  x y 1 b) 7(x 2004)2 23 y2 (1)

7(x 2004)2  0 23 y2  0 y2  0 y0;2;3;4 Mặt khác 7 là số nguyên tố  23 y2 Vậy y = 3, y = 4 7 Thay y vào (1) ta được x = 2005, y = 4

x = 2003, y = 4

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ

Câu 2.

(0,75

điểm)

Ta có: f (-2) = 4a – 2b + c và f(3) = 9a + 3b + c  f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c)

Mà ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0  ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)

Vậy f(-2).f(3) = -( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = -( 4a -2b + c)2  0

0,25đ 0,25đ 0,25đ

Câu 3

(0,75

điểm)

0,375 0,3

1890

0

A

A

A A

0,25 đ

0,25đ 0,25đ

Câu 4

(1,0 điểm)

x  x   x =

(x 1 100  x) ( x 2  99 x) (  x 50  56 x)

 99 + 97 + + 1 = 2500 Suy ra C  2050 với mọi x Vậy Min C = 2500 khi

x

0, 25đ 0,25đ 0,5đ

Câu 5

(1,5 điểm)

Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có

TH1: a b c d   0

Nên







Thay vào bi u th c đ tìm đúng M = - 4.ểm) ) Tính giá trị của biểu thức A, biết ức A, biết ểm) ) Tính giá trị của biểu thức A, biết

0,25đ

0,25đ 0,25đ

(Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa)