Hsg t7 cđ4 bat dang thuc cuc tri tham khao

TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCNhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy n

Trang 1

TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤC

Trang 2

Nhận thấy bài này có dạng tổng lũy thừa cùng cơ số, nên ta sẽ thực hiện phép tính tổng A

Việc tính chính xác được tổng A sẽ giảm bớt sự sai số, tuy nhiên không phải tổng nào cũng có thể tính được,

Trang 3

Trang 4

Trang 5

75 100 3 4 12

TH2:

1 1 1 1 5.25 25

Trang 6

Trang 7

Trang 8

TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCBài 2: Chứng minh rằng:

Trang 9

Ta thấy tổng A có 100 số, như vậy ta sẽ nhóm thành 50 ngoặc, mỗi ngoặc sẽ có hai phân số,

gốm 1 phân số đứng đầu và 1 phân số đứng cuối, cứ như vậy dồn sâu vào trong tổng

Trang 10

58

Trang 11

=

3 4Vậy

25 151 150 150 3151

Trang 12

TÀI LIỆU CỦA NHÓM: CÁC DỰ ÁN GIÁO DỤCBài 16: Cho

Trang 13

Trang 14

Khi đó:

2024

456 2024 2007456

Vậy A > 2007

Bài 22: Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên n để:

Trang 15

Trang 16

Vậy 14< <A 20

Bài 2: Cho

1 4 7 10 208

3 6 9 12 210

A 

Chứng minh rằng

125

A 

Lời giải

Ta thấy A có dạng

1 11

Trang 17

A

Trang 18

 hoặc ngược lại và đưa về cùng mẫu

Bài 1: Cho a, b, c > 0, Chứng minh rằng:

M

a b b c c a

Suy ra 1M 2,

Vậy M không nguyên

Bài 2: Cho x, y, z, t là số tự nhiên khác 0, Chứng minh rằng:

Trang 19

Vậy M không nguyên

Bài 3: Cho a, b, c là các số dương, và tổng hai số luôn lớn hơn số còn lại

Trang 20

Trang 21

Cộng theo vế ta được : 2 ab bc ca a b c     2 2 2

Vậy a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác thì 2 ab bc ca a b c     2 2  2

Bài 8: Cho ba số dương 0    Chứng minh rằng: a b c 1 1 1 1 2

ac a b c  và

21

bc a b c Cộng theo vế ta được:

Dạng 5: TÌM MIN - MAX CỦA BIỂU THỨC GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của :

Khi đó B đặt giá trị lớn nhất bằng 1,5 khi x 2

c) Ta có: C x 3 0 khi đó đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 kho x = 3

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của ::

Trang 22

53y 12 0

10

 x  x

c) Ta có: N 2,5 x 5,8 5,8  MinN 5,8 khi

52,5 0

y

b) Ta có: A4,9x  2,82,8 MinA2,8 khi

494,9 0

Trang 23

y y

Trang 24

Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất (nếu có) của :



5,82,5 5,8

Trang 25

114

MaxG 

khi

72y 7 0 y

Trang 26

Bài 21: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a)

85

MinB 

khi

75x 7 0 x

173





 

Lời giải

Trang 27

53



 

Trang 28

13

Trang 29

Với

1

1 2 2 6 7 2

(2)

Từ (1) và (2) ta có :C 7 MinC7khi

1 2

x 

Bài 30: Tìm giá trị nhỏ nhất của :

a) E4x 3 4x 5 b) F 5x 6 3 5  x c) G2x7 5 2  x

Lời giải

a) Với

3

4 3 0 4 3 4 5 8 2

4

x   x  E x  x  x

Mà

8 2 8 2 8

 E 8 (1) Với

3

4 3 4 5 8 4

(2)

Từ (1) và (2) ta có : E 8 MinE8khi

3 4

x

b) Với

6

5 6 0 5 6 3 5 10 3

5

Mà

10 3 10 3 9 9

(1) Với

6

6 5 3 5 9 5

(2)

