Cho tam giác ABC có trọng tâm G ; gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.. a Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trong tâm G của tam giác ABC... Học sinh có cách giải đúng khác
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán – Lớp 10 ( Ngày thi: 13/11/2012)
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang Câu 1 (2,5 điểm) Cho phương trình: x2 – 2(m-1)x – m3 + (m + 1)2 = 0
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 x2 4
b) Với giá trị của m vừa tìm được ở phần a) tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P x x 3x x (x x ) 8x x
Câu 2 (1,5 điểm) Giải phương trình: 2 x2 11 x 23 4 x 1
Câu 3 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình:
2 2
2
8 16
xy
x y
x y
x y x y
Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có trọng tâm G ; gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Lấy các
điểm M,N sao cho 3MA 4MB 0
, NB 3NC 0
a) Chứng minh rằng đường thẳng MN đi qua trong tâm G của tam giác ABC
b) Chứng minh a IA b IB c IC 0
(trong đó a = BC, b = AC, c = AB)
Câu 5 (1,0 điểm) Cho các số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
a b a c b a b c c a c b
-HẾT -SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT SÔNG LÔ
ĐÁP ÁN ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 1
NĂM HỌC 2012-2013 Môn: Toán – Lớp 10 ( Ngày thi: 13/11/2012)
(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)
Đáp án có 02 trang
Phương trình đã cho có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x1 x2 4
2
1 2
2
3
m
m
m
Theo định lí Viet ta có x1 x2 2 m 1 , x x1 2 m3 m 1 2 suy ra
Bài toán trở thành: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2
P m m với m trên tập D 2;0 2;3 Ta thấy P là một hàm số
Bảng biến thiên
-24
16
-144
0
3 2
0 -2
P m
0,5
Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 khi m 2, P min 144 khi m 2 0,25
Trang 2Cõu í Nội dung Điểm
ĐK: x 1 pt 2(x26x9) ( x 1 4 x 1 4) 0 0,5
Do a2 0( a)nờn pt(*) 3 0
1 2 0
x x
3
x
2 2
2
8
16 (1) (2)
xy
x y
x y
x y x y
2,0
Điều kiện: x + y > 0
* (1) (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y)
[(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0
(x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0
(x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0
2 2
Từ (3) ị x + y = 4, thay vào (2) ta đợc:
x2 + x – 4 = 2 x2 + x – 6 = 0 x 3 y 7
0,75 (4) vô nghiệm và x2 + y2 > 0 và x + y > 0
Ta có 3(GA GM ) 4( GB GM ) 0
3GA 4GB 7GM
V à (GB GN ) 3( GC GN ) 0
GB GA GB GN GA GB GN
0,5
b Chứng minh a IA b IB c IC. . . 0 1,5
Hỡnh vẽ:
I
D
C B
A
Gọi D là chõn đường phõn giỏc trong hạ từ đỡnh A (hỡnh vẽ)
Theo tớnh chất đường phõn giỏc ta cú DB AB c DB c DC DB c DC
DC AC ịb b ị b
( vỡ hai vec tơ DB DC; ngược hướng)
Hay IB ID cIC ID ID b IB c IC. .
(1)
0,5 Lại cú BI là đường phõn giỏc trong của gúc B trong tam giỏc ABD, CI là phõn
giỏc trong của tam giỏc ACD nờn:
IA BA CA BA CA
ID BD CD BD CD
(theo tớnh chất tỷ lệ thức bằng nhau)
0,5
Trang 3Câu Ý Nội dung Điểm
(2)
Thay (2) vào (1) ta có: a IA b IB c IC. . a IA b IB c IC 0
(đpcm)
0,5
P
a (b c) b (a c) c (a b)
b c a c a b
bc ac ab
1 1 1 1 1 1
b c c a a b
Đặt x 1
a
, y 1
b
, z 1
c
Do abc = 1 Þ xyz = 1 và a,b,c dương suy ra x,y,z dương Ta có
P
y z z x x y
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có 2
x y z x
y z 4
, y2 z x y
z x 4
2
z x y z
x y 4
x y z
2
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1 hay a = b = c = 1 Vậy Pmin 3
2
khi x = y = z = 1
0,25
-HẾT -Chú ý: Riêng câu 3 phần b) nếu thí sinh không có hình vẽ đúng thì không được chấm điểm
Học sinh có cách giải đúng khác đáp án vẫn được điểm tối đa theo từng câu, từng phần
Câu 3b) là một bài tập cơ bản trong scahs bài tập hình học 10, tuy nhiên không có học sinh nào làm được là
một điều đáng tiếc Qua đây chứng tỏ học sinh không giải các bài tập trong sách bài tập, sách giáo khoa thuộc chương trình nâng cao