Từ (1) và (2) ta có : F 9 MinF 9khi

6 5

x 

c) Với

7

2 7 0 2 7 5 2 12

2

x   x  G x   x

(1) Với

7

2 7 5 2 4 2 2

Mà

4 2 4 2 12

12

G

Từ (1) và (2) ta có : G12 MinG12khi

7 2

x

II- BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC

A Kiến thức cần nhớ

1 Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác (h22.1)

Suy ra trong tam giác tù (hoặc tam giác vuông) thì cạnh đối diện

với góc tù (hoặc góc vuông) là cạnh lớn nhất

2 Dùng quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong hai tam giác có

hai cặp cạnh bằng nhau (h.22.2)

ABC

 và A B C' ' ' có:

' '; ' '

C B

A

Hình 22.1

A' A

ABC



 

Trang 30

Tìm giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng AB thay đổi

Ta phải đi chứng minh AB a  (số a không đổi) và chỉ rõ khi nào dấu “=” xảy ra Khi đó giá trị

lớn nhất của độ dài AB bằng a Ta viết max AB a

Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng AB thay đổi

Ta phải đi chứng minh AB b  (số b không đổi) và chỉ rõ khi nào dấu “=” xảy ra Khi đó giá trị

nhỏ nhất của độ dài AB bằng b Ta viết min AB b

- Trình bày lời giải:

Tam giác ABC có CAB ABC  suy ra AB AC (1)

C' B'

C B

Trang 31

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có B 900 Gọi O là trung

điểm của BC Vẽ BDAO CE; AO ( ,D E thuộc đường

Để chứng minh 2ABAD AE ta biểu diễn AB theo

hai cách khác nhau rồi dùng tính chất cộng từng vế của

hai bất đẳng thức cùng chiều sẽ có được 2AB

- Trình bày lời giải:

Ta có BOD COE (cạnh huyền – góc nhọn)  OD OE

Xét tam giác AOB có B  90o nên OA là cạnh lớn nhất, do đó AB OA (*)

Vẽ EH  By Dễ thấy AF ≥ IH = AB (không đổi)

Ta cần tìm giá trị của m để dấu “=” xảy ra

Khi đó minEF = AB

*Trình bày lời giải

O D

E

C B

A

Hình 22.6

Trang 32

Theo quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên ta có AF ≥ IH do đó EF ≥ AB Dấu “=” xảy ra

⇔ FF ≡ H ⇔ AE = BF ⇔ ΔAOAO E=ΔAOBOF

⇔AOE BOF =45 (vì AOE BOF 90 )

Vậy EF có độ dài ngắn nhất (bằng độ dài AB) khi và chỉ khi AOE   , tức là khi 45

và chỉ khi m = 45

Ví dụ 4 Cho góc nhọn xOy và một điểm A ở trong góc đó Xác định điểm M trên tia Ox, điểm N trên

tia Oy sao cho OM = ON và Tổng AM + AN nhỏ nhất

giải(h.22.8)

*Tìm cách giải

Xét 3 điểm A, M, N ta có AM + AN ≥ MN nhưng độ dài

MN lại thay đổi Do đó không thể kết luận Tổng AM + AN

có giá trị nhỏ nhất bằng độ dài MN được Ta phải thay thế

Tổng AM + AN bằng tổng của hai đoạn thẳng có tổng lớn

hơn hoặc bằng độ dài của một đoạn thẳng cố định Muốn

vậy ta cần vẽ thêm hình phụ để tạo thêm một điểm E cố

định

*Trình bày lời giải

Trên nửa mặt phẳng bờ Oy không chứa A Vẽ tia Ot sao choyOt AOx

Trên tia Ot lấy điểm E sao cho OE = OA Như vậy hai điểm A và E cố định đoạn thẳng AE có độdài không đổi

Ta có  AOM   EON (c.g.c) ❑⇒AM = EN Do đó AM + AN = EN + AN

Gọi F là giao điểm của AE với tia Oy

Xét ba điểm N, A, E ta có: EN + AN ≥ AE (dấu “=” xảy ra tương đương N trùng F)

Vậy min AM + AN = AE khi N ≡ F Điểm M ∈ Ox sao cho OM = ON.

C Bài tập vận dụng

 Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác

2.1 Cho tam giác ABC, ^A=600 Chứng minh rằng BC3

<AB3+AC3

2.2 Cho tam giác ABC, AB < AC Vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A là ABE và

ACF Gọi D là trung điểm của BC

Chứng minh rằng DE < DF

2.3 Cho tam giác ABC, ^A=900 và AB = 1

2BC Chứng minh rằng ^ C> B^

2.

2.4 Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM.

Chứng minh rằng AM > BC2 khi và chỉ khi góc A nhọn

2.5 Cho tam giác ABC và một điểm D nằm trong tam giác Chứng minh rằng trong 4 điểm A, B, C, D

tồn tại 3 điểm là ba đỉnh của một tam giác có một góc lớn hơn 290

 Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

2.6 Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng a lấy điểm B ∈ a Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với

AB cắt đường thẳng a tại C

Trang 33

Xác định vị trí của điểm B để BC có độ dài nhỏ nhất

2.7 Cho tam giác ABC cân tại A, BC = a Gọi O là một điểm trên đáy BC Qua O vẽ các đường thẳng

song song với hai cạnh bên, cắt AB và AC lần lượt tại M và N Tìm độ dài nhỏ nhất của MN

2.8 Cho tam giác đều ABC cạnh dài 4cm Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm D và E sao

cho AD = CE Tính độ dài nhỏ nhất của DE

2.9 Cho tam giác ABC, ^B=450, ^ C=300 và AC = 52cm Điểm M nằm giữa B và C Tính giá trị lớn

nhất của tổng các khoảng cách từ B và C đến đường thẳng AM

2.10 Chứng minh rằng trong các tam giác có một góc bằng α và tổng hai cạnh kề góc ấy bằng 2a thì

tam giác cân có góc ở đỉnh bằng α là tam giác có chu vi nhỏ nhất

 Bất đẳng thức tam giác

2.11 Cho tam giác ABC Gọi xy là đường phân giác gosc ngoài tại đỉnh C Tìm trên xy một điểm M

sao cho tổng MA + MB ngắn nhất

2.12 Cho tam giác ABC có AM = 12, AC = 16 Gọi M là một điểm trong mặt phẳng Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức S = 7MA + 3MB + 4MC

2.13 Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H Chứng minh rằng tổng HA + HB + HC nhỏ hơn 2

3 chu vi của tam giác ABC

2.14 Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AB = a Tìm một điểm M sao cho tam giác MAC cân tại M,

đồng thời tổng MA + MB nhỏ nhất

Tìm giá trị nhỏ nhất đó

2.15 Cho đường thẳng xy và tam giác ABC có cạnh AB nằm trên một nửa mawjt phẳng bờ xy còn

đỉnh C di động trên xy Biết AB = 13cm, khoảng cách từ A và B đến xy lần lượt bằng 2cm và 7cm

Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC

2.16 Một hộp gỗ hình lập phương mỗi cạnh dài 20cm Đáy ABCD đặt áp sát mặt bàn Nắp hộp

A’B’C’D’ có thể mở dựng đứng lên trên (h.22.9) Một con kiến ở đỉnh A muốn bò tới đỉnh C’ bằng

cách vượt qua cạnh A’B’ thì phải bò một quảng đường ngắn nhất là bao nhiêu?

Hình 22.9

Trang 34

Theo định lý Pytago ta có BE 2 2AB ,CF 2 2 2AC 2mà AB < AC nên BE < CF,

Dễ thấy ABFAEC c.g.c  BF CE

Vẽ đường trung trực của BC cắt BC tại M, cắt AC tại N

Ta có NB = NC; tam giác NBC cân  µ C· NBC

Tam giác BAM có BA = BM

1 BC 2

đối diện trong một tam giác)

Trang 35

   ( cặp góc trong cùng phía) (*)

 Chứng minh mệnh đề “ Nếu góc A nhọn thì

BC AM

2



”Nếu

BC AM

2

thì 2AM = BC do đó AD = BC

, trái GTNếu

BC AM

2

thì 2AM < BC do đó AD < BC

BAC

 và DCAcó AB = CD; AC chung và BC > AD

Do đó · BAC· DCA

Từ (*) suy ra · BAC90 0, trái GT

Vậy nếu góc A nhon thì

BC AM

2



 Chứng minh mệnh đề “ Nếu

BC AM

2

thì góc A nhọn”

Nếu µ A 90 0thì từ (*) suy ra · DAC90 0

2

, trái GTVậy nếu

BC AM

2

thì góc A nhọn

Xét tam giác BDC có · BDC 120 0, suy ra · DBC DCB 60·  0

Do đó tôn tại ít nhất một góc lớn hơn hoặc bằng 300 > 290

Vậy ba điểm cần tìm là B, C, D

2.6

Trang 36

Gọi M là trung điểm của BC và H là hình chiếu của A trên đường thẳng a Khi đó AH có độ dài không đổi Ta có tam giác ABC vuông tại A nên

Do đó BC có độ dài nhỏ nhất là 2AH MH ABHvuông cân

Ta xác định điểm B như sau:

Do đó MBOcân tại M, từ đó ta được HB = HO

Tương tự ta có KC = KO Suy ra

Vẽ DH BC ; EKBC ; DFEK, ta có DF = HK ( tính chất đoạn chắn song song)

Các tam giác vuông HBD và KCE có µ µ 0

Dấu “=” xảy ra  E F DHEK HBDKCE BD CE  BDAD Dlà trung

điểm của AB ( Khi đó E là trung điểm của AC)

Vậy độ dài nhỏ nhất của DE là 2cm khi D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC

Trang 37

Vẽ AH BC , AHC vuông tại Hcó C   nên  30

1

52 : 2 26( )2

Gọi Mlà một điểm bất kì trên xy

Ta có MA MD (Tính chất điểm nằm trên đường trung

Trang 38

Ta có: S 7MA3MB4MC

Dấu " " xảy ra  M thuộc đoạn thẳng AB và AC  M  A

Vậy minS 100 khi M A

2.13 (h.22.25)

Từ H vẽ đường thẳng song song với AB cắt AC tại D ; đường

thẳng song song với AC cắt AB tại E Theo tính chất đoạn

thẳng song song ta có AD HE AE HD , 

Vì HBAC nên HBHE  HB HE (quan hệ giữa đường

vuông góc và đường xiên)

Chứng minh tương tự ta được HC HD

Xét AHD có HA AD DH  (bất đẳng thức tam giác) Suy ra:

Tam giác MAC cân tại M MA MC , do đó M nằm trên đường

trung trực d của AC.

Xét tổng MA MB MC MB BC a     2

Dấu “ = ” xảy ra khi M O với O là giao điểm của d với cạnh BC.

Vậy giá trị nhỏ nhất của tổng MA MB là a 2 khi M O

để dấu “ = ” xảy ra

Vì thế không thể kết luận min(MA MB ) a

2.15 (h.22.27)

 Xác định vị trí của C để chu vi tam giác ABC nhỏ nhất

Chu vi của ABClà CA CB AB 

Do AB cố định nên chu vi ABC nhỏ nhất  CA CB nhỏ

nhất

Trang 39

Vẽ AH xy Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho HD HA

Khi đó BD là một đoạn thẳng cố định Gọi C’ là một điểm trên xy.

Suy ra khi C là giao điểm của BD với xy thì chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất

 Tính giá trị nhỏ nhất của chu vi tam giác ABC

Vẽ BKxy, BIAH ta tính được HI = 7cm; IA =5cm và ID = 9cm

Áp dụng định lý Py-ta-go vào IAB vuông tại I ta có:BI2 AB2 IA2 132 52 144

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông IDB ta được:

Gọi M là điểm trên cạnh A’B’ mà con kiến phải qua khi bò từ A đến C

Mở nắp hộp A’B’C’D’ đứng lên đến vị trí A’B’C1D1

Vậy quãng đường ngắn nhất mà kiến phải bò là 44,7 cm khi kiến bò qua trung điểm M của cạnh

A’B’ theo hành trình đoạn thẳng AM rồi đoạn thằng MC’

Trang 40

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

Tiêu đề	Bất Đẳng Thức – Cực Trị
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu của nhóm: Các dự án giáo dục
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	40
Dung lượng	1,7 MB